Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Transkript

1 Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd

2 Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model) Ekonometrický model r i,t výnos akcie i v čase t α 0 výnosová míra, která není určena tržním výnosem β 1 citlivost výnosu akcie na výnos tržního indexu r mt výnos tržního indexu m v čase t ε it -mimo jiné ostatní proměnné ovlivňující výnos akcie α > 0 výnos investice je vyšší, než odměna za předpokládané riziko α < 0 výnos investice je nižší, než odměna za předpokládané riziko α = 0 výnos investice je adekvátní odměna za předpokládané riziko Pokud je investiční instrument správně oceněn, alfa je nula Hypotéza - je signifikantní alfa?

3 Předpokládejme, že známe data generující proces: r IBM,t r 10YBondt = r SPt r 10YBondt + ε IBMt Vidíme 1 realizaci Kdybychom mohli vracet minulost b 1

4 Základní soubor (populace) vs. Výběr (sample) wage = β 0 + β 1 educ + ε wage = educ + ε Výběrový soubor Nemůžeme zkoumat každého jedince v populaci Nákladné Často nemožné provedeme výběr, se kterým pak pracujeme Kdybychom mohli opakovat výběr Odhad vztahu z výběrového souboru wage = educ + e 0,0359educ 0,0279educ Proč? Odhad je náhodná veličina má své rozdělení!!! b 1

5 r IBM,t r 10YBondt = α + β r SPt r 10YBondt + ε IBMt

6 Závislá a nezávislá proměnná 1) y = β 0 + β 1. x + ε Zajímá nás jak se mění y se změnou x Na y kromě x působí další proměnné - ε Jinak by body byly na přímce Skutečný nepozorovaný vztah y = β 1 x y/ x = β 1 y y = b 0 + b 1 x Δ y/ x = b 1 "y = β 0 + β 1. x" y = β 1 β 0 x = 1 β 1 sklon β 0 úrovňová konstanta x

7 Hledání konkrétního tvaru regresní funkce Musíme najít vhodnou přímku, která nejlépe proloží napozorovaná data Nebo-li odhadnout β 0,1, tedy určit b 0,1 Každou empirickou hodnotu y i nahradíme určitou vyrovnanou hodnotou y i Která bude ležet na zvolené empirické (výběrové) regresní přímce y i = β 0 + β 1. x i + ε i y i = b 0 + b 1. x i y Problém je, že takových přímek může existovat nekonečně mnoho Musíme najít kritérium nejlépe vystihne daný vztah y 5 y 6 y y 5 y 1 y 2 y 3 y 3 y 4 y 4 = y 4 y 5 y 6 y 1 y 3 y 4 y 6 y 7 y 1 y 2 x y 2 x

8 Metoda nejmenších čtverců (MNČ,OLS) Jedna z metod jak odhadnout parametry β 0 a β 1 y = β 0 + β 1 x + ε y = b 0 + b 1 x y = b 0 + b 1 x + e Problém je, že takových přímek může existovat nekonečně mnoho Musíme najít kritérium nejlépe vystihne daný vztah y y 5 y 3 y 4 y 7 y 1 y 6 y 2 x

9 Součet čtverců odchylek empirických hodnot y i od hodnot nafitovaných byl minimální Metoda nejmenších čtverců (MNČ, OLS) y = β 0 + β 1 x + ε y = b 0 + b 1 x + e y i = b 0 + b 1. x i n n e 2 i = (y i y i ) 2 min y n n y 7 e 2 i = (y i b 0 b 1 x 1 ) 2 min y 5 y 6 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 1 y 4 = y 4 y 2 y 3 y 1 y 2 x

10 Přímková regrese y = β 0 + β 1. x + ε y = b 0 + b 1. x n n e 2 i = (y i y i ) 2 min Q min hledáme extrém minimum Tedy takové b 0,1, které budou minimalizovat funkci Q b 0 je odhad β 0 b 1 je odhad β 1 n Q = (y i b 0 b 1. x i ) 2 n Q = 2 b 0 y i b 0 b 1. x i. 1 = 0 n Q = 2 b 1 y i b 0 b 1. x i. x i = 0

11 Regresní koeficient (výběrový regresní koeficient) Směrnice (sklon) regresní přímky Znaménko kovariance udává znaménko odhadu parametru!! Proč? y i = b 0 + b 1. x i b xy = s xy s x 2 PŘÍMKOVÁ REGRESE!!! JEDNODUCHÝ RM!!! b 1 = σ n σn x i x ҧ. (y i തy) x i xҧ 2 b 1 = Cov(x, y) var(x) y y = b 0 + b 1 x y = β 0 + β 1. x b 0 = തy b 1 xҧ y = β 1 β 0 x = 1 β 1 sklon β 0 úrovňová konstanta x

