4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20"

Transkript

1 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

2 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet LU rozkladu 5. Řešení soustav pomocí LU rozkladu 6. Použití LU rozkladu

3 4. Trojúhelníkový rozklad p. 3/ Permutační matice DEFINICE 1 Matice P se nazývá permutační matice, je-li možno P získat z jednotkové matice I stejného typu postupnou výměnou řádků.

4 4. Trojúhelníkový rozklad p. 3/ Permutační matice DEFINICE 1 Matice P se nazývá permutační matice, je-li možno P získat z jednotkové matice I stejného typu postupnou výměnou řádků. Výměnu i-tého aj-tého řádku dané matice můžeme provést tak, že tuto matici vynásobíme zleva elementární permutační maticí P ij. Každou permutační matici P je možno zapsat ve tvaru P = P ik j k P i1 j 1 I = P ik j k P i1 j 1.

5 4. Trojúhelníkový rozklad p. 4/ Permutační matice PŘÍKLAD 1 I = [ ] r3 r 1 [ ] r2 r 1 [ ] = P, takže P můžeme zapsat ve tvaru P = P 12 P 13 I = P 12 P 13.

6 4. Trojúhelníkový rozklad p. 4/ Permutační matice PŘÍKLAD 1 I = [ ] r3 r 1 [ ] r2 r 1 [ ] = P, takže P můžeme zapsat ve tvaru P = P 12 P 13 I = P 12 P 13. LEMMA 1 Pro libovolnou permutační matici P platí P 1 = P

7 4.1 Permutační matice PŘÍKLAD 1 I = [ ] r3 r 1 [ ] r2 r 1 [ ] = P, takže P můžeme zapsat ve tvaru P = P 12 P 13 I = P 12 P 13. LEMMA 1 Pro libovolnou permutační matici P platí P 1 = P DŮKAZ: Zřejmě platí P ij = P ij. Pak zp 1 ij = P ij (viz Lemma 2 z přednášky Inverzní matice ) plyne PP = P ik j k P i1 j 1 (P ik j k P i1 j 1 ) = P ik j k P i1 j 1 P i 1 j 1 P i k j k = P ik j k P i1 j 1 P i1 j 1 P ik j k = P 1 i k j k P 1 i 1 j 1 P i1 j 1 P ik j k = I 4. Trojúhelníkový rozklad p. 4/20

8 4. Trojúhelníkový rozklad p. 5/ Permutační matice Elementární permutační maticep ij můžeme také použít k výměně i-tého aj-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticíp ij zprava.

9 4. Trojúhelníkový rozklad p. 5/ Permutační matice Elementární permutační maticep ij můžeme také použít k výměně i-tého aj-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticíp ij zprava. PŘÍKLAD 2 Například vynásobíme-li maticia = [a ij ] řádu 2 maticíp 12 zprava, dostaneme [ ][ a11 a AP 12 = a 21 a ] = [ a12 a 11 a 22 a 21 ] = [ s A 2,s A 1 ].

10 4. Trojúhelníkový rozklad p. 5/ Permutační matice Elementární permutační maticep ij můžeme také použít k výměně i-tého aj-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticíp ij zprava. PŘÍKLAD 2 Například vynásobíme-li maticia = [a ij ] řádu 2 maticíp 12 zprava, dostaneme [ ][ a11 a AP 12 = a 21 a ] = [ a12 a 11 a 22 a 21 ] = [ s A 2,s A 1 ]. K odvození obecného pravidla pro permutaci sloupců můžeme použít transponování.

11 4. Trojúhelníkový rozklad p. 6/ Trojúhelníkové matice DEFINICE 2 Čtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní) trojúhelníková matice, jestliže má nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkové matice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané horní trojúhelníkové matice U platíu ij = 0 pro i > j.

12 4. Trojúhelníkový rozklad p. 6/ Trojúhelníkové matice DEFINICE 2 Čtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní) trojúhelníková matice, jestliže má nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkové matice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané horní trojúhelníkové matice U platíu ij = 0 pro i > j. LEMMA 2 Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu.

13 4. Trojúhelníkový rozklad p. 6/ Trojúhelníkové matice DEFINICE 2 Čtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní) trojúhelníková matice, jestliže má nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkové matice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané horní trojúhelníkové matice U platíu ij = 0 pro i > j. LEMMA 2 Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu. DŮKAZ: Jsou-li například L = [l ij ] a M = [m ij ] dvě dolní trojúhelníkové matice ai < j, pak [LM] ij = l i1 m 1j + +l in m nj = l i1 0+ +l ii 0+0 m i+1j + +0 m nj = 0, takže LM je také dolní trojúhelníková matice.

