MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10"

Transkript

1 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET

2 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel , budova H konzul. hodiny: dle úmluvy cvičící: Milan Cvrček, Staněk Jan, Zedek Lukáš

3 3 Požadavek na udělení zápočtu: V průběhu semestru budou znalosti prověřovány dvěma testy z probírané látky. Termín každého testu bude dopředu oznámen cvičícím. Pro udělení zápočtu je nutné získat alespoň poloviční počet bodů z každého testu.

4 4 Požadavky ke zkoušce: Znalost řešení úloh, vyložených pojmů a jejich vlastností v rozsahu daném přehledem přednášek.

5 Literatura: 5 NEKVINDA M.: Matematika. Část 1. Liberec, Technická univerzita v Liberci, NEKVINDA M., VILD J.: Matematické oříšky 1. Liberec, Technická univerzita v Liberec, BITTNEROVÁ, D., PLAČKOVÁ G.: Louskáček. Část 1, Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Liberec, Technická univerzita v Liberci, 2005.

6 6 HRUBÝD.,KUBÁTJ.:Matematikaprogymnázia: diferenciální a integrální počet. Praha, Prometheus, KADEŘÁBEK J.: Základy matematiky: Studijní texty pro distanční bakalářské studium textilní marketing. Liberec, Technická univerzita v Liberci, REKTORYS K.: Přehled užité matematiky. Praha, Prometheus, 2000.

7 7 CALDA E., DUPAČ V.: Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Praha, Prometheus, KADEŘÁBEK J.: Statistika, Technická univerzita v Liberci, KADEŘÁBEK, J. PICEK, J.: Sbírka příkladů z pravděpodobnosti a statistiky. Liberec, Technická univerzita v Liberci, 2001.

8 8 Internetové zdroje: linearni-algebra.htm Matematika-I/sc-5-sr-1-a-4/ default.aspx

9 9 LINEÁRNÍ ALGEBRA

10 10 Matematika: specifika různé charakteristiky náročnost jak ji studovat dobře seřazené jednoduché věci

11 Motivace: 11 2x+3y=5 4x+5y=9 4x+6y=10 4x+5y=9 x=1, y=1

12 12 Modifikace: 2x+3y=5 2x+3y= 5 2x+3y=6 4x+6y=10 Žádné řešení(2. případ), jediné řešení(1. případ) nekonečně mnoho řešení(3. případ)

13 13 Geometricky: 1. případ: různoběžky jediný průsečík 2. případ: různé rovnoběžky 3. případ: splývající rovnoběžky Možná zobecnění?

14 14 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy(obecně m) Metody řešení

15 15 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy(obecně m) Metody řešení

16 16 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy(obecně m) Metody řešení

17 17 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy(obecně m) Metody řešení

18 18 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy Metody řešení

19 19 Metody řešení: Eliminační(vylučovací) Komparační(srovnávací) jen speciální případ Cramerovo pravidlo spíše teoretický význam

20 20 Metody řešení: Eliminační(vylučovací) Komparační(srovnávací) jen speciální případ Cramerovo pravidlo spíše teoretický význam

21 21 Metody řešení: Eliminační(vylučovací) Komparační(srovnávací) jen speciální případ Cramerovo pravidlo spíše teoretický význam

22 22 Metody řešení: Eliminační(vylučovací) Komparační(srovnávací) jen speciální případ Cramerovo pravidlo spíše teoretický význam

23 23 Náznak postupu: ax+by=u cx+dy=v cax+bcy = cu cax+ady=av (ad bc)y=(av cu), (ad bc)x=(du bv) x= du bv ad bc, cu y=av ad bc

24 24 Standardní označení: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 12 x 1 + a 22 x 2 = b 2 resp. a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a n1 x n = b 1 a 12 x 1 + a 22 x 2 + +a n2 x n = b 2.. a 1m x 1 + a 2m x 2 + +a nm x n = b m

25 25 Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a a m1 a m2 a mn nazývámematicítypu m n.je-li m=nmluvíme o čtvercové matici řádu n.

26 26 a ij prveksenacházívi-témřádkuavj-tém sloupci. Označení: A= (a ij ) j=1..m i=1..n řádek, sloupec matice- vektory

27 27 Rovnostmatic:Jsoustejnéhotypuaprvkysestejnými indexy se rovnají ) j=1..m ) j=1..m Součetmatic:Nechť A= (a ij, B= (b ij A+B= i=1..n a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a 31 + b a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn i=1..n

28 28 Nulovámatice:Všechnyjejíprvkyjsourovny0 Opačnámatice:KAjetomatice( 1)A= A Maticejakoreálnáčísla :Maticestejnéhotyputvoří grupu Lze matice mezi sebou násobit? Násobení číslem lehké:

29 29 Násobení matice A reálným číslem λ λa= λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λa λa m1 λa m2 λa mn

30 30 Součinmatic:Nechť A= ) s=1..m (a is, B= i=1..n (b sj ) j=1..k s=1..m c ij = AB= C= m a is b sj, s=1 (c ij ) j=1..k, i=1..n i=1,..., n, j=1,...,k.

