HLEDÁNÍ HRAN. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání.
|
|
- Filip Růžička
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1/35 HLEDÁNÍ HRAN Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz hlavac
2 FYZIOLOGICKÁ MOTIVACE 2/35 Výsledky neurofyziologického a psychologického výzkumu ukazují, že pro vnímání člověka jsou velmi důležitá místa v obraze, kde se náhle mění hodnota jasu. Hrana gradientu obrazové funkce.
3 PŘÍKLAD KRESBA 3/35 Pablo Picasso, La Sieste 1919
4 HRANA, HRANOVÝ BOD 4/35 Hrana v obraze je dána vlastnostmi obrazového elementu a jeho okolí. Popisuje rychlost změny a směr největšího růstu obrazové funkce f (x, y). Hrana je vektorová veličina o dvou složkách. Matematickým nástrojem pro studium změn funkce dvou proměnných jsou první parciální derivace. Pixely s velkým modulem gradientu se nazývají hranovými body (angl. edgels).
5 GRADIENT OBRAZOVÉ FUNKCE 5/35 Pro spojitou obrazovou funkci f (x, y) jsou velikost gradientu f (x, y) a směr gradientu ψ dány vztahy f (x, y) = ( f x ) 2 + ( ) 2 f, y ψ = arg ( f x, f ) y, kde arg(x, y) je úhel (v radiánech) mezi souřadnou osou x a radiusvektorem k bodu (x, y).
6 LAPLACIÁN OBRAZOVÉ FUNKCE Někdy nás zajímají hrany bez ohledu na jejich směrové vlastnosti. 6/35 Často se používá všesměrový lineární Laplaceův operátor (Laplacián) 2 f (x, y), který vychází z druhých parciálních derivací. Pro monotónně rostoucí jasovou funkci f (x, y) v příslušném okolí je Laplacián 2 f (x, y) je nulový, kde je velikost gradientu f (x, y) maximální průchody nulou (angl. zero-crossings). 2 f (x, y) = 2 f (x, y) x f (x, y) y 2.
7 VZTAH HRANY A HRANICE Nalezené hranové body v obraze lokálními operátory se někdy používají pro hledání hranic objektů. 7/35 Za předpokladu, že objektu odpovídá oblast homogenního jasu, jsou body hranice právě pixely s vysokou hodnotou gradientu. Hranové body se spojují do hranic, a proto se směr hrany Φ někdy definuje jako kolmý na směr gradientu Ψ. èerná 0 gradient bílá 255 smìr hrany
8 TYPICKÉ JASOVÉ PROFILY HRAN 8/35 g g g g skoková støechová linie zašumìná hrana x x x x První tři profily zleva, tj. skoková hrana, střechová hrana, tenká linie, jsou idealizované. Poslední profil odpovídá zašuměné hraně, kterou lze najít v reálném obrázku. V MATLABu je k dispozici funkce improfile.
9 DERIVACE DIFERENCE 9/35 x g(x, y) = g(x, y) g(x n, y), y g(x, y) = g(x, y) g(x, y n), kde n je malé celé číslo, obvykle 1. Difererenci lze vyjádřit i symetricky x g(x, y) = g(x + n, y) g(x n, y), y g(x, y) = g(x, y + n) g(x, y n), ale obvykle se nepoužívá, protože zanedbává vliv samotného pixelu (x, y).
10 3 KATEGORIE HRANOVÝCH OPERÁTORŮ 10/35 1. Operátory aproximující derivace pomocí diferencí. Konvolucí s jedinou maskou, např. Laplacián. Konvolucí s několika maskami odpovídajícími různým orientacím. Výběr nejlépe lokálně aproximující obrazovou funkci určuje směr gradientu. 2. Průchody 2. derivace obrazové funkce nulou (angl. zero-crossing). 3. Lokální aproximace obrazové funkce jednoduchým parametrickým modelem, např. polynomem dvou proměnných.
11 DERIVACE A KONVOLUČNÍ MASKY /35 Roberts, jen 2 2 Prewittová Sobel Robinson Kirsch Laplacián (aproximuje 2. všesměrovou derivaci)
12 ROBERTSŮV OPERÁTOR V OKOLÍ /35 Konvoluční masky h 1 = [ ], h 2 = [ ]. Velikost gradientu se počítá podle g(x, y) g(x + 1, y + 1) + g(x, y + 1) g(x + 1, y). Nevýhoda: velká citlivost na šum, protože okolí použité pro aproximaci je malé.
