6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1"

Transkript

1 6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy Obsah 6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy SUR - Seemingly unrelated regression (zdánlivě nepropojené regrese) Panelová data Panelový model s fixními efekty Panelová data s náhodnými efekty Simultánní soustavy rovnic Převod na redukovaný tvar Maticové vyjádření simultánních soustav Problém identifikace Metody odhadu simultánních rovnic Klasická metoda nejmenších čtverců Nepřímá metoda nejmenších čtverců (ILS) Dvoustupňový odhad MNČ Třístupňový odhad MNČ Dynamické simultánní rovnice Ve velké řadě ekonometrických aplikací (a nejenom v ekonometrických) je třeba vysvětlovat chování více vysvětlovaných veličin. Pokud mezi rovnice existuje další souvislost, například se jedná o kauzální vztah dvou proměnných, kdy v jedné rovnici vystupuje veličina v pozici vysvětlující proměnné a v druhé rovnici v pozici proměnné vysvětlované, je výhodné uvažovat o modelu jako o modelu soustavy rovnic a odhadovat parametry simultánně. V takovýchto případech se jedná o vícerovnicové soustavy. Jak uvádí [Cipra] lze k vícerovnicovým soustavám přistupovat i z hlediska datové struktury. Typickým příkladem datové sady pro ekonometrickou analýzu jsou data, která zachycují sadu proměnných, které jsou zároveň pozorovány v určitých časových intervalech (denní výnosy různých akcií, čtvrtletní HDP pro různé státy, ziskovost jednotlivých společností,....) U těchto dat dochází ke kombinaci průřezových informací (různé akcie, různé společnosti, různé státy,... ) a informací časových (jednotlivé burzovní dny, jednotlivá čtvrtletí,... ). Tato data jsou také nazývána poolová data a lze je popsat následujícím modelem y jt = α jt + x jt γ jt + ε jt, j = 1, 2,..., m, t = 1, 2,..., T, Var(ε) = Ω Pracujeme tedy s m vysvětlovanými proměnnými y 1, y 2, ldots, y m v rozdílných čase, celkem uvažujeme T časových jednotek. A dále předpokládáme, že v modelech je absolutní člen α jt a k vysvětlujících proměnných x 1jt, x 2jt,..., x kjt. Tento model je velmi obecný a pro odhad nevhodný, protože obsahuje více parametrů než je počet měření, která máme k dispozici. Počet parametrů je p m T vystupujících v lineární vazbě a m T (m T + 1)/2 je počet parametrů ve varianční matici. Počet měření, které máme k dispozici je pouze m T. V praxi se tedy používají speciální případy tohoto obecného modelu SUR soustavy, kdy α jt = α j, γ jt = γ j pro všechny t = 1, 2,..., T, 1

2 panelová data, kdy uvažujeme stejnou časovou stabilitu parametrů z lineární vazby jaku u SUR a dále navíc uvažujeme, že varianční matice je diagonální s konstantami na diagonále, simultánní soustavy, kdy předpokládáme, že část vysvětlovaných proměnných y j se zároveň objevuje v matici vysvětlujících proměnných x. Uvedeme několik příkladů použití vícerovnicových ekonometrických modelů: Příklad 1 - capital asset pricing model r it... výnos i-té akcie r ft... bezriziková sazba r mt... tržní výnos r it r ft = α i + β i (r mt r ft ) + ε it Příklad 2 I it... investice F it... tržní cena podniku C it... hodnota výrobních prostředků I it = β 1i + β 2i F it + β 3i C it + ɛ it 2

3 6.1 SUR - Seemingly unrelated regression (zdánlivě nepropojené regrese) Uvažujme vícerovnicový model v následujícím tvaru s parametry α a γ konstantními v čase. y jt = α j + x jt γ j + ɛ jt j = 1, 2,..., m, kde náhodní složka modelu splňuje předpoklady (P1) E(ε it, ε jt ) = σ ij (P2) E(ε is, ε jt ) = 0 i, j = 1, 2,..., m s t Předpoklady tedy zachycují skutečnost, že náhodné složky jsou současně korelovány, ale nejsou časově korelovány, tímto požadavkem je právě zajištěno propojení rovnic. Pokud počet vysvětlujících proměnných x je k a označíme počet odhadovaných parametrů pro každou rovnici p = k + 1. m(m + 1) Počet parametrů soustavy je p m + 2 Zahrneme dále úrovňovou konstantu k parametrům γ a označme β = (α, γ 1, γ 2,..., γ k a přepíšeme model do následujícího tvaru y 1 x β 1 ε 1 y 2. = 0 x β ε x m y m kde y j jsou vektory rozměrů T 1 zachycující hodnoty vysvětlovaných proměnných v jednotlivých časech, x j jsou matice rozměrů T p zachycující vysvětlující proměnné pro jednotlivá j (první sloupec této matice je jednotkový a koresponduje s úrovňovou konstantou α j modelu a zbylých p 1 = k zachycují vysvětlující proměnné. Vektory β j = (α j, γ 1j, γ 2j,..., γ kj ) jsou parametry lineární vazby pro j tou vysvětlovanou proměnnou a ε j je vektor residuálních složek modelu pro j tou proměnnou. Předpokládejme, že pro variační matici platí σ 11 I... σ 1m I σ 21 I... σ 2m I Var (ε) =..... = Σ σ m1 I... σ mm I Označme y = (y 1, y 2,..., y m ), ε = (ε 1, ε 2,..., ε m ) vektory vzniklé naskládáním jednotlivých vektorů do jediného sloupce a dále X blokově diagonální matici s bloky x 1, x 2,..., x m. Pak zapíšeme model ve tvaru y = X β + ε, který koresponduje s klasickým lineárním regresním modelem. Tento model však nelze odhadovat metodou nejmenších čtverců, protože náhodná složka ε nesplňuje předpoklady nezávislosti. Lze však použít zobecněnou metodu nejmenších čtverců s obecnou varianční maticí Σ. β m ε m 3

