Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel."

Transkript

1 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. Zvláštní případy kvadratické funkce : Je-li b = 0 a c = 0 y = ax Grafem této funkce je parabola. Je-li a = x y = x Funkce y = ax a 0 v intervalu x < 0 je klesající, v intervalu x > 0 je rostoucí. Graf kvadratické funkce tvaru y = ax a 0 je parabola, která má vrchol v bodě [ 0 ; 0 ]. pro různé a

2 Je-li b = 0 y = ax + c a 0 Příklad : Narýsujte v oboru reálných čísel graf funkce : a) y = -x + x + b) y = x + x - a)

3 b) Příklad : Sestrojte funkci : a) y = ( x ) b) y = -( x ) c) y =.( x ) d) y = ( x ) +

4 POZNÁMKA : z technických důvodů nelze v grafickém programu psát mocniny a proto uvádíme mocninu jako součin výrazů. Příklad : U funkce y = x x 6 vypočítejte : a) průsečíky grafu s osou x, b) průsečíky grafu s osu y, c) souřadnice vrcholu paraboly,. fáze : určíme průsečíky grafu s osou x y = x x 6 = ( x + ). ( x ) y = ( x + ). ( x ) = 0 pro x = - a x = je funkční hodnota rovna nule (graf funkce protíná osu x ). Průsečíkem grafu funkce y = x x 6 s osou x jsou body A [ - ; 0 ] a B [ ; 0 ]. fáze : určíme průsečíky grafu s osu y Body ležící na ose y mají x-ovou souřadnici rovnou nule. y = = - 6 Průsečíkem grafu funkce y = x x 6 s osou y je bod C [ 0 ; -6 ]. fáze : určíme souřadnice vrcholu paraboly Parabola je souměrná podle své osy a proto určíme průsečík této osy s osou x x x = (-) = 5 0,5.( x x ) = 5. 0,5 =,5 x 0 = x + 0,5.( x x ) = - +,5 = 0,5 Nyní určíme funkční hodnoty pro x 0 y = x x 6 = 0,5-0,5 6 = -6,5 Vrcholem paraboly, která je grafem funkce y = x x 6, je bod V [ 0,5 ; -6,5 ].

5 Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x c) y = x + b) y = -x d) y = -x - e) y = 6x + x f) y = x + x 9. ročník 5. Funkce g) y = x + x + h) y = x + x +6 Příklad : Napište rovnici kvadratické funkce, jejíž body : a) budou mít y-ove souřadnice pouze kladná čísla, b) budou mít y-ové souřadnice pouze záporná čísla, c) A [ ; ] a B [ ; ] budou jedinými body dané funkce. Příklad : Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osou x u funkcí : a) y = x b) y = x + c) y = x - d) y = x - x 8 e) y = x + x -7 f) y = ( x + ) g) y = -( x + ) + h) y = x -6x + 0 Příklad : Vypočtěte souřadnice průsečíků grafu funkce s osou y u funkcí : a) y = x b) y = x + c) y = x - d) y = x - x 8 e) y = x + x -7 f) y = ( x + ) g) y = -( x + ) + h) y = x -6x + 0 Příklad 5 : Vypočtěte vrchol paraboly, která je grafem těchto funkcí : a) y = x b) y = x + c) y = x - d) y = x - x 8 e) y = x + x -7 f) y = ( x + ) g) y = -( x + ) + Příklad 6 : Vypočtěte pomocí grafu kvadratické funkce tento příklad : Určete přirozené číslo, pro které platí, že jeho součin s číslem o jedno větší je Numerické řešení kvadratické rovnice Obecný tvar kvadratické rovnice : ax + bx + c = 0, kde a a b je libovolné reálné číslo a současně a 0. Každá kvadratická rovnice má dva kořeny Zvláštní případy kvadratické rovnice : Je-li b = 0 ax + c = 0, kvadratická rovnice bez lineárního členu Příklad : Řešte kvadratické rovnice : a) x = 0 b) x + = 0 a) x = 0 x = x = x = x = x = - Zkouška : L =. ( ) =. 0,5 = 0 P = 0 L = P 5

6 P =. ( - ) =. 0,5 = 0 P = 0 L = P b) x + = 0 x = - x = - Tato rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, protože druhá mocnina každého reálného čísla je číslo nezáporné. Obecný tvar kořene tohoto typu kvadratické rovnice : pro c < 0 je x = c a a x = - c a, pro c > 0 rovnice nemá řešení. Je-li c = 0 ax + bx = 0 kvadratická rovnice bez absolutního členu Příklad : Řešte kvadratické rovnice : a) 5x + x = 0 b) 5x - x = 0 a) 5x + x = 0 x.( 5x + ) = 0 x = 0 5x + = 0 x = - 5 Zkouška : L = = 0 P = 0 L = P L = 5. ( - 5 ) +. ( - 5 ) = = 0 P = 0 L = P b) 5x - x = 0 x.( 5x - ) = 0 x = 0 5x - = 0 x = 5 Zkouška : L = = 0 P = 0 L = P L = 5. ( 5 ) -. ( 5 ) = = 0 P = 0 L = P Obecný tvar kořene tohoto typu kvadratické rovnice je x = 0 a x = - b a. Je-li b = 0 a c = 0 ax = 0 Příklad : Řešte kvadratickou rovnici 9x = 0. 9x = 0. x = 0 x = 0 dvojnásobný kořen Zkouška : L = 9. 0 = 0 P = 0 L = P Příklad : Řešte kvadratickou rovnici x + 7x + = 0 Tento typ rovnic již umíme vyřešit pomocí zkráceného rozkladu na součin. x + 7x + = 0 6

