Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel."

Transkript

1 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. Zvláštní případy kvadratické funkce : Je-li b = 0 a c = 0 y = ax Grafem této funkce je parabola. Je-li a = x y = x Funkce y = ax a 0 v intervalu x < 0 je klesající, v intervalu x > 0 je rostoucí. Graf kvadratické funkce tvaru y = ax a 0 je parabola, která má vrchol v bodě [ 0 ; 0 ]. pro různé a

2 Je-li b = 0 y = ax + c a 0 Příklad : Narýsujte v oboru reálných čísel graf funkce : a) y = -x + x + b) y = x + x - a)

3 b) Příklad : Sestrojte funkci : a) y = ( x ) b) y = -( x ) c) y =.( x ) d) y = ( x ) +

4 POZNÁMKA : z technických důvodů nelze v grafickém programu psát mocniny a proto uvádíme mocninu jako součin výrazů. Příklad : U funkce y = x x 6 vypočítejte : a) průsečíky grafu s osou x, b) průsečíky grafu s osu y, c) souřadnice vrcholu paraboly,. fáze : určíme průsečíky grafu s osou x y = x x 6 = ( x + ). ( x ) y = ( x + ). ( x ) = 0 pro x = - a x = je funkční hodnota rovna nule (graf funkce protíná osu x ). Průsečíkem grafu funkce y = x x 6 s osou x jsou body A [ - ; 0 ] a B [ ; 0 ]. fáze : určíme průsečíky grafu s osu y Body ležící na ose y mají x-ovou souřadnici rovnou nule. y = = - 6 Průsečíkem grafu funkce y = x x 6 s osou y je bod C [ 0 ; -6 ]. fáze : určíme souřadnice vrcholu paraboly Parabola je souměrná podle své osy a proto určíme průsečík této osy s osou x x x = (-) = 5 0,5.( x x ) = 5. 0,5 =,5 x 0 = x + 0,5.( x x ) = - +,5 = 0,5 Nyní určíme funkční hodnoty pro x 0 y = x x 6 = 0,5-0,5 6 = -6,5 Vrcholem paraboly, která je grafem funkce y = x x 6, je bod V [ 0,5 ; -6,5 ].

5 Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x c) y = x + b) y = -x d) y = -x - e) y = 6x + x f) y = x + x 9. ročník 5. Funkce g) y = x + x + h) y = x + x +6 Příklad : Napište rovnici kvadratické funkce, jejíž body : a) budou mít y-ove souřadnice pouze kladná čísla, b) budou mít y-ové souřadnice pouze záporná čísla, c) A [ ; ] a B [ ; ] budou jedinými body dané funkce. Příklad : Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osou x u funkcí : a) y = x b) y = x + c) y = x - d) y = x - x 8 e) y = x + x -7 f) y = ( x + ) g) y = -( x + ) + h) y = x -6x + 0 Příklad : Vypočtěte souřadnice průsečíků grafu funkce s osou y u funkcí : a) y = x b) y = x + c) y = x - d) y = x - x 8 e) y = x + x -7 f) y = ( x + ) g) y = -( x + ) + h) y = x -6x + 0 Příklad 5 : Vypočtěte vrchol paraboly, která je grafem těchto funkcí : a) y = x b) y = x + c) y = x - d) y = x - x 8 e) y = x + x -7 f) y = ( x + ) g) y = -( x + ) + Příklad 6 : Vypočtěte pomocí grafu kvadratické funkce tento příklad : Určete přirozené číslo, pro které platí, že jeho součin s číslem o jedno větší je Numerické řešení kvadratické rovnice Obecný tvar kvadratické rovnice : ax + bx + c = 0, kde a a b je libovolné reálné číslo a současně a 0. Každá kvadratická rovnice má dva kořeny Zvláštní případy kvadratické rovnice : Je-li b = 0 ax + c = 0, kvadratická rovnice bez lineárního členu Příklad : Řešte kvadratické rovnice : a) x = 0 b) x + = 0 a) x = 0 x = x = x = x = x = - Zkouška : L =. ( ) =. 0,5 = 0 P = 0 L = P 5

6 P =. ( - ) =. 0,5 = 0 P = 0 L = P b) x + = 0 x = - x = - Tato rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, protože druhá mocnina každého reálného čísla je číslo nezáporné. Obecný tvar kořene tohoto typu kvadratické rovnice : pro c < 0 je x = c a a x = - c a, pro c > 0 rovnice nemá řešení. Je-li c = 0 ax + bx = 0 kvadratická rovnice bez absolutního členu Příklad : Řešte kvadratické rovnice : a) 5x + x = 0 b) 5x - x = 0 a) 5x + x = 0 x.( 5x + ) = 0 x = 0 5x + = 0 x = - 5 Zkouška : L = = 0 P = 0 L = P L = 5. ( - 5 ) +. ( - 5 ) = = 0 P = 0 L = P b) 5x - x = 0 x.( 5x - ) = 0 x = 0 5x - = 0 x = 5 Zkouška : L = = 0 P = 0 L = P L = 5. ( 5 ) -. ( 5 ) = = 0 P = 0 L = P Obecný tvar kořene tohoto typu kvadratické rovnice je x = 0 a x = - b a. Je-li b = 0 a c = 0 ax = 0 Příklad : Řešte kvadratickou rovnici 9x = 0. 9x = 0. x = 0 x = 0 dvojnásobný kořen Zkouška : L = 9. 0 = 0 P = 0 L = P Příklad : Řešte kvadratickou rovnici x + 7x + = 0 Tento typ rovnic již umíme vyřešit pomocí zkráceného rozkladu na součin. x + 7x + = 0 6

