TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

Transkript

1 TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu ESF (CZ.1.07/..00/07.07) eflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, KTEÝ JE SPOLFNANCOVÁN EVOPSKÝM SOCÁLNÍM FONEM A STÁTNÍM OZPOČTEM ČESKÉ EPBLKY

2 Analýza elektrického obvodu Většina metod analýzy elektrických obvodů se opírá o tzv. Kirchhoffovy zákony. ovnice popisující elektrický obvod lze snadno získat přímou aplikací těchto zákonů. 1. Kirchhoffův zákon (proudový) je speciálním případem rovnice kontinuity. Algebraický součet proudů ve větvích spojených v libovolném uzlu je roven nule i (t) 0 k k Obvykle uvažujeme, že proudy tekoucí do uzlu mají znaménko plus a proudy tekoucí z uzlu pak znaménko minus.. Kirchhoffův zákon (napěťový) algebraický součet všech napětí ve větvích tvořících libovolnou smyčku je roven nule u (t) 0 k k Napětí orientované souhlasně se smyčkou uvažujeme jako kladné, napětí orientované opačně jako záporné. Metoda smyčkových proudů vychází z druhého Kirchhoffova zákona. Neznámými jsou fiktivní (myšlené) smyčkové proudy, které uvažujeme v nezávislých smyčkách analyzovaného obvodu. Tyto proudy automaticky splňují první (proudový) Kirchhoffův zákon. Aplikace této metody viz příklad. Metoda vede v obecném případě k řešení velkého počtu rovnic s mnoha neznámými. Řešení i rozsáhlejší soustavy rovnic je bez použití výpočetní techniky složité a velmi pracné. Programové prostředí MATLAB je vhodné pro řešení takovýchto typů úloh. Nabízí řadu užitečných maticových funkcí v uživatelsky příjemného tvaru, které nám umožňují snadno tyto úlohy řešit bez nutnosti programování složitých cyklických operací. ZS - Analýza elektrického obvodu

3 Příklad Vypočítejte velikost všech neznámých proudů a napětí v obvodu podle obr. 1. Jsou zadány hodnoty odporů jednotlivých rezistorů 1 Ω, 0 Ω, Ω, 1 Ω, Ω a 10 Ω a napětí stejnosměrných zdrojů 1 V, V, 1 V a V S1 S S Řešení Obr. 1 : Schéma zapojení elektrického obvodu Příklad budeme řešit metodou smyčkových proudů. Jako neznámé zavedeme např. smyčkové proudy S1, S a S v jednotlivých nezávislých smyčkách (viz obr.1). Směr proudu vyznačený šipkami (přesněji smysl ) můžeme volit libovolně, stejně tak i odhadnuté směry proudů jednotlivých rezistorů. K sestavení rovnic použijeme druhý Kirchhoffův zákon s tím, že napětí na rezistorech se rovnají podle Ohmova zákona součinu jejich odporu a protékajícího proudu a po úpravě 1 S1 1 (S1 S) (S1 S) 0 S (S S1 ) (S S) 0 ( ) ( ) S S1 S S S 0 ( 1 )S1 S S 1 S1 ( )S S S1 S ( )S Po zadání konkrétních hodnot jednotlivých rezistorů a napěťových zdrojů dostáváme tři rovnice pro tři neznámé smyčkové proudy. Vyřešením této soustavy rovnic vypočítáme jejich konkrétní hodnoty, ze kterých pak snadno vyjádříme proudy, které protékají jednotlivými rezistory a jejich napětí. ZS - Analýza elektrického obvodu