31 31 A= ( ), B= ( , ( 1)+3 0, , ( 1) 1, ( 1)+( 1) 0, ( 1) 4, ( 1) 5 )

32 32 Součinmatic:Jakémávlastnosti? násobení není komutatitivní, je-li např. A typu 2 3aBtypu3 4,paksoučin ABjedefinován, zatímco BA nikoliv. Ani v případě dvou čtvercových matic stejného řádu obecně neplatí AB = BA. A, B, Cčtvercovématiceřádu n. Platí(AB)C = A(BC), A(B+C)=AB+AC,(A+B)C= AC+BC

33 33 A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Nechť Aječtvercovámaticeřádu n. Prvky a 11, a 22, a 33,..., a nn tvořítzv.hlavnídiagonálu

34 34 Jednotková matice řádu n I= AI= IA=A

35 35 Ačtvercovématiceřádu n.lzenaléztmatici B řádu ntak,že AB= BA=I? (anenulovéreálnéčíslo: ab=ba=1, b=a 1 ) Obecně nikoliv ( ) 10 A 00 Nechť A čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje čtvercová matice Břádu ntaková,že AB= BA=I

36 Ačtvercovématiceřádu n.lzenaléztmatici B řádu ntak,že AB= BA=I? (anenulovéreálnéčíslo: ab=ba=1, b=a 1 ) Obecně nikoliv ( ) 10 A= 00 Nechť A čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje čtvercová matice Břádu ntaková,že AB= BA=I 36

37 Ačtvercovématiceřádu n.lzenaléztmatici B řádu ntak,že AB= BA=I? (anenulovéreálnéčíslo: ab=ba=1, b=a 1 ) Obecně nikoliv ( ) 10 A= 00 Nechť A čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje čtvercová matice Břádu ntaková,že AB= BA=I 37

38 38 Nechť Ajeregulárnímaticeanechť Bjetamatice,prokterouplatí AB= BA=I.Matici Bpaknazývámeinverzní maticíkmatici Aaznačímeji A 1. Existují nějaké regulární matice? Ano, jednotková matice je regulární. Jak zjistit, zda-li je matice regulární? Jak určit inverzní matici?

39 39 Mějme řádky matice(řádkové vektory): a 1 =(a 11,..., a 1n ),...,a k =(a k1,..., a kn ). Lineární kombinací řádků rozumíme λ 1 a λ k a k, λ i R Triviální lineární kombinací řádků rozumíme 0a a k

40 40 Řekneme,ževektorya 1,...,a k jsoulineárněnezávislé, jestliže platí λ 1,..., λ k R:λ 1 a λ k a k =(0,...,0) λ 1 = λ 2 =...=λ k =0. Mezi všemi lineárními kombinacemi řádků je rovna nulovému vektoru jen triviální lineární kombinace Hodnost matice... maximální počet lineárně nezávislých řádků, ozn. h(a)

41 41 Nechť Aječtvercovématiceřádu n.maticejeregulární,právěkdyž h(a)=n. Jak prakticky určovat hodnost(a inverzní matici)? Jednoduše lze pro schodovité matice: Matice A typu m n je schodovitá,jestližeprokaždé i 2,..., mplatí,že i-týřádek matice Ajenulovýnebozačínávětšímpočtemnulnež(i 1)-ní řádek. Hodnost je pak zřejmě rovna počtu nenulových řádků.

42 42 Elementární řádkové úpravy: záměna dvou řádků vynásobení řádku nenulovým číslem přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku Lze ukázat, že pokud pomocí těchto úprav převedemematicianaschodovitoumaticib,pak h(a)=h(b)

43 43 Elementární řádkové úpravy: záměna dvou řádků vynásobení řádku nenulovým číslem přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku Elementární úpravy lze použít i na hledání inverzní matice: (A I)... (I A 1 )

44 44 A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a a m1 a m2 a mn Transponovanámatice A T kmatici A: a 11 a 21 a 12 a 22 A T = a a m1 a m2 a 1n a 2n a mn

45 45 Vlastnosti transponovaných matic (A T ) T = A (A+B) T = A T + B T (AB) T = B T A T

46 46 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Mám k dispozici 110 příkladů na derivace, 105 na integrály a 185 příkladů z finanční matematiky. Chci dát testy, z nichž 1. test obsahuje jeden příklad na derivace a dva příklady na integrály, atd. Počty popisuje tabulka. Zajímá mne, kolik variant jednotlivých testů mohu sestavit tak, abysekaždýpříkladvyskytovalprávěvjednomtestu(azdatovůbec půjde nějak zkombinovat). Podle následující tabulky sestavíme soustavu rovnic.

