12 ÚVOD DO TEORIE HROMADNÉ OBSLUHY

Transkript

1 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy ÚVOD DO TEORIE HROMADNÉ OBSLUHY Po prostudování této kapitoly budete: schopni popsat obecnou strukturu systému hromadné obsluhy, umět nalézt praktické příklady využití teorie hromadné obsluhy v reálném životě, seznámeni s jednotlivými modely teorie hromadné obsluhy, umět vypočítat základní charakteristiky systémů hromadné obsluhy, schopni optimalizovat náklady v systému hromadné obsluhy, znát rozdíl mezi analytickým a simulačním přístupem při řešení. Studijní cíle Požadované vstupní znalosti Vzhledem k tomu, že modely hromadné obsluhy mají charakter pravděpodobnostních modelů, vyžaduje studium této kapitoly dobrou znalost teorie pravděpodobnosti. Předpokládá se schopnost práce se základními rozděleními náhodné veličiny. Před vlastním studiem této kapitoly se doporučuje, zopakovat si základní charakteristiky především Poissonova a exponenciálního rozdělení, s nimiž se v teorii hromadné obsluhy setkáte nejčastěji. Časové požadavky ke studiu K prostudování této kapitoly by vám mělo postačit zhruba 3 hodiny vašeho času v závislosti na vašich předchozích znalostech teorie pravděpodobnosti. Čekací jevy patří k velmi rozšířeným jevům moderního života. Setkáváme se s nimi všude tam, kde se vyskytují nerovnoměrné požadavky na výkony různých obslužných zařízení nebo organizací. Pomocí teorie hromadné obsluhy lze řešit širokou škálu problémů. Například v supermarketu můžete pomocí této teorie optimalizovat počet pokladen, u čerpací stanice počet stojanů, v bance počet přepážek apod. Různorodost situací, které lze úspěšně řešit teorií hromadné obsluhy, vedla ke vzniku velkého množství modelů. V této kapitole se seznámíte pouze se základními jedno- a vícekanálovými modely. Tyto modely lze použít při řešení jednodušších úloh, neboť u složitých systémů hromadné obsluhy lze jen stěží nalézt obecně platné vzorce. V takovém případě je nutno řešit daný problém pomocí simulace, s jejímiž principy se seznámíte v závěru kapitoly. Průvodce textem

2 220 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování 12.1 Základní charakteristika hromadné obsluhy Teorie hromadné obsluhy Teorii hromadné obsluhy lze charakterizovat jako disciplínu, která analyzuje a řeší procesy, ve kterých se vyskytují proudy jednotek (požadavků) procházejících určitými zařízeními, od nichž vyžadují obsluhu. Vlivem omezené kapacity obsluhy může docházet k hromadění (čekání) jednotek před obslužnými zařízeními, jinými slovy dochází ke vzniku front. Právě typičnost front pro čekací jevy dala této teorii také alternativní název teorie front, který se často používá v zahraniční literatuře ( Queuing Theory ). Cílem teorie hromadné obsluhy (v dalším textu se přidržíme tohoto českého ekvivalentu) je zajistit, aby se na jedné straně nevytvářely před obslužnými zařízeními příliš dlouhé fronty a na straně druhé, aby obslužná zařízení byla dostatečné vytížená. Systém hromadné obsluhy (SHO) lze v obecném případě schematicky znázornit obr Systémem hromadné obsluhy se rozumí všechno, co je mezi příchodem požadavku (např. zákazníka) do systému a jeho odchodem ze systému, tj. jedna či více front čekajících požadavků a obslužná zařízení. Obslužná zařízení se také označují termínem obslužné kanály. Pro systém hromadné obsluhy se používá také alternativní označení čekací systém. Obr. 12.1: Obecná struktura systému hromadné obsluhy kanály obsluhy Zdroj jednotek vstupujících do systému příchod do systému fronta výstup ze systému systém hromadné obsluhy Teoreticky mohou jednotky vstupovat do systému v pravidelných nebo nepravidelných časových intervalech. Stejně tak délka obsluhy jednotlivých jednotek může být konstantní anebo případ od případu různá. Teorie hromadné obsluhy se zabývá především studiem těch případů, kdy jednotky vstupují do systému nepravidelně a kdy délky obsluhy jednotlivých jednotek nejsou stejné. Ve většině případů, s nimiž se setkáváme, způsobuje čekání jednotek na obsluhu náklady, resp. ztráty. Dílčí otázky, které vznikají při řešení konkrétních problémů čekacích jevů, lze formulovat takto: Jaký je střední počet jednotek čekajících ve frontě? Jaký je střední počet jednotek nacházejících se v systému? Jaká je střední doba, kterou jednotka stráví v systému? Jaká je střední doba, kterou jednotka ztrácí čekáním ve frontě?

3 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 221 Jaký je střední počet obsazených kanálů obsluhy? Jaký je střední počet nevyužitých kanálů obsluhy? Je-li podnik schopen nákladově ohodnotit čekání požadavků, prostoje a provoz obslužných kanálů, lze systém optimalizovat s ohledem na jeho nákladovou efektivnost. V tomto případě se hledají odpovědi na otázky: Jaké jsou minimální náklady související s fungováním celého systému za jednotku času? Jaký je optimální počet obslužných kanálů vedoucí k dosažení minimálních nákladů? Otázka k zamyšlení č. 12.1: Pokuste se ve svém okolí nalézt příklady systémů hromadné obsluhy. V každém jednotlivém případu vymezte, kdo resp. co je obslužný kanál a kdo resp. co je požadavek na obsluhu. V následujícím textu se seznámíte s některými základními pojmy teorie hromadné obsluhy, na jejichž výkladu pochopíte složitost čekacích jevů a různorodost používaných modelů. Zároveň Vám znalost základních pojmů umožní lépe pochopit rozdělení modelů hromadné obsluhy do několika standardních typů. Průvodce textem Čekací jevy se mohou především lišit povahou vstupů jednotek do systému a povahou výstupů jednotek ze systému. Vstupním proudem nazýváme proces, při němž vznikají požadavky na obsluhující jednotku. Vstupy mohou být: determinované, náhodné, smíšené. Při determinovaných vstupech přicházejí požadavky k místu obsluhy v přesně stanovených a předem známých intervalech (např. výrobky na automatické lince). Při náhodném vstupu není příchod požadavků pravidelný - okamžiky příchodu jsou náhodné veličiny (např. zákazníci v supermarketu). Intervaly mezi příchody jsou v tomto případě popisovány pomocí některého pravděpodobnostního rozdělení. V teorii front se ukazuje, že velmi často se vstupy jednotek řídí Poissonovým rozdělením, které úzce souvisí s rozdělením exponenciálním. Poissonovo rozdělení modeluje počet událostí v čase a exponenciální rozdělení se používá pro modelování doby do výskytu příslušné události. Např. počet zákazníků vstupujících do supermarketu za určitý časový interval se modeluje Poissonovým rozdělením, ale dobu od jednoho vstupu ke druhému lze modelovat exponenciálním rozdělením. Smíšený vstup znamená, že některé požadavky přicházejí k místu obsluhy ve fixním intervalu, a některé jednotky v intervalu proměnlivém (např. u lékaře přicházejí objednaní pacienti v předem známém čase, ostatní pacienti přicházejí náhodně). Vstupní proud