12 Co je to estimator Odhad získáme jako výsledek nějaké funkce (estimator) - OLS Odhad je výstup z estimátoru b 0,,k Výběrový soubor proženeme nějakou funkcí (estimator) získáme odhad (bodový, intervalový) Výška studentů VŠE Estimátor Odhadneme populační průměr výšky dospělých lidí തX = 1 n σx i b 1 = Cov(x, y) var(x) b 0 = തy b 1 xҧ

13 Více o OLS a podmínkách Víme: Odhad je náhodná veličiny Jako taková má své charakteristiky b~iid(μ, σ 2 I) Rozdělení (y, b 0,1 ) je určeno předpokládaným rozdělením náhodné složky ε Proto nás zajímá, jak se chová střední hodnota a rozptyl odhadu Požadavky na odhad Nezkreslený (nestranný, nevychýlený) Konzistentní Vydatný Pokud budou splněny určité předpoklady Metoda nejmenších čtverců nám poskytne požadované vlastnosti odhadu Pokud budou splněny dané předpoklady Daná metoda vede k nezkreslenému, konzistentnímu případně i vydatnému odhadu

14 Střední hodnota E b 0 = β 0 E b 1 = β 1 b~rozdel(μ, σ 2 ) Chceme aby střední hodnota odhadu byla rovna skutečné hodnotě parametru Nebo-li, aby byl odhad NEZKRESLENÝ Zda-li bude odhad nezkreslený, bude záviset na splnění předpokladů pro metodu OLS Pokud budou splněny dané předpoklady víme, že metoda OLS vede k nezkreslenému odhadu neznámých parametrů β b 1 = σ n σn x i x ҧ. (y i തy) x i xҧ 2 b 1 = β 1 + σ n σn x i x ҧ. ε x i xҧ 2 E(b 1 ) = β 1 + σ n σn x i xҧ x i xҧ 2 E(ε) β

15 Rozptyl b 1 ~rozdel(β 1, σ 2 ) Kromě toho, zda-li se náš odhad b 0,1 nezkreslený pohybuje se kolem skutečné hodnoty parametru β 0,1 a střední hodnota E(b 0,1 ) Nás zajímá, jak moc se pohybuje kolem skutečné hodnoty rozptyl Var(b 0,1 ) y = β 0 + β 1 x + ε y = b 0 + b 1 x + e y = b 0 + b 1 x + v Proč nás zajímá rozptyl? Menší rozptyl lepší odhad Vydatnější Využijeme při hypotézách a testování E b 1 shodné rozdílné Var(b 1 ) Var(b OLS ) Var(b NON OLS )

16 b 1 ~iid(β 1, σ 2 ) ε~iid(0, σ 2 I) Typ rozdělení b je určen typem rozdělení náhodné složky Zatím předpokládáme pouze iid. (identical, independent, distribution) Až dále si zavedeme silnější předpoklad, že náhodná složka se řídí normálním rozdělením

17 Gauss-Markov předpoklady 1) Linearita v parametrech (koeficientech) 2) Náhodná chyba má střední hodnotu rovnou nule není restriktivní pokud zahrneme úrovňovou konstantu 3) Všechny vysvětlující proměnné (x) jsou nekorelované s náhodnou chybou 4) Žádná vysvětlující proměnná není lineární kombinací jiných VP 5) Náhodná chyba má konstantní rozptyl homoskedasticita 6) Náhodné chyby jsou nekorelovaná mezi sebou- není autokorelace Po splnění získáme pomocí metody OLS odhady s těmito vlastnostmi: Nezkreslené (nestranný, nevychýlený) Konzistentní Vydatné

18 Úvod do testování hypotéz Populace vs. Výběrový vzorek (sample) Na základě ekonomické (i jiné) teorie vybereme relevantní proměnné (data) y = Xβ + ε Populace výběrový vzorek Na základě výběrového vzorku budeme dělat závěry ohledně celé populace Testujeme populační parametry Výběrové nám pouze dávají nástroj

19 Termíny Statistika testovací kritérium Při testování používáme tzv. statistiky (vzorec) Tyto statistiky nabývají určitých rozdělení při platnosti H0 t = b j β j sd(b j ) ~t n k 1 Rozdělení rozdělujeme na 2 části: Obor přijetí Pokud vypočtená hodnota ze statistiky padne do oboru přijetí Nezamítáme nulovou hypotézu H0 Kritický obor Zamítáme H0 Obor přijetí Nezamítáme H0 Kritický obor (rejection region) Pokud vypočtená hodnota ze statistiky padne do kritického oboru Zamítáme nulovou hypotézu Kritický obor Zamítáme H0 0

20 Testuje se následující hypotéza H 0 : β = 0 H 1 : β 0 Testuje se zda-li má cenu do modelu zahrnout danou proměnnou Zda-li má signifikantní vliv na závislou proměnnou Zda-li je signifikantní Testovací statistika t = b j β j sd(b j ) ~t n k 1 t = b j sd(b j ) ~t n k 1 t-test t educ = 0, , = 11,5 t (0,975) =

21

22

23 Děkuji za pozornost