Matice. Martina Šimůnková. 9. března Katedra aplikované matematiky. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března / 20

Transkript

1 Matice Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 9. března 28 Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 1/ 2

2 Základní pojmy 1 Základní pojmy Matice, řád matice, prvky matice, řádky a sloupce matice Aritmetické vektory, rovnost matic Čtvercové matice, jednotková matice 2 Operace s maticemi 3 Vlastnosti operací 4 Inverzní matice 5 Hodnost matice Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 2/ 2

3 Základní pojmy Matice, řád matice, prvky matice, řádky a sloupce matice Maticí řádu m n nazýváme obdélníkové schéma reálných čísel o mřádcíchansloupcích. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = a m1 a m2 a mn Čísla v matici nazýváme prvky matice. Řádky matice číslujeme shora a sloupce zleva. Matice značíme obvykle velkými tučnými písmeny, jejich prvky příslušným malým písmenem s dvěma indexy řádkovým a sloupcovým. Kontrolní otázky: Čemujerovno b 35? Čemu b 53? Kterýječtvrtýsloupecmatice? = Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 3/ 2

16 Základní pojmy Aritmetické vektory, rovnost matic Maticiojednomsloupci tedyřádu n 1nazývámearitmetickým vektorem a obvykle označujeme malým tučným písmenem. 3 Například Ù = 4. 2 Složky aritmetického vektoru budeme indexovat jedním indexem vpříkladuje u 1 =3, u 2 =4, u 3 = 2. Budeme-lisenaaritmetický vektordívatjakonamatici,pakdvěmaindexy u 11 =3, u 21 =4, u 31 = 2. Dvěmatice, serovnají,pokudjsoustejnéhořádua rovnají se všechny jejich odpovídající si prvky. Například pouzepro x=6, y= 4. ( ) ( ) 2 8 x+y 8 = 5 x 5 6 Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 4/ 2

22 Základní pojmy Čtvercové matice, jednotková matice Matici o n řádcích a n sloupcích nazýváme čtvercovou maticí řádu n. Prvky a ii matice,tj.prvkyjejichžřádkovýasloupcovýindexje stejný, nazýváme diagonálními prvky. Všechny diagonální prvky tvoří(hlavní) diagonálu matice. Čtvercovou matici řádu n, která má všechny diagonální prvky rovny jedné a ostatní nulové, nazýváme jednotkovou maticí řádu n. Jednotkovoumaticibudemeznačitpísmenem,budeme-lichtít vyznačit,žejeřádu n,pak n.vliteratuřesetéžpoužívápísmeno Á, případně Á n. Například: = 1. 1 Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 5/ 2

26 Operace s maticemi 1 Základní pojmy 2 Operace s maticemi Sčítání matic, násobení matice číslem Násobení matic Mocnina matice s celočíselným nezáporným exponentem Transponovaná matice, symetrická matice 3 Vlastnosti operací 4 Inverzní matice 5 Hodnost matice Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 6/ 2

27 Operace s maticemi Sčítání matic, násobení matice číslem Součtemdvoumatic, stejnéhořádu m njematice,kteráje téžřádu m najejížprvkyjsou c ij = a ij + b ij Například = , 6 zatímco není definováno. (Číselný)násobekmatice a jedefinovánposložkáchprolibovolnou matici alibovolné a R: Například = Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 7/ 2

32 Operace s maticemi Násobení matic Prodvěmatice: řádu m n a řádu n p jedefinovánsoučin jakomatice řádu m poprvcích n c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + +a in b nj = a ik b kj. k=1 Operaci,kterámaticím, přiřadíjejichsoučinnazýváme násobenímmatic. Prvekv1.řádku a1.sloupcisoučinu jeroven =19. Výslednýsoučinje Ë= Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 8/ 2

40 Operace s maticemi Násobení matic Prodvěmatice: řádu m n a řádu n p jedefinovánsoučin jakomatice řádu m poprvcích n c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + +a in b nj = a ik b kj. k=1 Operaci,kterámaticím, přiřadíjejichsoučinnazýváme násobenímmatic. Prvekv1.řádku a2.sloupcisoučinu jeroven1 ( 3) =4. Výslednýsoučinje Ë= Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 8/ 2

41 Operace s maticemi Násobení matic Prodvěmatice: řádu m n a řádu n p jedefinovánsoučin jakomatice řádu m poprvcích n c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + +a in b nj = a ik b kj. k=1 Operaci,kterámaticím, přiřadíjejichsoučinnazýváme násobením matic. Prvek ve 2. řádku a 1. sloupci součinu jeroven = 11. Výslednýsoučinje Ë= Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 8/ 2

42 Operace s maticemi Násobení matic Prodvěmatice: řádu m n a řádu n p jedefinovánsoučin jakomatice řádu m poprvcích n c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + +a in b nj = a ik b kj. k=1 Operaci,kterámaticím, přiřadíjejichsoučinnazýváme násobením matic. Prvek ve 2. řádku a 2. sloupci součinu jeroven 5 ( 3) =29. Výslednýsoučinje Ë= Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 8/ 2