4 Zobecněný odhad má tvar b = (X T Σ 1 X) 1 X T Σ 1 y kde Σ je neznámá varianční matice. V praktických realizacích postupujeme dvoustupňově: 1. V první fázi odhadneme parametry modelu klasickým vztahem b 1 = (X T X) 1 X T y 2. dále na základě získaného odhadu, odhadneme varianční strukturu ˆΣ : σˆ ij = 1 T e it e jt T 3. odhadu varianční matice využijeme k zpřesnění odhadu b 1 a dostáváme ( 1 b 2 = X X) T ˆΣ 1 X T ˆΣ 1 y kroky lze případně i iteračně opakovat a dále tak zlepšovat odhad. Za předpokladů, které bývají v praxi obvykle splněny, je získaný odhad konzistentní, asymptoticky vydatný a s předpokladem normality též asymptoticky normální. t=1 ) b 2 N (β; (X T ˆΣ 1 X) 1 Tato metoda je použitelná, pokud m T, tj. počet rovnic odpovídající průřezovým jednotkám není větší než počet časových intervalů, která máme k dispozici. Odhady lze samozřejmě získat též postupným odhadem pro každou j tou jednotku, simultánně realizovaný odhad však není vydatný (nevyužívá všechny informace, které máme k dispozici). V případě, že je splněna jedna z následujících podmínek i) x j = x pro všechna j, ii) σ ij = 0 pro všechny i j lze použít MNČ pro jednotlivé jednotky samostatně a získat vydatné odhady. Nekorelovanost residuí lze přitom testovat, formulujeme nulovou hypotézu testovací kritérium má tvar T m 1 m i=1 j=i+1 H 0 : σ ij = 0, r 2 ij kde r ij = a při platnosti nulové hypotézy má asymptoticky χ 2 rozdělení, tj. σˆ ij σiiσjj T H0 χ 2 m(m 1) (ν = ) 2 Podobně lze testovat pomocí Waldova testu zda je splněn předpoklad SUR modelů, že β 1 = β 2 =... = β m jsou shodné pro všechny průřezové jednotky. 4

5 6.2 Panelová data Soustava SUR je použitelná pouze v případě, že máme k dispozici dostatečný počet dat (nutný k odhadu varianční struktury residuí). V případě, že máme k dispozici menší počet dat, mluvíme o panelových datech (panel data, longitudial data). V takovýchto případech musíme zesílit předpoklady na varianční strukturu residuí a omezit tak počet parametrů, které bude třeba odhadovat. Zesilující požadavek předpokládá, že residuální složky jsou nekorelované (současně i v různých časech) a homoskedastické, tj. E (ε is, ε jt ) = 0 pro všechny i, j, t, s s výjimkou E (ε is, ε is ) = σ 2. Podle různých formálních zápisů rozlišujeme dva typy panelových modelů Panelový model s fixními efekty V tomto modelu předpokládáme, že všechny odlišnosti mezi jednotlivými průřezovými jednotkami je soustředěn v úrovňové konstantě α. Formálně zapíšeme model ve tvaru y jt = α j + x jt γ + ε jt kde j = 1, 2,..., m, t = 1, 2,..., T a ε jt = i.i.d.(0; σ 2 ). Termín model s fixními efekty je odvozen od skutečnosti, že rozdílnost mezi jednotlivými j jednotkami je pouze v úrovňové konstantě (fixní efekt), ale koeficienty vysvětlujících proměnných jsou pro všechny tyto jednotky shodné. Maticově zapíšeme model y 1 J x 1 ε 1 y 2. = 0 J α + x 2. γ + ε J y m x m ε m kde y j = (y j1, y j2,..., y jt )... je vektor vysvětlovaných proměnných, x j... je matice vysvětlujících proměnných s rozměry T k, označíme x jt její t tý řádek, γ = (γ 1, γ 2,..., γ k )... je vektor odhadovaných parametrů shodných pro všechny jednotky, J = (1, 1,..., 1) T je sloupcový jedničkový vektor rozměrů T 1 α = (α 1, α 2,..., α m )... je vektor odhadovaných úrovňových konstant. Pokud jsou vysvětlující proměnné exogenní (podmíněné rozdělení y za podmínky x se nemění při změnách procesu generujícího x, vstupují do modelu zvnějšku nebo jsou tvořeny v minulém čase), pak lze ukázat, že vydatným odhadem je parametrů γ a α je odhad ve tvaru a c = ( m j=1 T m (x jt x j ) T (x jt x j )) 1 t=1 j=1 a = ˆα = ȳ j x j b T (x jt x j ) T (y jt ȳ j ) Pro konzistenci odhadu parametru β stačí mt. Parametry lze odhadnout i pro poměrně krátké časové řady, pokud máme k dispozici dostatečný počet průřezových jednotek. Naopak pro konzistenci odhadu parametru α je třeba T. t=1 5