7 ( x + ). ( x + ) = 0 x = - x = - Zkouška : L = ( - ) + 7. ( - ) + = 9 + = 0 P = 0 L = P L = ( - ) + 7. ( - ) + = = 0 P = 0 L = P 9. ročník 5. Funkce Kořen kvadratické rovnice ax + bx + c = 0 má tvar : x = x = b b ac a b b ac a. b ac se nazývá diskriminant. b ac > 0 - rovnice má mě řešení b ac = 0 - rovnice má jedno řešení ( dvojnásobné ) b ac < 0 - rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel ( má řešení v oboru komplexních čísel Příklad : Řešte kvadratickou rovnici a) x - 7x 5 = 0, b) x + x = 0. a) x - 7x 5 = 0, x, = x = = 0 5 x = Zkouška L = = = 0 P = 0 L = P L =. ( -,5 ) -7.( -,5 ) 5 =,5 + 0,5 5 = 0 P = 0 L = P b) x + x = 0..( ) x, = x = x = Zkouška : L =.( ) = 0 L =.( 7 ) = P = 0 L = P - = = 0 P = 0 L = P 7

8 Příklad 7 : Řešte kvadratickou rovnici : a) 5x + x + 8 = 0 b) x - x = 0 c) x 0,5 = 0 d) 5x - x = 0 e) -x + x 6 = 0 f) x + 6x + 5 = 0 g) x - 6x 80 = 0 x x h) x x ch) x x x x i) x j) x = 6 k) x = -9 x 6 Příklad 8 : Řešte kvadratické rovnice : a) ( x 8 ) + ( x 6 ) = 00 b) x + ( 5 x ) = ( 5 x ) c) ( x + ). ( x ) +( x ). ( x ) = 0 d) ( x ) + ( x - 9 ) = ( x ) e) ( x 8 ) ( x 6 ) + ( 5x ). ( 5x + ) = f) ( x 7 ) ( x + ) = 5 g) ( x ) : ( x + ) = ( x + ) : ( x ) 9. ročník 5. Funkce l) x = x m) x - x = 0 n) x + x = 0 o) x - 7x 0 = 0 p) 6x + x + 6 = 0 r) 5x - x 5 = 0 s) x - 9x + 0 = 0 t) ( x + 6 ). ( x ) = ( x ). ( x ) u) ( x + ) + ( x 0 ) = ( x + 8 ) x v) x x. x x. x 8 5x 7 x x 9x x x x w) x 5 x 5 h) x x ch) x x x 7 x 7 i) x. x =.x j) x + x = x Příklad : Kořeny kvadratické rovnice jsou čísla a -. Vypočtěte kvadratickou rovnici s těmito kořeny.. fáze: dosadíme do vzorce ( x x ). ( x x ) = 0, kde x a x jsou kořeny naší rovnice ( x ). ( x + ) = 0. fáze : rovnici upravíme x x 8 = 0 Příklad 9 : V rovnici x x + a = 0 vypočtěte a tak, aby rovnice měla jeden z kořenů číslici 0. Příklad 0 : Určete číslo a tak, aby rovnice 5x + ( 6a + 8).x + ( a + a 8 ) = 0 byla kvadratickou rovnicí bez lineárního členu a potom tuto rovnici vyřešte. Příklad : Jedna odvěsna pravoúhlého trojúhelníku se rovná 75 % druhé odvěsny. Určete obvod tohoto trojúhelníka, je-li jeho plošný obsah cm. Příklad : Vypočtěte poloměr kružnice, jejíž tětiva, vzdálená 8 cm od středu, je o cm delší než poloměr. Příklad : Obsah obdélníka je 9 cm. Určete jeho rozměry, je-li jeho šířka o 6 cm kratší než jeho délka. Příklad : Určete přirozené číslo, pro které platí, že jeho součin s číslem o jednu větším je 7. 8

9 Příklad 5 : Určete přirozené číslo, pro které platí, že jeho druhá mocnina zmenšená o 6 je rovna Grafické řešení kvadratické rovnice Příklad : Vyřešte graficky kvadratickou rovnici : a) x = 0 b) x - = 0 c) -x + = 0 d) x + = 0 e) x + x = 0 Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro x = 0. Rovnice x = 0, je-li x = 0 Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro x - = 0. Rovnice x = 0, je-li x = a x = -. Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro -x + = 0. Rovnice -x + = 0 je-li x = a x = -. 9

