Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz"

Transkript

1

2 Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

3 Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

4 Pravděpodobnost a matematická statistika týden ( ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza (histogramy, četnosti absolutní, relativní, prosté, kumulativní), základní statistické charakteristiky (průměr, výběr.rozptyl, minimum, maximum, medián, kvartily, boxplot), sešikmenná rozdělení (vzájemná poloha mediánu a střední hodnoty), chvosty, kvantily 2. týden ( ) Princip statistické indukce, výběr, vlastnosti výběru, experiment. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a jeho souvislost s histogramem. Pravděpodobnost, pravidla pro počítání s pravděpodobností, podmíněná pravděpodobnost, závislost náhodných veličin. 3.týden ( ) Využití závislosti při stanovení pravděpodobnosti - věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta 4.týden ( ) Rozdělení chyb měření - normální rozdělení a počítání s ním. Odhady parametrů normálního rozdělení. Intervaly spolehlivosti pro normální data. Jednovýběrové testy o střední hodnotě 5.týden ( ) Výběrový poměr jako odhad pravděpodobnosti sledovaného jevu. Alternativní rozdělení, binomické rozdělení. Intervalový odhad výběrového poměru. Výběry s vracením a bez vracení (binomické a hypergeometrické rozdělení) 6.týden ( ) odpadá 7.týden ( ) Poruchy v čase (Poissonův proces). Poissonovo rozdělení, exponenciální rozdělení, jeho výhody a nevýhody, modelování doby do poruchy pomocí Weibullova rozdělení, lognormálního rozdělení, případně useknuté normální rozdělení. 8.týden ( ) Testy dobré shody, Q-Q graf (pouze vysvětlení), testy normality. Některé neparametrické testy 9.týden ( ) Dvě náhodné veličiny - srovnání dvou výběrů (dvouvýběrové testy) 10. týden ( ) Dvě náhodné veličiny. Dvourozměrné četnosti jako odhad dvourozměrného rozdělení, frekvenční tabulka. Marginální rozdělení (vše pouze diskrétně s tabulkou) 11. týden ( ) Závislost náhodných veličin, míry závislosti (kovariance, korelace), test významnosti korelačního koeficientu 12. týden ( ) Regrese, lineární regresní model (přímková, kvadratická, polynomická regrese), analýza reziduí, pásy spolehlivosti 13. týden ( ) Více výběrů, jednoduché třídění, ANOVA. 14. týden ( ) Rezerva, opakování, testy normality (náhrada za )

5 Tato přednáška je na

6 X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

7 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

8 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) oba parametry v obou případech známe Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

9 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) oba parametry v obou případech známe známe střední hodnoty a neznáme rozptyly Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

10 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) oba parametry v obou případech známe známe střední hodnoty a neznáme rozptyly známe rozptyly a neznáme střední hodnoty Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

11 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) oba parametry v obou případech známe známe střední hodnoty a neznáme rozptyly známe rozptyly a neznáme střední hodnoty žádný z parametrů neznáme Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

12 X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

13 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

14 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m test shody rozptylů X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

15 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

16 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech test shody středních hodnot při nestejných rozptylech X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

17 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech test shody středních hodnot při nestejných rozptylech Dvě závislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

18 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech test shody středních hodnot při nestejných rozptylech Dvě závislá měření X : X 1,X 2,...,X n párový test shody středních hodnot Y : Y 1,Y 2,..., Y n

19 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech test shody středních hodnot při nestejných rozptylech Dvě závislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n párová pozorování párový test shody středních hodnot

20 nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

21 1) Srovnání rozptylů dvou nezávislých měření nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

22 1) Srovnání rozptylů dvou nezávislých měření Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska velikosti rozptylu? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

23 1) Srovnání rozptylů dvou nezávislých měření Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska velikosti rozptylu? Lze považovat rozptyl dvou nezávislých měření za shodný při dané hladině významnosti? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