4 222 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Režim fronty Způsob, který určuje formu přechodu čekajících požadavků z fronty do obsluhy, se nazývá režim (řád) fronty. Základními typy jsou: FIFO (first-in/first-out) - kdo přijde první, je nejdříve obsloužen (např. zákazníci u pokladen), LIFO (last-in/first-out) - nejdříve je obsloužen ten, kdo přijde poslední (typicky ukládání polotovarů na sebe, např. tabule skla), PRI (priority, příp. HVF high value first) - podle důležitosti, po uvolnění kanálu obsluhy je vybírán požadavek s nejvyšší prioritou (např. oprava důležitého zařízení), SIRO (selection in random order) požadavky jsou obsluhovány v náhodném pořadí (např. cestující při nástupu do autobusu). Trvání obsluhy Doba trvání obsluhy může být buď: konstantní, náhodná. V prvním případě je doba obsluhy stále stejná, ve druhém případě kolísá. Kolísající doba trvání obsluhy je popisována některým rozdělením pravděpodobnosti. Nejčastěji se opět používá rozdělení exponenciální. Disciplína fronty Disciplína fronty může být: absolutně netrpělivá (požadavek do systému, jehož všechny kanály obsluhy jsou obsazeny, nevstoupí a rezignuje na obsluhu např. řidič se před obsazeným parkovištěm rozhodne nečekat na uvolnění místa a odjíždí), bez netrpělivosti (požadavky čekají bez ohledu na čas tak dlouho, dokud není obsluha realizována řidič čeká, až se na parkovišti uvolní místo), částečně netrpělivá (požadavek čeká ve frontě po určitou dobu a pak opouští systém, nezačala-li ještě jeho obsluha řidič čeká na uvolnění parkoviště např. 5 minut a po uplynutí této doby odjede). Zdroj jednotek Zdrojem jednotek se rozumí pramen potenciálního souboru jednotek, které mohou vstoupit do systému. Jestliže je pevně omezen, hovoříme o uzavřeném systému, v opačném případě o otevřeném systému. V uzavřeném systému se jednotky po obsloužení vracejí zpět na vstup do zdroje. U otevřeného systému se jednotky po obsloužení nevracejí zpět do zdroje. Čekací prostor Čekací prostor je místo mezi zdrojem jednotek a obslužnými kanály. V tomto prostoru se vytváří fronta. Prostor může být: nulový, nenulový (lze ještě upřesnit: nenulový a neomezený, nenulový a omezený).

5 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 223 V prvním případě fronta vůbec nemůže vzniknout. Požadavek, který nemůže být ihned obsloužen, je odmítnut. Je-li čekací prostor nenulový a neomezený, pak provozní situace dovoluje frontu jakékoliv délky. V případě, že je čekací prostor nenulový a omezený (v praxi nejčastější případ), pak vstoupí-li požadavek v době, kdy má systém maximální přípustnou délku, je odmítnut (např. zásoba polotovarů čekající na další zpracování je omezena kapacitou meziskladu). Podle počtu kanálů ve stanici obsluhy rozlišujeme systémy jednokanálové a vícekanálové. Dále mohou být kanály uspořádány: Paralelně - pak stačí, aby požadavek byl obsloužen jedním, libovolným kanálem obsluhy, např. pokladny v supermarketu. Fronta může být společná pro všechny kanály obsluhy (obr. 12.2) a požadavek přichází vždy ke kanálu, který se právě uvolní (např. situace v bance) nebo se před každým kanálem obsluhy může tvořit samostatná fronta (např. pokladny v supermarketu, viz obr. 12.3). Počet kanálů Obr. 12.2: Paralelně uspořádaný tříkanálový systém hromadné obsluhy s jednou frontou Paralelní SHO kanály obsluhy příchod do systému fronta... výstup ze systému Obr. 12.3: Paralelně uspořádaný dvoukanálový systém hromadné obsluhy s dvěma frontami kanály obsluhy příchod do systému výstup ze systému fronty

6 224 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Sériový SHO Sériově - pak požadavek musí projít postupně všemi kanály obsluhy, např. výrobní linka, viz obr. 4. U sériového uspořádání se může fronta vytvářet před prvním kanálem obsluhy nebo fronty mohou být i před každým kanálem obsluhy (není na obr. 4 zobrazeno). Obr. 12.4: Sériově uspořádaný systém hromadné obsluhy s dvěma kanály obsluhy příchod do systému fronta... kanály obsluhy výstup ze systému V praxi se může vyskytnout i kombinace obou typů, pak se hovoří o smíšeném uspořádání (např. v rámci výrobní linky skupina stejných strojů na jednom pracovišti) Klasifikace systémů hromadné obsluhy Kendallova notace Vzhledem k rozmanitosti systémů hromadné obsluhy byla vypracována D. G. Kendallem úsporná notace (systém zápisu), která kompaktně zachycuje a klasifikuje standardní typy modelů hromadné obsluhy. Obsahuje zpravidla posloupnost pěti znaků (v literatuře se lze setkat i s užší, pouze tříznakovou, nebo i se širší šestiznakovou notací). kde: A / B / X / Y / Z A - označuje typ pravděpodobnostního rozdělení popisující intervaly mezi příchody požadavků do systému. Pro exponenciální rozdělení (Poissonův proces vstupů) je používán symbol M, pro konstantní intervaly mezi příchody symbol D, pro Erlangovo rozdělení symbol E k, pro normální rozdělení symbol N, pro nespecifikované rozdělení s nějakou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou symbol G. B - označuje typ pravděpodobnostního rozdělení popisující dobu trvání obsluhy. Používají se stejné symboly jako při popisu intervalů mezi příchody. X - je číslo udávající počet paralelně uspořádaných kanálů obsluhy. Y - je číslo udávající kapacitu systému hromadné obsluhy (počet prvků, které mohou být v systému přítomny) - pokud není tato kapacita omezená, použije se symbol. Z - je režim fronty (FIFO, LIFO, SIRO, PRI). V užší tříznakové notaci se používají pouze symboly A/B/X a předpokládá se, že režim fronty je FIFO a kapacita systému i zdroj požadavků je neomezený. Širší šestiznaková notace přidává před symbol Z další atribut, který udává početnost zdroje požadavků. Není-li tento symbol uveden, předpokládá se, že zdroj požadavků není omezen.

7 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 225 Pokud se v literatuře setkáte např. se zápisem M/M/3/8/FIFO, znamená to systém hromadné obsluhy, ve kterém mají intervaly mezi příchody, stejně jako doby obsluhy na 3 paralelních kanálech exponenciální rozdělení, celková kapacita systému je 8 požadavků (3 v obsluze a 5 ve frontě) a režim fronty je FIFO. Předpokládá se, že zdroj požadavků je neomezený. Příklad Z předchozího výkladu je zřejmé, že existuje obrovské množství variant systémů hromadné obsluhy. Pro řešení každého systému je nutno vytvořit specifické funkční vztahy. V dalším textu se seznámíte s tím, jak řešit základní jednokanálové a vícekanálové systémy hromadné obsluhy. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že kapacita systému není omezená a režim fronty je FIFO. Vztahy pro řešení složitějších systémů hromadné obsluhy lze nalézt v odborné literatuře. Průvodce textem 12.3 Jednokanálový systém hromadné obsluhy bez priorit Představuje nejjednodušší model systému hromadné obsluhy typu M/M/1/ /FIFO. Předpokládá se, že vstupy i výstupy mají pravděpodobnostní charakter s Poissonovým rozdělením. Na tomto místě si připomeňme, že Poissonovo rozdělení je vhodné k popisu počtu vstupů (resp. výstupů) tehdy, lze-li o těchto vstupech (výstupech) předpokládat, že: jejich střední intenzita je konstantní během určitého, dostatečně dlouhého časového období, počet vstupů (výstupů) v následujícím časovém intervalu nezávisí na počtu vstupů (výstupů) realizovaných v předchozím intervalu, pravděpodobnost dvou a více vstupů (výstupů) v témže časovém intervalu délky t je prakticky nulová, je-li tento interval t dostatečně malý, pravděpodobnost, že jednotka vstoupí do systému (vystoupí ze systému) během malého časového intervalu délky t je přímo úměrná délce tohoto intervalu. Průvodce textem Označme si symboly: λ... střední intenzita vstupu, která udává střední počet jednotek, které vstoupí do systému během dané časové jednotky. Střední intenzita vstupu µ... střední intenzita výstupu, která vyjadřuje střední počet obsloužených jednotek během dané časové jednotky. Střední intenzita výstupu