10 Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 pro x + = 0 nenastane. Rovnice x + = 0 nemá řešení. Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro x + x - = 0. Rovnice x + x - = 0, je-li x = - a x =. Shrnutí : Grafickou metodou jsme potvrdili, že kvadratická rovnice : a) má dva kořeny, b) má jeden kořen ( dvojnásobný ), c) nemá řešení. Rovnici x + x = 0 můžeme graficky řešit také takto : x + x = 0 x = - x + f(x) = x g(x) = x a zjišťujeme pro které x je f(x) = g(x) f(x) = g(x) x = - x = Logicky jsme dostali stejné výsledky. Příklad 6 : Graficky vyřešte tyto rovnice : a) -x = 0 d) x -0x +0 = 0 b) 0,8x - = 0 e) x +x = 0 c) x +x -5 = 0 f) x -x - = 0 g) ( x + ) x + = 0 h) 5x + = 0 0

11 5.. Numerické a grafické řešení kvadratické nerovnice Příklad : Vyřešte kvadratickou nerovnici x + x 8 < 0. fáze : kvadratickou nerovnici rozložíme na součin ( zkráceným rozkladem nebo pomocí diskriminantu nerovnici řešíme jako rovnici ) x + x 8 < 0 nebo x + x 8 = 0 ( x + ). ( x ) < 0 x, =.. 8. x = - x = ( x x ). ( x x ) = 0 ( x + ). ( x ) = 0. fáze : vyřešíme danou nerovnici ( x + ). ( x ) < 0 ( x + ). ( x ) < 0 x + < 0 x > 0 x + > 0 x < 0 x < - x > x > - x < - < x < - < x < Příklad : Vyřešte kvadratickou nerovnici x + x 0 : a) numericky b) graficky a) numericky :. fáze : kvadratickou nerovnici rozložíme na součin ( zkráceným rozkladem nebo pomocí diskriminantu nerovnici řešíme jako rovnici ) x + x 0 ( x ). ( x + ) 0. fáze : vyřešíme danou nerovnici ( x + ). ( x ) 0 x + 0 x 0 x + 0 x 0 x - x x - x - x - x. fáze : kvadratickou nerovnici upravíme na vhodný tvar a rozdělíme na dvě funkce x + x < 0 x < x

12 f(x) < g(x), kde f(x) = x g(x) = -x + 9. ročník 5. Funkce b) graficky. fáze : dané dvě funkce znázorníme f(x) < g(y), kde f(x) = x g(x) = -x + je v intervalu - x Numerickou a grafickou metodou jsme řešili kvadratickou nerovnici a dostali jsme shodný výsledek - x. Příklad 7 : Řešte numericky i graficky kvadratické nerovnice : a) x -x + 0 b) x -x + 9 > 0 c) -x + x > 0 d) -x e) x 9 < 0 f) x - x 6 < 0 g) x - 6x 7 < 0 h) x + 6x 55 0 ch) x + x + 5 > 0 i) x - x +0 0 j) x -7 x 0 > 0 k) x - 0x l) ( x ). ( x + ) + 8x < ( x ). ( x + ) k 5.5. Racionální lomená funkce y 5.5. Nepřímá úměrnost ax b Nepřímá úměrnost je zvláštní případ racionální lomené funkce, pro kterou platí a =, b = 0, x 0 Rovnice nepřímé úměrnosti y = k, kde k je libovolné reálné číslo, které je různé od nuly x x 0. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola, jejíž osou je : a) pro k > 0 přímka y = x b) pro k < 0 přímka y = -x Příklad : Sestrojte graf nepřímé úměrnosti : a) y = x b) y = - x

13 Pro k > 0 platí, že funkce v definičním oboru pro x < 0 je funkcí klesající pro x > 0 je funkcí klesající. Pro k < 0 platí, že funkce v definičním oboru pro x < 0 je funkcí rostoucí pro x > 0 je funkcí rostoucí. Příklad : Ve válcové nádobě o objemu 000 cm je uzavřen plyn pístem, kterým lze posouvat. Při posunutí pístu se mění objem uzavřeného plynu, a tím se zároveň mění i tlak. Nemění-li se teplota plynu platí vzorec p.v = k, kde k je fyzikální konstanta, která v našem případě má hodnotu 00. Narýsujte graf této závislosti.. fáze : zápis p = 00 V nezávisle proměnná veličina.. objem závisle proměnná veličina.. tlak definiční obor.. V 000. fáze : sestrojení příslušného grafu Příklad 8 : Sestrojte graf funkce : a) y = x b) y = - x c) y = x Příklad 9 : Sestrojte graf nepřímé úměrnosti, který prochází bodem A [ ;,5]. Příklad 0 : Vypočtěte konstantu k, jestliže víte, že graf funkce y = k x prochází bodem o souřadnicích [ ; ]. Sestrojte graf této nepřímé úměrnosti. Příklad : Zjistěte výpočtem i graficky, který z bodů A [ ; - ], B [ - ; -,5], C [ -5 ; -,5 ] leží na grafu funkce y = x