47 47 T 1 T 2 T 3 početpříkladů derivace integrály finanč.mat KolikvariantT 1,T 2,T 3? Označímepočty:(x 1, x 2, x 3 )

48 48 1 x 1 +2 x 2 +3 x 3 =110 2 x 1 +5 x 2 +1 x 3 =105 0 x 1 +1 x 2 +7 x 3 = x 1 x 2 x 3 =

49 49 1 x 1 +2 x 2 +3 x 3 =110 2 x 1 +5 x 2 +1 x 3 =105 0 x 1 +1 x 2 +7 x 3 = x 1 x 2 x 3 =

50 50 soustava lineárních rovnic obecně: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Ax=b

51 51 A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x= x 1 x 2. x n b= b 1 b 2. b m A je matice soustavy, x je vektor neznámých, a bjevektorpravýchstran

52 (A b) = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m 52 (A b) je rozšířená matice soustavy Soustava je řešitelná, právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.

53 53 Soustava je řešitelná: má 1 řešení nebo nekonečně mnoho řešení Je-li matice soustavy čtvercová matice(soustava má nrovniconneznámých),pakmásoustavajediné řešení, právě když je matice soustavy regulární Řešení: Gaussova eliminace(elementární úpravy jako inverzní matice)

54 54 Determinanty Determinant je funkce, která každé čtvercové matici přiřadí číslo. Označení:det Anebo A Definice: { a11 pokud n=1 deta= ni=1 ( 1) i+1 a i1 deta i1 pokud n >1

55 55 A ij jematice,ukterévynecháme i-týřádekaj-tý sloupec. Její determinant se zpravidla nazývá subdeterminant. Ve vzorci se subdeterminantům navíc přidělujíznaménka podleschematu

56 56 matice2 2:detA=a 11 a 22 a 21 a 12 ( ) a11 a 12 a 21 a 22 Pamatujeme si: součin prvků na diagonále zleva dopravaberemeseznaménkem +,součinprvkůna diagonálezpravadolevaberemeseznaménkem -

57 57 matice 3 3: Sarrusovo pravidlo deta=a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12

58 Pomůcka: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 třikrát součin prvků na diagonálách zleva doprava seznaménkem+atřikrátsoučinprvkůnadiagonáláchzpravadolevaseznaménkem ;lzeispřipsánímprvníchdvouřádkůpodpůvodnímatici Vyšší řády: nutno upravit 58

59 59 A z Avzniknezáměnoudvouřádkůmezisebou deta = deta A z Avzniknevynásobenímjednohořádkučíslem λ deta = λdeta A z Avzniknepřičtenímnásobkujednohořádku k jinému řádku deta =deta

60 60 Rozvoj determinantu podle j-tého sloupce n deta= ( 1) k+j a kj deta kj k=1 Rozvoj determinantu podle i-tého řádku n deta= ( 1) i+k a ik deta ik k=1

61 61 Vlastnosti: deta=deta T det(a B)=detA detb Je-li A horní(resp. dolní) trojúhelníková matice, pak platí deta=a 11 a a nn. Ajeregulární,právěkdyždetA 0.

62 62 Determinanty a inverzní matice: (a ij ) j=1..n (b ij ) j=1..n A= i=1..n, A 1 = i=1..n, b ij = ( 1)i+j deta ji deta

63 63 Rozložíme-li do jednodušších kroků: vytvoříme matici ze stejnolehlých subdeterminantů A ij opatřímeje střídavýmiznaménky takto vzniklou matici transponujeme každý prvek vzniklé matice dělíme determinantem matice původní

64 Determinant a řešení lineární rovnic: Cramerovo pravidlo: Nechť Ax=bjesoustavalineárníchrovnic,kde A jeregulárníčtvercovámaticeřádu n.označme A j matici, která vznikne z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem b pravých stran rovnic dané soustavy.pakprokaždé j=1,2,..., nplatí x j = deta j deta 64

65 65 Podrobnější výklad a návod k řešení příkladů najdete na adrese: Matice-a-determinanty-inverzni-matice/ sc-63-sr-1-a-33/default.aspx Přečtěte si nejprve výklad vystavený pod STUDIJNÍ TEXT apaksiprojděteanimacev ŘEŠENÉ PŘÍKLADY- PRESENTACE. Část NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY obsahuje příklady, ale bez výsledků.

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku

Více

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b, Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).

Více

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3 SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018 Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost

Více

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ). Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava tel (553 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 1: Matice a determinanty 1 Přehled základních pojmů a tvrzení Základní pojmy Číselná

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong Armstrong Zuzana Došlá, Petr Liška Matematika pro nematematické obory x z y s aplikacemi v přírodních a technických vědách Zuzana Došlá, Petr Liška Matematika pro nematematické obory x z y s aplikacemi

Více

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici [1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích

Více

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace

Více

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR

Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR Helena Říhová FBMI 12. listopadu 2010 Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu 2010 1 / 11 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více