7 ( x + ). ( x + ) = 0 x = - x = - Zkouška : L = ( - ) + 7. ( - ) + = 9 + = 0 P = 0 L = P L = ( - ) + 7. ( - ) + = = 0 P = 0 L = P 9. ročník 5. Funkce Kořen kvadratické rovnice ax + bx + c = 0 má tvar : x = x = b b ac a b b ac a. b ac se nazývá diskriminant. b ac > 0 - rovnice má mě řešení b ac = 0 - rovnice má jedno řešení ( dvojnásobné ) b ac < 0 - rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel ( má řešení v oboru komplexních čísel Příklad : Řešte kvadratickou rovnici a) x - 7x 5 = 0, b) x + x = 0. a) x - 7x 5 = 0, x, = x = = 0 5 x = Zkouška L = = = 0 P = 0 L = P L =. ( -,5 ) -7.( -,5 ) 5 =,5 + 0,5 5 = 0 P = 0 L = P b) x + x = 0..( ) x, = x = x = Zkouška : L =.( ) = 0 L =.( 7 ) = P = 0 L = P - = = 0 P = 0 L = P 7

8 Příklad 7 : Řešte kvadratickou rovnici : a) 5x + x + 8 = 0 b) x - x = 0 c) x 0,5 = 0 d) 5x - x = 0 e) -x + x 6 = 0 f) x + 6x + 5 = 0 g) x - 6x 80 = 0 x x h) x x ch) x x x x i) x j) x = 6 k) x = -9 x 6 Příklad 8 : Řešte kvadratické rovnice : a) ( x 8 ) + ( x 6 ) = 00 b) x + ( 5 x ) = ( 5 x ) c) ( x + ). ( x ) +( x ). ( x ) = 0 d) ( x ) + ( x - 9 ) = ( x ) e) ( x 8 ) ( x 6 ) + ( 5x ). ( 5x + ) = f) ( x 7 ) ( x + ) = 5 g) ( x ) : ( x + ) = ( x + ) : ( x ) 9. ročník 5. Funkce l) x = x m) x - x = 0 n) x + x = 0 o) x - 7x 0 = 0 p) 6x + x + 6 = 0 r) 5x - x 5 = 0 s) x - 9x + 0 = 0 t) ( x + 6 ). ( x ) = ( x ). ( x ) u) ( x + ) + ( x 0 ) = ( x + 8 ) x v) x x. x x. x 8 5x 7 x x 9x x x x w) x 5 x 5 h) x x ch) x x x 7 x 7 i) x. x =.x j) x + x = x Příklad : Kořeny kvadratické rovnice jsou čísla a -. Vypočtěte kvadratickou rovnici s těmito kořeny.. fáze: dosadíme do vzorce ( x x ). ( x x ) = 0, kde x a x jsou kořeny naší rovnice ( x ). ( x + ) = 0. fáze : rovnici upravíme x x 8 = 0 Příklad 9 : V rovnici x x + a = 0 vypočtěte a tak, aby rovnice měla jeden z kořenů číslici 0. Příklad 0 : Určete číslo a tak, aby rovnice 5x + ( 6a + 8).x + ( a + a 8 ) = 0 byla kvadratickou rovnicí bez lineárního členu a potom tuto rovnici vyřešte. Příklad : Jedna odvěsna pravoúhlého trojúhelníku se rovná 75 % druhé odvěsny. Určete obvod tohoto trojúhelníka, je-li jeho plošný obsah cm. Příklad : Vypočtěte poloměr kružnice, jejíž tětiva, vzdálená 8 cm od středu, je o cm delší než poloměr. Příklad : Obsah obdélníka je 9 cm. Určete jeho rozměry, je-li jeho šířka o 6 cm kratší než jeho délka. Příklad : Určete přirozené číslo, pro které platí, že jeho součin s číslem o jednu větším je 7. 8

9 Příklad 5 : Určete přirozené číslo, pro které platí, že jeho druhá mocnina zmenšená o 6 je rovna Grafické řešení kvadratické rovnice Příklad : Vyřešte graficky kvadratickou rovnici : a) x = 0 b) x - = 0 c) -x + = 0 d) x + = 0 e) x + x = 0 Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro x = 0. Rovnice x = 0, je-li x = 0 Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro x - = 0. Rovnice x = 0, je-li x = a x = -. Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro -x + = 0. Rovnice -x + = 0 je-li x = a x = -. 9