14 4. Trojúhelníkový rozklad p. 7/ Trojúhelníkové matice VĚTA 1 Necht L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky. Pak L je regulární a L 1 je dolní trojúhelníková matice.

15 4. Trojúhelníkový rozklad p. 7/ Trojúhelníkové matice VĚTA 1 Necht L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky. Pak L je regulární a L 1 je dolní trojúhelníková matice. DŮKAZ: Je-li L dolní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále, pak existují matice elementárních operací T p = G ip j p (α p ) si p < j p, případně T p = M ip (l 1 i p i p ) tak, že pro matici T = T k T 1 platí T [ L I ] = [ I B ]. Tedy L je regulární. Porovnáním levých částí příslušných matic dostaneme TL = I. Odtud tedy platí L = T 1, odkud dle definice inverzní matice je LT = I at = L 1.

16 4. Trojúhelníkový rozklad p. 7/ Trojúhelníkové matice VĚTA 1 Necht L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky. Pak L je regulární a L 1 je dolní trojúhelníková matice. DŮKAZ: Je-li L dolní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále, pak existují matice elementárních operací T p = G ip j p (α p ) si p < j p, případně T p = M ip (l 1 i p i p ) tak, že pro matici T = T k T 1 platí T [ L I ] = [ I B ]. Tedy L je regulární. Porovnáním levých částí příslušných matic dostaneme TL = I. Odtud tedy platí L = T 1, odkud dle definice inverzní matice je LT = I at = L 1. Jelikož všechny matice T i jsou dolní trojúhelníkové, je také matice dolní trojúhelníková matice. L 1 = T = T k T 1

17 4. Trojúhelníkový rozklad p. 8/ Trojúhelníkový (LU) rozklad VĚTA 2 Necht A je regulární čtvercová matice. Pak existuje dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že Matice L, U jsou regulární. AP = LU.

18 4. Trojúhelníkový rozklad p. 8/ Trojúhelníkový (LU) rozklad VĚTA 2 Necht A je regulární čtvercová matice. Pak existuje dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že Matice L, U jsou regulární. AP = LU. DŮKAZ: Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n. Z regulárnosti matice A plyne, že existuje i 1 tak, žea 1i1 0. Takže Ā = AP 1i 1 má v levém horním rohu nenulový prvek ā 11 = a 1i1.

19 4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1,

20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1, kde A 1 = ā 11 ā ā 1n 0 a a 1 2n a 1 n2... a 1 nn

21 4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1, kde A 1 = ā 11 ā ā 1n 0 a a 1 2n = a 1 11 a a 1 1n 0 a a 1 2n a 1 n2... a 1 nn 0 a 1 n2... a 1 nn

22 4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1, kde A 1 = ā 11 ā ā 1n 0 a a 1 2n = a 1 11 a a 1 1n 0 a a 1 2n a 1 n2... a 1 nn 0 a 1 n2... a 1 nn a L 1 = G 1n ( ā n1 /ā 11 ) G 12 ( ā 21 /ā 11 ) je dolní trojúhelníková matice, nebot je vyjádřena jako součin dolních trojúhelníkových matic.

23 4. Trojúhelníkový rozklad p. 10/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování MaticeA 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže je A 1 také regulární a existuje i 2 2 tak, žea 1 2i 2 0. Matice Ā1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulový prvek ā 22 a stejný první sloupec jako maticea 1.

24 4. Trojúhelníkový rozklad p. 10/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování MaticeA 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže je A 1 také regulární a existuje i 2 2 tak, žea 1 2i 2 0. Matice Ā1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulový prvek ā 22 a stejný první sloupec jako maticea 1. Opakováním tohoto postupu dosáhneme toho, že LAP = U,

25 4. Trojúhelníkový rozklad p. 10/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování MaticeA 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže je A 1 také regulární a existuje i 2 2 tak, žea 1 2i 2 0. Matice Ā1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulový prvek ā 22 a stejný první sloupec jako maticea 1. Opakováním tohoto postupu dosáhneme toho, že LAP = U, kde a U = a n 1 11 a n a n 1 1n 0 a n a n 1 2n a n 1 nn = A n 1 P = P 1i1 P n 1in 1, L = Ln 1 L 1.

26 4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j.

27 4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j. Přenásobíme-li rovnici LAP = U zleva maticíl = L 1, dostaneme AP = LU.