14 5.5.. Racionální lomená funkce y k ax b. 9. ročník 5. Funkce k Racionální lomená funkce y ax b Podmínka řešitelnosti : - b a 0 a reálné číslo, b reálné číslo Definiční obor racionální lomené funkce : všechna reálná kromě čísla - b a. Zápis D = R - { - b a } Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x b) y = x a) definiční obor : všechna reálná čísla kromě čísla

15 b) definiční obor : všechna reálná čísla kromě čísla -0,5. Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x 5 b) y = x c) y = x Příklad : Sestrojte graf závislosti odporu R měděného drátu dlouhého metr na průřezu ( v intervalu mm až 0 mm ) při specifickém odporu = 0,075 ohmu na metr ( R =. l S, kde S je průřez ). k Příklad : Napište : a) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem A [ x ; -]. k b) ) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem B [ x ; - 5 ]. Příklad 5 : Napište rovnici funkce y = B [ - ; -]., jejíž graf prochází bodem A [ ; ] a ax b 5.6. Funkce s absolutní hodnotou y = k. x - funkce s absolutní hodnotou k koeficient a, b, - reálné číslo Je-li definičním oborem obor reálných čísel, pak grafem funkce s absolutní hodnotu jsou dvě polopřímky se společným počátečním bodem. Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x b) y = - x c) y = 0,5. x d) y =. x e) y =. x + f) y =. x - + 0,5 a) y = x b) y = - x 5

16 c) y = 0,5. x d) y =. x Graf funkce s absolutní hodnotou tvaru : a) y = k. x je v celém oboru reálných čísel osově souměrný s osou y. e) y =. x + 6

17 f) y =. x - + 0,5 Graf funkce s absolutní hodnotou tvaru : a) y = k. x + a + b je v celém oboru reálných čísel osově souměrný s osou y = -a Je-li b = 0 Společný počátek obou polopřímek je na ose x. Příklad 6 : Narýsujte graf funkce : a) y =. x b) y = -0,. x c) y =. x + d) y =. x - - 0,5 7 e) y =. x - + 0,

18 Příklad 7 : Narýsujte graf funkce y = k. x, který prochází bodem A [ ; ]. Příklad 8 : Bod A [ ; ] leží na grafu funkce y = k. x. Který další bod leží na grafu stejné funkce : a) X [ - ; ] b) Y [ ; -] c) Z [ - ; -] d) K [ ; ] e) L [ ; ] f) M [ ; 6] g) N [ 5 ; ] 5.7. Goniometrické funkce Goniometrické funkce ostrého úhlu (opakujeme učivo 8. ročníku ) Poměr délky protilehlé odvěsny a délky přepony pravoúhlého trojúhelníka se nazývá sinus úhlu - píšeme sin Poměr délky přilehl odvěsny a délky přepony pravoúhlého trojúhelníka se nazývá kosinus úhlu - píšeme cos Poměr délky protilehlé odvěsny a délky přilehlé odvěsny pravoúhlého trojúhelníka se nazývá tanges úhlu - píšeme tg Poměr délky přilehlé odvěsny a délky protilehlé odvěsny pravoúhlého trojúhelníka se nazývá kotanges úhlu - píšeme cotg sin = a c cos = b c tg = a b cotg = b a tg = a b = c.sin sin c.cos cos tg = sin cos tg cot g 8

19 Průběh funkce sin v intervalu < 0 ; 90 > Průběh funkce cos v intervalu < 0 ; 90 > Určení funkce tangens a kotangens pomocí jednotkové kružnice x = x + 80 tg x = tg x tangens úhlu x je y M 9

20 cotg x je x N 9. ročník 5. Funkce Průběh funkce tg v intervalu < 0 ; 90 > Přehledná tabulka goniometrických funkcí základních úhlů sin 0.. cos 0.. tg 0. N cotg N Goniometrické funkce v intervalu od 90 a více Vyjádření goniometrických funkcí úhlů v II. kvadrantu : sin 0 = sin ( 80-0 ) = sin 70 cos 0 = - cos 70 0

21 tg 0 = - tg 70 cotg 0 = - cotg ročník 5. Funkce Vyjádření goniometrických funkcí úhlů v III. kvadrantu : sin 00 = sin ( ) = - sin 0 cos 00 = - cos 0 tg 00 = tg 0 cotg 00 = cotg 0 Vyjádření goniometrických funkcí úhlů v IV. kvadrantu : sin 00 = - sin 60 cos 00 = cos 60 tg 00 = - tg 60 cotg 00 = - cotg 60 Přehledná tabulka goniometrických funkcí v intervalu 0-60 Postup při vytváření grafu funkce sin sin cos tg cotg Hodnoty záporného úhlu : sin ( - ) = - sin tg ( - ) = - tg cos ( - ) = cos cotg ( - ) = -cotg Průběh funkce sin :