8 226 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Střední intenzita provozu Charakteristiky SHO Je zřejmé, že musí platit µ > λ, čili η = µ λ < 1, nemá-li fronta narůstat nade všechny meze. Uvedená nerovnost představuje základní podmínku stabilizace systému a při jejím splnění se takový systém označuje jako systém bez explozívní fronty. Parametr η je nazýván jako střední intenzita provozu (někdy jako koeficient čekacího systému). Dále budeme předpokládat, že interval t splňuje požadavek Poissonova rozdělení, tj. že během jeho trvání může do systému vstoupit nebo ze systému vystoupit nejvýše jedna jednotka. Pravděpodobnost, že během intervalu t vstoupí do systému jedna jednotka je λ t a pravděpodobnost, že ze systému vystoupí jedna jednotka (za předpokladu, že v systému je alespoň jedna jednotka) je µ t. Analogicky pravděpodobnost, že do systému nevstoupí žádná jednotka je pak 1 λ t, resp. že nevystoupí žádná jednotka 1 µ t. Zavedeme ještě tato označení: n... počet jednotek v systému, n s... střední počet jednotek v systému, n f... střední počet jednotek ve frontě, t s... střední doba, kterou jednotka stráví v systému, t f... střední doba, kterou jednotka čeká ve frontě. Konstrukce modelu spočívá v nalezení vztahů mezi uvedenými veličinami n s, n f, t s, t f, charakterizujícími čekací systém a parametry systému λ a µ. Prakticky jde o nalezení pravděpodobností p 0, p 1, p 2,, že v systému je v daném okamžiku právě 0, 1, 2, jednotek. Označme počet jednotek v systému v daném okamžiku jako stav systému v tomto okamžiku. Je-li např. v daném okamžiku v systému n jednotek, budeme stav systému značit symbolicky E n. Zvolme dostatečně malý časový interval t, t + t a předpokládejme, že n > 0. Pak mohou nastat během tohoto intervalu jen změny systému uvedené v tab Tab. 12.1: Varianty změny stavu systému hromadné obsluhy Stav systému Změna během intervalu t v okamžiku t Počet vstupů Počet výstupů Stav systému v okamžiku t + t E n E n E n E n E n 0 0 E n E n 1 1 E n

9 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 227 Označíme-li pravděpodobnost, že systém je v daném okamžiku ve stavu E n symbolem: p n = P{E n }, pak skutečnost, že systém ze stavu E n-1 za t přešel do stavu E n, lze pravděpodobnostně charakterizovat součinem elementárních pravděpodobností (12.1): p n-1. λ t. (1 µ t) (12.1) Podobně (12.2) až (12.4): z E n+1 do E n za t: p n+1. µ t. (1 λ t) (12.2) z E n do E n za t: p n. (1 λ t). (1 µ t) nebo (12.3) p n. λ t. µ t (12.4) Pravděpodobnost p n, že se systém nachází v některém okamžiku ve stavu E n, lze vyjádřit jako součet pravděpodobností možných stavových změn (12.5): p n = p n-1. λ t. (1 µ t) + p n+1. µ t. (1 λ t) + p n. (1 λ t). (1 µ t) + p n. λ t. µ t (12.5) Po úpravách bychom dostali rovnici (12.6), která udává vztah mezi pravděpodobnostmi p n-1, p n a p n+1 stavů systému v závislosti na délce intervalu t. µ. p n+1 = p n. (λ + µ) λ. p n-1 λµ t. [2p n p n-1 p n+1 ] (12.6) Nás však zajímá rozdělení pravděpodobnosti stavů systému v libovolném okamžiku. Z toho důvodu přejdeme u rovnice (12.6) k limitě t 0 a po vydělení konstantou µ obdržíme tvar (12.7). Tato rovnice vyjadřuje vztah, který musí platit mezi pravděpodobnostmi p n-1, p n, p n+1 při libovolném n > 0. p n+1 = p n. (η + 1) η. p n-1, n = 1, 2, (12.7) Obdobně bychom mohli dokázat, že platí (12.8) až (12.10): p 1 = η. p 0 (12.8) p 2 = p 1. (η + 1) η. p 0 = η. p 0. (η + 1) η. p 0 = p 0. (η 2 + η η) = η 2. p 0 (12.9) p 3 = η 3. p 0 (12.10)... Tím jsme dostali vyjádření pravděpodobností p 1, p 2, atd. jako funkci intenzity provozu η a pravděpodobnosti p 0. Obecně lze vyjádřit, že pro p n platí (12.11): p n = η n. p 0, n = 0, 1, 2, (12.11) Zbývá určit hodnotu p 0. Tu můžeme dostat ze vztahu (12.12): p 0 + p 1 + p 2 + = 1 (12.12) Dosazením soustavy rovnic (12.8), (12.9), (12.10) obdržíme vztah (12.13): p 0 + η. p 0 + η 2. p = 1 p 0. (1 + η + η ) = 1 (12.13)

10 228 Pravděp. rozdělení počtu jednotek Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Již v úvodu jsme uvedli, že musí platit η < 1 a proto výraz v závorce rovnice (12.13) lze považovat za součet nekonečné konvergentní geometrické řady. Tento součet je roven 1/(1 η), takže výraz (12.13) lze upravit do podoby (12.14): p 0 = 1 η (12.14) Dosazením do rovnice (12.11) dostaneme vztah pro pravděpodobnostní rozdělení (12.15) počtu jednotek v systému hromadné obsluhy s jedním kanálem obsluhy a s poissonovskými vstupy a výstupy. p n = η n (1 η), n = 0, 1, 2,... (12.15) Jakmile známe pravděpodobnostní rozdělení počtu jednotek v systému hromadné obsluhy, můžeme vypočítat charakteristiky daného systému Střední počet jednotek v systému Střední počet jednotek v systému lze vypočítat ze vztahu (12.16), v němž za p n položíme výraz (12.15) a dostaneme vztah (12.17): n s = n=0 np n (12.16) n s = n=0 nη n (1 η) = (1 η) (η + 2η 2 + 3η ) (12.17) Lze dokázat, že řada η + 2η 2 + 3η je pro η < 1 konvergentní, a lze proto najít její součet S, který je dán vzorcem (12.18): S = η ( 1 η) 2 (12.18) Z toho plyne, že n s = (1 η) η ( 1 η) 2 = η ( 1 η) Střední počet jednotek v systému Dosadíme-li v tomto výrazu za η = λ/µ, dostaneme po úpravě vzorec (12.19): λ n s = µ λ (12.19) Střední počet jednotek ve frontě Při výpočtu je nutno si uvědomit, že fronta může v systému vzniknout jen tehdy, je-li v systému nejméně jedna jednotka. Proto musí platit vztah (12.20): n f = n=1 (n 1) p n (12.20)