10 Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 pro x + = 0 nenastane. Rovnice x + = 0 nemá řešení. Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro x + x - = 0. Rovnice x + x - = 0, je-li x = - a x =. Shrnutí : Grafickou metodou jsme potvrdili, že kvadratická rovnice : a) má dva kořeny, b) má jeden kořen ( dvojnásobný ), c) nemá řešení. Rovnici x + x = 0 můžeme graficky řešit také takto : x + x = 0 x = - x + f(x) = x g(x) = x a zjišťujeme pro které x je f(x) = g(x) f(x) = g(x) x = - x = Logicky jsme dostali stejné výsledky. Příklad 6 : Graficky vyřešte tyto rovnice : a) -x = 0 d) x -0x +0 = 0 b) 0,8x - = 0 e) x +x = 0 c) x +x -5 = 0 f) x -x - = 0 g) ( x + ) x + = 0 h) 5x + = 0 0

11 5.. Numerické a grafické řešení kvadratické nerovnice Příklad : Vyřešte kvadratickou nerovnici x + x 8 < 0. fáze : kvadratickou nerovnici rozložíme na součin ( zkráceným rozkladem nebo pomocí diskriminantu nerovnici řešíme jako rovnici ) x + x 8 < 0 nebo x + x 8 = 0 ( x + ). ( x ) < 0 x, =.. 8. x = - x = ( x x ). ( x x ) = 0 ( x + ). ( x ) = 0. fáze : vyřešíme danou nerovnici ( x + ). ( x ) < 0 ( x + ). ( x ) < 0 x + < 0 x > 0 x + > 0 x < 0 x < - x > x > - x < - < x < - < x < Příklad : Vyřešte kvadratickou nerovnici x + x 0 : a) numericky b) graficky a) numericky :. fáze : kvadratickou nerovnici rozložíme na součin ( zkráceným rozkladem nebo pomocí diskriminantu nerovnici řešíme jako rovnici ) x + x 0 ( x ). ( x + ) 0. fáze : vyřešíme danou nerovnici ( x + ). ( x ) 0 x + 0 x 0 x + 0 x 0 x - x x - x - x - x. fáze : kvadratickou nerovnici upravíme na vhodný tvar a rozdělíme na dvě funkce x + x < 0 x < x

12 f(x) < g(x), kde f(x) = x g(x) = -x + 9. ročník 5. Funkce b) graficky. fáze : dané dvě funkce znázorníme f(x) < g(y), kde f(x) = x g(x) = -x + je v intervalu - x Numerickou a grafickou metodou jsme řešili kvadratickou nerovnici a dostali jsme shodný výsledek - x. Příklad 7 : Řešte numericky i graficky kvadratické nerovnice : a) x -x + 0 b) x -x + 9 > 0 c) -x + x > 0 d) -x e) x 9 < 0 f) x - x 6 < 0 g) x - 6x 7 < 0 h) x + 6x 55 0 ch) x + x + 5 > 0 i) x - x +0 0 j) x -7 x 0 > 0 k) x - 0x l) ( x ). ( x + ) + 8x < ( x ). ( x + ) k 5.5. Racionální lomená funkce y 5.5. Nepřímá úměrnost ax b Nepřímá úměrnost je zvláštní případ racionální lomené funkce, pro kterou platí a =, b = 0, x 0 Rovnice nepřímé úměrnosti y = k, kde k je libovolné reálné číslo, které je různé od nuly x x 0. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola, jejíž osou je : a) pro k > 0 přímka y = x b) pro k < 0 přímka y = -x Příklad : Sestrojte graf nepřímé úměrnosti : a) y = x b) y = - x

13 Pro k > 0 platí, že funkce v definičním oboru pro x < 0 je funkcí klesající pro x > 0 je funkcí klesající. Pro k < 0 platí, že funkce v definičním oboru pro x < 0 je funkcí rostoucí pro x > 0 je funkcí rostoucí. Příklad : Ve válcové nádobě o objemu 000 cm je uzavřen plyn pístem, kterým lze posouvat. Při posunutí pístu se mění objem uzavřeného plynu, a tím se zároveň mění i tlak. Nemění-li se teplota plynu platí vzorec p.v = k, kde k je fyzikální konstanta, která v našem případě má hodnotu 00. Narýsujte graf této závislosti.. fáze : zápis p = 00 V nezávisle proměnná veličina.. objem závisle proměnná veličina.. tlak definiční obor.. V 000. fáze : sestrojení příslušného grafu Příklad 8 : Sestrojte graf funkce : a) y = x b) y = - x c) y = x Příklad 9 : Sestrojte graf nepřímé úměrnosti, který prochází bodem A [ ;,5]. Příklad 0 : Vypočtěte konstantu k, jestliže víte, že graf funkce y = k x prochází bodem o souřadnicích [ ; ]. Sestrojte graf této nepřímé úměrnosti. Příklad : Zjistěte výpočtem i graficky, který z bodů A [ ; - ], B [ - ; -,5], C [ -5 ; -,5 ] leží na grafu funkce y = x