6 6.2.2 Panelová data s náhodnými efekty U tohoto typu panelových modelů předpokládáme, že parametry α a γ jsou shodné pro všechny průřezové jednotky a rozdílnost je mezi jednotkami je obsažena v náhodné složce. Formálně model zapíšeme ve tvaru y jt = α + x jt γ + ω jt kde ω jt = ε jt + η j ε jt iid(0; σ 2 ) η j iid(0; σ 2 α). Na rozdíl od modelu s fixními efekty modelu situaci tak, že jednotlivé efekty lze zapsat ve tvaru α j = α + ω jt a převést tak model s náhodnými efekty na model s efekty fixními. V takovéto formulaci pak platí E(ω jt ) = 0, E(ω 2 jt) = σ 2 + σ 2 α, E(ω is ω it ) = σ 2 α, pro s t, E(ω is ω jt ) = 0, pro i j Pokud model s fixními efekty má celkem p + m parametrů, pak model s náhodnými efekty má p + 2 odhadovaných parametrů. Snížení počtu odhadovaných parametrů zvyšuje obecně stupeň volnosti modelu (umožňuje odhadnout parametry i pro menší počet dat), na druhou stranu je porušen předpoklad nezávislosti náhodné složky a je třeba odhadovat parametry opět ve dvou krocích. Odhad kovarianční struktury se však redukuje na poměrně jednoduchý odhad dvou parametrů σ 2 a σ 2 α. 6.3 Simultánní soustavy rovnic Modely simultánní soustav jsou založeny na předpokladech, že mezi vysvětlovanými a vysvětlujícími proměnnými existuje vzájemný simultánní vztah. V simultánních soustavách existují proměnné, které v jedné rovnici vystupují v pozici vysvětlované proměnné a zároveň v jiné rovnici vystupují jako proměnné vysvětlující. Proměnné vstupujících do modelu tedy rozdělíme do dvou skupin - endogenní proměnné, které vystupují jako vysvětlované proměnné a exogenní proměnné. Počet endogenních proměnných odpovídá počtu rovnic v modelu. Exogenní proměnné lze ještě dále rozdělit na striktně exogenní proměnné, které vstupují do modelu zcela nezávisle a predeterminované proměnné, které jsou nekorelována v daném čase, ale byla modelem vytvořena v minulých obdobích. Problém lze demonstrovat na klasickém modelu nabídky a poptávky q =α + βp + ε je poptávková funkce D 1 p =α + β q + ε je nabídková funkce S V tomto modelu jsou pouze dvě endogenní proměnné a žádná proměnná exogenní. Vzhledem k absolutní provázanosti tohoto modelu nelze parametry modelu jednoduše odhadnout. 6

7 Na druhou stranu u modifikovaného rozšířeného modelu ve tvaru q =a 1 + b 1 p + c 1 y + ε 1 q =a 2 + b 2 p + c 2 R + ε 2 poptávka D nabídka S je model, kde q, p... jsou endogenní proměnné y, R... jsou exogenní proměnné (například důchod y ovlivňující poptávku a R úroveň srážek ovlivňujících nabídku zemědělských komodit) a 1, a 2... jsou strukturní parametry simultánních rovnic. Formě modelu, který je sestaven na základě ekonomických formulací a pravidel se říká strukturní tvar modelu. V rámci strukturního tvaru mají parametry modelu své ekonomické interpretace a omezení. Při analýze soustavy simultánních rovnic tedy začínáme rozlišením, které proměnné jsou endogenního a které exogenního tvaru, odstraněním ekonomických identit a převedením na tvar, kdy každé endogenní proměnné odpovídá právě jedna rovnice soustavy. Tyto kroky se souhrnně označují jako kroky vedoucí k převodu na redukovaný tvar Převod na redukovaný tvar Převod na redukovaný tvar demostrujeme na několika jednoduchých příkladech. Příklad 1: Nabídka a poptávka Postupujeme například tak, že příslušné rovnice odečteme a dostáváme 0 = (a 2 a 1 ) + p( ) + c 2 R c 1 y +... po úpravách dostáváme soustavu v redukovaném tvaru p = a 1 a 2 + c 1 y c 2 + chyba q = a 1b 2 a 2 b 1 + c 1b 2 y c 2b 1 + chyba neboli po přeznačení parametrů q =π 1 + π 2 y + π 3 R + v 1 p =π 4 + π 5 y + π 6 R + v 2 7

