Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.
|
|
- Daniela Němcová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ). c) Vypočtěte modus náhodné veličiny Y. Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je, x (, ), f(x) = e x, x, ); F (x) =, x (, ), e x, x, ); Obrázek. a obrázek.. Odtud plyne, že X, ). Dále si znázorněme průběh funkce Y = X, X, ). Obrázek.. Odtud vidíme, že Y, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Potom pro y dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P (X y ) = F (y ). Je tedy e y. Dále je g(y) = G (y) = ( e y ) = ye y pro y >. Tudíž, y (,, e y, y, );, y (, ), g(y) = ye y, y (, ); Pokud neznáme distribuční funkci, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy (F (y )) = F (y ).y = f(y ).y = ye y Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích. a.5. pro y (, ). b) Střední hodnotu a rozptyl můžeme počítat dvěma způsoby. Buď použijeme nového rozdělení původního rozdělení náhodné veličiny X. Oba způsoby se navzájem liší provedenou substitucí v integrálu ve vzorcích. Druhý způsob používáme v případech, kdy potřebujeme znát pouze momenty transformované veličiny a nezajímá nás její rozdělení.. E(Y ) = yg(y) dy = yye y dy = = [ ye y] π + e y dy = +. E(Y ) = = Nebo y g(y) dy = y ye y dy = y e y dy = y = t, ydy = dt = y ( e y) dy = te t dt = [ te t e t] =.
2 . E(Y ) = E( X) = = t e t dt =... = π/. E(Y ) = E(X) =... =. xf(x) dx = xe x dx = x = t, dx = tdt = c) Modus je hodnota, pro níž má hustota maximum. Jestliže si uvědomíme průběh z obrázku.5 je tento bod nulovým bodem derivace hustoty. Je g (y) = (ye y ) = e y ( y ) = y = y = ±. Protože je náhodná veličina Y kladná je modus roven ŷ = a g(ŷ) = e.. Náhodná veličina X má normální rozdělení N(; ) a náhodná veličina Y = X. Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. Řešení: Označme ϕ hustotu a Φ distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je ϕ(x) = π e x, x (, ). Obrázek. a obrázek.. Odtud plyne, že X (, ). Dále si znázorněme průběh funkce Y = X, X (, ). Obrázek.. Odtud vidíme, že Y, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Potom pro y dostaneme: P (Y y) = P (X y) = P ( y X y) = Φ( y) Φ( y) = = Φ( y). Je tedy g(y) = G (y) = d dy (Φ( y) ) = ϕ( y) y = e y, y (, ) πy a g(y) =, y (, ). Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích. a.5.. Náhodná veličina X má Cauchyovo rozdělení s hustotou f, kde f(x) =, x (, ). π( + x ) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y, kde a) Y = X ; b) Y = X ; c) Y = X ; d) Y = X ; e) Y = arctg X. Případně vypočtěte E(Y ) a D(Y ). Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je f(x) = π( + x ), x (, ), a F (x) = ( ) π π + arctg x, x (, ).
