Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Transkript

1 Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipa.cz

2 Pravděpodobnost a matematická statistika týden Data, tp dat, variabilita, frekvenční analýza histogram, četnosti absolutní, relativní, prosté, kumulativní, základní statistické charakteristik průměr, výběr.rozptl, minimum, maimum, medián, kvartil, boplot, sešikmenná rozdělení vzájemná poloha mediánu a střední hodnot, chvost, kvantil 2. týden Princip statistické indukce, výběr, vlastnosti výběru, eperiment. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a jeho souvislost s histogramem. Pravděpodobnost, pravidla pro počítání s pravděpodobností, podmíněná pravděpodobnost, závislost náhodných veličin. 3.týden Vužití závislosti při stanovení pravděpodobnosti - věta o úplné pravděpodobnosti a Baesova věta 4.týden Rozdělení chb měření - normální rozdělení a počítání s ním. Odhad parametrů normálního rozdělení. Interval spolehlivosti pro normální data. Jednovýběrové test o střední hodnotě 5.týden Výběrový poměr jako odhad pravděpodobnosti sledovaného jevu. Alternativní rozdělení, binomické rozdělení. Intervalový odhad výběrového poměru. Výběr s vracením a bez vracení binomické a hpergeometrické rozdělení 6.týden odpadá 7.týden Poruch v čase Poissonův proces. Poissonovo rozdělení, eponenciální rozdělení, jeho výhod a nevýhod, modelování dob do poruch pomocí Weibullova rozdělení, lognormálního rozdělení, případně useknuté normální rozdělení. 8.týden Test dobré shod, Q-Q graf pouze vsvětlení, test normalit. Některé neparametrické test 9.týden Dvě náhodné veličin - srovnání dvou výběrů dvouvýběrové test 10. týden Dvě náhodné veličin. Dvourozměrné četnosti jako odhad dvourozměrného rozdělení, frekvenční tabulka. Marginální rozdělení vše pouze diskrétně s tabulkou 11. týden Závislost náhodných veličin, mír závislosti kovariance, korelace, test významnosti korelačního koeficientu 12. týden Regrese, lineární regresní model přímková, kvadratická, polnomická regrese, analýza reziduí, pás spolehlivosti 13. týden Více výběrů, jednoduché třídění, ANOVA. 14. týden Rezerva, opakování, test normalit náhrada za

3 Náhodné události v čase * * * * ** * * * čas

4 Náhodné události v čase ** * * ** * * * čas

5 Náhodné události v čase počet událostí v čase t: Nt diskrétní náhodná veličina N = * * * * ** * * * T = t1 t2 t3 t4 t5t6 t7 t8 t9 čas čas výsktu i-té události: Ti spojitá náhodná veličina

6 Náhodné události v čase počet událostí v čase t: Nt N = * * * * ** * * * diskrétní náhodná veličina čas dob mezi událostmi: i = t i t i 1 spojitá náhodná veličina t = Nt t T i = t i i t!1 t!1 = lim t!1 Nt t střední počet událostí za jednotku času t T = lim t!1 Nt = 1 střední doba mezi událostmi je intenzita poruch, 1/ je střední doba mezi poruchami

7 Poissonovo rozdělení počet událostí v čase t: Nt N = * * * * ** * * * čas Jaká je pravděpodobnost, že za jednotku času nastane k událostí? P N = k =? P N = k = k k! e, k =0, 1,... EN =, VarN = Jaká je pravděpodobnost, že za dobu t nastane k událostí? P Nt =k =? P Nt =k = tk e t, k =0, 1,... k! ENt = VarNt = t

8 Poissonovo rozdělení P N = k = k k! e, k =0, 1,... EN =, VarN =

9 Poissonovo rozdělení P N = k = k k! e, k =0, 1,... EN =, VarN =

10 Eponenciální rozdělení Poissonův proces {Nt,t 0} * * * * ** * * * čas dob mezi událostmi: i = t i t i 1 Jaká je pravděpodobnost, že doba mezi událostmi nepřekročí hodnotu t? P apple t =? P apple t =1 e t, t 0 E =, Var = 2 F t =1 e t ft = df dt = 1 e t, t 0

