4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
|
|
|
- Nela Kovářová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr
2 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu v simplexové tabulce Následky chyb při výpočtu Obecné vyjádření simplexové tabulky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
3 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu v simplexové tabulce Následky chyb při výpočtu Obecné vyjádření simplexové tabulky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
4 4.1 Konečnost simplexové metody Simplexová metoda je konečná Konečnost simplexové metody vyplývá ze základní věty LP Optimální řešení hledáme mezi základními přípustnými řešeními (důsledek ZVLP) Základních přípustných řešení je konečný počet max. m+n m Podle testu optima v každé iteraci zvýšíme hodnotu účelové funkce o z = t z k V konečném počtu kroků tedy musíme dojít k optimálnímu řešení nebo k závěru, že OŘ neexistuje Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
5 4.1 Konečnost simplexové metody Konečnost může porušit jen degenerace v úloze lineárního programování z = t z k Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
6 4.1.1 Degenerace v úloze LP Degenerované řešení je základní přípustné řešení, které má méně než m kladných složek, tj. více než n nulových složek Znamená to, že jedna nebo více základních proměnných (kterých je m) je rovna nule Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
7 4.1.1 Degenerace v simplexové tabulce K degeneraci v ST může dojít dvěma způsoby: při zadání úlohy LP během výpočtu (je-li několik stejných minimálních podílů t) V ST se degenerace projeví tak, že alespoň jedna složka sloupce pravých stran je rovna nule Je-li proti nulové pravé straně v klíčovém sloupci kladný koeficient, je hodnota vstupující proměnné rovna nule: x k = t = 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
8 4.1.1 Degenerace v simplexové tabulce Je-li t = 0, je nulový i přírůstek účelové funkce z: z = t z k = 0 z k = 0 Tato situace může vést k zacyklení výpočtu: po určitém počtu kroků se opět vrací již známá kombinace základních proměnných (známá báze) postup se opakuje donekonečna (viz Bealeův příklad) toto zacyklení báze je velmi vzácné Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
9 Bealeův příklad matematický model 60 x x x 3 + 9x x x x 3 + 3x 4 0 x 3 1 x 1, x 2, x 3, x 4 0 z = 150x x x 3 + 6x 4 min Přičteme přídatné proměnné a přepíšeme výchozí řešení do tabulky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
10 4.1.1 Degenerace v simplexové tabulce Klíčový sloupec je druhý Klíčový řádek není jednoznačný, 1. nebo 2. Nejednoznačnost pokračuje i v dalších iteracích Zvolíme-li vždy první z možností, vracíme se po sedmi iteracích zpět k výchozí bázi Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
11 4.1.1 Degenerace v simplexové tabulce Degeneraci lze odstranit několika způsoby: Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné (modifikace testu optima) snaží se o nenulovou změnu účelové funkce vhodným výběrem klíčového sloupce Blandovo pravidlo pro volbu vstupující proměnné modifikuje pravidlo pro určení klíčového sloupce i určení klíčového řádku Charnesova metoda perturbovaných pravých stran upraví nulové pravé strany na kladné Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
12 4.1.2 Modifikace testu optima Hledáme kombinaci vstupující a vystupující proměnné, která maximalizuje přírůstek účelové funkce z = t z k Pokud je klíčový sloupec druhý, klíčový řádek je 1. nebo 2. a z = t z k = 0 Pokud je klíčový sloupec třetí, klíčový řádek je jednoznačně třetí Změna účelové funkce je: z = t z k = 1 50 Tento přírůstek je vyšší a po transformaci získáme OŘ ve 4. iteraci Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
13 4.1.3 Blandovo pravidlo Jednoduchý postup, odvozený experimentálně Volíme vždy první možný klíčový sloupec bez ohledu na absolutní hodnotu koeficientu z k V případě rovnosti volíme první možný klíčový řádek Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
14 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu v simplexové tabulce Následky chyb při výpočtu Obecné vyjádření simplexové tabulky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
15 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu v simplexové tabulce Následky chyb při výpočtu Obecné vyjádření simplexové tabulky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
16 4.2 Chyby při výpočtu v ST Chyba: v určení klíč. sloupce v určení klíč. řádku v eliminaci v zápisu základních proměnných numerické chyby Projeví se: snížení hodnoty z nepřípustné řešení porušení přípustnosti nebo kanonického tvaru špatně přečtené základní řešení částečně nebo úplně špatný výsledek Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