24 1) Srovnání rozptylů dvou nezávislých měření Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska velikosti rozptylu? Lze považovat rozptyl dvou nezávislých měření za shodný při dané hladině významnosti? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test Fisherovo-Snedecorovo rozdělení F(n-1, m-1) H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

25 - Dvouvýběrový t-test nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

26 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

27 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska jejich střední hodnoty? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

28 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska jejich střední hodnoty? Lze považovat střední hodnoty dvou nezávislých měření za shodné při dané hladině významnosti? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

29 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska jejich střední hodnoty? Lze považovat střední hodnoty dvou nezávislých měření za shodné při dané hladině významnosti? Lze od sebe statisticky významně odlišit dvě nezávislá měření podle jejich jejich střední hodnoty? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

30 - Dvouvýběrový t-test nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná) pokud σ 2 X = σ 2 Y pokud σ 2 X = σ 2 Y dvouvýběrový t-test se stejnými rozptyly dvouvýběrový t-test s nestejnými rozptyly

31 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná) pokud σ 2 X = σ 2 Y pokud σ 2 X = σ 2 Y dvouvýběrový t-test se stejnými rozptyly dvouvýběrový t-test s nestejnými rozptyly

32 - Dvouvýběrový t-test pokud σx 2 = σy 2 = σ 2 s 2 X Ȳ = s2 X + s 2 Ȳ = s2 X n + s2 Y m = 1 = s 2 n + 1 m + n = s 2 m n.m dále odhadneme s 2 ze všech naměřených hodnot: s 2 1 n = (X i n + m 2 X) m 2 + (Y i Ȳ )2 = i=1 i=1 1 (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 Y tedy: s 2 X Ȳ = n + m 2 n + m nm(n + m 2) (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 Y

33 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test pokud σx 2 = σy 2 = σ 2 s 2 X Ȳ = s2 X + s 2 Ȳ = s2 X n + s2 Y m = 1 = s 2 n + 1 m + n = s 2 m n.m dále odhadneme s 2 ze všech naměřených hodnot: s 2 1 n = (X i n + m 2 X) m 2 + (Y i Ȳ )2 = i=1 i=1 1 (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 Y tedy: s 2 X Ȳ = n + m 2 n + m nm(n + m 2) (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 Y

34 - Dvouvýběrový t-test pokud σx 2 = σy 2, testová statistika bude mít tvar: X T = Ȳ nm(n + m 2) (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 n + m Y ta má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n+m-2) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude T t α (n + m 2) kde t α (n + m 2) je (oboustranná) α -kritická hodnota t-rozdělení o (n+m-2) stupních volnosti.

35 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test pokud σx 2 = σy 2, testová statistika bude mít tvar: X T = Ȳ nm(n + m 2) (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 n + m Y ta má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n+m-2) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude T t α (n + m 2) kde t α (n + m 2) je (oboustranná) α -kritická hodnota t-rozdělení o (n+m-2) stupních volnosti.

36 pokud σ 2 X = σ 2 Y - Dvouvýběrový t-test, testová statistika bude mít tvar: X T = Ȳ 1 n s2 X + 1 m s2 Y a má rozdělení, které je směsí t-rozdělení o (n-1) a (m-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude splněna nerovnost T At α (n 1) + Bt α (m 1), kde A a B jsou váhy, A+B=1. A = 1 n s2 X 1 n s2 X + 1 m s2 Y, B = 1 m s2 Y 1 n s2 X + 1 m s2 Y

37 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test pokud σ 2 X = σ 2 Y, testová statistika bude mít tvar: X T = Ȳ 1 n s2 X + 1 m s2 Y a má rozdělení, které je směsí t-rozdělení o (n-1) a (m-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude splněna nerovnost T At α (n 1) + Bt α (m 1), kde A a B jsou váhy, A+B=1. A = 1 n s2 X 1 n s2 X + 1 m s2 Y, B = 1 m s2 Y 1 n s2 X + 1 m s2 Y

38 X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

39 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

40 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření pozorování stejné veličiny před a po nějakém zásahu X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

41 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření pozorování stejné veličiny před a po nějakém zásahu měření stejných obektů za různých podmínek X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

42 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření pozorování stejné veličiny před a po nějakém zásahu měření stejných obektů za různých podmínek měření stejné veličiny ve dvou různých časech X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

43 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření pozorování stejné veličiny před a po nějakém zásahu měření stejných obektů za různých podmínek měření stejné veličiny ve dvou různých časech... X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

44 H 0 : µ Z = a H A : µ Z = a T = Z a n s Z T má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude T t α (n 1) kde t α (n 1) je (oboustranná) α-kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti.