44 Operace s maticemi Násobení matic Prodvěmatice: řádu m n a řádu n p jedefinovánsoučin jakomatice řádu m poprvcích n c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + +a in b nj = a ik b kj. k=1 Operaci,kterámaticím, přiřadíjejichsoučinnazýváme násobením matic. Prvek ve 3. řádku a 2. sloupci součinu jeroven ( 3) =. Výslednýsoučinje Ë= Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 8/ 2

46 Operace s maticemi Násobení matic Prodvěmatice: řádu m n a řádu n p jedefinovánsoučin jakomatice řádu m poprvcích n c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + +a in b nj = a ik b kj. k=1 Operaci,kterámaticím, přiřadíjejichsoučinnazýváme násobením matic. Prvek ve 4. řádku a 2. sloupci součinu jeroven 1 ( 3) = 4.Výslednýsoučinje Ë= Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 8/ 2

47 Operace s maticemi Mocnina matice s celočíselným nezáporným exponentem Pomocí operace násobení matic definujeme mocniny čtvercové matice snezápornýmceločíselnýmexponentem nstejnějako pro reálná čísla: pro n=1je 1 = pro n=2je 2 = pro n=3je 3 = 2. proobecné n >1je n rovno n 1 pro n=je rovnojednotkovématicistejnéhořádujako. ( ) = Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 9/ 2

48 Operace s maticemi Mocnina matice s celočíselným nezáporným exponentem Pomocí operace násobení matic definujeme mocniny čtvercové matice snezápornýmceločíselnýmexponentem nstejnějako pro reálná čísla: pro n=1je 1 = pro n=2je 2 = pro n=3je 3 = 2. proobecné n >1je n rovno n 1 pro n=je rovnojednotkovématicistejnéhořádujako. ( ) = 2 ( ) Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 9/ 2

49 Operace s maticemi Mocnina matice s celočíselným nezáporným exponentem Pomocí operace násobení matic definujeme mocniny čtvercové matice snezápornýmceločíselnýmexponentem nstejnějako pro reálná čísla: pro n=1je 1 = pro n=2je 2 = pro n=3je 3 = 2. proobecné n >1je n rovno n 1 pro n=je rovnojednotkovématicistejnéhořádujako. ( ) = 2 ( ) ( ) ( ) = Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 9/ 2

50 Operace s maticemi Mocnina matice s celočíselným nezáporným exponentem Pomocí operace násobení matic definujeme mocniny čtvercové matice snezápornýmceločíselnýmexponentem nstejnějako pro reálná čísla: pro n=1je 1 = pro n=2je 2 = pro n=3je 3 = 2. proobecné n >1je n rovno n 1 pro n=je rovnojednotkovématicistejnéhořádujako. ( ) = 2 ( ) ( ) ( ) = Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 9/ 2

51 Operace s maticemi Mocnina matice s celočíselným nezáporným exponentem Pomocí operace násobení matic definujeme mocniny čtvercové matice snezápornýmceločíselnýmexponentem nstejnějako pro reálná čísla: pro n=1je 1 = pro n=2je 2 = pro n=3je 3 = 2. proobecné n >1je n rovno n 1 pro n=je rovnojednotkovématicistejnéhořádujako. ( ) n 2 3 = 2 Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 9/ 2

52 Operace s maticemi Mocnina matice s celočíselným nezáporným exponentem Pomocí operace násobení matic definujeme mocniny čtvercové matice snezápornýmceločíselnýmexponentem nstejnějako pro reálná čísla: pro n=1je 1 = pro n=2je 2 = pro n=3je 3 = 2. proobecné n >1je n rovno n 1 pro n=je rovnojednotkovématicistejnéhořádujako. ( ) 2 3 = 2 ( ) 1 1 Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 9/ 2

53 Operace s maticemi Transponovaná matice, symetrická matice Maticítransponovanoukmatici řádu n pnazývámematici řádu p n,oprvcích b ij = a ji.transponovanoumaticiobvykle značímehornímindexem T. Například ( ) T = Z důvodů úspory místa se někdy píší sloupcové vektory jako transponovanématicekřádkovýmvektorům,místo = napíšeme =(45 2) T případně =(4,5, 2) T. Matici,kteráserovnásvojítransponovanématici(tedy = T ), nazýváme symetrickou maticí. Rozmyslete si, že matice ( 3 x 4 x y ) jesymetrickápro x=2aprolibovolné y. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 1/ 2

58 Vlastnosti operací 1 Základní pojmy 2 Operace s maticemi 3 Vlastnosti operací 4 Inverzní matice 5 Hodnost matice Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 11/ 2