28 4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j. Přenásobíme-li rovnici LAP = U zleva maticíl = L 1, dostaneme AP = LU. Matice L je regulární dolní trojúhelníková matice, nebot je inverzní k dolní trojúhelníkové matici L. Jelikož jsou matice A,P, L regulární, je také maticeu = LAP regulární.

29 4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j. Přenásobíme-li rovnici LAP = U zleva maticíl = L 1, dostaneme AP = LU. Matice L je regulární dolní trojúhelníková matice, nebot je inverzní k dolní trojúhelníkové matici L. Jelikož jsou matice A,P, L regulární, je také maticeu = LAP regulární. Vyjádření matice ve tvaru součinu AP = LU se nazývá LU rozklad podle počátečních písmen anglických slov Lower (dolní) a Upper (horní). Matice L, U a P nejsou určeny jednoznačně.

30 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně:

31 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ]

32 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším.

33 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším. Nesmíme vyměňovat řádky

34 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším. Nesmíme vyměňovat řádky Pokud to je nutné, můžeme vyměnit sloupce a tyto výměny budeme zaznamenávat stejnými úpravami jednotkové matice t.j. I P, kde P je hledaná permutační matice.

35 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším. Nesmíme vyměňovat řádky Pokud to je nutné, můžeme vyměnit sloupce a tyto výměny budeme zaznamenávat stejnými úpravami jednotkové matice t.j. I P, kde P je hledaná permutační matice. 2. Vypočteme L = L 1 úpravou [ L I ] [ ] I L. K této úpravě opět nesmíme použít elementární řádkové operace popsané v 1.

36 4. Trojúhelníkový rozklad p. 13/ Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Úprava [ A I ] [ U L ] : [ ] [ ] A I = s 3 s 1 [ ] r 2 = [ U L ] [ ] [ r 1 ] =

37 4.4 Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Úprava [ A I ] [ U L ] : [ ] [ ] A I = s 3 s 1 [ ] r 2 = [ U L ] Sledování výměn sloupců: [ ] I = s 3 s 1 [ [ ] [ ] = P 2+r 1 ] 4. Trojúhelníkový rozklad p. 13/20 =

38 4. Trojúhelníkový rozklad p. 14/ Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Pokračování VýpočetL = L 1 úpravou [ L I ] [ ] I L : [ ] [ ] [ L I = r r = [ I L ] ] r =

39 4.4 Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Pokračování VýpočetL = L 1 úpravou [ L I ] [ ] I L : [ ] [ ] [ L I = r r = [ I L ] ] r [ ] L = , U = 0 3 2, P = Přímým výpočtem si můžeme ověřit, že platí AP = LU. [ = ] 4. Trojúhelníkový rozklad p. 14/20.

40 4. Trojúhelníkový rozklad p. 15/ Výpočet LU rozkladu Uvedený postup výpočtu LU rozkladu je spíše vhodný pro ruční výpočet. Pro počítačové nalezení LU rozkladu bychom využili následujících poznatků.

41 4. Trojúhelníkový rozklad p. 15/ Výpočet LU rozkladu Uvedený postup výpočtu LU rozkladu je spíše vhodný pro ruční výpočet. Pro počítačové nalezení LU rozkladu bychom využili následujících poznatků. Předpokládejme, že provádíme úpravu [ A I ] [ U L ] a máme upraveno k 1 sloupců. Pak A k 1 = a k 1 1,k. a k 1 k,k a k 1 k+1,k. a k 1 n,k

42 4.4 Výpočet LU rozkladu Uvedený postup výpočtu LU rozkladu je spíše vhodný pro ruční výpočet. Pro počítačové nalezení LU rozkladu bychom využili následujících poznatků. Předpokládejme, že provádíme úpravu [ A I ] [ U L ] a máme upraveno k 1 sloupců. Pak A k 1 = a k 1 1,k. a k 1 k,k a k 1 k+1,k. a k 1 n,k L k a k 1,k. a k k,k 0. 0, L k = l k+1,k l n,k kde l i,k = a k 1 i,k /ak 1 k,k,i = k +1,...,n. 4. Trojúhelníkový rozklad p. 15/20

43 4. Trojúhelníkový rozklad p. 16/ Výpočet LU rozkladu Po n 1 úpravách obdržíme U = LA, kde L = L n 1 L 1. Pro hledanou matici L ovšem platí L = L 1 = L 1 1 L 1 n 1.

