Teorie front. Systém hromadné obsluhy

Transkript

1 Teorie front Pokouší se analyzovat a řešit procesy, ve kterých se vyskytují proudy objektů procházejících určitými zařízeními, od nichž vyžadují obsluhu. Vlivem omezené kapacity obsluhy může docházet k hromadění (čekání) jednotek s následným uspokojením požadavku nebo odmítnutím obsluhy. Pro teorii front se používá také název Teorie hromadné obsluhy. Systém hromadné obsluhy stanice obsluhy Zdroj jednotek vstupujících do systému příchod do systému fronta výstup ze systému čekací systém 1

2 Otázky vznikající při řešení problémů čekacích jevů Jaký je střední počet jednotek čekajících ve frontě? Jaký je střední počet jednotek nacházejících se v čekacím systému? Jaká je střední doba, kterou jednotka stráví v systému? Jaká je střední doba, kterou jednotka ztrácí čekáním ve frontě? Jaký je střední počet nevyužitých kanálů obsluhy? Vstupní proud Proces, při němž vznikají požadavky na obsluhující jednotku. Vstupy mohou být: determinované prvky přicházejí k místu obsluhy v přesně stanovených a předem známých intervalech, náhodné okamžiky příchodu jsou náhodné veličiny, smíšené. 2

3 Typy vstupů jednoduchý všechny prvky vstupního proudu zachovávají stejnou disciplínu. složený některé vstupující prvky jsou obsluhovány podle jiného čekacího režimu. Řád fronty Určuje způsob přechodu prvků z fronty do obsluhy. FIFO kdo přijde první, je nejdříve obsloužen (samoobsluha, banka, benzínová stanice), LIFO nejdříve je obsloužen ten, kdo přijde poslední (ukládání polotovarů na sebe), PRI podle priorit (po uvolnění kanálu obsluhy je vybírán požadavek s nejvyšší prioritou, např. oprava důležitého zařízení), SIRO v náhodném pořadí. 3

4 Doba obsluhy konstantní, náhodná. Disciplina fronty absolutně netrpělivá prvek do systému, jehož všechna zařízení obsluhy jsou obsazena nevstoupí a rezignuje na obsluhu, bez netrpělivosti prvky čekají bez ohledu na čas tak dlouho, dokud není obsluha realizována, částečně netrpělivá prvek čeká ve frontě po určitou dobu a pak opouští systém, nezačala-li ještě jeho obsluha. 4

5 Zdroj jednotek Pramen potenciálního souboru jednotek, které mohou vstoupit do systému. uzavřený systém prvky po obsloužení se vracejí zpět na vstup do zdroje, otevřený systém prvky se po obsloužení nevracejí zpět do zdroje. Čekací prostor Místo mezi zdrojem jednotek a obsluhující stanicí. Může být: nulový prvek, který nemůže být ihned obsloužen, je odmítnut, nenulový lze ještě upřesnit: neomezený provozní situace dovoluje čekací systém jakékoliv délky, omezený vstoupí-li prvek v době, kdy má systém maximální přípustnou délku, je odmítnut. 5

6 Uspořádání kanálů Podle počtu kanálů ve stanici obsluhy rozlišujeme: jednokanálové systémy, vícekanálové systémy. Kanály mohou být uspořádány: paralelně stačí, aby prvek byl obsloužen jedním, libovolným kanálem obsluhy, sériově prvek musí projít postupně všemi kanály. Paralelně uspořádaný tříkanálový systém hromadné obsluhy s jednou frontou stanice obsluhy příchod do systému fronta... výstup ze systému 6

7 Paralelně uspořádaný dvoukanálový systém hromadné obsluhy se dvěma frontami stanice obsluhy příchod do systému výstup ze systému fronty Sériově uspořádaný systém hromadné obsluhy příchod do systému fronta... stanice obsluhy výstup ze systému 7