3 Obrázek.a a obrázek.a. Odtud plyne, že X (, ). Dále si znázorněme průběh funkce Y =, X (, ). Obrázek.a. Odtud vidíme, že X Y (, ) (, ). Potom pro y < dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P ( y X < ) = F () F ( y ). Pro y dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P (X ) + P ( y X) = F () + F ( y ). Protože je F () =, je arctg ( ), y (, ), π y arctg ( ), y (, ); g(y) = π y π(+y ), π(+y ), y (, ), y (, ); Vidíme, že jsou hustoty f a g shodné a tudíž mají náhodné veličiny X a Y shodné rozdělení. Pokud neznáme distribuční funkci a pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy ( F ( )) ( ) = F y y y = f Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.a a.5a. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. ( ). y y = π( + y ), y R. b) Znázorněme si průběh funkce Y = X, X (, ). Obrázek.b. Odtud vidíme, že Y, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Pro y dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P ( y X y) = F (y) F ( y) = = [( π + arctg y) ( π + arctg ( y))] = arctg y. π π Tedy g(y) = G (y) =, y (, ). π(+y ) Tudíž, y (,,, y (, ), arctg y, y, ); g(y) =, y (, ); π π(+y ) Pokud neznáme distribuční funkci, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d (F (y) F ( y)) = F (y) + F ( y) = f(y) + f( y) = dy π(+y ) y (, ). Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.b a.5b. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. c) Znázorněme si průběh funkce Y = vidíme, že Y, ). pro X, X (, ). Obrázek.c. Odtud
4 To znamená, že g(y) = pro y (, ). Pro y dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P ( X y ) = P ( y X y ) = F (y ) F ( y ) = [( π + arctg π (y )) ( π + arctg ( y ))] = arctg π (y ). Tedy g(y) = G (y) = Tudíž y, y (, ). π(+y ), y (,, arctg π (y ), y, );, y (, ), g(y) = y (, ); y π(+y ), Pokud neznáme distribuční funkci, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d (F dy (y ) F ( y )) = yf (y )+yf ( y ) = yf(y )+yf( y ) = pro y (, ). y π(+y ) Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.c a.5c. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. d) Znázorněme si průběh funkce Y = X, X (, ). Obrázek.d. Odtud vidíme, že Y, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Pro y dostaneme: P (Y y) = P (X y) = P ( y X y) = F ( y) F ( y) = [( π + arctg ) y)) ( π + arctg ( y))] = arctg ( y). π π Tedy g(y) = G (y) = π, y (, ). y(+y) Tudíž, y (,, arctg ( y), y, ); π, y (, ), g(y) = y (, ); π, y(+y) Pokud neznáme distribuční funkci a pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy (F ( y) F ( y)) = (F ( y) + F ( y)) y = = (f( y) + f( y)) y = π y(+y) pro y (, ). Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.d a.5d. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. e) Znázorněme si průběh funkce Y = arctg X, X (, ). Obrázek.e. Odtud vidíme, že Y ( π, π ). To znamená, že g(y) = pro y (, π ) ( π, ), pro y (, π a pro y π, ).
5 Potom pro y π, π dostaneme: P (Y y) = P (arctg X y) = P (X tg y) = F (tg y). Je tedy π ( π + arctg (tg y)) = + y π, π y π. Tudíž pro hustotu dostaneme g(y) = G (y) = =, π < y < π. π +(tg y) cos y π Pokud neznáme distribuční funkci F a pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d F (tg y) = F (tg y) = f(tg y) = dy cos y cos y pro π < y < π. Dostaneme = π(+tg y ) cos y π, y (, π,, y (, π), + y, y π, π, g(y) =, y ( π, π), π, y π, ); π, y ( π, ); Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.e a.5e. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = π π π y dy = [ ] y π π π =. E(Y ) = E(arctg X) = arctg xf(x) dx = = [ ] (arctg x) π =. Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y ) (E(Y )). Je pak arctg x π( + x ) dx = E(Y ) = y g(y) dy = π π π y dy = [ ] y π π π = π π.8 = π E(Y ) = E((arctg X) ) = (arctg x) f(x) dx = π π arctg x π( + x ) dx = Odtud plyne, že = [ ] (arctg x) π π π = π.8π = π. D(Y ) = E(Y ) (E(Y )) = E(Y ) = π. 5
6 . Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu,. Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y, kde a) Y = ln X; b) Y = e X ; c) Y = X ; d) Y = X. Případně vypočtěte E(Y ) a D(Y ). Řešení: Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je f(x) =, x (, ),, jinde; a F (x) =, x, x, < x <,, x. Obrázek.a a obrázek.a. Odtud plyne, že X (, ). a) Znázorněme si průběh funkce Y = ln X, X (, ). Obrázek.a. Odtud vidíme, že Y ( ln, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ln ). Potom pro y ln dostaneme: P (Y y) = P ( ln X y) = P (ln X y) = P (X e y ) = F (e y ). Je tedy e y, y ln a g(y) = G (y) = e y, y > ln. Pokud neznáme distribuční funkci F a pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d ( F dy (e y )) = F (e y )e y = f(e y )e y = e y pro y ( ln, ). Dostaneme, y (, ln, e y, y ln, );, y (, ln ), g(y) = e y, y ( ln, ); Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.a a.5a. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = ln ye y dy = [ ye y e y] ln = ln E(Y ) = E( ln X) = ln xf(x) dx = ln x dx = [xln x x] = = ln. Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y ) (E(Y )). Je pak E(Y ) = y g(y) dy = ln y e y dy = = [ y e y ye y e y] ln = ln ln + 6