11 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 229 Úpravami získáme: n f = n=1 a protože: np n =1 n p n =1 n np n = =0 n np n a =1 n p n = 1 p 0, neboť platí =0 n p n = 1 dostaneme: n f = n s (1 p 0 ) a dosadíme-li za p 0 = 1 η, obdržíme (12.21): n f = n s (1 1 + η) = η ( 1 η) 2 η (1 η) (12.21) Dosazením η = λ/µ lze výraz (12.21) vyjádřit ve tvaru (12.22): 2 λ n f = µ ( µ λ) (12.22) Střední délka fronty Střední doba, kterou jednotka stráví v systému Vyjdeme z následující úvahy: jednotky vstupují do systému s intenzitou λ, a proto za celou dobu pobytu jednotky v systému vstoupí nově do systému λ t s jednotek. Tento počet musí být ovšem zároveň roven n s, neboť v okamžiku výstupu jednotky ze systému je střední počet jednotek v systému právě n s. Proto platí vztah (12.23): λ t s = n s (12.23) Odtud plyne: n s 1 t s = = λ µ λ (12.24) Střední doba v systému Střední doba, kterou jednotka čeká ve frontě Obdobně musí platit (12.25): λ t f = n f (12.25) Odtud platí: t f = n f λ = λ µ ( µ λ) (12.26) Střední doba čekání ve frontě

12 230 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Příklad Příklad: K novinovému stánku přijde v průměru za hodinu 30 zákazníků. Počet vstupů se řídí Poissonovým rozdělením. Obsluha jednoho zákazníka trvá v průměru 1,5 minuty s předpokladem, že tato doba je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Zákazníci jsou obsluhováni v pořadí, v jakém ke stánku přišli. Určeme střední intenzitu provozu, střední počet zákazníků čekajících ve frontě, střední počet zákazníků v systému, střední dobu, kterou stráví zákazník čekáním ve frontě, a střední dobu, která uplyne od příchodu zákazníka ke stánku do zaplacení nákupu a odchodu. Rozbor úlohy Předpokládáme, že ve stánku pracuje jeden prodavač. Jedná se tedy o jednokanálový systém hromadné obsluhy. Režim fronty je FIFO, neboť zákazník, který přijde ke stánku jako první, je také jako první obsloužen. Pokud přijde naráz více zákazníků, musí ostatní čekat ve frontě. Předpokládáme, že kapacita systému je neomezená. Zákazníci tedy mohou vytvářet frontu libovolné délky. Zdrojem zákazníků je okolí novinového stánku (obyvatelstvo v okruhu stánku). Jejich počet je sice striktně vzato omezený, ale vzhledem k tomu, že lze předpokládat stovky i tisíce požadavků na obsluhu, považujeme takový systém za otevřený. Nejprve musíme určit střední intenzitu vstupu. Ze zadání příkladu vyplývá, že λ je 30 zákazníků za hodinu. Jelikož obsluha jednoho zákazníka trvá v průměru 1,5 min., tak za hodinu může prodavač obsloužit maximálně 60/1,5 = 40 zákazníků. Tato veličina se nazývá střední intenzita výstupu µ. V dalším kroku si musíme ověřit, zda je systém stabilní. Vypočítáme střední intenzitu provozu η: λ 30 η = = = 0,75 µ 40 Výsledná hodnota nám jednak říká, že systém je stabilní (fronta neporoste do nekonečna) a jednak udává vytížení prodavače. S pravděpodobností 75% bude muset zákazník na obsluhu čekat, a naopak s pravděpodobností 25% bude prodavač čekat na zákazníka. Řešení Určíme základní charakteristiky systému: n f = 2 λ µ ( µ λ) = (40 30) = 2,25 zákazníka λ n s = = µ λ = 3 zákazníci λ t f = µ ( µ λ) = (40 30) = 0,075 hod (= 4,5 min.) t s = 1 = µ λ 1 = 0,1 hod (= 6 min.) 40 30

13 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 231 Závěr V bezprostředním okolí stánku se v průměru nachází 3 zákazníci, z toho v průměru 2,25 zákazníka čeká ve frontě na obsluhu. V průměru stráví zákazník nákupem 6 min., z toho 4,5 min. čeká ve frontě a 1,5 min. je obsluhován. Obr ukazuje pravděpodobnosti počtu zákazníků v systému, které byly získány dosazením do vzorce (15). Obr.12.5: Pravděpodobnostní rozdělení počtu zákazníků v systému Pravděpodobnost 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, pravděpodobnost počtu zákazníků kumulovaná pravděpodobnost Počet zákazníků Například pravděpodobnost, že v systému bude více než 10 zákazníků je zhruba 1-0,96 = 0,04, tj. 4 %. Pravděpodobnost, že v systému jsou nejvýše tři zákazníci je 68 %, apod Vícekanálový systém hromadné obsluhy V této části si problematiku čekacích jevů poněkud rozšíříme: Stanice obsluhy sestává z několika kanálů obsluhy, pracujících paralelně a navzájem nezávisle. Vstupy i výstupy systému mají poissonovský charakter. Dle Kendallovy klasifikace se jedná o systém typu M/M/S/ /FIFO, kde symbol S značí počet kanálů obsluhy. Jednotky vstupující do systému obsadí nejprve všechny kanály obsluhy a pak začnou vytvářet frontu. Pro určitost budeme předpokládat, že stanice obsluhy obsahuje S kanálů obsluhy se stejným středním výkonem µ obsloužených jednotek za jednotku času. Úhrnná intenzita obsluhy µ n celé stanice obsluhy pak závisí na počtu n jednotek v systému a lze ji vyjádřit výrazem (12.27). 0, je - li n = 0 µ n = nµ, je - li 0 < n S (12.27) Sµ, je - li n > S Úhrnná intenzita obsluhy

14 232 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Příklad Výše uvedený výraz (12.27) si ilustrujme na následujícím jednoduchém příkladu. Předpokládejme, že na poště jsou 4 přepážky. V případě, že na poště není žádný zákazník, je logicky úhrnná intenzita obsluhy nulová a všechny přepážky jsou nevyužité. Jsou-li na poště 2 zákazníci, pak úhrnná intenzita obsluhy je 2µ, ale fronta se opět netvoří, neboť 2 přepážky jsou stále nevyužité. Teprve v situaci, kdy přijde 5 zákazníků, budou všechny 4 přepážky obsazené, úhrnná intenzita obsluhy bude 4µ a jeden zákazník bude muset čekat ve frontě na obsloužení. Analogicky s jednokanálovým systémem hromadné obsluhy musí i v tomto modelu platit podmínka stabilizace systému. To znamená, aby úhrnná intenzita obsluhy Sµ byla vyšší než střední intenzita vstupů λ, nebo-li aby střední intenzita provozu celého systému ρ (12.28) byla menší než 1. V opačném případě by fronta rostla neomezeně. ρ = λ < 1 (12.28) Sµ Obdobně jako v případě jednokanálového systému hromadné obsluhy nalezneme soustavu vztahů (29), (30) a (31) pro výpočet pravděpodobností počtu jednotek v systému. Vztahy pro jejich složitost nebudeme odvozovat. n η P n = P0 pro n = 1, 2,..., S (12.29) n! P n = P n = kde η = µ λ. η S! S n n S P 0 pro n > S (12.30) 1 (12.31) S + 1 n η S η η = n 0 n! S! 1 S Na základě znalosti pravděpodobnostního rozdělení počtu jednotek v systému, popsaného rovnicemi (12.29) až (12.31), vypočteme základní charakteristiky systému. Střední počet jednotek ve frontě Střední počet jednotek ve frontě určíme podle vztahu (12.32). S + 1 η n f = P 2 0 η S S! 1 S (12.32) Střední počet jednotek v systému Střední počet jednotek v systému stanovíme dle vztahu (33), kam za dosadíme výraz ze vzorce (12.32). n S = n f + η (12.33) n f