11 Eponenciální rozdělení ft = 0, t < 0 1 e t, t 0 F t = 0, t < 0 1 e t, t 0

12 Eponenciální rozdělení ft = 0, t < 0 1 e t, t 0 F t = 0, t < 0 1 e t, t 0 1 = ft = 0, t < 0 e t, t 0 F t = 0, t < 0 1 e t, t 0 Eponenciální rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličin, která popisuje dobu mezi nezávislými, náhodně se vsktujícími událostmi v čase. Přitom střední doba mezi těmito událostmi je rovna střední počet těchto událostí za jednotku času je. a

13 Eponenciální rozdělení P t + s s = P apple t + s & s P s = P 2hs, t + si P s = F t + s F s 1 F s = 1 e t+s e s 1+e s = e s e e s t e s =1 e t = F t =P apple t Eponenciální rozdělení nemá paměť!

14 Weibullovo rozdělení F t =1 e t, t 0 t 1 ft = e t, t 0 ET = apple 1 +1, VarT =

15 Intenzita poruch t = ft 1 F t, t 2 R Pravděpodobnost, že se zařízení porouchá v čase t+ M, kdž víme, že se do dob t neporouchalo pro hodně malá M je rovna přibližně M t. Weibull s > 1 Eponenciální Weibull s =1 Weibull s < 1

16 Logaritmicko-normální rozdělení, 0, < 0. f = - 1 % ln $ µ2. ep ' $ *, + 0 / 2# & 2 2 # EX = ep µ + 2 & %, VarX = ep 2µ + 2. ep 2 1 $ 2 ' Y s N/µ, 2 X =epy X s LNµ, 2

17 Charakteristik dob života Edmont Halle

18 Charakteristik dob života Edmont Halle Tabulka délk života lidí Halle, 1693

19 Charakteristik dob života

20 Charakteristik dob života

21 Charakteristik dob života Data from Edmond Halle's table p.600 and Durchschnittliche Lebenserwartung im Alter in Jahren e Deutschland, nach Geschlecht, Sterbetafel 1997/99 made available b Statistisches Informationssstem GeroStat.

22 Charakteristik dob života Příklad: entilátoru dieselového motoru můžeme popsat pomocí eponenciálního rozdělení se střední dobou θ = hod. 1. S jakou pravděpodobností se ventilátor porouchá během prvních 100 hodin? PX 100 = $ ep# d =1# e# = 0, Jaká je pravděpodobnost, že ventilátor vdrží bez poruch záruční dobu hodin? PX > 8000 = Jaká je intenzita poruch? $ # ep d = e = 0, Intenzita poruch je potom λ=1/ θ=1/28.700=34,8 ppm. PX 100 # $.100 = 100.0, = 0,003484

23 Charakteristik dob života Příklad: entilátoru dieselového motoru můžeme popsat pomocí eponenciálního rozdělení se střední dobou θ = hod. 4. Jaká je tpická délka života ventilátoru? median = 0,5 = ln1 0.5 = Jaká je střední doba života ventilátoru? EX = = Do jaké dob se porouchá v průměru 90% všech ventilátorů? 0,9 = ln1 0.9 =

24 Charakteristik dob života Posunutá rozdělení Weibullovo rozdělení './ $ 1 ' $ f % -./ * = % ep.! & # +, / 0 0 &, 0 # Logaritmicko-normální rozdělení 1 & ln # µ2 f = ep +, #$ 2% ' 2$ 2 * #,

25 Charakteristik dob života Podmíněná rozdělení rozdělení délk života víme-li, že se zařízení dožilo dob R f f! =, R F F F! # =, R R R! =,

26 Charakteristik dob života Zbývající doba života Z h h! =, d f R X E! = # $, 1 z R F z F z G! # + = 0, z R z f z g! + = 0, z z h z h! + = 0,