Finanční matematika Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Transkript

1 Finanční matematika Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.16/ Matematika jinak Realizátorem tohoto projektu je Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

2 Pracovní list č. 17 Finanční matematika Při studiu matematiky na střední škole není mnoho příležitostí ukázat přímé uplatnění matematických poznatků v praxi. Finanční matematika je jednou z nich a v současné době i velmi důležitou v životě. Patří sem i úrokování, střádání a umořování dluhů. 1. Úrokování Úrok je odměna za zapůjčenou peněžní částku, kterou nazýváme jistinou. Výše úroky závisí na úrokové době, tj. době, na kterou je jistina zapůjčena a na úrokové míře, tj. výši odměny vyjádřené v procentech ze zapůjčené jistiny za určité úrokovací období. Úrok označíme ú, jistinu J, úrokovou dobu n, úrokovací období pro nás bude jeden rok, a proto je úroková míra vyjádřená v procentech a vztahující se k ročnímu období označena p % p.a. Rozlišujeme dva druhy úrokování: a) Jednoduché úrokování Při jednoduchém úrokování se úrok za stejné úrokovací doby nemění a počítá se stále z téže původní jistiny, kterou nazýváme počáteční jistinou J 0. V praxi se jednoduché úrokování používá tehdy, je-li úroková doba kratší než úrokovací období. Označme si velikost jistiny na konci prvého úrokovacího období J 1, na konci druhého úrokovacího období J 2 atd., až na konci n-tého období J n. Tuto jistinu nazýváme konečnou jistinou. Sledujme vzrůst počáteční jistiny J 0 za n úrokovacích období: Posloupnost J 0, J 1, J 2,., Jn je aritmetická posloupnost s prvním členem J 0 a diferencí. b) Složené úrokování Tento způsob je častější a spočívá v tom, že se na konci úrokovacího období připíše úrok za uplynulé období a v příštím úrokovacím období se počítá úrok nejenom z původní počáteční jistiny, ale též z připsaných úroků. Počítejme nyní jistiny J 1, J 2, J n při složeném úrokování: strana 2

3 .. Výraz se nazývá úročitel a označuje se r. Konečnou jistinu po n-úrokovacích obdobích můžeme vyjádřit vzorcem Posloupnost jistin J 0, J 1, J 2,., Jn je geometrická posloupnost s prvním členem J 0 a kvocientem r. 2. Střádání Pravidelnému i nepravidelnému ukládání peněžních částek říkáme střádání. My se budeme zabývat matematicky nejjednodušším případem, kdy pravidelně, ve stejných časových intervalech ukládáme stále stejnou částku vklad neboli anuitu. Označíme ji. Úrokovou míru značíme opět p (popřípadě ji vyjádříme úročitelem r). Nastřádanou částku po n úrokovacích obdobích označíme V n. Předpokládáme, že vklady ukládáme vždy počátkem úrokovacího období. Jednotlivé vklady se do konce n-tého období zúročí nestejně. Prvý vklad se úročí po celých n období a vzroste podle vzorce na Druhý vklad se úročí jen (n-1) období a jeho konečná výše je, a tak dále, až poslední vklad je úročen jen jedno období a má hodnotu Nastřádaná částka se rovná součtu všech zúročených vkladů: Jedná se o součet prvních n členů geometrické posloupnosti s prvním členem kvocientem r. a 3. Umořování dluhů Umořováním dluhů rozumíme splácení dluhu a z něho plynoucích úroků pravidelnými, stále stejně velkými částkami, po dobu několika úrokovacích období. Budeme předpokládat roční splátky placené koncem roku. Označíme si dnešní hodnotu dluhu D n, roční splátku placenou pravidelně koncem roku počet let splácení dluhů a úroků n a úrokovou míru p (popřípadě úročitel r). Dnešní hodnota dluhu D n se rovná součtu dnešních hodnot jednotlivých anuit. První anuita je splatná na konci strana 3

4 prvého úrokovacího období a její dnešní hodnota je. Hodnota druhé anuity je atd. Poslední anuita je splatná po n úrokovacích obdobích a její dnešní hodnota je Platí tedy: Na pravé straně je součet členů geometrické posloupnosti. Jako první člen uvažujme, abychom dostali kvocient r. Příklady k procvičení 1. Jaká bude jistina Kč za 3 roky při úrokové míře 12,5 % p. a.? 1. způsob řešeno zadáním vzorce pro výpočet konečné jistiny 2. způsob řešeno vložením funkce BUDHODNOTA strana 4

5 2. Jakou jistinu musíme uložit, abychom měli za 12 let Kč při 9 % p. a.? 1. způsob řešeno zadáním vzorce pro výpočet počáteční jistiny 2. způsob řešeno vložením funkce SOUČHODNOTA strana 5

6 3. Za jak dlouho se počáteční jistina Kč při 12,5 % p. a. zvýší na ,94 Kč? 1. způsob řešeno zadáním vzorce pro výpočet počtu let 2. způsob řešeno vložením funkce POČET.OBDOBÍ strana 6

7 4. Na kolik % p. a. musíme uložit jistinu, aby za 12 let vzrostla ze Kč na Kč? 1. způsob řešeno zadáním vzorce pro výpočet úrokové míry 2. způsob řešeno vložením funkce ÚROKOVÁ.MÍRA strana 7

8 5. Kolik nastřádáme za 10 let pravidelnými ročními vklady Kč při 8 % p. a.? 1. způsob řešeno zadáním vzorce pro výpočet nastřádané částky 2. způsob řešeno vložením funkce BUDHODNOTA strana 8

9 6. Kolik musíme ukládat počátkem každého roku, abychom za 5 let nastřádali Kč při 9,5 % p. a.? 1. způsob řešeno zadáním vzorce pro výpočet pravidelných vkladů 2. způsob řešeno vložením funkce PLATBA strana 9

10 7. Za jak dlouho nastřádám Kč pravidelnými ročními vklady Kč při 2 % p. a.? 1. způsob řešeno zadáním vzorce pro výpočet počtu let 2. způsob řešeno vložením funkce POČET.OBDOBÍ strana 10

11 8. Jaké musí být roční splátky, abychom za 7 let splatili dluh Kč při 11 % p. a.? 1. způsob řešeno zadáním vzorce pro výpočet splátky 2. způsob řešeno vložením funkce PLATBA strana 11

12 Použité zdroje: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 7. aktualiz. vyd. Praha: Prometheus, 2002, 608 s. ISBN POMYKALOVÁ, Eva. Matematiky pro gymnázia: Planimetrie. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2004, 206 s. ISBN KLODNER, Jaroslav. Matematika pro obchodní akademie. 2., upr. vyd. Svitavy: Jaroslav Klodner, 2000, 77 s. strana 12