15 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 233 Střední doby se rovnají vztahům (12.34) a (12.35). t f = n f λ S η = P 2 0 η S S! µ 1 S (12.34) Střední doby ve frontě a v systému t S = n S λ 1 = t f + µ (12.35) Příklad: Benzínová čerpací stanice má 4 stojany. Automobily se řadí na vjezdu do společné fronty a k jednotlivým stojanům přijíždějí okamžitě po uvolnění libovolného z nich. Počet míst ve frontě není omezen. V průměru přijede k čerpací stanici 30 automobilů za hodinu. Intervaly mezi příjezdy automobilů mají exponenciální rozdělení. Průměrná doba tankování je 6 min. a řídí se rovněž exponenciálním rozdělením. Stanovte: a) pravděpodobnost, že u čerpací stanice nebude žádný automobil, b) pravděpodobnosti p 1, p 2,..., p 10, c) pravděpodobnost, že automobil bude čekat, d) střední počet automobilů u čerpací stanice, e) střední počet automobilů čekajících ve frontě na tankování, f) střední dobu, kterou automobil čeká ve frontě na tankování, g) střední dobu, kterou automobil stráví u čerpací stanice. Příklad Rozbor úlohy Jedná se o čtyřkanálový systém hromadné obsluhy (S = 4) s jednou frontou. Režim fronty je FIFO. Nejprve musíme určit, zda je systém stabilní. Střední intenzita vstupu je 30 automobilů za hodinu a střední intenzita výstupu 4 stojanů je 40 automobilů za hodinu (průměrná doba tankování je 6 min., to znamená, že jeden stojan za hodinu obslouží 10 automobilů). Střední intenzita provozu celého systému ρ je 30/40 = 0,75. Systém je tedy stabilní. Stojany jsou využity 75% času a 25% provozní doby čekají na zákazníka. V prvním kroku stanovíme pravděpodobnost p 0, že u čerpací stanice nebude žádný automobil. Tuto veličinu budeme potřebovat při výpočtu ostatních charakteristik systému. Neopomeňte, že do vztahu (12.31) se dosazuje jednoduchá střední intenzita provozu η, tedy 30/10 = 3. Řešení: a) p 0 = 1 = ! 2! 3! 4! ,5 = 0,0377 b) Dále určíme pravděpodobnosti p 1, p 2,..., p 10, že v systému je právě 1, 2,..., 10 automobilů. Tyto pravděpodobnosti jsou zachyceny v obr. 12.6:

16 234 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Obr.12.6: Pravděpodobnostní rozdělení počtu automobilů v systému Pravděpodobnost 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, pravděpodobnost počtu automobilů kumulovaná pravděpodobnost Počet automobilů c) Pravděpodobnost, že automobil bude čekat, znamená zjistit pravděpodobnost: p(n 4) = 1 p(n 3) = 1 0,4906 = 0,5094. e) Střední počet automobilů čekajících ve frontě na tankování: 5 3 n f = 0, 0377 = 1,53 automobilu ! 1 4 d) Střední počet automobilů u čerpací stanice je podle vztahu (12.33) roven 1,53 + 3,00 = 4,53 automobilu. f) Střední doba, kterou automobil čeká ve frontě na tankování je: t f = 1,53 30 = 0,051 hod. (3,06 min.). g) Střední dobu, kterou automobil stráví u pumpy určíme dle vztahu (12.35), tzn. 0, ,100 = 0,151 hod., tj. zhruba 9 minut. Průvodce textem V předchozím textu jste se seznámili se základními modely jednokanálového a vícekanálového systému hromadné obsluhy. Nebrali jsme v úvahu další požadavky, např. na omezenou kapacitu systému, netrpělivost požadavků, priority při obsluze ani jsme nerozebírali uzavřené systémy hromadné obsluhy. Výklad těchto dalších modelů můžete nalézt v odborné literatuře. Nicméně znalosti uvedených základních modelů Vám umožní řešit i složitější případy, jako je například vícefázový systém hromadné obsluhy Vícefázový systém hromadné obsluhy Vícefázový systém hromadné obsluhy se skládá z většího počtu individuálních systémů hromadné obsluhy (fází) seřazených v sérii za sebou. Každá fáze může přitom obsahovat více paralelně umístěných kanálů

17 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 235 obsluhy. V zásadě existují dva základní přístupy k řešení takového systému - analytický a simulace. Při analytickém řešení pomocí teorie hromadné obsluhy popisujeme chování systému funkčními vztahy, které lze vyjádřit pomocí matematických vzorců. Řešení konkrétního problému získáme tak, že do tohoto vzorce dosadíme hodnoty parametrů systému. Bohužel analytické řešení lze použít pouze u jednoduchých modelů, neboť u složitých systémů hromadné obsluhy lze jen stěží nalézt obecně platné funkční vztahy. V takovém případě je nutné řešit daný problém pomocí simulace, s jejímiž základy se seznámíte v závěru této kapitoly. Při analytickém řešení musí být splněny následující předpoklady: neomezený zdroj požadavků, Poissonův vstup požadavků do první fáze, neomezená délka front v jednotlivých fázích, systém je stabilní, tj. střední intenzita vstupů musí být větší než střední intenzita obsluhy, režim fronty FIFO, exponenciální rozdělení časů obsluhy v jednotlivých fázích, kanály obsluhy se stejnou intenzitou obsluhy v rámci jedné fáze, systém bez blokování - požadavky plynule přechází z jedné fáze do druhé. Při dodržení výše uvedených podmínek je výstup z každé fáze rovněž poissonův se stejnou intenzitou vstupu do další fáze, což umožňuje každou fázi chápat jako samostatný a nezávislý systém hromadné obsluhy, buď typu M/M/1/ /FIFO (v případě jednoho kanálu obsluhy) nebo typu M/M/S/ /FIFO (v případě více kanálů obsluhy v dané fázi). Schématicky zobrazuje uvedený vícefázový systém obr Předpoklady analytického řešení Obr. 12.7: Vícefázový systém hromadné obsluhy µ 1 µ 2 µ n Zdroj jednotek λ λ λ... λ λ fáze 1 fáze 2 fáze n Otázka k zamyšlení č. 12.2: Jakým způsobem získáme výsledné charakteristiky celého vícefázového systému hromadné obsluhy? Otázka k zamyšlení