8 kde π 1, π 2,..., π 6 jsou redukované parametry a v 1, v 2, jsou náhodné složky redukovaného modelu. V tomto jednoduchém modelu lze i přímo vyjádřit vztah mezi parametry strukturními a parametry redukovaného tvaru. ˆb 1 = ˆπ 3 ˆπ 6, ˆb2 = ˆπ 2 ˆπ 5 ĉ 2 = ˆπ 6 ( ˆb 1 ˆb 2 ), ĉ 1 = ˆπ 5 ( ˆb 1 ˆb 2 ) a 1 = ˆπ 1 b 1 π 4, â 2 = ˆπ 1 b 2 π 4 Je vidět, že i u velmi jednoduchého modelu může být vztah mezi strukturními parametry a redukovanými parametry velmi složitý. Příklad 2: Spotřební funkce (1) C t = β 1 + β 2 y t + u t 0 < β 2 < 1 (2) y t = C t + I t t = 1, 2,..., T C t y t I t add (1) spotřební funkce: mezní sklon ke spotřebě spotřeba ve stálých cenách HDP čisté investiční výdaje MP C = C y = β 2 add (2) identita (! není náhodná složka) C, Y endogenní I exogenní existuje zpětná vazba Strukturní vzorec Převod na redukovaný tvar (1) dosadíme do (2) (3) y t = β β 2 y t = π 1 + π 2 I t + v t I t + 1 u t 1 β 2 1 β 2 π i... přímé (běžné) multiplikátory 8

9 ... okamžitá očekávaná reakce... výsledky komparativní stability... mezní veličiny Maticové vyjádření simultánních soustav Obecně uvažujme, že v modelu vystupují následující skupiny proměnných proměnné: y 1, y 2,..., y G... endogenní proměnné a x 1, x 2,..., x k... exogenní proměnné. Maticově zapisujeme strukturní tvar následovně. kde By + Γx = ε - B... matice G G představuje matici strukturních odhadovaných parametrů efektů mezi endogenními proměnnými, - y... vektor G 1 je vektor endogenních proměnných, - Γ... matice G k představuje matici exogenních odhadovaných parametrů efektů mezi endogenními a exogenními proměnnými, - x... vektor k 1 exogenních proměnných, - ε... vektor G 1 vektor náhodných složek. s podmínkami podmínky: E(ε t ) = 0 E(ε t ε s ) = 0 [t s] resp. maticově zapsáno ε N (0, Σ), kde Σ je pozitivně definitní kovarianční matice náhodných složek Pokud je matice B čtvercová a regulární, lze vynásobit strukturní tvar inverzní maticí zleva a dostaneme B 1 By + B 1 Γx = B 1 ε přeznačením dostáváme redukovaný tvar y = ΠX + w 9

10 kde Π = B 1 Γ je matice parametrů rozměrů G k redukovaného tvaru. Podmínky na náhodnou složku se transformují do tvaru w = B 1 ε a zachovávají si své vlastnosti. tj. E(w t ) = 0 E(w t w s ) = 0 [t s] maticově zapsáno w N (0, Ω) kde Ω = B 1 Σ(B 1 ) T V redukovaném tvaru pohlížíme tedy na všechny endogenní proměnné jako na výstupy ostatních proměnných Problém identifikace Problém identifikace strukturálního tvaru soustavy simultánních rovnic je problém soustřed ující se na otázku, zda a za jakých předpokladů lze z matice koeficientů redukovaného tvaru Π získat odhady koeficienty strukturálního tvaru. Vzhledem ke vztahu mezi těmito koeficienty Π = B 1 Γ je zřejmé, že obecně tato úloha nemusí být řešitelná. Problém lze demonstrovat na jednoduchých příkladech poptávkové a nabídkové funkce: Příklad 1 q = a 1 + b 1 p + c 1 y + ɛ 1 q = a 2 + b 2 p + ɛ 2 q = a 1b 2 a 2 b 1 + c 1b 2 y + v 1 q = π 3 + π 4 y + v 1 p = a 1 a 2 + c 1 y + v 2 p = π 1 + π 2 y + v 2 b 2 = π 2 π 4 a 2 = π 1 b 2 π 3 a 1 =? b 1 =? c 1 =? 10