4 1. Řešení úlohy matematickými prostředky v maticovém tvaru Výše uvedenou soustavu lineárních algebraických rovnic zapíšeme v maticovém tvaru 1 S S S1 1 a dosadíme konkrétní hodnoty dle zadání S S S1 Pro řešení soustavy v tomto tvaru využijeme s výhodou prostředky lineární algebry. Označíme-li matici soustavy symbolem A, vektor neznámých smyčkových proudů S a vektor pravých stran b, lze vyjádřit uvedenou soustavu rovnic ve tvaru A S b a její řešení S A -1 b, A inverzní matice k matici A 9,, S S S1 S b A ZS - Analýza elektrického obvodu 0,0 0,01 0,0 0,01 0,0 0,00 0,0 0,00 0,0 1 A (poznámka k výpočtu A -1 viz dále) Poznámka k řešitelnosti uvedené soustavy rovnic Řešitelnost soustavy lineárních rovnic je určena tzv. Frobeniovou větou. Soustava má řešení tehdy a jenom tehdy, pokud hodnost h S matice soustavy A, v tomto případě hod hod h S A a hodnost h rozšířené matice soustavy A [A, b], zde hod hod h A

5 jsou shodné. Podmínka h S h je splněna, soustava tedy řešení má. Pokud by h S h, uvažovaná soustava by řešení neměla. Jestliže dále h S h n, kde n je počet neznámých (zde n ), existuje řešení jediné. Pokud však h S h n existuje mnoho řešení. V našem konkrétním případě tedy řešení existuje a je jediné. Řešení soustavy algebraických rovnic Často používaným efektivním způsobem je aplikace tzv. Cramerova pravidla. Jestliže matice soustavy A má plnou hodnost (je regulární, její determinant je nenulový), má soustava jednoznačné řešení, které můžeme postupně pro jednotlivé proměnné vyjádřit jako podíl i /, kde det A a i je determinant matice, která vznikne z matice A záměnou i-tého sloupce sloupcem pravých stran rovnic b. 1 det A S1 S S 0,0 A 0,1 A 0, A Proudy v jednotlivých větvích pak jsou 1 S1 0,0 A S 0,1 A S1 S 0,0 0,1 0,9 A S S1 0, 0,0 0,07A S S 0,1 0, 0,10A 0, A S ZS - Analýza elektrického obvodu

6 Napětí na jednotlivých rezistorech vypočteme pomocí Ohmova zákona ,0,V 0 0,1,700V 0,9,97V 1 ( 0,07) 0,10V ( 0,10),00V 10 0,,0V Záporná znaménka u proudů a jsou způsobena opačnou volbou orientace jejich působení (špatně původně odhadnutý směr proudových šipek) ve schématu. Z toho vychází i orientace napětí a. Poznámka k výpočtu inverzní matice nverzní matice A -1 je taková čtvercová matice, pro kterou platí A -1 A A A - 1 E, kde E je jednotková matice (jedničky na hlavní diagonále, ostatní prvky nulové). Pro každou čtvercovou regulární matici A (det A 0) existuje právě jediná A -1 adj A / det A. Matice adj A je tzv. adjungovaná matice, je sestavená z algebraických doplňků matice A (prvek na pozici (i, j) této matice dostaneme jako determinant matice vzniklé vypuštěním i-tého řádku a j-tého sloupce transponované matice A T vynásobený koeficientem ( 1) ij ). V našem případě adj A 1 det A ,0 0,00 0,0 1 adj A A 0,00 0,0 0,01, det A 0,0 0,01 0,0 Výpočet inverzní matice pro nejčastější případ rozměru matice je proto zcela triviální (záměna prvků ležících na hlavní diagonále a inverze znaménka prvků ostatních, vše děleno determinantem). eterminant čtvercových matic rozměru a je možné vyjádřit tzv. Sarrusovým pravidlem. Sarrusovo pravidlo však neplatí(!) pro matice s větším počtem řádků (a sloupců), pro výpočet jejich determinantů je nutné použít rozvoj podle libovolného řádku nebo sloupce. nverzní matici lze vypočítat i jiným než výše uvedeným způsobem (často tzv. Gaussovou eliminací). ZS - Analýza elektrického obvodu