18 236 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování 12.6 Optimalizace nákladů v systémech hromadné obsluhy Již při sledování jednoduchého systému hromadné obsluhy se na základě prosté logické úvahy ukazuje, že: při malé intenzitě obsluhy se vytváří velká fronta, což vede ke ztrátám času jednotek ve frontě, příp. se značný počet jednotek do fronty vůbec nezařadí a tím systém přichází o tržby, resp. o zisk, při velké intenzitě obsluhy se může stát, že obsluha není vždy využita. Přitom ovšem musí být k dispozici, a tak zde vznikají náklady, jimž bezprostředně neodpovídají žádné tržby. Nyní si ukážeme, jaký je vztah mezi náklady na obsluhu a tržbami z provozu obslužného zařízení. Průvodce textem V dosavadním výkladu jsme se vůbec nezabývali tím, jaká má být optimální kapacita obsluhy nebo optimální počet obslužných kanálů. Tyto veličiny byly v příkladech jednoduše zadány. V praxi ovšem potřebuje zjistit, jaký je např. optimální počet stojanů v benzínové pumpě nebo optimální počet pokladen v supermarketu. Této problematice se věnují následující podkapitoly. Předpokladem této optimalizace je schopnost vyčíslit výši nákladů na obsluhu a tržby získané za obsluhu Optimalizace zisku Zisk za jednotku času Vraťme se k jednokanálovému systému hromadné obsluhy a označme si symboly: E... náklady na obsluhu jednoho požadavku za jednotku času; pak jsou: µ. E... průměrné náklady na obsluhu, G... tržba za obsluhu jedné jednotky; pak bychom v případě, že by se všechny jednotky zařadily do fronty, realizovali: λ. G... průměrnou tržbu, pokud nedochází k odchodům jednotek následkem naplnění omezeného počtu míst ve frontě. Předpokládejme nyní, že v systému může být nejvýše N jednotek. Je-li pravděpodobnost p N, že v systému je N jednotek a tudíž ve frontě N 1 jednotka, potom pravděpodobnost, že do systému nevstoupí více než N jednotek (jinými slovy pravděpodobnost, že do systému vstoupí nejvýše N jednotek), bude 1 p N. Z uvedeného předpokladu dostaneme průměrnou tržbu: λ. G. (1 p N ). Zisk za jednotku času (12.36) jsou průměrné tržby zmenšené o průměrné náklady. Z = λ. G. (1 p N ) µ. E (12.36)

19 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 237 Za p N musíme dosadit výraz (12.37), neboť na rozdíl od vztahu (12.15) uvažujeme omezený počet jednotek v systému. 1 η p N = η N N η (12.37) Po úpravě lze vztah (12.36) vyjádřit též jako (12.38): N 1 η Z = λ. G N η µ. E (12.38) Jsou-li veličiny λ, G, E známy, můžeme hledat takové µ, aby zisk byl maximální (buď pro zvolené N, nebo při určitých N, mezi nimiž můžeme volit). Za tím účelem položíme první derivaci rovnice (12.38) podle intenzity výstupu µ (nebo podle η při pevném λ) rovnu nule a po úpravě obdržíme vztah (12.39): Z = η N+1 µ N ( N + 1) η + η (1 η N ) N + 1 G E = 0 (12.39) Z uvedené rovnice (12.39) lze stanovit η vedoucí při daných E, G a zvoleném N k maximálnímu zisku. Musíme si ovšem uvědomit, že výše uvedené vzorce platí pouze pro omezený počet míst ve frontě. Povšimněme si rovněž, že pro E > G neexistuje řešení zařízení by se vůbec nemohlo uvést do provozu. Kdyby za podobných podmínek byl provoz nezbytný, museli bychom hledat jiná kritéria optimality. Otázka k zamyšlení č. 12.3: Nalezněte v reálném životě příklady zařízení, u nichž uvedená optimalizace zisku selhává a navrhněte u nich jiná kritéria optimality. Otázka k zamyšlení Optimalizace nákladů Zisk nemusí být vždy hlavním kritériem optimalizace. Je možné optimalizovat jen náklady, které vznikají při procházení jednotky celým systémem. Náklady na obsluhu jedné jednotky jsme si označili jako E, průměrné náklady na obsluhu µ. E. Dále si zaveďme náklady za jednotkovou dobu pobytu jednotky v systému C. Pak průměrné náklady za pobyt v jednokanálovém systému hromadné obsluhy jsou C. t S. Za uvedených předpokladů jsou celkové náklady za jednotku uskutečněné obsluhy rovny vztahu (12.40): N C (µ) = µ. E + C µ λ (12.40) Celkové náklady za jednotku obsluhy

20 238 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Položíme-li derivaci funkce (12.40) podle µ rovnu nule, dostaneme vzorec (12.41) pro stanovení optimální kapacity obsluhy systému µ opt., pro níž jsou celkové náklady systému minimální. Optimální kapacita obsluhy Celkové náklady µ opt = λ + C E (12.41) Výše uvedené vzorce jsou však platné pouze pro jednokanálový systém hromadné obsluhy. V případě vícekanálového systému hromadné obsluhy zahrnují celkové očekávané náklady jak náklady na pobyt jednotky v systému, tak i náklady na provoz obslužných kanálů. Označíme-li si symbolem C o náklady na provoz jednoho kanálu obsluhy za jednotku času nezávislé na míře využití tohoto kanálu, lze celkové náklady vyjádřit funkcí (12.42): N C (S) = C. n S + C o. S (12.42) Ze vztahu (12.42) vyplývá, že hodnota N c (S) závisí při konstantních C a C o na počtu kanálů obsluhy S. Při optimalizaci celého systému je cílem stanovit takový počet kanálů obsluhy, aby celkové náklady byly minimální. Protože se jedná o kriteriální funkci nespojité celočíselné proměnné S, nelze použít při hledání minima (12.42) derivaci jako v předcházejícím případě a musíme se spokojit s iterativním postupem. Při neměnném λ a µ, přičemž λ / (S. µ) < 1, lze nalézt optimální počet kanálů obsluhy S opt., pohybující se zpravidla v relativně nevelkém rozmezí, postupným dosazováním celých čísel za S do výrazu (12.43): S + 1 η N C (S) = C p 2 η S S! 1 S 0 + η + C o. S (12.43) Je zřejmé, že pokud dojde ke zvýšení počtu kanálů obsluhy S, zvýší se i náklady (C o. S), ale na druhé straně se zároveň sníží střední počet jednotek v systému, a tím i náklady C. n S. Při snížení počtu kanálů obsluhy S je změna nákladových relací samozřejmě opačná. Alternativně lze uvažovat pouze náklady při čekání ve frontě a náklady vznikající v důsledku nevyužití kanálu obsluhy. Kriteriální funkce bude mít potom tvar (12.44), resp. po úpravě (12.45). Další postup řešení je již shodný s výše uvedeným modelem. Pro který model se v praxi rozhodneme, závisí především na podílu fixních a variabilních nákladů provozu obslužných kanálů. N C (S) = C. n f + C o. S. (1 ρ) (12.44) S + 1 η N C (S) = C p 2 0 η S S! 1 S + C o. (S η) (12.45)

21 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 239 Otázka k zamyšlení č. 12.4: Zamyslete se nad tím, za jakých předpokladů je vhodnější použití kriteriální funkce (12.44) ve srovnání s kriteriální funkcí ve tvaru (12.42). Otázka k zamyšlení Příklad: Navažme na předchozí příklad benzínové čerpací stanice a předpokládejme, že náklady na provoz jednoho stojanu činí 750 Kč/hod. a řidiči automobilů oceňují svůj čas při pobytu u pumpy na 100 Kč/hod. Úkolem je stanovit optimální počet tankovacích stojanů. Použijeme kriteriální funkci (12.42), resp. (12.43). Řešení Je zřejmé, že aby systém byl stabilní, musí mít pumpa alespoň 4 stojany, neboť musí platit podmínka pro stabilitu systému: 30 S.10 < 1, z čehož vyplývá, že S > 3. Příklad To znamená, že pro varianty S = 1, 2, 3 vůbec nemá smysl velikost celkových nákladů stanovovat. Při výpočtu postupujeme tak, že nejprve stanovíme pravděpodobnosti p 0 podle vztahu (12.31), tj. pro: S = 4 p 0 = 0,0377 S = 5 p 0 = 0,0466 S = 6 p 0 = 0,0490 Ve druhém kroku určíme jednotlivé složky nákladů dle vzorce (12.43). Výsledek řešení je uveden v tab. 12.2: Tab. 12.2: Optimalizace počtu tankovacích stojanů Počet Očekávané náklady (Kč/hod.) stojanů na pobyt zákazníků na provoz stojanů celkem Z tab vyplývá, že za dané úrovně nákladů je stávající počet čtyř tankovacích stojanů optimální Řešení systému hromadné obsluhy pomocí simulace V předchozích kapitolách jsme se zabývali analytickými způsoby řešení nejrůznějších manažerských problémů. U analytických postupů je výsledek řešení modelu přesný, neboť chování systému je popsáno funkčními vztahy. Řešení modelu se získá dosazením konkrétních hodnot do těchto vztahů. V řadě případů je však nutno některé vlastnosti reálného systému vypustit a zjednodušit, aby model byl vůbec analyticky řešitelný.