11 poptávková funkce není identifikována Příklad 2 nabídková funkce není identifikována Příklad 3 q = a 1 + b 1 p + ɛ 1 q = a 2 + b 2 p + c 2 R + ɛ 2 q = a 1 + b 1 p + c 1 y + d 1 R + ɛ 1 q = a 2 + b 2 p + ɛ 2 q = a 1b 2 a 2 b 1 + c 1b 2 y + d 1b 2 R + v 1 q = π 1 + π 2 y + π 3 R + v 1 p = a 1 a 2 + c 1 y + d 1 R + v 2 ˆb 2 = π 2 π 5, ˆb2 = π 3 π 6, dva odhady Z uvedených příkladů je vidět, že pro každou rovnici ve studované soustavě mohou nastat následující situace z redukovaných parametrů lze získat právě jeden soubor strukturních parametrů z redukovaných parametrů lze získat soubor strukturních parametrů, ale tento soubor není jednoznačný (Příklad 3) z redukovaných parametrů nelze strukturní parametry získat (Příklad 1 a 2). Identifikaci ekonometrických modelů se věnuje celá řada literatury a jednotlivé výše uvedené situace lze najít pod různými názvy. Řekneme, že rovnice se nazývá Přesně identifikovaná rovnice (dobře identifikována, exactly identified, just identified) pokud lze z parametrů redukovaného tvaru získat jednoznačné vyjádření pro parametry strukturního tvaru. Podidentifikovaná rovnice (neidentifikovaná, under-identified, unidentified) pokud z parametrů redukovaného tvaru nelze získat žádné vyjádření pro parametry strukturního tvaru. Přeidentifikovaná rovnice (over-identified) pokud lze z parametrů redukovaného tvaru získat vyjádření pro parametry strukturního tvaru, ale toto vyjádření není jednoznačné. 11

12 Je možné si všimnout, že v jedné soustavě může být některá z rovnic přesně identifikována a jiná podidentifikována. Problém identifikace tedy není problém celé soustavy, ale problém konkrétní rovnice v dané soustavě. Navíc problém špatné identifikovatelnosti jedné rovnice lze vyřešit přidáním další proměnné do jiné rovnice. Identifikaci lze tedy zlepšit, pokud modifikujeme jinou rovnici. tento jev nazýváme identifikačním paradoxem. K ověřování identifikovatelnosti jednotlivých rovnic používáme u rozsáhlých simultánních soustav lze použít kritéria identifikace ve formě nutných a postačující podmínek k identifikaci rovnic. Nutné podmínky jsou obvykle nazývány rozměrovými podmínkami identifikace (order condition) a jsou založeny na porovnání počtu endogenních a exogenních proměnných v celé soustavě a ve studované rovnici. Naproti tomu nutná a postačující podmínka, která je založena na hodnostech matic parametrů, se nazývá podmínkou hodnostní (rank condition). Její praktické ověření je však u rozsáhlých soustav již náročnější. Nutná podmínka identifikace Nejprve zavedeme následující značení pro počet proměnných: G... celkový počet endogenních proměnných (zároveň se jedná o počet rovnic) G 1... celkový počet endogenních proměnných v dané rovnici K... celkový počet exogenních proměnných... celkový počet exogenních proměnných v dané rovnici K 1 Pak pokud platí K K 1 = G 1 1, pak je rovnice přesně identifikovaná, pokud přepíšeme podmínku do tvaru (K K 1 ) + (G G 1 ) = G 1 pak lze vztah interpretovat také takto: počet vynechaných proměnných (exogenních i endogenních) ve studované rovnici je roven zbylému počtu rovnic soustavy), K K 1 > G 1 1, pak je rovnice přeidentifikovaná (počet vynechaných proměnných - exogenních i endogenních je větší než počet zbylých rovnic v soustavě), K K 1 < G 1 1, pak je rovnice podidentifikovaná. Použití nutné podmínky ukážeme na příkladech poptávkové a nabídkové funkce: viz. Příklad 1 - poptávková funkce G = 2, G 1 = 2 K = 1, K 1 = 1 0 < 1 podidentifikovaná funkce viz. Příklad 1 - nabídková funkce G = 2, G 1 = 2 K = 1, K 1 = 0 1 = 1 přesně identifikovaná funkce viz. Příklad 2 - poptávková funkce G = 2, G 1 = 2 12