8 Klasifikace systémů hromadné obsluhy dle D. G. Kendalla A B X Y Z A/B/X/Y/Z typ pravděpodobnostního rozdělení popisující intervaly mezi příchody požadavků do systému. Používané symboly: M exponenciální rozdělení, D konstantní intervaly mezi příchody, E k Erlangovo rozdělení, N normální rozdělení, G nespecifikované rozdělení. typ pravděpodobnostního rozdělení popisující dobu trvání obsluhy. Používají se stejné symboly jako u A. počet paralelně uspořádaných kanálů číslo udávající kapacitu systému hromadné obsluhy řád fronty (FIFO, LIFO, SIRO, PRI). Jednoduchý systém hromadné obsluhy bez priorit Nejjednodušší model hromadné obsluhy. Vstupy i výstupy mají pravděpodobnostní charakter s Poissonovým rozdělením. 8

9 Předpoklady použití Poissonova rozdělení střední intenzita vstupů (výstupů) je konstantní během určitého, dostatečně dlouhého časového období, počet vstupů (výstupů) v následujícím časovém intervalu nezávisí na počtu vstupů (výstupů) realizovaných v předchozím intervalu, pravděpodobnost dvou a více vstupů (výstupů) v témže časovém intervalu délky t je prakticky nulová, je-li tento interval t dostatečně malý, pravděpodobnost, že jednotka vstoupí do systému (vystoupí ze systému) během malého časového intervalu délky t je přímo úměrná délce tohoto intervalu. Označení použitých veličin střední intenzita vstupu (střední počet jednotek, které vstoupí do systému během dané časové jednotky), střední intenzita výstupu (střední počet obsloužených jednotek během dané časové jednotky). Nemá-li fronta narůstat nade všechny meze, musí platit >, resp.: 1 střední intenzita provozu (koeficient čekacího systému). 9

10 Další charakteristiky t t t t pravděpodobnost, že během intervalu t vstoupí do systému jedna jednotka, pravděpodobnost, že během intervalu t vystoupí ze systému jedna jednotka, pravděpodobnost, že do systému během intervalu t nevstoupí žádná jednotka, pravděpodobnost, že ze systému během intervalu t nevystoupí žádná jednotka. Další veličiny n n s n f t s t f počet jednotek v systému, střední počet jednotek v systému, střední počet jednotek ve frontě, střední doba, kterou jednotka stráví v systému, střední doba, kterou jednotka čeká ve frontě. 10

11 Konstrukce modelu Nalezení vztahů mezi veličinami: n s n f ts t f charakterizujícími čekací systém a parametry systému,. Jde o nalezení pravděpodobností p 0, p 1, p 2,, že v systému je v daném okamžiku právě 0, 1, 2, jednotek. Varianty změny stavu systému během intervalu t, t + t za předpokladu n > 0 Stav systému v okamžiku t Stav systému v okamžiku t + t Změna během intervalu t Počet vstupů Počet výstupů E n E n E n E n E n 0 0 E n E n 1 1 E n p n = P{E n } pravděpodobnost, že systém je v daném okamžiku ve stavu E n 11

12 Pravděpodobnosti změny stavu systému za t E n-1 E n : E n+1 E n : E n E n : E n E n : p n-1. t. (1 - t) p n+1. t. (1 - t) p n. (1 - t). (1 - t) p n. t. t Pravděpodobnost, že se systém nachází v některém okamžiku ve stavu E n p n = p n-1. t. (1 - t) + p n+1. t. (1 - t) + + p n. (1 - t). (1 - t) + p n. t. t = = p n-1. t p n-1. t) 2 + p n+1. t - p n+1. t) p n p n. t p n. t + p n. t) 2 + p n. t) 2 = = p n + t. [p n-1. p n+1. p n. p n. ] + t) 2. [2p n - p n-1 - p n+1 ] 12

13 Pravděpodobnostní rozdělení počtu jednotek v čekacím systému p n = n (1 - ) n = 0, 1, 2, Střední počet jednotek v systému Určíme ze vztahu: n n0 n. s p n n s Po úpravách: 13

14 Střední počet jednotek ve frontě Určíme ze vztahu: n f n1 (n 1). p n Po úpravách: n f 2. ( - ) Střední doba, kterou jednotka stráví v systému Určíme ze vztahu:. t s n s Po úpravách: t s 1 14

15 Střední doba, kterou jednotka čeká ve frontě Určíme ze vztahu:. t f n f Po úpravách: t f ( ) 15