17 Motivační příklad matematický model (1) Lis: 1 x x [min] (2) Balení: 1 x x [min] (3) Šroubky: 1 x x [ks] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
18 x 2 60 Grafické řešení úlohy LP OPTIMUM (2) x 1 (1) Z max (3) Množina 140 x1 1 x + 1, 0 xpřípustných 2 x4 Osy x x 1 a max x 2 řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
19 Motivační příklad - grafické řešení Optimální řešení zadané úlohy leží na průsečíku dvou hraničních přímek omezení (1) a (3): x 1 + 2x 2 = 120 x 1 = 110 Odtud je x 1 = 110, x 2 = 5 Bod optimálního řešení je tedy x = 110, 5 Hodnota účelové funkce je po dosazení z = 40x x 2 = = 4700 Lis: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
20 4.2.1 Chybný výběr klíčového sloupce Zvolíme chybně vstupující proměnnou x 3 Hodnota vstupující proměnné je: t = min 30, x, x = 30 Změna účelové funkce bude: z = t z k = = 1500 JAKÁ? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
21 4.2.1 Chybný výběr klíčového sloupce Transformace: Vidíme, že hodnota účelové funkce klesla z 4200 na 2700, tedy o 1500 V grafickém řešení jsme se dostali zpět do krajního bodu B Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
22 x 2 [0,60] 1 x x Pan Simplex zabloudil x B [0,45] C [60,30] 1 x x D [110,5] x 1 [0,0] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. A Obrázek Zhoršení hodnoty z 27 E [110,0] [120,0]
23 4.2.2 Chybný výběr klíčového řádku Zvolíme správně vstupující proměnnou x 4 Zvolíme však chybně vystupující proměnnou x 2 x 4 = 60 Jaká bude hodnota proměnných x 1, x 2 a x 5? x 1 = 60 1 t = = 120 x 2 = t = = 0 2 JAKÁ? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. x 5 = 50 1 t = = 10 28
24 4.2.2 Chybný výběr klíčového řádku Transformace: Dostáváme nepřípustné řešení: x 5 = 10 Ve třetím řádku, který měl být správně klíčový, je záporná pravá strana (může jich být i více, zvolíme-li t ještě nevýhodněji) V grafickém řešení jsme se dostali mimo MPŘ (do bodu F) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
25 x 2 [0,60] 1 x x Pan Simplex se úplně ztratil x B [0,45] C [60,30] 1 x x D F x 1 [0,0] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. A Obrázek Nepřípustné řešení 30 E [110,0] [120,0]
26 4.2.3 Chyba v eliminaci Takových chyb může být velké množství, např. odečteme od sebe řádky ST v opačném pořadí a dostaneme tak zápornou pravou stranu, tj. nepřípustné řešení počítáme eliminační metodou, nikoliv metodou úplné eliminace a ztratíme tak jednotkové vektory, tj. kanonický tvar Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
27 4.2.3 Chyba v eliminaci ( 2) Transformace: klíčový řádek transformujeme správně Chybně jsme však násobili druhý řádek ( 2) a přičetli k němu první řádek (x 2 nemá jednotkový vektor a je záporná) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i s x x x 5 z j
28 4.2.4 Chybný zápis základních proměnných Vidíme, že vektory základních proměnných zapsaných v tabulce netvoří jednotkovou matici, je porušen kanonický tvar soustavy rovnic Jaký je správný zápis základních proměnných? JAKÝ? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
29 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu v simplexové tabulce Následky chyb při výpočtu Obecné vyjádření simplexové tabulky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
30 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu v simplexové tabulce Následky chyb při výpočtu Obecné vyjádření simplexové tabulky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
31 Výchozí řešení: 4.3 Obecné vyjádření ST A I b c T 0 T 0 kde je... A m n matice strukturních koeficientů a ij b m 1 c T 1 n I m m vektor pravých stran omezení b i vektor cenových koeficientů c j jednotková matice Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36
32 4.3 Obecné vyjádření ST Báze: Vektory strukturních koeficientů základních proměnných v s-té iteraci tvoří bázi B s K matici báze B s existuje vždy inverzní matice báze B s 1 Báze výchozího řešení: Báze výchozího řešení je jednotková Najdeme ji ve sloupcích přídatných proměnných Tam rovněž najdeme inverzní matici B s 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
33 Báze: Vektory strukturních koeficientů základních proměnných 4.3 vobecné s-té iteraci vyjádření tvoří bázi STB s Výchozí řešení: Matice báze B s Tabulka s-té iterace (s = 1): Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
34 Inverzní matice báze B 1 s : Vektory transformovaných strukturních 4.3 koeficientů Obecné vyjádření z s-té iterace ST pro základní proměnné z výchozího řešení Výchozí řešení: Tabulka s-té iterace (s = 1): Inverzní matice báze B s 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