13 K = 2, K 1 = 2 0 < 1 podidentifikovaná funkce viz. Příklad 2 - nabídková funkce G = 2, G 1 = 2 K = 2, K 1 = 0 2 > 1 přeidentifikovaná funkce Rozměrová podmínky vypovídá tedy o přiměřenosti počtu vynechaných proměnných ve studované rovnici. Pokud vynecháme příliš mnoho proměnných, pak nelze jednoznačně odvodit hodnoty parametrů strukturního tvaru z parametrů tvaru redukovaného a rovnice je přeidentifikována. Pokud naopak vynecháme málo proměnných (nebo žádnou), pak matice B a Γ mají příliš nenulových prvků a nelze je zpětně zrekonstruovat z matice Π. Postačující podmínka identifikace je založena na studiu hodnosti submatic parametrů soustavy a lze ji formulovat v následujícím tvaru. Studovaná strukturní rovnice je přesně identifikována právě tehdy, když hodnost matice vytvořené ze strukturních koeficientů nevyskytujících se ve zkoumané rovnici je G 1 (neboli, pokud existuje alespoň jeden nenulový subdeterminant řádu (G 1) (G 1). Příklad y 1 +β 12 y 2 +β 13 y 3 +γ 11 x 1 =v 1 β 21 y 1 +y 2 +γ 21 x 1 +γ 22 x 2 +γ 23 x 3 =v 2 β 31 y 1 +β 33 y 3 +γ 31 x 1 +γ 32 x 2 +γ 33 x 3 =v 3 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 1 β 12 β 13 γ β γ 21 γ 22 γ 23 β γ 31 γ 32 γ rovnice je identifikována, 2. a 3. rovnice jsou podidentifikovány. V praktických ekonomických modelech se obvykle setkáváme s přeidentifikovanými rovnicemi. Znalost identifikovatelnosti jednotlivých rovnic nám slouží ke správně volbě odhadovacích postupů. Pokud je z podmínek identifikovatelnosti jasné, že nelze z parametrů redukovaného tvaru odvodit parametry tvaru strukturního, nemá smysl rovnici do tohoto tvaru převádět a snažit se takto parametry odhadnout. Pokud je rovnice přeidentifikována, tj. existuje více odhadů odvozených z redukovaného tvaru, budou tyto odhady sice konzistentní, ale nebudou vydatné, protože nevyužívají všech informací, které máme k dispozici. 13

14 6.3.4 Metody odhadu simultánních rovnic Odhadové funkce pro soustavy simultánních rovnic jsou založeny na kritériích nejmenších čtverců nebo na principech maximální věrohodnosti. Všechny odvozené způsoby odhadu mají charakter odhadů single - odhady s omezenou informací nebo system - odhady s úplnou informací. Metody odhadu s omezenou informací (limited information methods) nevyužívají všechny informace, které máme k dispozici a odhadují každou z rovnic zvlášt. Mezi její představitele patří: Klasická metoda nejmenších čtverců (odhadujeme každou z rovnic zvlášt ). Nepřímá metoda nejmenších čtverců (ILS) Dvoustupňová metoda nejmenších čtverců (2SLS) Metody odhadu s úplnou informací(full information methods) odhadují najednou všechny rovnice a využijí tak veškeré informace v datech. Do této skupiny řadíme zejména Třístupňová metoda nejmenších čtverců (3SLS) Maximálně věrohodné odhady s úplnou informací Klasická metoda nejmenších čtverců Pokud použijeme klasický přístup pro odhad parametrů založený na předpokladu vzájemné nezávislosti rovnic obsažených v soustavě dostaneme odhady, které jsou vychýlené a nekonzistentní. Vychýlenost odhadů je důsledkem porušení předpokladu nezávislosti vysvětlující náhodné proměnné a náhodné složky. V soustavách simultánních rovnic tuto podmínku porušují právě proměnné, které vystupují jak na pozici vysvětlující tak vysvětlované proměnné. Na příkladu y 1t = a 14

15 6.3.6 Nepřímá metoda nejmenších čtverců (ILS) Simultánní soustavu převedeme na redukovaný tvar y = Πx + w ˆΠ = (X T X) 1 X T y 15

16 6.3.7 Dvoustupňový odhad MNČ y j = β j Y j + Γ j X j + ɛ j Nejprve odhadneme endogenní proměnné na pravé straně pomocí dalších rovnic a všech exogenních proměnných. V původní rovnici nahradíme ŷ na pravé straně. Příklad y 1 +β 12 y 2 +β 13 y 3 +γ 11 x 1 =v 1 β 21 y 1 +y 2 +γ 21 x 1 +γ 22 x 2 +γ 23 x 3 =v 2 β 31 y 1 +y 3 +γ 31 x 1 +γ 32 x 2 +γ 33 x 3 =v 3 1. y 2 = f 1 (x 1, x 2, x 3 ) ŷ 2 y 3 = f 2 (x 1, x 2, x 3 ) ŷ 3 y 1 = f 3 (ŷ 2, ŷ 3, x 1 ) odhad 2SLS 2. y 1 = f(x 1, x 2, x 3 ) ŷ 1 y 3 = f(x 1, x 2, x 3 ) ŷ 3 y 2 = f(ŷ 1, x 1, x 2, x 3 ) 3. y 1 = f(x 1, x 2, x 3 ) ŷ 1 y 2 = f(x 1, x 2, x 3 ) ŷ 2 y 3 = f(ŷ 3, x 1, x 2, x 3 ) 16