22 Průběh funkce cos : Vzájemný vztah funkce sin a cos Vzájemný vztah funkce tg a cotg

23 Pro úhly větší než 60 platí : sin ( + 60.k ) = sin cos ( + 60.k ) = cos tg ( + 80.k ) = tg cotg ( + 80.k ) = cotg Příklad : Vypočítejte : a) sin 50 b) cos 0 c) sin 500 d) sin ( ) e) sin. f) cos. Řešení : g) cos (-. ) a) sin 50 = sin 0 = 0,5 b) cos 0 = cos 0 =. c) sin 500 = sin 0 = sin 0 = 0,68 d) sin ( ) = - sin 000 = = -sin 80 = - ( - sin 80 ) = sin 80 = 0,988 e) sin. = sin 70 = sin 0 = 0 f) cos. = cos. = cos = cos = 0,5 g) cos (-. = cos.80 = cos 5 = - cos 5 = -. ) = cos ( -5. ) = Příklad 9 : Určete : a) sin 0 = b) sin 5 = c) sin 66 = d) sin 90 = e) sin 00 = f) sin 00 = g) sin 00 = h) sin 00 = i) sin 800 = j) sin ( -0 ) = k) sin (-66 ) = l) sin (-90 ) =

24 m) sin (-00 ) = n) sin (-00 ) = o) sin (-00 ) = p) sin (-800 ) = r) sin 5 = s) sin = t) sin (- )= u) sin 0. v) sin (- 5. )= 9. ročník 5. Funkce w) sin 6 = x) sin 7 = y) sin (-5,5 ) = Příklad 0 : Určete : a) cos 0 = b) cos 5 = c) cos 66 = d) cos 90 = e) cos 00 = f) cos 00 = g) cos 00 = h) cos 00 = i) cos 800 = j) cos (-0 ) = k) cos (-66 ) = l) cos (-90 ) = m) cos (-00 )= n) cos (-00 ) = o) cos (-00 ) = p) cos (-800 ) = r) cos 5 = s) cos = t) cos (- )= u) cos 0. v) cos (- 5. )= w) cos 6 = x) cos 7 = y) cos (-5,5 ) = Příklad : Určete : a) tg 0 = b) cotg 5 = c) tg 66 = d) cotg 90 = e) cotg 00 = f) tg 00 = g) cotg 00 = h) tg 00 = i) cotg 800 = j) tg (-0 ) = k) cotg (-66 ) = l) tg (-90 ) = m) cotg (-00 )= n) tg (-00 ) = o) tg (-00 ) = p) cotg (-800 ) = r) tg 5 = s) cotg = t) tg (- )= u) tg 0. v) cotg (- 5. )= w) tg 6 = x) cotg 7 = y) tg (-5,5 ) = Příklad : Sestrojte graf funkce : a) y =sin D : < - ; > b) y = cos D : < - ;,5. > c) y = tg D : < 0 ; 70 > Příklad : Určete, zda funkce : a) y =sin D : < 0; 0,5. > je klesající b) y =sin D : < 80 ; 70 > je klesající c) y =tg D : < 0; 0,5. > je klesající d) y =cotg D : < 70 ; 60 > je rostoucí e) y =cos D : <80 ; 70 > je klesající Příklad : Určete velikost úhlu v intervalu 0-90 : a) sin = 0,5 g) tg = l) cos = 0,5. b) tg = h) sin = 0,5. c) cos = 0,5. d) cotg = i) cotg = m) tg =.. n) sin = 0,5. e) sin = 0 j) cotg = 0 o) cotg = f) cos = k) sin = 0,5. p) sin = 0,906 r) tg = 5,09 s) cotg = 9,0 t) tg = 0,778 u) sin = 0,06 v) cos = 0,6 w) sin = 0,700 Souhrnná cvičení ) Povrch hranolu se čtvercovou podstavou je 6 cm. Určete délky hran, je-li výška o 0 cm delší než délka podstavné hrany. ) Povrch válce je 56. cm. Určete poloměr podstavy, je-li výška válce cm.

25 ) Narýsujte graf kvadratické funkce : a) y = x +x + c) y = x -5 b) y = x + x d) y = (x + ) + x - e) y = x + 6x + 5 ) Vypočítejte průsečík grafu funkce s osou x : a) y = x +x + b) y = x + x d) y = (x + ) + x - c) y = x -5 e) y = x + 6x + 5 5) Vypočítejte průsečík grafu funkce s osou y : a) y = x +x + b) y = x + x d) y = (x + ) +x - c) y = x -5 e) y = x + 6x + 5 6) Vypočítejte souřadnice vrcholu paraboly funkcí : a) y = x +x + b) y = x +x c) y = x -5 d) y = x +6x +5 7) Řešte kvadratickou rovnici : a) x + 5x + = 0 b) x + x - = 0 c) x + 7x + = 0 d) x - 7x + = 0 e) x - x + = 0 8) Řešte kvadratickou rovnici : a) ( x ). ( x ) = x x 6x 0 b) 5 5 c) ( x 6 ). ( x 9 ) = 0 x x 5 x d) x 7 6 e) x + x = f) x = x + f) 5x - x - 8 = 0 g) 6x + x + 6 = 0 h) 5x - x - 5 = 0 ch) x - = 0 i) x -7 = 0 x g) x x x h) x x x x x x 9 ch) x x x. x i) x. x x x j) x + = 0 k) x + 5x = 0 l) x - = 0 m) x + x = 0 x x j) x 5 x k) x x 8 x x x l) x x 6 9) Vyřešte tyto rovnice vyššího řádu v oboru reálných čísel : a) x = 0 c) x x = 0 b) x = -8 d) x 5 x = 0 e) x 6x = 0 f) x 8x + 6 = 0 0) Vypočítejte k tak, aby daná rovnice měla jeden kořen rovnající se nule a vypočítejte její druhý kořen a) kx - 5.( k + ).x + ( k ) = 0 b) ( k ).x ( k )x + k.( k ) = 0 ) Určete tři za sebou následující celá čísla, která mají tu vlastnost, že čtverec prostředního čísla je o větší než součin obou krajních čísel. ) Najděte v kvadratické rovnici absolutní člen tak, aby rovnice měla dvojnásobný reálný kořen a tento kořen potom vypočítejte : a) x - 7x + k = 0 b) 0,x + x + k = 0 5