14 5.5.. Racionální lomená funkce y k ax b. 9. ročník 5. Funkce k Racionální lomená funkce y ax b Podmínka řešitelnosti : - b a 0 a reálné číslo, b reálné číslo Definiční obor racionální lomené funkce : všechna reálná kromě čísla - b a. Zápis D = R - { - b a } Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x b) y = x a) definiční obor : všechna reálná čísla kromě čísla

15 b) definiční obor : všechna reálná čísla kromě čísla -0,5. Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x 5 b) y = x c) y = x Příklad : Sestrojte graf závislosti odporu R měděného drátu dlouhého metr na průřezu ( v intervalu mm až 0 mm ) při specifickém odporu = 0,075 ohmu na metr ( R =. l S, kde S je průřez ). k Příklad : Napište : a) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem A [ x ; -]. k b) ) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem B [ x ; - 5 ]. Příklad 5 : Napište rovnici funkce y = B [ - ; -]., jejíž graf prochází bodem A [ ; ] a ax b 5.6. Funkce s absolutní hodnotou y = k. x - funkce s absolutní hodnotou k koeficient a, b, - reálné číslo Je-li definičním oborem obor reálných čísel, pak grafem funkce s absolutní hodnotu jsou dvě polopřímky se společným počátečním bodem. Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x b) y = - x c) y = 0,5. x d) y =. x e) y =. x + f) y =. x - + 0,5 a) y = x b) y = - x 5

16 c) y = 0,5. x d) y =. x Graf funkce s absolutní hodnotou tvaru : a) y = k. x je v celém oboru reálných čísel osově souměrný s osou y. e) y =. x + 6

17 f) y =. x - + 0,5 Graf funkce s absolutní hodnotou tvaru : a) y = k. x + a + b je v celém oboru reálných čísel osově souměrný s osou y = -a Je-li b = 0 Společný počátek obou polopřímek je na ose x. Příklad 6 : Narýsujte graf funkce : a) y =. x b) y = -0,. x c) y =. x + d) y =. x - - 0,5 7 e) y =. x - + 0,

18 Příklad 7 : Narýsujte graf funkce y = k. x, který prochází bodem A [ ; ]. Příklad 8 : Bod A [ ; ] leží na grafu funkce y = k. x. Který další bod leží na grafu stejné funkce : a) X [ - ; ] b) Y [ ; -] c) Z [ - ; -] d) K [ ; ] e) L [ ; ] f) M [ ; 6] g) N [ 5 ; ] 5.7. Goniometrické funkce Goniometrické funkce ostrého úhlu (opakujeme učivo 8. ročníku ) Poměr délky protilehlé odvěsny a délky přepony pravoúhlého trojúhelníka se nazývá sinus úhlu - píšeme sin Poměr délky přilehl odvěsny a délky přepony pravoúhlého trojúhelníka se nazývá kosinus úhlu - píšeme cos Poměr délky protilehlé odvěsny a délky přilehlé odvěsny pravoúhlého trojúhelníka se nazývá tanges úhlu - píšeme tg Poměr délky přilehlé odvěsny a délky protilehlé odvěsny pravoúhlého trojúhelníka se nazývá kotanges úhlu - píšeme cotg sin = a c cos = b c tg = a b cotg = b a tg = a b = c.sin sin c.cos cos tg = sin cos tg cot g 8

19 Průběh funkce sin v intervalu < 0 ; 90 > Průběh funkce cos v intervalu < 0 ; 90 > Určení funkce tangens a kotangens pomocí jednotkové kružnice x = x + 80 tg x = tg x tangens úhlu x je y M 9

20 cotg x je x N 9. ročník 5. Funkce Průběh funkce tg v intervalu < 0 ; 90 > Přehledná tabulka goniometrických funkcí základních úhlů sin 0.. cos 0.. tg 0. N cotg N Goniometrické funkce v intervalu od 90 a více Vyjádření goniometrických funkcí úhlů v II. kvadrantu : sin 0 = sin ( 80-0 ) = sin 70 cos 0 = - cos 70 0

21 tg 0 = - tg 70 cotg 0 = - cotg ročník 5. Funkce Vyjádření goniometrických funkcí úhlů v III. kvadrantu : sin 00 = sin ( ) = - sin 0 cos 00 = - cos 0 tg 00 = tg 0 cotg 00 = cotg 0 Vyjádření goniometrických funkcí úhlů v IV. kvadrantu : sin 00 = - sin 60 cos 00 = cos 60 tg 00 = - tg 60 cotg 00 = - cotg 60 Přehledná tabulka goniometrických funkcí v intervalu 0-60 Postup při vytváření grafu funkce sin sin cos tg cotg Hodnoty záporného úhlu : sin ( - ) = - sin tg ( - ) = - tg cos ( - ) = cos cotg ( - ) = -cotg Průběh funkce sin :