45 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření H 0 : µ Z = a H A : µ Z = a T = Z a s Z n T má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude T t α (n 1) kde t α (n 1) je (oboustranná) α-kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti.

46 dolní nebo horní jednostranná alternativa : H 0 : µ X = µ Y H A : µ X <µ Y H 0 : µ X = µ Y H A : µ X >µ Y H0 nezamítneme, když pro dané α bude buď T< t α (n 1) nebo T>t α (n 1) kde t α (n 1) je (jednostranná) α -kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti. oboustranná α-kritická hodnota je (1 α/2) -kvantil t 1 α/2 (n 1) jednostranná α -kritická hodnota je (1 α) -kvantil t 1 α (n 1)

47 Jednostranné testy dolní nebo horní jednostranná alternativa : H 0 : µ X = µ Y H A : µ X <µ Y H 0 : µ X = µ Y H A : µ X >µ Y H0 nezamítneme, když pro dané α bude buď T< t α (n 1) nebo T>t α (n 1) kde t α (n 1) je (jednostranná) α -kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti. oboustranná α-kritická hodnota je (1 α/2) -kvantil t 1 α/2 (n 1) jednostranná α -kritická hodnota je (1 α) -kvantil t 1 α (n 1)

48 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. Lze považovat délky tyčí od různých dodavatelů za shodné na hladině významnosti 5%? > x [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] [103] [109] [115] Dodavatel X:

49 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. Lze považovat délky tyčí od různých dodavatelů za shodné na hladině významnosti 5%? > y [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] Dodavatel Y:

50 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. 1) Vizualizace dat: Box&Whiskers diagram X Y

51 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. 2) Srovnání rozptylů: F-test > var.test(x,y) F test to compare two variances data: x and y F = , num df = 119, denom df = 99, p- value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: sample estimates: ratio of variances => nulovou hypotézu nezamítáme, rozptyly se statisticky významně neliší

52 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. 3) Srovnání středních hodnot: dvouvýběrový t-test se shodnými rozptyly > t.test(x,y, var.equal=t) Two Sample t- test data: x and y t = , df = 218, p- value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y => nulovou hypotézu nezamítáme, střední hodnoty se statisticky významně neliší

53 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 1) Data: > pred_cvicenim [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] [103] [109] [115]

54 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 1) Data: > po_cviceni [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] [103] [109] [115]

55 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 2) Grafické zobrazení

56 Dvě náhodné veličiny Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 3) Rozdíl: > rozdil = pred_cvicenim - po_cviceni > rozdil [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] [103] [109] [115]

57 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 3) Rozdíl:

58 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 4) Párový t-test: > t.test(rozdil, mu=0) One Sample t- test data: rozdil t = , df = 119, p- value = 9.54e- 05 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x => nulovou hypotézu zamítáme, cvičení mělo vliv a rychlost reakce se statisticky významně zvýšila

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Petr Pošík Části dokumentu jsou převzaty (i doslovně) z Mirko Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76 1 / 76 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat Jiří Šafr vytvořeno 29. 6. 2009 Dva základní typy statistiky 1. Popisná statistika: metody pro zjišťování a sumarizaci informací grfy, tabulky, popisné chrakteristiky

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat.