17 6.3.8 Třístupňový odhad MNČ První a druhý stupeň jsou shodné s dvoustupňovou metodou. Třetí stupeň je odhad ˆΣ s použitím GLS. 17

18 6.4 Dynamické simultánní rovnice Obsahují zpoždění endogenních proměnných. By t + Γ 1 x t + Γ 2 y t 1 = ɛ t y t = Π 1 x t + Π 2 y t 1 + ɛ t y t 1 = Π 1 x t 1 + Π 2 y t 2 + ɛ t 1 Pokud Potom s C s = n=0 C = n=0 M r M r y t = Π 1 x t + Π 2 Π 1 x t 1 + Π 2 2y t 2 + ɛ t + Π 2 ɛ t 1 Π t 2 t 0 y t = M 0 x t + M 1 x t 1 + M 2 x t w t kumulativní multiplikátory dlouhodobé multiplikátory C = (Π Π Π )Π 1 C = Π 1 1 Π 2 Příklad (1) C t = β 1 + β 2 y t + u t1 (2) I t = α 1 + α 2 y t + α 3 y t 1 + u t2 (3) y t = C t + I t + G t C I G spotřeba investice veřejné výdaje add(1) spotřební funkce add(2) investiční funkce add(3) definiční funkce (identita) C, y, I endogenní G exogenní y predeterminovaná (zpožděná) 0 < β 2 < 1 mezní sklon ke spotřebě 0 < α 2, α 3 < 1 mezní sklon k investicím Redukovaný tvar 18

19 dosadíme (1) do (3) dosadíme: (2) I t = α 1 + α 2 y t + α 3 y t 1 + u t2 (3) + (1) y t = β I t + 1 G t + u t1 1 β 2 1 β 2 1 β 2 1 β 2 [β 2 1] y t = β 1 1 β β 2 α β 2 α 2 y t β 2 α 3 y t G t + u t1 + u t2 1 β 2 1 β 1 1 β 2 y t (1 α 2 ) = α 1 + β 1 + α 3 y t G t + u t1 + u t2 1 β 2 1 β 2 1 β 2 1 β 2 1 β 1 1 β 2 (4) y t = v t1 = α 1 + β 1 α y t 1 + G t + v t1 1 α 2 β } {{ 2 1 α } 2 β } {{ 2 1 α } 2 β } {{ 2 } π 11 π 12 π 13 u t1 + u t2 1 α 2 β 2 (5) I t = α 1 α 1 β 2 + α 2 β 1 + α 3 α 3 β 2 y t 1 + G t + v t2 1 α 2 β } {{ 2 1 α } 2 β } {{ 2 1 α } 2 β } {{ 2 } π 21 π 22 π 23 v t2 = α 2u t1 + u t2 β 2 u t2 1 α 2 β 2 α 2 a dostáváme redukovaný tvar ( ) y t = π 11 + π 12 y t 1 + π 13 G t + v t1 ( ) I t = π 21 + π 22 y t 1 + π 23 G t + v t2 t = 1, 2,..., T Rovnice (*) má autoregresní charakter (diferenční rovnice) vyjádříme (*) pro y t 1 = π 11 + π 12 y t 2 + π 13 G t 1 + v t 1,1 : y t = ( ) y t = π 11 (1 + π 12 ) + π 2 12y t 2 + π 13 (G t + π 12 G t 1 ) + v t1 + π 12 v t 1,1 π 11 (1 + π 12 + π π t 1 12 )+ absolutní člen +π t 12y 0 +π13(g t t + π 12 G t 1 + π12g 2 t π12 t 1 G 1 ) +v t1 + π 12 v t 1,1 + π12v 2 t 2, π12 t 1 v 1,1 ) náhodná složka 19

20 Rovnice konečného tvaru Multiplikátory HDP: y t = π 13 G t y t = π 13 π 12 G t 1 π 13 + π 13 π 12 π 13 (1 + π 12 + π ) π 13 = (1 π 12 ) přímý, běžný multiplikátor dynamický multiplikátor krátkodobý kumulovaný multiplikátor (za 2 období) dlouhodobí (celkový) multiplikátor 20

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

METODY ODHADU REDUKOVANÉHO A STRUKTURNÍHO TVARU MODELŮ SIMULTÁNNÍCH ROVNIC.