22 Průběh funkce cos : Vzájemný vztah funkce sin a cos Vzájemný vztah funkce tg a cotg

23 Pro úhly větší než 60 platí : sin ( + 60.k ) = sin cos ( + 60.k ) = cos tg ( + 80.k ) = tg cotg ( + 80.k ) = cotg Příklad : Vypočítejte : a) sin 50 b) cos 0 c) sin 500 d) sin ( ) e) sin. f) cos. Řešení : g) cos (-. ) a) sin 50 = sin 0 = 0,5 b) cos 0 = cos 0 =. c) sin 500 = sin 0 = sin 0 = 0,68 d) sin ( ) = - sin 000 = = -sin 80 = - ( - sin 80 ) = sin 80 = 0,988 e) sin. = sin 70 = sin 0 = 0 f) cos. = cos. = cos = cos = 0,5 g) cos (-. = cos.80 = cos 5 = - cos 5 = -. ) = cos ( -5. ) = Příklad 9 : Určete : a) sin 0 = b) sin 5 = c) sin 66 = d) sin 90 = e) sin 00 = f) sin 00 = g) sin 00 = h) sin 00 = i) sin 800 = j) sin ( -0 ) = k) sin (-66 ) = l) sin (-90 ) =

24 m) sin (-00 ) = n) sin (-00 ) = o) sin (-00 ) = p) sin (-800 ) = r) sin 5 = s) sin = t) sin (- )= u) sin 0. v) sin (- 5. )= 9. ročník 5. Funkce w) sin 6 = x) sin 7 = y) sin (-5,5 ) = Příklad 0 : Určete : a) cos 0 = b) cos 5 = c) cos 66 = d) cos 90 = e) cos 00 = f) cos 00 = g) cos 00 = h) cos 00 = i) cos 800 = j) cos (-0 ) = k) cos (-66 ) = l) cos (-90 ) = m) cos (-00 )= n) cos (-00 ) = o) cos (-00 ) = p) cos (-800 ) = r) cos 5 = s) cos = t) cos (- )= u) cos 0. v) cos (- 5. )= w) cos 6 = x) cos 7 = y) cos (-5,5 ) = Příklad : Určete : a) tg 0 = b) cotg 5 = c) tg 66 = d) cotg 90 = e) cotg 00 = f) tg 00 = g) cotg 00 = h) tg 00 = i) cotg 800 = j) tg (-0 ) = k) cotg (-66 ) = l) tg (-90 ) = m) cotg (-00 )= n) tg (-00 ) = o) tg (-00 ) = p) cotg (-800 ) = r) tg 5 = s) cotg = t) tg (- )= u) tg 0. v) cotg (- 5. )= w) tg 6 = x) cotg 7 = y) tg (-5,5 ) = Příklad : Sestrojte graf funkce : a) y =sin D : < - ; > b) y = cos D : < - ;,5. > c) y = tg D : < 0 ; 70 > Příklad : Určete, zda funkce : a) y =sin D : < 0; 0,5. > je klesající b) y =sin D : < 80 ; 70 > je klesající c) y =tg D : < 0; 0,5. > je klesající d) y =cotg D : < 70 ; 60 > je rostoucí e) y =cos D : <80 ; 70 > je klesající Příklad : Určete velikost úhlu v intervalu 0-90 : a) sin = 0,5 g) tg = l) cos = 0,5. b) tg = h) sin = 0,5. c) cos = 0,5. d) cotg = i) cotg = m) tg =.. n) sin = 0,5. e) sin = 0 j) cotg = 0 o) cotg = f) cos = k) sin = 0,5. p) sin = 0,906 r) tg = 5,09 s) cotg = 9,0 t) tg = 0,778 u) sin = 0,06 v) cos = 0,6 w) sin = 0,700 Souhrnná cvičení ) Povrch hranolu se čtvercovou podstavou je 6 cm. Určete délky hran, je-li výška o 0 cm delší než délka podstavné hrany. ) Povrch válce je 56. cm. Určete poloměr podstavy, je-li výška válce cm.