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. 6..0 Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. Power Analysis and Interval Estimation Analýza síly testu Odhad velikosti vzorku Pokročilé techniky pro odhad intervalu spolehlivosti Rozdělení

Více

Vícerozměrné statistické metody

Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické metody Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat a modelování, vztah jednorozměrných a vícerozměrných statistických metod Jiří Jarkovský, Simona Littnerová Průběh výuky 13 přednášek

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

A7B39TUR Úloha B Kvantitativní testování ZS 2013/2014 Software MS Office Word a Open Office Writer

A7B39TUR Úloha B Kvantitativní testování ZS 2013/2014 Software MS Office Word a Open Office Writer A7B39TUR Úloha B Kvantitativní testování ZS 2013/2014 Software MS Office Word a Open Office Writer Vypracoval: Peter Šourek ( sourepet@fel.cvut.cz ) Obsah 1Úvod...3 1.1Cíl testování...3 1.2Proměnné...3

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy.

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Z pastí na daném území byla odhadnuta abundance několika druhů: myšice lesní 250, myšice křovinná 200, hraboš polní 150,

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz

Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz RNDr. Marie Budíková, Dr., Mgr. Maria Králová, Ph.D., Doc. RNDr. Bohumil Maroš, CSc. Průvodce základními statistickými metodami Vydala Grada Publishing,

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Projekt z předmětu Statistika

Projekt z předmětu Statistika Projekt z předmětu Téma: Typologie hráče české nejvyšší hokejové soutěže VŠB-TU Ostrava:Fakulta Elektrotechniky a informatiky jaro 2011 Martin Dočkal doc068 dockal.martin@gmail.com 1 Obsah 2 Zadání...

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

Statistika v příkladech

Statistika v příkladech Verlag Dashöfer Statistika v příkladech Praktické aplikace řešené v MS Ecel Ukázkové tety z připravované učebnice Doc. Ing. Jan Kožíšek, CSc. Ing. Barbora Stieberová, Ph.D. Praha 0 Obsah Obsah. Předmluva

Více

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D.

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. STATISTIKA LS 2013 Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Cvičící: Ing. Ondřej Grunt RNDr. Pavel Jahoda, Ph.D. Ing. Kateřina Janurová Mgr. Tereza

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické Československá psychologie 0009-062X Metodologické požadavky na výzkumné studie METODOLOGICKÉ POŽADAVKY NA VÝZKUMNÉ STUDIE Výzkumné studie mají přinášet nová konkrétní zjištění získaná specifickými výzkumnými

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Pokud data zadáme přes "Commands" okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18.

Pokud data zadáme přes Commands okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18. Regresní analýza; transformace dat Pro řešení vztahů mezi proměnnými kontinuálního typu používáme korelační a regresní analýzy. Korelace se používá pokud nelze určit "kauzalitu". Regresní analýza je určena

Více

Obsah. 3 Testy 31 3.1 z test... 32 3.2 z test 2... 33 3.3 t test... 34 3.4 t test 2s... 35

Obsah. 3 Testy 31 3.1 z test... 32 3.2 z test 2... 33 3.3 t test... 34 3.4 t test 2s... 35 Obsah 1 Popisná statistika 4 1.1 bas stat........................................ 5 1.2 mean.......................................... 6 1.3 meansq........................................ 7 1.4 sumsq.........................................

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Statistika II distanční studijní opora Marie Budíková Brno 2006 Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES

Více

5 ANALÝZA ROZPTYLU. Počet sloupců, K = 7 Počet dat, N = 70 Celkový průměr = 3.9846

5 ANALÝZA ROZPTYLU. Počet sloupců, K = 7 Počet dat, N = 70 Celkový průměr = 3.9846 1 5 ANALÝZA ROZPTYLU Vzorová úloha 5.1 Zkrácený postup jednofaktorové analýzy rozptylu Na úloze B5.02 Porovnání nové metody v sedmi laboratořích ukážeme postup 16 jednofaktorové analýzy rozptylu. Kirchhoefer

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Přednáška 10. Analýza závislosti

Přednáška 10. Analýza závislosti Přednáška 10 Analýza závislosti Analýza závislosti dvou kategoriálních proměnných Analýza závislosti v kontingečních tabulkách Analýza závislosti v asociačních tabulkách Simpsonův paradox Analýza závislosti