7 . Řešení úlohy v prostředí MATLABu S použitím standardních funkcí MATLABu lze maticovou rovnici A S b velmi snadno vyřešit. Řešení hledáme ve tvaru S A -1 b, tedy jako násobení (zleva!) vektoru b inverzní maticí A -1. Alternativou je i tzv. dělení zleva S A \ b, které MATLAB nabízí. Jedná se však pouze o formální variantu téhož v jiném syntaktickém zápisu. (Podle názoru autora tohoto textu je toto označení poněkud zavádějící, v matematice neexistuje dělení maticí nebo vektorem, pouze násobení maticí inverzní. V tomto smyslu je i tato matlabovská funkce konstruována, vychází pouze vstříc uživatelům, pro které je tento syntaktický zápis přijatelnější.) Obr.. : vě různé varianty řešení v MATLABu S výhodou lze řešení úkolu zapsat do skriptu, který je pak možné opakovaně volat. Jednoduchým způsobem je tak možné provést analýzu obvodu pro různé hodnoty zadaných parametrů. Příklad možného skriptu je na obr.. vedený skript je rozdělen na několik částí. V první části jsou zadávány hodnoty odporů jednotlivých rezistorů a napětí stejnosměrných zdrojů. V druhé části je proveden vlastní výpočet. Pomocí příkazu disp je realizován výstup textu na obrazovku. % Vypocet napetovych a proudovych pomeru pomoci smyckovych proudu % Aplikace Kirchhoffovych zakonu clear all, close all, clc format compact, format short disp(' Vypocet napetovych a proudovych pomeru v elektrickem obvodu') disp(' Aplikace Kirchhoffovych zakonu metoda smyckovych proudu ') disp(' Parametry obvodu ') ZS - Analýza elektrického obvodu 7

8 % Zadane parametry obvodu 1, 0,, 1,, 10 disp('************ ') 1,, 1, % Naplneni matic soustavy % matice soustavy A[1, -, -; -,, -; -, -, ]; % vektor pravych stran b[-1; -; ]; % eseni soustavy rovnic sinv(a)*b; disp(' Vypoctene hodnoty :') 1s(1), -s(), s(1)-s(), -s(1)s() s()-s(), s() disp('************ ') 11*1, *, *, *, *, * disp(' Konec prikladu') Obr. : Příklad možného skriptu Stručné shrnutí, hlavní zásady Při práci v MATLABu rozlišujeme malá a velká písmena. Jednotlivé příkazy jsou odděleny čárkou, středníkem nebo novým řádkem. Středník potlačuje zobrazení vypočtených hodnot na obrazovce počítače. Prvky matice se zadávají do hranatých závorek po řádcích, jednotlivé prvky jsou na řádku odděleny mezerou nebo čárkou, řádky jsou navzájem odděleny středníkem. Chceme-li opakovat výpočet a případně také měnit vstupní parametry, je vhodné pro tyto účely vytvořit skript. Pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic je vhodné její maticové vyjádření. Řešitelnost soustavy lineárních algebraických rovnic je určena tzv. Frobeniovou větou. Často používaným způsobem řešení soustavy lineárních algebraických rovnic je použití Cramerova pravidla. ZS - Analýza elektrického obvodu

9 Otázky a úkoly o Jak se změní proud 1 rezistorem 1 jestliže se změní jeho odpor na polovinu? o Jak se změní napětí 1 při této změně? o Jak se změní výkonové zatížení tohoto rezistoru? o Sledujte všechny tyto změny jestliže se odpor rezistoru 1 mění v rozsahu 1 až 10 Ω. Závislosti vyjádřete tabulkou a grafem. o Vyšetřete, jak se změní poměry v obvodu, jestliže dojde k přerušení rezistoru. o Vyšetřete, jak se změní poměry v obvodu, jestliže se odpory všech rezistorů změní na polovinu. o Jak se změní proudy v obvodu, jestliže se změní všechna napájecí napětí na dvojnásobek? Ověřte váš předpoklad. o Klaďte si podobné otázky a váš předpoklad vždy ověřte výpočtem. o ealizujte obvod s reálnými rezistory a srovnejte teoretický výpočet s měřením. o Aplikujte výše popsaný přístup na jiný elektrický obvod. JaJ, TL FM MT Poděkování: Tento text vznikl za podpory projektu ESF CZ.1.07/..00/07.07 eflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření. ZS - Analýza elektrického obvodu 9