26 ) Řešte graficky kvadratické rovnice : a) x +x + = 0 f) 5x - x - 8 = 0 b) x +x = 0 g) 6x + x + 6 = 0 c) x -5 = 0 h) 5x - x - 5 = 0 d) (x + ) +x - = 0 ch) x - = 0 e) x +6x + 5 = 0 i) x -7 = 0 ) Řešte numericky a graficky kvadratické nerovnice : a) x + 9x 0 0 e) x + x + > 0 b) x + x + 0 < 0 f) -x + x > 0 c) x - 5x + 56 < 0 g) x - x 5 0 d) x - x 8 0 h) x -0x j) x + = 0 k) x + 5x = 0 l) x - = 0 m) x + x = 0 ch) x + x 8 < 0 i) x + x ročník 5. Funkce 5) Určete graf závislosti U na I při stálém výkonu žárovky 00W. Proud uvažujte od A do 5 A ( P = U.I ). 6) Napište : k a) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem A [ ; ] x k b) ) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem B [ - ; -]. x 7) Napište rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem A [ 0 ; -0,5 ] a B [ 0,5 ; -0,8 ]. ax b 8) Sestrojte graf funkce : a) y = - x b) y =. x c) y = -. x + d) y =. x - + e) y =. x ) Sestrojte graf funkce : a) y = k. x, která prochází bodem D [ ; ] v intervalu - x < 5 b) y = k. x, která prochází bodem E [ ; ], kde definičním oborem je množina přirozených čísel c) y = k. x + a, která prochází bodem F [ ; 7 ] a bodem G [ ; ] 0) Který z bodů A [ ; ], B [ ; 7], C [ ; 5 ], D [ 5 ; ] leží na grafu funkce y =. x + - ) Bodem A [ ; ] a bodem B [ - ; -] prochází graf lineární funkce. Určete jeho rovnici. ) Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce y = - x + 9 a prochází bodem C [ ; ]. ) Určete průsečíky grafu funkce y = x-7 s osami x a y. ) Leží bod A [ - ; 0] na grafu funkce y = x + 8? 5) Z Prahy do Brna ( 80 km ) jelo z Prahy auto průměrnou rychlostí 60 km za hodinu. a) narýsujte graf závislosti ujeté dráhy na čase b) narýsujte graf závislosti průměrné rychlosti na čase c) narýsujte graf dráhy, kterou ještě auto musí ujet, na čase 6) Graficky vyřešte soustavu rovnic : x + y = x y = 5 6

27 7) Vyjádřete rovnicí a grafem závislosti obsahu kruhu S na jeho průměru d, je-li d v intervalu (0,5 dm; dm). 8) Graficky určete průsečík funkcí : y = (x ) - y = : x 9) Bodem A ( ; ) a bodem B [ -5 ; -] prochází graf lineární funkce. Urči jeho rovnici. 0) Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce y = - x + a prochází bodem C [ 5 ; ]. ) Určete průsečíky grafu funkce y = x- s osami x a y. ) Leží bod A [ - ; 0] na grafu funkce y = x + 5? ) Z Prahy do Ostravy ( 0 km ) jelo z Prahy auto průměrnou rychlostí 80 km za hodinu. a) narýsujte graf závislosti ujeté dráhy na čase b) narýsujte graf závislosti průměrné rychlosti na čase c) narýsujte graf dráhy, kterou ještě auto musí ujet, na čase ) Graficky vyřešte soustavu rovnic : x + y = 5 x y = 5) Graficky určete průsečík funkcí :y = (x ) - y = : x 6) Určete : a) tg 0 = b) cos 5 = c) sin 75 = d) cos -90 = e) sin 00 = f) cotg 0 = g) cotg -0 = h) sin 0 = i) cotg 0 = j) sin -80 = k) tg -6 = l) sin -90 = m) cos 00 = n) cotg -00 = o) tg -00 = p) sin -800 = r) tg 5 = s) cotg 7 = t) tg = u) sin 0. v) cos - 5. = w) tg 6 5 = x) cotg 8,5 = y) sin -5,5 = 7) Určete, zda funkce : a) y = cos D : < 0; 0,5. > je klesající b) y =tg D : < 80 ; 70 > je rostoucí c) y = sin D : < 0; 0,5. > je klesající d) y =cos D : < 70 ; 60 > je rostoucí e) y =cotg D : <80 ; 70 > je klesající 8) Sestroj úhel, pro který platí : a) tg = b) cos = 7 c) sin = 0,6 d) cotg = 7