7 E(Y ) = E(( ln X) ) = = [ xln x xln x + x ] ln xf(x) dx = = ln ln +. ln x dx = Odtud plyne, že D(Y ) = E(Y ) (E(Y )) = ln ln + ( ln ) =. b) Znázorněme si průběh funkce Y = e X, X (, ). Obrázek.b. Odtud vidíme, že Y (e, ). To znamená, že g(y) = pro y (, e ) (, ), pro y (, e a pro y, ). Potom pro y e, dostaneme: P (Y y) = P (e X F ( ln (y)). y) = P ( X ln y) = P (X ln (y)) = Je tedy + ln y, e y a g(y) = G (y) = y, e < y <. Pokud neznáme distribuční funkci F, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy ( F ( ln (y))) = F ( ln (y)) y = f( ln (y)) y = y pro y (e, ). Dostaneme, y (, e ), + ln y, y e,,, y, ); g(y) =, y (, e ), y, y (e, ),, y (, ); Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.b a.5b. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = e y y dy = [y] e = ( e ) E(Y ) = E(e X ) = e x f(x) dx = e x dx = [ ] e x = e. Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y ) (E(Y )). Je pak E(Y ) = E(Y ) = E((e X ) ) = y g(y) dy = e x f(x) dx = 7 e y dy = 8 [ y ] e = 8 ( e 8 ) e x dx = [ ] e x 8 = 8 ( e 8 ).
8 Odtud plyne, že D(Y ) = E(Y ) (E(Y )) = 8 ( e 8 ) 6 ( e ) = 6 ( + e e 8 ). c) Znázorněme si průběh funkce Y = X, X (, ). Obrázek.c. Odtud vidíme, že Y (, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ) (, ), pro y (, a pro y, ). Potom pro y, dostaneme: y : P (Y y) = P ( X y) = P ( y X + y) = = F ( + y) F ( y); y : P (Y y) = P ( X y) = P ( X + y) = = F ( + y) F (). Je tedy (y + + y) = y, y ; ( + y), y. Tudíž pro hustotu dostaneme g(y) = G (y) =, < y < a g(y) = G (y) =, < y <. Pokud neznáme distribuční funkci F, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy (F (+y) F ( y)) = F (+y)+f ( y) = f(+y)+f( y) = =, < y < ; g(y) = G (y) = d dy (F ( + y) ) = F ( + y) = f( + y) =, < y <. Dostaneme, y (,, y, y,, y, y,,, y, ); g(y) =, y (, ),, y (, ),, y (, ),, y (, ); Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.c a.5c. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = y dy+ y dy = [ ] y + [ ] y 8 = = 5. E(Y ) = E( X ) = x f(x) dx = x dx = (x ) dx = [ ] ( x) 8 + [ ] (x ) 8 = 8 ( + 9) = 5. 8 ( x) dx+
9 Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y ) (E(Y )). Je pak E(Y ) = y g(y) dy = y dy + y dy = [ ] y 6 + [ ] y = = 6 + (7 ) = 6 = 7 E(Y ) = E((X ) ) = = (7 + ) = 6. Odtud plyne, že (x ) f(x) dx = D(Y ) = E(Y ) (E(Y )) = (x ) dx = [ ] (x ) = = 75 8 = 7 8. d) Znázorněme si průběh funkce Y =, X (, ). Obrázek.d. Odtud vidíme, X že Y (, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Potom pro y dostaneme: P (Y y) = P ( y) = P (X ) = F ( ). X y y Je tedy y, y a g(y) = G (y) = y, y >. Pokud neznáme distribuční funkci F, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d ( F ( )) = F ( ) dy y y y = f( ) y y = y pro y (, ). Dostaneme, y (,, y (, g(y) =, y (, ); y y Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.d a.5d. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = y dy = [ln y] =. Náhodná veličina Y = X nemá střední hodnotu a rozptyl. 5. Náhodná veličina X má diskkrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p, jejíž hodnoty jsou uvedeny v tabulce (): () x - p(x)
10 Určete rozdělení náhodné veličiny Y = X. Řešení: Náhodná veličina X nabývá pouze diskrétních hodnot z tabulky a tudíž i náhodná veličina Y nabývá také jen diskrétních hodnot. Vypočítáme je a uvedeme v tabulce (). Je tedy X - y 9 6 () () Y 9 6 p (y) 5 5 Potom pro jednotlivé pravděpodobnosti výskytu náhodné veličiny Y, hodnoty její pravděpodobnostní funkce p dostaneme: p () = P (Y = ) = P (X = ) = p() = 5 ; p () = P (Y = ) = P (X = X = ) = p() + p( ) = 5 + = ; p (9) = P (Y = 9) = P (X = ) = p() = 5 ; p (6) = P (Y = 6) = P (X = ) = p() =. Hodnoty pravděpodobnostní funkce p jsou uvedeny v tabulce () nahoře. 6. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (, ). Nechť funkce F : (a, b) (, ) je spojitá a rostoucí v intervalu (a, b), taková, že limity F (a+) = a F (b ) =. Určete distribuční funkci náhodné veličiny Y = F (X). Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu (, ) a pro její distribuční funkci H v tomto intervalu platí, že H(x) = x, < x <. Funkce F je prostá a spojitá v intervalu (a, b) a zobrazuje tento interval na interval (, ). Má tedy v intervalu (, ) inverzní funkci F, která zobrazuje interval (, ) na interval (a, b). Pro distribuční funkci G náhodné veličiny Y = F (X) pak platí: X (, ) Y = F (X) (a, b);, y a,, y b; a < y < b : P (Y y) = P (F (X) y) = P (X F (y)) = H(F (y)) = F (y). Má tedy náhodná veličina Y distribuční funkci rovnu funkci F, Přesněji zapsáno, y a, F (y), a < y < b,, y b. Všimněme si ješte tohoto vztahu. Je-li X = p, < p <, pak odpovídající hodnota Y = F (X) = F (p) = y p F (y p ) = p je p kvantil rozdělení náhodné veličniny Y. To znamená, že budeme- li za hodnoty náhodné veličiny X volit hodnoty p rovnoměrně rozdělené v intervalu (, ) pak hodnoty p kvantilů budou představovat hodnoty náhodné veličiny s distribuční funkcí F. Potřebujeme tedy ke generování náhodné veličiny s daným rozdělením znát inverzní funkci k jeho distribuční funkci.