59 Vlastnosti operací S maticemi můžete při sčítání, násobení a umocňování matic a násobení matice číslem zacházet stejně jako by to byla čísla- operace mají stejné vlastnosti, ovšem s jednou výjimkou: násobení matic není komutativní,tj.obecněsenemusírovnatsoučiny,. Jednotková matice má přitom stejnou vlastnost jako jednička při násobení:je-li čtvercovámaticestejnéhořádujakojednotková matice,platí: =, = Příklady:(není vidět hned, vezměte papír a tužku a upravte) Pro transpozici platí ( +3 )( 2 + )= ( 4 + )(3 3 )+(2 )( + ) = ( + ) T = T + T,(α ) T = α T,( ) T = T T,( T ) T =. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 12/ 2

68 Vlastnosti operací S maticemi můžete při sčítání, násobení a umocňování matic a násobení matice číslem zacházet stejně jako by to byla čísla- operace mají stejné vlastnosti, ovšem s jednou výjimkou: násobení matic není komutativní,tj.obecněsenemusírovnatsoučiny,. Jednotková matice má přitom stejnou vlastnost jako jednička při násobení:je-li čtvercovámaticestejnéhořádujakojednotková matice,platí: =, = Příklady:(není vidět hned, vezměte papír a tužku a upravte) ( +3 )( 2 + )= ( 4 + )(3 3 )+(2 )( + ) = Všimněte si pořadí matic v součinu. ( + ) T = T + T,(α ) T = α T,( ) T = T T,( T ) T =. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 12/ 2

69 Inverzní matice 1 Základní pojmy 2 Operace s maticemi 3 Vlastnosti operací 4 Inverzní matice Regulární a inverzní matice- definice pojmů Výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou 5 Hodnost matice Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 13/ 2

70 Inverzní matice Regulární a inverzní matice- definice pojmů Matici nazvemeregulárnímaticí,pokudkníexistujematice, prokterouplatí: = =. Matici budemenazývat inverznímaticíkmatici abudemejiznačit 1. Platí: Každá regulární matice je čtvercovou maticí. Regulární matice má lineárně nezávislé řádky. (Pojem lineární nezávislosti je vysvětlen v prezentaci o aritmetických vektorech.) Regulární matice má lineárně nezávislé sloupce. Čtvercová matice, která má lineárně nezávislé řádky, je regulární. Čtvercová matice, která má lineárně nezávislé sloupce, je regulární. Součin dvou regulárních matic stejného řádu je opět regulární matice aplatí( ) 1 = 1 1. Maticetransponovanákregulárnímatici jeopětregulárnímaticeaplatí( T ) 1 =( 1 ) T. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 14/ 2

79 Inverzní matice Výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou Výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou Tento slajd bude vytvořen později. Zatím najdete Gaussovu eliminační metodu vyloženu v článku 1.1 textu[1] na webu. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 15/ 2

80 Hodnost matice 1 Základní pojmy 2 Operace s maticemi 3 Vlastnosti operací 4 Inverzní matice 5 Hodnost matice Definice hodnosti matice, příklad Elementární řádkové a sloupcové úpravy matice Výpočet hodnosti pomocí řádkových úprav- příklad Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 16/ 2

81 Hodnost matice Definice hodnosti matice, příklad Pro libovolnou matici je maximální počet lineárně nezávislých řádků totožný s maximáním ( počtem lineárně ) nezávislých sloupců. Například vmatici = jsou2.až4.sloupecnásobkem prvního a totéž platí pro 2. řádek. Číslo, které udává maximální počet lineáněnezávislýchřádkůmatice,budemenazývathodností matice abudemejejoznačovat h( ).Provýšeuvedenoumaticije h( )=1. Příklad: Ukažte, že řádky matice = jsou lineárně nezávislé a určete její hodnost. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 17/ 2

86 Hodnost matice Definice hodnosti matice, příklad Řešení příkladu: napíšeme lineární kombinaci řádků matice, porovnáme s nulovým vektorem α β γ δ 5 = avypočtemehodnotykoeficientů α, β, γ, δzesoustavy2α=, 3α=,4α 4β=,3β+2γ=,7α+5β+ γ+5δ=,ukteré snadnonahlédneme,žemájedinéřešení: α=β= γ= δ=.řádky matice jsoutedylineárněnezávisléajejíhodnostje h( )=4. Všimnětesi,želineárnínezávislostřádkůmatice zpříkladuje důsledkem toho, že, počínaje druhým, začíná každý řádek více nulami než předchozí- takovou matici budeme nazývat schodovitou maticí. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 18/ 2

93 Elementární řádkové úpravy matice: 1 Výměna dvou řádků. 2 Vynásobení nenulovým číslem. 3 Přičtení násobku jiného Hodnost matice Elementární řádkové a sloupcové úpravy matice Při těchto úpravách se nemění hodnost matice. Na dalším slajdu vypočteme pomocí elemenárních úprav hodnost matice = Upravíme elementárními úpravami zadanou matici na schodovitou matici a pak určíme hodnost úpravami vzniklé schodovité matice- ta je rovna hodnosti původní matice. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 19/ 2

Zobrazit více