28 9) Řešte kvadratickou rovnici : a) x x x x 5 b) x x x x x 9. ročník 5. Funkce Výsledky : a) y = k.(x + a ) + b, kde k > 0, a libovolné reálné číslo, b libovolné kladné reálné číslo, b) y = k.(x + a ) + b, kde k < 0, a libovolné reálné číslo, b libovolné záporné reálné číslo, c) y = x, definičním oborem je množina čísel { ; }, a) [ 0; 0], b) nemá řešení, c) [ -; 0] a [ ; 0], d) [ -; 0] a [ ; 0], e) [ -9; 0] a [ 8; 0], f) [ -; 0], g) [ -; 0] a [ 0; 0], h) nemá řešení, a) [ 0; 0], b) [ 0; ], c) [ 0; -], d) [ 0; -8], e) [ 0; -7], f) [ 0; ], g) [ 0; 0], h) [ 0; 0], 5 a) [ 0; 0], b) [ 0; ], c) [ 0; -], d) [ ; -9], e) [ -0,5; -7,5], f) [ -; 0], g) [ -; ], 6) 8, 7 a) nemá řešení, b) ; -, c) -0,5; 0,5, d) 0; 0,8, e) nemá řešení, f) -5; -, g) 0; -, h) -- 5, -+ 5 x 0 x, ch),5 x 0,5, i) 0; 5 x x, j) - ;, k) nemá řešení, l) 0;, m) -; 6, n) -;, o) ; 5, p) - ; -,5, r) -0, ; 5, s) ;,5, t) ; 9, u) ; 6, v) ; x - x, w) nemá řešení x 0 x x -, 8 a) 0;, b) 0; 5, c) 0;, d) -6; 6 e) 5 ; - 5, f) -, g) 0; x - x,5, h) -; x - x, ch) 0; 9 x -,5 x, i) 0 ;, j) 0, 9a) a = 0, 0 a) a = -0,5 x = -0,6 x = 0,6,) cm,) 7 cm,) 7 cm, cm,) 8,5) 7, 6 a) 0, b),5 -,5, c) , d) , e) 0; -, f) -;, g) nemá řešení, h) nemá řešení, 7 a), b) nemá řešení, c) prázdná množina, d) -5 x nebo x 5, e) -7 < x < 7, f) - < x <, g) - < x < 7, h) x - nebo x 5, ch) x < -7 nebo x > -5, i) x nebo x 0, j) x < - nebo x > 0, k) x, l) - < x <, 9) y = x, 0 ) k = 6 ) bod B, a) y = x x, b) y = x -,5) y = x x 7) y = x,8) správně X [ - ; ], M [ ; 6], 9 a) 0,76, b) 0,5., c) 0,95, d), e) 0,988, f) -0,0, g) -0,5., h) 0,68, i) 0,988, j) -0,76, k) -0,95, l) -, m) -0,988, n) 0,0, o) 0,68, p) -0,988, r) 0,5878, s) 0,5., t) -, u) -0,5., v), w) -0,5., x) 0, y), x -0,5, 0 a) 0,988, b) 0,5., c) 0,067, d) 0, e) -0,768, f) -0,967, g) 0,5, h) 0,7760, i) 0,76, j) 0,988, k) 0,067, l) 0, m) -0,76, n) -0,997, o) 0,7660, p) 0,76, r) 0,8090, s) 0,5., t) 0, u) -0,5, v) 0, w) -0,5, x) -, y) 0, a) 0,76, b), c),6, d) 0, e) 0,76, f) 0,60, g) -0,577, h), i) 5,67, j) -0,76, k) -0,5, l) nedef., m) -0,76, n) -0,60, o) -0,89, p) -0,76, r) 0,765, s), t) nedef., u), v) nedef., 8