1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Více(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceZápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A
skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost
VíceKapitola 7: Integrál. 1/14
Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
Více2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Vícehttp://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceFunkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceCvičení ze statistiky - 6. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 6 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Probrali jsme základní charakteristiky pravděpodobnostních modelů a diskrétní modely Tyhle termíny by měly být známé: Distribuční funkce Střední
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VícePříklady k třetímu testu - Matlab
Příklady k třetímu testu - Matlab 18. dubna 2013 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu rozumíte.
VíceŘešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )
. Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového
Vícemá spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,
4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných
VíceElektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu
Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
Více8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku
Více(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
Vícex 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3
I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :
Více7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83
Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
Vícediferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceVektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12
Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceZákladní radiometrické veličiny
Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde
VíceTématické celky { kontrolní otázky.
Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te
VíceKvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
Více+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity
Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VícePřehled pravděpodobnostních rozdělení
NSTP097Statistika Zima009 Přehled pravděpodobnostních rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení X Alt(p) p (0, ) X {0,} Hustota: P[X= j]=p j ( p) j, j {0,} Středníhodnota:
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Více3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu. P = 1 T
1 Pracovní úkol 1. Změřte účiník (a) rezistoru (b) kondenzátoru (C = 10 µf) (c) cívky Určete chybu měření. Diskutujte shodu výsledků s teoretickými hodnotami pro ideální prvky. Pro cívku vypočtěte indukčnost
VíceUčební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.
Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceKřivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
VíceModely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceIdeální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče
Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace
VíceFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Více15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceLineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1
Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
VíceSPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 2: Statistika a pravděpodobnost
SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 2: Statistika a pravděpodobnost Drahomír Novák Jan Eliáš 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 1 část 2 Statistika a pravděpodobnost
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceDistribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna
Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
VícePavel Burda Jarmila Doležalová
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory
VíceMatematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Více7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
Více