22 240 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Simulace Simulaci lze charakterizovat jako proces tvorby modelu reálného systému a provádění experimentů s tímto modelem za účelem dosažení lepšího pochopení chování studovaného systému či za účelem posouzení různých variant činnosti systému. Slovo simulace pochází z latinského simulare, což lze přeložit do češtiny jako napodobení. Hlavním důvodem pro používání simulace je skutečnost, že touto cestou lze řešit i takové úlohy, které jsou analyticky zatím neřešitelné, či analytické řešení by bylo neúnosně složité. Jedná se především o komplexní problémy s mnoha proměnnými (většinou náhodnými) a interagujícími prvky, kde převládají nelineární vztahy. V současné době jsou simulace prováděny často pomocí speciálního softwaru, což umožňuje rychlé provádění a vyhodnocování experimentů. Simulace poskytuje poměrně levně a rychle představu o chování reálného systému při měnících se podmínkách a v rozhodovacím procesu poskytuje podklady pro výběr nejvhodnější varianty. Simulační experimenty se dají opakovat a výsledky statisticky zpracovávat a interpretovat. Simulace je proto považována za spíše deskriptivní nástroj, protože hledá iteračním postupem vyhovující řešení, které nemusí být automaticky řešením optimálním. Průvodce textem V této kapitole se nebudeme podrobně zabývat výkladem simulačních modelů. Pro pochopení principu simulace se vrátíme k prvnímu příkladu, který jsme řešili analyticky. Při řešení pomocí simulace je třeba vytvořit takovou posloupnost hodnot náhodné veličiny, která odpovídá danému rozdělení pravděpodobnosti. V našem příkladu byly náhodnými veličinami příchody zákazníků k novinovému stánku a doba trvání obsluhy. V praxi mohou být tyto veličiny popsány buď empirickým rozdělením pravděpodobnosti, stanoveným na základě pozorování náhodné veličiny v minulosti nebo některým teoretickým rozdělením pravděpodobnosti spojitým či diskrétním. K tvorbě posloupnosti hodnot náhodné veličiny se používají náhodná čísla. Pod tímto pojmem se rozumí číslo vybrané náhodně ze souboru čísel s rovnoměrným rozdělením. Každé číslo souboru má stejnou pravděpodobnost, že bude vybráno. Zdrojem náhodných čísel může být např. ruleta, tabulky náhodných čísel nebo generátor pseudonáhodných čísel v počítači. O pseudonáhodných číslech se hovoří proto, že striktně vzato je jejich posloupnost předpověditelná a opakovatelná (neboť jsou generovány podle určitého algoritmu). Generátory pseudonáhodných čísel jsou běžnou součástí tabulkových kalkulátorů. Například v prostředí MS Excel lze použít ke generování pseudonáhodných čísel funkce NÁHČÍSLO a RANDBETWEEN nebo komplexní nástroj Generátor pseudonáhodných čísel. Funkce NÁHČÍSLO Funkci NÁHČÍSLO nalezneme v podskupině matematické funkce a po zadání syntaxe =NÁHČÍSLO() počítač vygeneruje pseudonáhodné číslo z intervalu 0, 1). Pokud budeme chtít vygenerovat pseudonáhodné číslo z intervalu 0, b) zadáme = NÁHČÍSLO() * b, v případě intervalu a, b) zadáme =NÁHČÍSLO() * (b a) + a.

23 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 241 Funkce RANDBETWEEN slouží ke generování celých pseudonáhodných čísel z intervalu a, b. Odpovídající syntaxe je = RANDBETWEEN(a ; b). Funkci RANDBETWEEN lze nalézt v podskupině matematická analýza (v nabídce Nástroje - Doplňky musí být ovšem zaškrtnuto políčko Analytické nástroje). Funkce RAND- BETWEEN Další možností je použití nástroje Generátor pseudonáhodných čísel. Pro aktivaci tohoto nástroje je nutno v nabídce Nástroje - Analýza dat označit položku generátor pseudonáhodných čísel. Tento nástroj umožňuje vytvářet posloupnost hodnot náhodné veličiny pro požadované rozdělení pravděpodobnosti (rovnoměrné, normální, Bernoulliho, binomické, Poissonovo ad.). Při použití generátoru se otevře okno, viz obr Generátor pseudonáhodných čísel Obr. 12.8: Generátor pseudonáhodných čísel v MS Excel XP Do pole Počet proměnných se zadává počet sloupců výstupní tabulky. Počet náhodných čísel udává počet řádků výstupní tabulky. V nabídce Typ rozložení se vybere typ rozdělení pravděpodobnosti simulované veličiny. Položka Parametry se vztahuje ke zvolenému typu rozdělení náhodné veličiny. Základ generátoru je hodnota, od níž se budou generovat pseudonáhodná čísla. Do pole Možnosti výstupu se uvádí požadovaná oblast, kam budou pseudonáhodná čísla vygenerována. Nyní si ukážeme postup v případě, kdy je náhodná veličina popsána empirickým rozdělením. To znamená, že hodnoty v prvním a třetím sloupci v tab byly získány pozorováním chování zákazníků. Za účelem vytvoření posloupnosti hodnot náhodné veličiny se zpravidla postupuje tak, že se stanoví kumulativní rozdělení pravděpodobnosti (tj. distribuční funkce) a určí se rozmezí náhodných čísel. Zadání empirickým rozdělěním

24 242 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Jelikož pravděpodobnost výskytu i kumulativní pravděpodobnost jsou udány s přesností na dvě desetinná místa, jsou použita dvouciferná náhodná čísla. Při stanovení rozmezí náhodných čísel je nutno postupovat tak, aby byla zachována stejná proporce výskytu jako v reálném systému, proto např. počtu zákazníků 50 odpovídá 7 náhodných čísel (lze použít i rozmezí náhodných čísel 01-07, potom se ovšem musí upravit odpovídajícím způsobem hranice dalších intervalů), počtu zákazníků 150 odpovídá 12 náhodných čísel (07-18), apod. Tab. 12.3: Stanovení kumulativního rozdělení pravděpodobnosti a rozmezí náhodných čísel Počet zákazníků za hodinu Střed intervalu Pravděp. výskytu Kumulat. pravděp. Rozmezí náh. čísel ,07 0, ,12 0, ,29 0, ,21 0, ,17 0, ,14 1, Při simulaci počtu zákazníků vstupujících do prodejny se postupuje dle stanoveného rozmezí náhodných čísel. Náhodná čísla vygenerujeme pomocí příkazu =RANDBETWEEN(0;99). První náhodné číslo je 47. Tomuto číslu odpovídá v tab počet zákazníků 250. Obdobným způsobem získáme počty zákazníků v dalších cyklech, které jsou uvedeny v tab Tab. 12.4: Transformace náhodných čísel na počty vstupujících zákazníků NČ Zákazníků V příkladu, který jsme řešili analyticky, byla ovšem náhodná veličina doba trvání obsluhy popsána exponenciálním rozdělením. V tomto případě je nutné transformovat náhodná čísla na hodnoty náhodné veličiny X, která má exponenciální rozdělení. Tuto transformaci provedeme dle vztahu (12.46): X = µ 1 ln (1 r) (12.46) kde µ je parametr exponenciálního rozdělení a r je náhodné číslo definované na intervalu 0, 1). Příklad Příklad: Vraťme se příkladu s novinovým stánkem (na konci podkapitoly 12.3) a pokusme se ho vyřešit pomocí simulace. Víme, že ke stánku přijde v průměru 30 zákazníků za hodinu, a že počet vstupů se řídí Poissonovým rozdělením. Obsluha jednoho zákazníka trvá v průměru 1,5 min. a řídí se exponenciálním rozdělením.