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

STATISTIKA MIGRANTŮ PRO REGIONY V MORAVSKOSLEZSKÉM KRAJI A PRO KRAJ V OBDOBÍ 1992-2005

STATISTIKA MIGRANTŮ PRO REGIONY V MORAVSKOSLEZSKÉM KRAJI A PRO KRAJ V OBDOBÍ 1992-2005 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Hornicko-geologická fakulta institut geoinformatiky STATISTIKA MIGRANTŮ PRO REGIONY V MORAVSKOSLEZSKÉM KRAJI A PRO KRAJ V OBDOBÍ 1992-2005 Speciální metody

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data kvantitativní povahy. K tomuto budeme opt používat program Excel 2007 MS Office. 1. Jak mžeme analyzovat kvantitativní

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky STATISTIKA V SPSS Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček 2014 Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček STATISTIKA V SPSS 1. vydání

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová Navrhování experimentů a jejich analýza Eva Jarošová Obsah Základní techniky Vyhodnocení výsledků Experimenty s jedním zkoumaným faktorem Faktoriální experimenty úplné 2 N dílčí 2 N-p Experimenty pro studium

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

Analýza kvantitativních dat: 1. Popisné statistiky a testování hypotéz

Analýza kvantitativních dat: 1. Popisné statistiky a testování hypotéz UK FHS Historická sociologie (LS 2010) Analýza kvantitativních dat: 1. Popisné statistiky a testování hypotéz Jiří Šafr jiri.safr(zavináč)seznam.cz vytvořeno 29. 6. 2009, poslední aktualizace 25. 5. 2010

Více

Úvod. Struktura respondentů

Úvod. Struktura respondentů Výsledky pilotního průzkumu postojů studentů Policejní akademie ČR v Praze k problematice zálohování dat Ing. Bc. Marek Čandík, Ph.D. JUDr. Štěpán Kalamár, Ph.D. The results of the pilot survey of students

Více

Třídění statistických dat

Třídění statistických dat 2.1 Třídění statistických dat Všechny muže ve městě rozdělíme na 2 skupiny: A) muži, kteří chodí k holiči B) muži, kteří se holí sami Do které skupiny zařadíme holiče? prof. Raymond M. Smullyan, Dr. Math.

Více

VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Biostatistika. Cvičení pracovní listy

VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Biostatistika. Cvičení pracovní listy VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Biostatistika Cvičení pracovní listy Martina Litschmannová 5/10/2013 Jméno:. KOMBINATORIKA PŘÍKLADY 1. V prodejně vozů

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

SPECIMEN. Základy zpracování dat. Michal Otyepka, Pavel Banáš, Eva Otyepková verze 16.2.2007. tento text byl vysázen systémem L A TEX2 ε

SPECIMEN. Základy zpracování dat. Michal Otyepka, Pavel Banáš, Eva Otyepková verze 16.2.2007. tento text byl vysázen systémem L A TEX2 ε Základy zpracování dat Michal Otyepka, Pavel Banáš, Eva Otyepková verze 16.2.2007 tento text byl vysázen systémem L A TEX2 ε ii Skripta vznikla pro potřeby kurzu Základy zpracování dat určeného studentům

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky STATISTICA ÚVOD DO ZPRACOVÁNÍ DAT. Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky STATISTICA ÚVOD DO ZPRACOVÁNÍ DAT. Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky STATISTICA ÚVOD DO ZPRACOVÁNÍ DAT Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček 2013 Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček STATISTICA

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika MS710P05 Zdeněk Hlávka (Šárka Hudecová, Michal Kulich) Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hlavka@karlin.mff.cuni.cz

Více

IBM SPSS Complex Samples

IBM SPSS Complex Samples IBM Software IBM SPSS Complex Samples Analyzujte výsledky komplexních výběrových šetření korektním způsobem Korektní zpracování výzkumů založených na komplexních výběrových plánech není snadné. Statistické