METODY ODHADU REDUKOVANÉHO A STRUKTURNÍHO TVARU MODELŮ SIMULTÁNNÍCH ROVNIC. METODY ODHADU REDUKOVANÉHO A STRUKTURNÍHO TVARU MODELŮ SIMULTÁNNÍCH ROVNIC. ZÁKLADNÍ HARRODŮV-DOMARŮV MODEL RŮSTU A JEHO VERZE VE FORMĚ MULTIPLIKÁTOR AKCELERÁTOR. Parametry modelu simultánních rovnic ve

Více

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová Testování předpokladů pro metodu chain-ladder Seminář z aktuárských věd 4. 11. 2016 Petra Španihelová Obsah Datová struktura Posouzení dat Předpoklady metody chain-ladder dle T. Macka Běžná lineární regrese

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I 5EN306 Aplikované kvantitativní metody I Přednáška 5 Zuzana Dlouhá Předmět a struktura kurzu 1. Úvod: struktura empirických výzkumů 2. Tvorba ekonomických modelů: teorie 3. Data: zdroje a typy dat, význam

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε

Více

ZOBECNĚNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL. METODA ZOBECNĚNÝCH NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ

ZOBECNĚNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL. METODA ZOBECNĚNÝCH NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ ZOBECNĚNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL. METODA ZOBECNĚNÝCH NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ V následujícím textu se podíváme na to, co dělat, když jsou porušeny některé GM předpoklady. Nejprve si připomeňme, o jaké předpoklady

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

PROGNÓZOVÁNÍ POMOCÍ EKONOMETRICKÝCH MODELŮ. ÚLOHA OČEKÁVÁNÍ V EKONOMII.

PROGNÓZOVÁNÍ POMOCÍ EKONOMETRICKÝCH MODELŮ. ÚLOHA OČEKÁVÁNÍ V EKONOMII. PROGNÓZOVÁNÍ POMOCÍ EKONOMETRICKÝCH MODELŮ. ÚLOHA OČEKÁVÁNÍ V EKONOMII. Tento text věnuje prognózování, tedy predikci hodnot vysvětlovaných proměnných. Typy kvantitativních prognostických postupů můžeme

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

OPTIMÁLNÍ ŘÍZENÍ V EKONOMETRII. METODA CÍLOVÝCH PROMĚNNÝCH A JEJÍ OMEZENÍ.

OPTIMÁLNÍ ŘÍZENÍ V EKONOMETRII. METODA CÍLOVÝCH PROMĚNNÝCH A JEJÍ OMEZENÍ. OPTIMÁLNÍ ŘÍZENÍ V EKONOMETRII. METODA CÍLOVÝCH PROMĚNNÝCH A JEJÍ OMEZENÍ. Ekonometrické modely jsou využívány i na makroúrovni či v podnikové sféře při řešení různých rozhodovacích problémů. Lze pomocí

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 10: Heteroskedasticita LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Heteroskedasticita - teorie Druhý

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Ekonometrie. Jiří Neubauer

Ekonometrie. Jiří Neubauer Úvod do analýzy časových řad Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Úvod do analýzy

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme,

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme, Úloha 1: V naší studii se zabýváme poptávkovou funkcí životního pojištění, vycházíme z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK Základy ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu II Cvičení 3 Zuzana Dlouhá Klasický lineární regresní model - zadání příkladu Soubor: CV3_PR.xls Data: y = maloobchodní obrat potřeb

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Přepoklady KLM a Gauss Markov teorém. Blue odhad - GM. KLM Klasický lineární model. 1) Lineární v parametrech. 2) E ε = 0

Přepoklady KLM a Gauss Markov teorém. Blue odhad - GM. KLM Klasický lineární model. 1) Lineární v parametrech. 2) E ε = 0 Heteroskedasticita Přepoklady KLM a Gauss Markov teorém KLM Klasický lineární model 1) Lineární v parametrech ) E ε = 0 Blue odhad - GM Nezkreslený odhad 1) Lineární v parametrech ) E ε = 0 3) E( ȁ ε X)=

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Mnohorozměrné metody Regrese jedna náhodná veličina je vysvětlována pomocí jiných

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl Odhad simultánního modelu (SM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná studijní pomůcka MM2011 Úvodní obrazovka Gretlu

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 10 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 10.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěma, případně

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základ ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu I Cvičení 2 Zuzana Dlouhá Metodologický postup tvor EM 1. Specifikace modelu určení proměnných určení vzájemných vaze mezi proměnnými

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Praktikum z ekonometrie Panelová data

Praktikum z ekonometrie Panelová data Praktikum z ekonometrie Panelová data Jan Zouhar Katedra ekonometrie, FIS VŠE v Praze, zouharj@vse.cz 9. května 2014 1 Terminologie a značení Sledujeme-li pro všechny průřezové jednotky stejná časová období,

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Podkladové údaje Korelační matice Odhad lineárního regresního modelu (LRM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Zvířata zařazená do hodnocení V modelu plemene H jsou hodnoceny krávy s podílem krve H nebo 75% a výše. V modelu plemene C jsou hodnoceny krávy s podílem krve

Více

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde: Bodová předpověď: Intervalová předpověď:

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde:  Bodová předpověď: Intervalová předpověď: Predikce Text o predikci pro upřesnění pro ty, které zajímá, kde se v EViews všechna ta čísla berou. Ruční výpočty u průběžného testu nebudou potřeba. Co bude v závěrečném testu, to nevím. Ale přečíst

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Otázky ke státní závěrečné zkoušce

Otázky ke státní závěrečné zkoušce Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více