25 12 Úvod do teorie hromadné obsluhy 243 Řešení Postup řešení je zřejmý z tab. 12.5, kde jsou přehledně uspořádány hodnoty, které byly v průběhu řešení získány. Celý příklad je řešen v prostředí MS Excel XP pro celkem 30 simulačních cyklů. Pro každou veličinu použijeme samostatný sloupec pseudonáhodných čísel viz sloupce (2) a (4). Řešení lze rozdělit do následujících kroků: 1) Vygenerujeme pseudonáhodná čísla pro intervaly mezi příchody zákazníků - sloupec (2). V programu MS Excel použijeme příkaz: =NÁHČÍSLO() Generování pseudonáh. čísel Ze zadání známe, že za hodinu přijde v průměru 30 zákazníků, což je tzv. parametr proudu. Z této veličiny můžeme odvodit intervaly mezi příchody zákazníků (IMP) dosazením do vztahu (12.46), neboť tato veličina se řídí exponenciálním rozdělením (viz komentář v úvodu kapitoly o vztahu mezi Poissonovým a exponenciálním rozdělením). Výsledek je vyjádřen v hodinách, pro převod na minuty jej vynásobíme 60. Pro prvního zákazníka: = (60/30)*LN(1 0,23617) = 0,54 min. 2) Analogickým způsobem určíme dobu trvání obsluhy (DO). Opět vygeneruje pseudonáhodná čísla - sloupec (4) a dobu trvání obsluhy (v minutách) vypočítáme jako: Doba trvání obsluhy = (60/40)*LN(1 0,01499) = 0,02 min. 3) Stanovíme okamžiky příchodu zákazníků (PZ) kumulativním načítáním intervalů mezi příchody. První zákazník přijde ke stánku v minutě 0,54, další zákazník přijde po 2,18 min., tedy v minutě 2,72 apod. Obecně: Časy příchodu zákazníků = PZ n-1 + IMP n, kde n je pořadové číslo zákazníka (cyklu) 4) Zákazník je obsloužen okamžitě bez čekání pouze v případě, kdy před ním není žádný zákazník. Z toho důvodu musíme porovnat okamžik ukončení obsluhy předchozího zákazníka s okamžikem příchodu nového zákazníka. Pro zautomatizování propočtu nám pomůže příkaz: Časy začátku obsluhy =KDYŽ(PZ n >KO n-1 ;PZ n ;KO n-1 ) Například zákazník s poř. č. 3 přišel ke stánku v okamžiku 3,86, přičemž obsluha předchozího zákazníka č. 2 skončila teprve v okamžiku 4,17. To znamená, že zákazník č. 3 musel čekat na obsluhu 0,31 min. a jeho obsluha (ZO) mohla začít až v okamžiku 4,17. 5) Okamžik ukončení obsluhy (KO) určíme jako součet: KO n = ZO n + DO n Časy ukončení obsluhy např. pro zákazníka č. 3: KO 3 = 4,17 + 0,92 = 5,09 min.

26 244 Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování Tab. 12.5: Simulace příchodu a obsluhy 30 zákazníků Poř. č. NČ IMP NČ DO PZ ZO KO ČZ NP (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 1 0, ,54 0, ,02 0,54 0,54 0,56 0,00 0,54 2 0, ,18 0, ,46 2,72 2,72 4,17 0,00 2,15 3 0, ,15 0, ,92 3,86 4,17 5,09 0,31 0,00 4 0, ,60 0, ,16 5,47 5,47 5,63 0,00 0,38 5 0, ,48 0, ,20 12,95 12,95 14,15 0,00 7,32 6 0, ,21 0, ,10 13,16 14,15 14,24 0,98 0,00 7 0, ,99 0, ,60 15,16 15,16 18,76 0,00 0,92 8 0, ,12 0, ,03 15,28 18,76 18,78 3,48 0,00 9 0, ,89 0, ,85 18,17 18,78 19,63 0,61 0, , ,27 0, ,07 18,44 19,63 19,71 1,20 0, , ,57 0, ,49 20,01 20,01 20,50 0,00 0, , ,78 0, ,54 20,79 20,79 24,33 0,00 0, , ,29 0, ,68 23,09 24,33 26,00 1,24 0, , ,40 0, ,71 23,49 26,00 29,71 2,52 0, , ,36 0, ,41 25,84 29,71 30,12 3,87 0, , ,48 0, ,55 29,32 30,12 31,67 0,80 0, , ,21 0, ,36 29,53 31,67 33,03 2,14 0, , ,33 0, ,10 30,86 33,03 33,13 2,17 0, , ,06 0, ,73 32,92 33,13 37,86 0,20 0, , ,64 0, ,34 33,56 37,86 38,20 4,30 0, , ,35 0, ,88 36,91 38,20 39,08 1,28 0, , ,79 0, ,51 37,70 39,08 39,59 1,38 0, , ,79 0, ,98 39,49 39,59 40,57 0,09 0, , ,00 0, ,49 41,49 41,49 43,98 0,00 0, , ,52 0, ,65 42,01 43,98 45,64 1,97 0, , ,04 0, ,27 42,05 45,64 46,91 3,59 0, , ,66 0, ,69 43,71 46,91 47,61 3,20 0, , ,27 0, ,38 44,98 47,61 48,98 2,62 0, , ,42 0, ,48 46,41 48,98 49,47 2,58 0, , ,62 0, ,33 50,03 50,03 50,37 0,00 0,57 Průměr X 1,67 X 1,23 X X X 1,35 0,45 Vysvětlivky: NČ - náhodné číslo, IMP - intervaly mezi příchody (min.), DO - doba trvání obsluhy (min.), PZ - příchod zákazníka (min.), ZO - začátek obsluhy (min.), KO - konec obsluhy (min.), ČZ - čekání zákazníka na obsluhu (min.), NP - nevyužití prodavače (min.). Čekání zákazníka 6) Vypočítáme dobu čekání zákazníka (ČZ) na obsluhu. Zákazník musí čekat ve frontě tehdy, je-li před ním ve frontě alespoň jeden další zákazník. Je proto nutné porovnat okamžik začátku obsluhy a okamžik příchodu zákazníka. Použijeme příkaz: =KDYŽ(ZO n >PZ n ; (ZO n PZ n ); 0) např. pro zákazníka č. 3: ZO 3 = 4,17; PZ 3 = 3,86; zákazník musí čekat 0,31 min.