25 ) Narýsujte graf kvadratické funkce : a) y = x +x + c) y = x -5 b) y = x + x d) y = (x + ) + x - e) y = x + 6x + 5 ) Vypočítejte průsečík grafu funkce s osou x : a) y = x +x + b) y = x + x d) y = (x + ) + x - c) y = x -5 e) y = x + 6x + 5 5) Vypočítejte průsečík grafu funkce s osou y : a) y = x +x + b) y = x + x d) y = (x + ) +x - c) y = x -5 e) y = x + 6x + 5 6) Vypočítejte souřadnice vrcholu paraboly funkcí : a) y = x +x + b) y = x +x c) y = x -5 d) y = x +6x +5 7) Řešte kvadratickou rovnici : a) x + 5x + = 0 b) x + x - = 0 c) x + 7x + = 0 d) x - 7x + = 0 e) x - x + = 0 8) Řešte kvadratickou rovnici : a) ( x ). ( x ) = x x 6x 0 b) 5 5 c) ( x 6 ). ( x 9 ) = 0 x x 5 x d) x 7 6 e) x + x = f) x = x + f) 5x - x - 8 = 0 g) 6x + x + 6 = 0 h) 5x - x - 5 = 0 ch) x - = 0 i) x -7 = 0 x g) x x x h) x x x x x x 9 ch) x x x. x i) x. x x x j) x + = 0 k) x + 5x = 0 l) x - = 0 m) x + x = 0 x x j) x 5 x k) x x 8 x x x l) x x 6 9) Vyřešte tyto rovnice vyššího řádu v oboru reálných čísel : a) x = 0 c) x x = 0 b) x = -8 d) x 5 x = 0 e) x 6x = 0 f) x 8x + 6 = 0 0) Vypočítejte k tak, aby daná rovnice měla jeden kořen rovnající se nule a vypočítejte její druhý kořen a) kx - 5.( k + ).x + ( k ) = 0 b) ( k ).x ( k )x + k.( k ) = 0 ) Určete tři za sebou následující celá čísla, která mají tu vlastnost, že čtverec prostředního čísla je o větší než součin obou krajních čísel. ) Najděte v kvadratické rovnici absolutní člen tak, aby rovnice měla dvojnásobný reálný kořen a tento kořen potom vypočítejte : a) x - 7x + k = 0 b) 0,x + x + k = 0 5

26 ) Řešte graficky kvadratické rovnice : a) x +x + = 0 f) 5x - x - 8 = 0 b) x +x = 0 g) 6x + x + 6 = 0 c) x -5 = 0 h) 5x - x - 5 = 0 d) (x + ) +x - = 0 ch) x - = 0 e) x +6x + 5 = 0 i) x -7 = 0 ) Řešte numericky a graficky kvadratické nerovnice : a) x + 9x 0 0 e) x + x + > 0 b) x + x + 0 < 0 f) -x + x > 0 c) x - 5x + 56 < 0 g) x - x 5 0 d) x - x 8 0 h) x -0x j) x + = 0 k) x + 5x = 0 l) x - = 0 m) x + x = 0 ch) x + x 8 < 0 i) x + x ročník 5. Funkce 5) Určete graf závislosti U na I při stálém výkonu žárovky 00W. Proud uvažujte od A do 5 A ( P = U.I ). 6) Napište : k a) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem A [ ; ] x k b) ) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem B [ - ; -]. x 7) Napište rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem A [ 0 ; -0,5 ] a B [ 0,5 ; -0,8 ]. ax b 8) Sestrojte graf funkce : a) y = - x b) y =. x c) y = -. x + d) y =. x - + e) y =. x ) Sestrojte graf funkce : a) y = k. x, která prochází bodem D [ ; ] v intervalu - x < 5 b) y = k. x, která prochází bodem E [ ; ], kde definičním oborem je množina přirozených čísel c) y = k. x + a, která prochází bodem F [ ; 7 ] a bodem G [ ; ] 0) Který z bodů A [ ; ], B [ ; 7], C [ ; 5 ], D [ 5 ; ] leží na grafu funkce y =. x + - ) Bodem A [ ; ] a bodem B [ - ; -] prochází graf lineární funkce. Určete jeho rovnici. ) Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce y = - x + 9 a prochází bodem C [ ; ]. ) Určete průsečíky grafu funkce y = x-7 s osami x a y. ) Leží bod A [ - ; 0] na grafu funkce y = x + 8? 5) Z Prahy do Brna ( 80 km ) jelo z Prahy auto průměrnou rychlostí 60 km za hodinu. a) narýsujte graf závislosti ujeté dráhy na čase b) narýsujte graf závislosti průměrné rychlosti na čase c) narýsujte graf dráhy, kterou ještě auto musí ujet, na čase 6) Graficky vyřešte soustavu rovnic : x + y = x y = 5 6

27 7) Vyjádřete rovnicí a grafem závislosti obsahu kruhu S na jeho průměru d, je-li d v intervalu (0,5 dm; dm). 8) Graficky určete průsečík funkcí : y = (x ) - y = : x 9) Bodem A ( ; ) a bodem B [ -5 ; -] prochází graf lineární funkce. Urči jeho rovnici. 0) Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce y = - x + a prochází bodem C [ 5 ; ]. ) Určete průsečíky grafu funkce y = x- s osami x a y. ) Leží bod A [ - ; 0] na grafu funkce y = x + 5? ) Z Prahy do Ostravy ( 0 km ) jelo z Prahy auto průměrnou rychlostí 80 km za hodinu. a) narýsujte graf závislosti ujeté dráhy na čase b) narýsujte graf závislosti průměrné rychlosti na čase c) narýsujte graf dráhy, kterou ještě auto musí ujet, na čase ) Graficky vyřešte soustavu rovnic : x + y = 5 x y = 5) Graficky určete průsečík funkcí :y = (x ) - y = : x 6) Určete : a) tg 0 = b) cos 5 = c) sin 75 = d) cos -90 = e) sin 00 = f) cotg 0 = g) cotg -0 = h) sin 0 = i) cotg 0 = j) sin -80 = k) tg -6 = l) sin -90 = m) cos 00 = n) cotg -00 = o) tg -00 = p) sin -800 = r) tg 5 = s) cotg 7 = t) tg = u) sin 0. v) cos - 5. = w) tg 6 5 = x) cotg 8,5 = y) sin -5,5 = 7) Určete, zda funkce : a) y = cos D : < 0; 0,5. > je klesající b) y =tg D : < 80 ; 70 > je rostoucí c) y = sin D : < 0; 0,5. > je klesající d) y =cos D : < 70 ; 60 > je rostoucí e) y =cotg D : <80 ; 70 > je klesající 8) Sestroj úhel, pro který platí : a) tg = b) cos = 7 c) sin = 0,6 d) cotg = 7