Více

KVANTITATIVNÍ METODY V PEDAGOGICKÉM VÝZKUMU

KVANTITATIVNÍ METODY V PEDAGOGICKÉM VÝZKUMU KVANTITATIVNÍ METODY V PEDAGOGICKÉM VÝZKUMU RADEK KRPEC CZ.1.07/2.2.00/29.0006 OSTRAVA, ČERVEN 2013 Studijní opora je jedním z výstupu projektu ESF OP VK. Číslo Prioritní osy: 7.2 Oblast podpory: 7.2.2

Více

Z metodologie známe dělení proměnných do několika skupin. Nejčastěji se užívá dělení dle S. Stevense. Nicméně nám postačí dělení jednodušší:

Z metodologie známe dělení proměnných do několika skupin. Nejčastěji se užívá dělení dle S. Stevense. Nicméně nám postačí dělení jednodušší: Slovo úvodem Ne všechno, co si řekneme v tomto kurzu, je pravda. Není to proto, že by mým záměrem bylo před posluchači něco tajit nebo je uvádět ve zmatek. Problematika testování statistických hypotéz

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Statistická analýza dojivosti v programu SAS

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Statistická analýza dojivosti v programu SAS UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Statistická analýza dojivosti v programu SAS Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jaroslav

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

STATISTIKA V EXCELU. Obecně o funkcích

STATISTIKA V EXCELU. Obecně o funkcích STATISTIKA V EXCELU Po přehledu statistického software je nutné zmínit, že pro většinu statistických výpočtů, které provádíme v sociologii statistický software ani nepotřebujeme. Většinu toho, co jsme

Více

Statistika (4ST201) Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu

Statistika (4ST201) Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu Statistika (4ST201) 1 Popsisná statistika (1. a 2. cvičení) 1.1 Úvodní příklad Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu určete: 1. Vytvořte histogram

Více

STATISTIKA V EXCELU. Obecně o funkcích

STATISTIKA V EXCELU. Obecně o funkcích STATISTIKA V EXCELU Po přehledu statistického software je nutné zmínit, že pro většinu statistických výpočtů, které provádíme v sociologii statistický software ani nepotřebujeme. Většinu toho, co jsme

Více

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok IES FSV UK Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I Cyklistův rok Radovan Fišer rfiser@gmail.com XII.26 Úvod Jako statistický soubor jsem si vybral počet ujetých kilometrů za posledních 1 dnů v mé vlastní

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady. Martina Litschmannová

Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady. Martina Litschmannová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Západočeská univerzita v Plzni Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady Martina Litschmannová 1. strana ze 159 1 Explorační analýza

Více

Biomedicínská statistika

Biomedicínská statistika Biomedicínská statistika IV. ZÁKLADY STATISTIKY V PROSTØEDÍ R Karel Zvára Biomedicínská statistika IV. Jana Zvárová (editor) Základy statistiky v prostředí R Karel Zvára Recenzovali: prof. RNDr. Jiří Anděl,

Více

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F vypracoval: Jaroslav Nušl dne: 17.6.24 email: nusl@cvut.org Semestrální práce z předmětu Matematika 6F Zádání: Cílem semestrální práce z matematiky 6F bylo zkoumání hudebního signálu. Pluginem ve Winampu

Více

Matematická Statistika. Ivan Nagy, Jitka Kratochvílová

Matematická Statistika. Ivan Nagy, Jitka Kratochvílová Texty k přednáškám Matematická Statistika Ivan Nagy, Jitka Kratochvílová Obsah 1 Náhodný výběr 4 1.1 Pojem náhodného výběru (Sripta str. 68).................... 4 1.2 Charakteristiky výběru (Sripta str.

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Při statistickém zkoumání se snažíme udělat nějaký závěr ohledně vlastností celého statistického souboru

Při statistickém zkoumání se snažíme udělat nějaký závěr ohledně vlastností celého statistického souboru 0.1 Základy statistického zpracování dat 1 0.1 Základy statistického zpracování dat Statistika se zabývá shromažďováním, tříděním a popisem velkých souborů dat. Někdy se pod pojmem statistika myslí přímo

Více