29 w), x) nedef., y) nedef., a) ne, b) ano, c) ne, d) ne, e) ne, a) 0, b) 5, c) 5, d) 0, e) 0, f) 0, g) 60, h) 60, i) 60, j) 90, k) 5, l) 0, m) 0, n) 5, o) 5, p) 65, r) 79 0, s), t) 0 5, u), v) 65, w) 7 Souhrnná cvičení ) a = cm, v = cm,) r = cm, a) [ -; 0], b) [ 0; 0] a [ -; 0], c) [ - 5 ; 0] [ 5 ; 0], d) [ -+ ; 0] [ -- ; 0] e) [ -; 0], [ -5; 0], 5 a) [ 0; ], b) [ 0; 0], c) [ 0; -5], d) [ 0; ], e) [ 0; 5], 6 a) [ -; 0], b) [ -; -], c) [ 0; -5], d) [ -; -], 7 a) - ; -, b) - ;, c) -; -, d) ;, e) ;, f) -;,6, g) - ; -,5, h) -0,; 5, ch) -;, i) 7-7, j) nemá řešení, k) 0; -5, l) -;, m) -; 0, 0 8 a) -; 0, b) 0;, c) -8; -7; 7; 8, d) ; - 0, e) -6;, f) -6; 7, g) 0; x, h) 0; x x, ch) nemá řešení x 0 x -, i) 0; x 0,5 x, j) ; 9 x x 5, k) -; 6 x - x, l) nemá řešení, x x 8, 9. ročník 5. Funkce 9 a) 0, b) -, c) -; 0;, d) -0,5; 0; 0,5, e) -; 0;, f) -;, 0 a) k = x = 5, b) k = 0 x = nebo k = x = 0,5,) libovolná třu za sebou jdoucí celá čísla, a) k =,5 x =,5, b) k =,5 x = -7,5, a) -, b) 0 ; -; c) -5 ; 5, d) -+ ; --, e) nemá řešení, f) -;,6, g) - ; -,5, h) - 0,; 5, ch) -;, i) 7-7, j) nemá řešení, k) 0; 5, l) -;, m) -; 0, a) -0 x, b) -0 < x <-, c) 7 < x < 8, d) - x 7, e) x < -6 nebo x > -, f) x > 6 nebo x <, g) x nebo x, h) < x, ch) - < x <, i) x - nebo x, 6 a) y = x,5, b) y = x -, 7) y = x, x x x 9 b) y =. x, c) y =. x +,0) bod C.) y = 0,8.x,,) y = -x + 7, ) X [,75 ; 0] Y [ 0 ; -7],) ano, 5 a) y = 60x D : x R ; 0 x, b) v = 60, c) ) y = 80-60x D : x R ; 0 x, 6) x = y =,7) S 7. d,9) y x,0) y = -x + 8,) X [ 0,5 ; 0], Y [ 0 ; -], 8 8 ) ne, a) y = x D : x R ; 0 x, b) v = 80, c) ) y = 0-60x D : x R ; 0 x, ) x =,5 y =,5, 6 a)., b) 0,5., c) 0,9659, d) 0, e) 0,988, f),77, g) -, h) 0,i) nedef., j) -0988, k) -0,877, l) -, m) -0,76, n)., o), p) -0,988, r) -,078, s) -., t) nedef., u) - 0,5., v) 0, w) 0,765, x) 0, y), 7 a) ano, b) ano, c) ne, d) ano, e) ano, 8) vždy budeme sestrojovat pravoúhlý trojúhelník, který bude mít velikost příslušných stran v daném poměru, 9 a) ; 9 x x 5, b) -, x 9

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě Název projektu Zlepšení podmínek vzdělávání SZŠ Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0358 Název školy Střední zdravotnická škola, Turnov, 28.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRIMA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy Žák: rozlišuje pojmy násobek, dělitel definuje prvočíslo, číslo složené, sudé a liché číslo, čísla soudělná

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Období: 3. období Počet hodin ročník: 165 132 132 132 Učební texty: 1 3. období A) Cíle vzdělávací

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAHZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: I. Obor Ekonomické lyceum 78-42-M/002 1. Práce s obhajobou z ekonomiky nebo společenských věd: Témata pro práci s obhajobou budou žáci zpracovávat

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD15C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační

Více

Využití matematiky v hodinách ICT

Využití matematiky v hodinách ICT UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie Využití matematiky v hodinách ICT Ing. Jarmila Tomanová celoživotní vzdělávání: MATEMATIKA PRO ZŠ A SŠ vedoucí závěrečné

Více

Učební osnovy oblasti

Učební osnovy oblasti školní vzdělávací program Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání - pie Sluníčko oblasti 1 a její aplikace Charakteristika oblasti Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast je založena

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole MATEMATIKA MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám Maximální Hranice úspěšnosti:

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1. Obsahové vymezení předmětu Matematika prolíná celým základním vzděláváním a její výuka vede žáky především předmět Matematika zahrnuje vzdělávací Matematika

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň 5.2.1. Matematika pro 2. stupeň Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6., 8. a 9. ročníku 4 hodiny

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň: Obsahové, časové a organizační vymezení: Předmětem prolínají průřezová témata:

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň: Obsahové, časové a organizační vymezení: Předmětem prolínají průřezová témata: MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň: Vyučovací předmět matematika je předmět, který by měl být chápán jako odraz reálných vztahů v hmotném světě. V základním vzdělávání je založen

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 VY_32_INOVACE_DUM.M.17 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: duben 2012 Matematika a její aplikace Klíčová slova: Třída: Anotace: Zlomky,

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150.

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150. Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA Dělitelnost 1. Z čísel 1800; 356; 168; 855; 380; 768; 2880; 435; 2000 vyberte čísla: a) dělitelná dvěma: b) dělitelná třemi: c) dělitelná čtyřmi: d)

Více

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku Matematika Vyučovací předmět navazuje na učivo matematiky I. stupně. Časová dotace předmětu je v 6., 7.,8. ročníku 4 hodiny, v 9. ročníku 5 hodin. Třída se na matematiku nedělí. Vyučovací předmět poskytuje

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více