28 9) Řešte kvadratickou rovnici : a) x x x x 5 b) x x x x x 9. ročník 5. Funkce Výsledky : a) y = k.(x + a ) + b, kde k > 0, a libovolné reálné číslo, b libovolné kladné reálné číslo, b) y = k.(x + a ) + b, kde k < 0, a libovolné reálné číslo, b libovolné záporné reálné číslo, c) y = x, definičním oborem je množina čísel { ; }, a) [ 0; 0], b) nemá řešení, c) [ -; 0] a [ ; 0], d) [ -; 0] a [ ; 0], e) [ -9; 0] a [ 8; 0], f) [ -; 0], g) [ -; 0] a [ 0; 0], h) nemá řešení, a) [ 0; 0], b) [ 0; ], c) [ 0; -], d) [ 0; -8], e) [ 0; -7], f) [ 0; ], g) [ 0; 0], h) [ 0; 0], 5 a) [ 0; 0], b) [ 0; ], c) [ 0; -], d) [ ; -9], e) [ -0,5; -7,5], f) [ -; 0], g) [ -; ], 6) 8, 7 a) nemá řešení, b) ; -, c) -0,5; 0,5, d) 0; 0,8, e) nemá řešení, f) -5; -, g) 0; -, h) -- 5, -+ 5 x 0 x, ch),5 x 0,5, i) 0; 5 x x, j) - ;, k) nemá řešení, l) 0;, m) -; 6, n) -;, o) ; 5, p) - ; -,5, r) -0, ; 5, s) ;,5, t) ; 9, u) ; 6, v) ; x - x, w) nemá řešení x 0 x x -, 8 a) 0;, b) 0; 5, c) 0;, d) -6; 6 e) 5 ; - 5, f) -, g) 0; x - x,5, h) -; x - x, ch) 0; 9 x -,5 x, i) 0 ;, j) 0, 9a) a = 0, 0 a) a = -0,5 x = -0,6 x = 0,6,) cm,) 7 cm,) 7 cm, cm,) 8,5) 7, 6 a) 0, b),5 -,5, c) , d) , e) 0; -, f) -;, g) nemá řešení, h) nemá řešení, 7 a), b) nemá řešení, c) prázdná množina, d) -5 x nebo x 5, e) -7 < x < 7, f) - < x <, g) - < x < 7, h) x - nebo x 5, ch) x < -7 nebo x > -5, i) x nebo x 0, j) x < - nebo x > 0, k) x, l) - < x <, 9) y = x, 0 ) k = 6 ) bod B, a) y = x x, b) y = x -,5) y = x x 7) y = x,8) správně X [ - ; ], M [ ; 6], 9 a) 0,76, b) 0,5., c) 0,95, d), e) 0,988, f) -0,0, g) -0,5., h) 0,68, i) 0,988, j) -0,76, k) -0,95, l) -, m) -0,988, n) 0,0, o) 0,68, p) -0,988, r) 0,5878, s) 0,5., t) -, u) -0,5., v), w) -0,5., x) 0, y), x -0,5, 0 a) 0,988, b) 0,5., c) 0,067, d) 0, e) -0,768, f) -0,967, g) 0,5, h) 0,7760, i) 0,76, j) 0,988, k) 0,067, l) 0, m) -0,76, n) -0,997, o) 0,7660, p) 0,76, r) 0,8090, s) 0,5., t) 0, u) -0,5, v) 0, w) -0,5, x) -, y) 0, a) 0,76, b), c),6, d) 0, e) 0,76, f) 0,60, g) -0,577, h), i) 5,67, j) -0,76, k) -0,5, l) nedef., m) -0,76, n) -0,60, o) -0,89, p) -0,76, r) 0,765, s), t) nedef., u), v) nedef., 8