44 4. Trojúhelníkový rozklad p. 16/ Výpočet LU rozkladu Po n 1 úpravách obdržíme U = LA, kde L = L n 1 L 1. Pro hledanou matici L ovšem platí L = L 1 1 = L 1 L 1 n 1. Pak se dá snadno dokázat, že L 1 k = l k+1,k a L = l k, l k+1,1...l k+1,k l n,k l n1... l n,k l n,k+1...1

45 4. Trojúhelníkový rozklad p. 16/ Výpočet LU rozkladu Po n 1 úpravách obdržíme U = LA, kde L = L n 1 L 1. Pro hledanou matici L ovšem platí L = L 1 1 = L 1 L 1 n 1. Pak se dá snadno dokázat, že L 1 k = l k+1,k a L = l k, l k+1,1...l k+1,k l n,k l n1... l n,k l n,k Případné výměny sloupců se budou opět zaznamenávat do I čímž obdržíme permutační matici P.

46 4. Trojúhelníkový rozklad p. 17/ Výpočet LU rozkladu S použitím výše uvedených poznatků můžeme navrhnout algoritmus pro přímé nalezení LU rozkladu matice A:

47 4. Trojúhelníkový rozklad p. 17/ Výpočet LU rozkladu S použitím výše uvedených poznatků můžeme navrhnout algoritmus pro přímé nalezení LU rozkladu matice A: Algoritmus U = A, L = I fork = 1 to n 1 do for i = k +1 to n do l i,k = u i,k /u k,k u i,k:n = u i,k:n l i,k u k,k:n end for end for

48 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P.

49 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme

50 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme 1. Lz = b tzv. dopřednou substitucí

51 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme 1. Lz = b tzv. dopřednou substitucí 2. Uy = z tzv. zpětnou substitucí

52 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme 1. Lz = b tzv. dopřednou substitucí 2. Uy = z tzv. zpětnou substitucí 3. Px = y permutací složek řešení. 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/20

53 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1

54 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = z z 2 = z z 3 = 1

55 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. z 1 = z z 2 = z z 3 = 1

56 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = z z 2 = z z 3 = 1 odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavuuy = z, tedy 2y 1 y 2 = 1 3y 2 2y 3 = 3 4y 3 = 6

57 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = z z 2 = z z 3 = 1 odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavuuy = z, tedy Odtudy 1 = 3 2,y 2 = 2,y 3 = y 1 y 2 = 1 3y 2 2y 3 = 3 4y 3 = 6

58 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = z z 2 = z z 3 = 1 odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavuuy = z, tedy Odtudy 1 = 3 2,y 2 = 2,y 3 = y 1 y 2 = 1 3y 2 2y 3 = 3 4y 3 = 6 Konečně určíme x řešením Px = y nebo zx = Py, takže x 1 = 3 2,x 2 = 2,x 3 = Trojúhelníkový rozklad p. 19/20

59 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/ Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic

60 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/ Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3

61 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/ Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3 LU rozklad je velmi efektivní nástroj pro řešení soustav s více pravými stranami (pro různé pravé strany stačí pouze řešit dopřednou a zpětnou substituci)

62 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/ Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3 LU rozklad je velmi efektivní nástroj pro řešení soustav s více pravými stranami (pro různé pravé strany stačí pouze řešit dopřednou a zpětnou substituci) LU rozkladu je možné využít i k nalezení inverzní matice nebot A = LU P A 1 = PU 1 L 1

63 4.6 Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3 LU rozklad je velmi efektivní nástroj pro řešení soustav s více pravými stranami (pro různé pravé strany stačí pouze řešit dopřednou a zpětnou substituci) LU rozkladu je možné využít i k nalezení inverzní matice nebot A = LU P A 1 = PU 1 L 1 LU rozklad je taktéž velmi důležitý teoretický nástroj 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/20

[1] LU rozklad A = L U

[1] LU rozklad A = L U [1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

4. LU rozklad a jeho numerická analýza

4. LU rozklad a jeho numerická analýza 4 LU rozklad a jeho numerická analýza Petr Tichý 24 října 2012 1 Úvod Nechť A je regulární matice Řešíme Ax = b LU rozklad (Gaussova eliminace) je jeden z nejdůležitějších nástrojů pro problém řešení soustav

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Rozklady matic Bakalářská práce Brno 8 Antonín Tulach PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat RNDr. Martinovi Tajovskému za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Numerické řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty @7. Soustava lineárních rovnic a determinanty Determinanty x V této lekci si ukážeme řešení soustavy lineárních rovnic (dvou rovnici pro dvě neznámé a tří rovnic pro tři neznámé) pomocí determinantů. Definice:

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více