35 Báze s-té iterace: 4.3 Obecné vyjádření ST Vektory matice báze s-té iterace B s najdeme ve výchozí simplexové tabulce ve sloupcích základních proměnných s-té iterace Inverzní matice báze B s 1 je v tabulce s-té iterace na místě výchozí báze, tj. ve sloupcích proměnných, které byly ve výchozí tabulce základní Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
36 Báze: Vektory strukturních koeficientů základních proměnných 4.3 vobecné s-té iteraci vyjádření tvoří bázi STB s Výchozí řešení: Matice báze B s Tabulka s-té iterace (s = 2): Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
37 Inverzní matice báze B 1 s : Vektory transformovaných strukturních 4.3 koeficientů Obecné vyjádření z s-té iterace ST pro základní proměnné z výchozího řešení Výchozí řešení: Tabulka s-té iterace (s = 2): Inverzní matice báze B s 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42
38 4.3 Obecné vyjádření ST Matici báze rozšíříme o řádek účelové funkce: B s c B T je vektor cen základních proměnných Tato matice má plnou hodnost (m + 1) a existuje k ní matice inverzní: Mgr. Sekničková Jana, Ph.D c B T 1 B s 1 0 c B T B s 1 1
39 4.3 Obecné vyjádření ST Transformace výchozí tabulky matematicky odpovídá přenásobení výchozí ST touto inverzní maticí zleva: B s 1 0 c B T B s 1 1. A I b c T 0 T 0 = B s 1 A B s 1 B s 1 b c B T B s 1 A c T c B T B s 1 c B T B s 1 b Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44
40 4.3 Obecné vyjádření ST B 1 s A B 1 s B 1 s b c T B B 1 s A c T c T B B 1 s c T B B 1 s b kde je: B 1 s A matice transformovaných strukturních koeficientů B 1 s b vektor hodnot základních proměnných c T B B 1 s A c T koeficienty z j u strukturních proměnných (redukované ceny) c T B B 1 s koeficienty z j u přídatných proměnných (stínové ceny) c T B B 1 s b hodnota účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
41 4.3 Obecné vyjádření ST Výchozí řešení: A A I b c T 0 T 0 Tabulka s-té iterace (s = 2): B s 1 B s 1 A B s 1 B s 1 b c B T B s 1 A c T c B T B s 1 c B T B s 1 b Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
42 4.3 Obecné vyjádření ST B s 1 A B s 1 B s 1 b c B T B s 1 A c T c B T B s 1 c B T B s 1 b B s 1 A = 1 1/ / = 1/2 0 1/ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47
43 4.3 Obecné vyjádření ST A I b c T 0 T 0 B 1 s A B 1 s B 1 s b c T B B 1 s A c T c T B B 1 s c T B B 1 s b u T = c T B B 1 s B 1 s A B 1 s B 1 s b u T A c T u T u T b Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 48
44 Detaily k přednášce: skripta, kapitola KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 49
4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
Parametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
Ekonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
1.Modifikace simplexové metody
.Modifikace simplexové metody Simplexová metoda, v podobě popsané v prvním tématu, je vhodná zejména pro řešení úloh LP menších rozměrů, především pak pro ruční výpočty. Algoritmus metody je jednoduchý,
6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
![OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU](/thumbs/55/37186771.jpg "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU")
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
Cvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
f ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,
4. okruh z bloku KM1 - řídicí technika Zpracoval: Ondřej Nývlt (o.nyvlt@post.cz) Zadání: Lineární programování (LP), simplexová metoda, dualita v LP. Nelineární programování. Vázaný extrém. Karush-Kuhn-Tuckerova
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
Přiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
7 Výpočet simplexové metody
7 Výpočet simplexové metody V této přednášce si ukážeme krok za krokem základní způsob implementace simplexové metody pomocí pivotování simplexové tabulky(oddíl 6.4). To znamená, že od teorie přejdeme
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
Výběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Matice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
![[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}](/thumbs/26/7692117.jpg "[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}")
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Numerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic sestává ze dvou kroků:
Kapitola 2 Gaussova eliminace Název druhé kapitoly je současně názvem nejčastěji používané metody (algoritmu) pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních
ANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
Operační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Univerzitní licence MATLABu. Pište mail na: se žádostí o nejnovější licenci MATLABu.
Univerzitní licence MATLABu Pište mail na: operator@service.zcu.cz se žádostí o nejnovější licenci MATLABu. * násobení maticové K = L = 1 2 5 6 3 4 7 8 Příklad: M = K * L N = L * K (2,2) = (2,2) * (2,2)