29 w), x) nedef., y) nedef., a) ne, b) ano, c) ne, d) ne, e) ne, a) 0, b) 5, c) 5, d) 0, e) 0, f) 0, g) 60, h) 60, i) 60, j) 90, k) 5, l) 0, m) 0, n) 5, o) 5, p) 65, r) 79 0, s), t) 0 5, u), v) 65, w) 7 Souhrnná cvičení ) a = cm, v = cm,) r = cm, a) [ -; 0], b) [ 0; 0] a [ -; 0], c) [ - 5 ; 0] [ 5 ; 0], d) [ -+ ; 0] [ -- ; 0] e) [ -; 0], [ -5; 0], 5 a) [ 0; ], b) [ 0; 0], c) [ 0; -5], d) [ 0; ], e) [ 0; 5], 6 a) [ -; 0], b) [ -; -], c) [ 0; -5], d) [ -; -], 7 a) - ; -, b) - ;, c) -; -, d) ;, e) ;, f) -;,6, g) - ; -,5, h) -0,; 5, ch) -;, i) 7-7, j) nemá řešení, k) 0; -5, l) -;, m) -; 0, 0 8 a) -; 0, b) 0;, c) -8; -7; 7; 8, d) ; - 0, e) -6;, f) -6; 7, g) 0; x, h) 0; x x, ch) nemá řešení x 0 x -, i) 0; x 0,5 x, j) ; 9 x x 5, k) -; 6 x - x, l) nemá řešení, x x 8, 9. ročník 5. Funkce 9 a) 0, b) -, c) -; 0;, d) -0,5; 0; 0,5, e) -; 0;, f) -;, 0 a) k = x = 5, b) k = 0 x = nebo k = x = 0,5,) libovolná třu za sebou jdoucí celá čísla, a) k =,5 x =,5, b) k =,5 x = -7,5, a) -, b) 0 ; -; c) -5 ; 5, d) -+ ; --, e) nemá řešení, f) -;,6, g) - ; -,5, h) - 0,; 5, ch) -;, i) 7-7, j) nemá řešení, k) 0; 5, l) -;, m) -; 0, a) -0 x, b) -0 < x <-, c) 7 < x < 8, d) - x 7, e) x < -6 nebo x > -, f) x > 6 nebo x <, g) x nebo x, h) < x, ch) - < x <, i) x - nebo x, 6 a) y = x,5, b) y = x -, 7) y = x, x x x 9 b) y =. x, c) y =. x +,0) bod C.) y = 0,8.x,,) y = -x + 7, ) X [,75 ; 0] Y [ 0 ; -7],) ano, 5 a) y = 60x D : x R ; 0 x, b) v = 60, c) ) y = 80-60x D : x R ; 0 x, 6) x = y =,7) S 7. d,9) y x,0) y = -x + 8,) X [ 0,5 ; 0], Y [ 0 ; -], 8 8 ) ne, a) y = x D : x R ; 0 x, b) v = 80, c) ) y = 0-60x D : x R ; 0 x, ) x =,5 y =,5, 6 a)., b) 0,5., c) 0,9659, d) 0, e) 0,988, f),77, g) -, h) 0,i) nedef., j) -0988, k) -0,877, l) -, m) -0,76, n)., o), p) -0,988, r) -,078, s) -., t) nedef., u) - 0,5., v) 0, w) 0,765, x) 0, y), 7 a) ano, b) ano, c) ne, d) ano, e) ano, 8) vždy budeme sestrojovat pravoúhlý trojúhelník, který bude mít velikost příslušných stran v daném poměru, 9 a) ; 9 x x 5, b) -, x 9

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

4.3.2 Goniometrické nerovnice

4.3.2 Goniometrické nerovnice 4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

CVIČNÝ TEST 18. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 18. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 18 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Anna zdědila 150 000 Kč a banka jí nabízí uložit

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/ Mgr. Jakub Novák. Datum: Ročník: 9.

Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/ Mgr. Jakub Novák. Datum: Ročník: 9. Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/1.581 VY_4_INOVACE_1NOV40 Autor: Mgr. Jakub Novák Datum: 10. 3. 013 Ročník: 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

Učební osnovy pracovní

Učební osnovy pracovní 4+1 týdně, povinný ČaPO: Lomený výraz Žák: rozloží výraz na součin vytýkáním a pomocí vzorců stanoví podmínky, za kterých má lomený výraz smysl Lomený výraz Výrazy a jejich užití - výraz s proměnnou -

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 3. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 3. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematiky pro 3. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: 1 Obsah Funkce 3 Lineární funkce 6 Kvadratické funkce 13 Nepřímá úměrnost 15 Rostoucí a klesající funkce 17 Orientovaný úhel

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

CVIČNÝ TEST 38. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 38. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 38 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro a b a b zjednodušte výraz ( a b a ) ( b a b ). VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Jedním

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 1 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

M - Kvadratická funkce

M - Kvadratická funkce M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Matematika a její aplikace Podobnost, funkce, goniometrické funkce, lomený

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia - - Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia ) Pojem funkce, základní pojmy ) Grafy funkcí, druhy funkcí ) Druhy funkcí lineární, lomená ) Kvadratická funkce, mocninné funkce

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

4 Rovnice a nerovnice

4 Rovnice a nerovnice 36 Rovnice a nerovnice 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice a jejich soustavy Požadované dovednosti řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení

Více

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více