13 LAPLACEŮV OPERÁTOR 2 h = , h = /35 Někdy se používá Laplacián s větší vahou pixelů blíže reprezentativnímu bodu masky. h = , h = Nevýhody: citlivost na šum, což je ostatně při snaze aproximovat druhou derivaci primitivními prostředky přirozené. Dvojité odezvy na hrany odpovídající tenkým liniím v obraze.
14 PŘÍKLAD, LAPLACEŮV OPERÁTOR 14/35 originál Hrany (Laplace) Ostření (- 0,4 )
15 OPERÁTOR PREWITTOVÉ 15/35 h 1 = , h 2 = , h 3 =
16 PŘÍKLAD, OPERÁTOR PREWITTOVÉ hrany v severním směru 16/35 originál severní hrany prahované hrany
17 PŘÍKLAD, OPERÁTOR PREWITTOVÉ hrany ve východním směru 17/35 originál východní hrany prahované hrany
18 SOBELŮV OPERÁTOR 18/35 h 1 = , h 2 = , h 3 = Sobelův operátor se často používá pro detekci vodorovných a svislých hran, na což postačí masky h 1, h 3.
19 ROBINSONŮV OPERÁTOR 19/35 h 1 = , h 2 = , h 3 =
20 KIRSCHŮV OPERÁTOR 20/35 h 1 = , h 2 = , h 3 =
21 MARROVA TEORIE VIDĚNÍ 21/35 Vidění se zakládá na procesech extrahujících vizuální informaci z ikonické reprezentace, organizující ji, transformující ji na explicitní pro další zpracování. Marrova teorie (David Marr, * ) náčrtek odpovídá hranám v obraze, sdružování podle gestaltovských zákonů.
22 PROBLÉM ZPRACOVÁNÍ INFORMACE 0. Formulace úlohy. 22/35 Inspirace z biologie a neurofyziologie. 1. Výpočetní teorie. matematická formulace zvládnutelného cíle, nalezení a důkaz metody řešení, omezující podmínky. 2. Algoritmus. Algoritmická realizace teorie z bodu Technické prostředky.
23 PROBLÉM ZPRACOVÁNÍ INFORMACE (2) 23/35 Příklad: Létající objekty těžší než vzduch. 0. Formulace úlohy vytvořit letadlo těžší než vzduch. 1. Výpočetní teorie hydrodynamika. 2. Algoritmus buď mávání křídly nebo vrtule. 3. Technické prostředky dřevěná vrtule, pístový motor, plátěná křídla. Poznámka: Výhodou je relativní oddělitelnost jednotlivých kroků.
24 MARR, FORMULACE ÚLOHY 24/35 Úlohou je extrakce tvaru objektu z informace nesené hranami ve statickém monochromatickém obrazu. 2 ÚROVNĚ ZPRACOVNÁNÍ VIZUÁLNÍ INFORMACE Předzpracování bezkontextové, preatentivní, bez rozpoznávání (tj. interpretace). Vyšší úroveň zpracování kontextové, atentivní, generování a testování hypotéz. Postup čistě ZDOLA NAHORU redukce časové výpočetní složitosti.
25 IDEA HRANY JAKO PRŮCHODY f NULOU 25/35 f(x) f (x) f (x) x x x f(x) f (x) f (x) x (a) (b) (c) x x
26 JAK ROBUSTNĚ POČÍTAT 2. DERIVACI? Ostražitost: Odhad druhé derivace, jak jsme už viděli v případě Laplaciánu, by měl být na šum citlivější než odhad první derivace. 26/35 Klíčem k robustnímu odhadu druhé derivace je konvoluce obrazu s vyhlazujícím filtrem, na který jsou dva protichůdné požadavky: 1. Filtr má být hladký a ve frekvenčním spektru přibližně odpovídající pásmové propusti, aby omezil možný počet frekvencí, při kterých k průchodu nulou může dojít. 2. Požadavek na přesnost lokalizace hrany v rovině předpokládá, že filtr bude reagovat pouze na body z blízkého okolí hrany.
27 ŘEŠENÍ KONVOLUCE S 2. DERIVACÍ GAUSSIÁNU Marrova teorie dobrý kompromis (ne optimum, viz Cannyho hranový detektor). 27/35 Základem Gaussián G(x, y) = e x2 +y 2 2σ 2, kde x, y jsou souřadnice pixelu a σ je středněkvadratická odchylka. Připustíme rozmazání obrazové funkce, tj. G(x, y, σ) f (x, y). Pro odhad druhé derivace můžeme použít všesměrový Laplacián 2. Tento postup je některými autory nazýván jako LoG operátor (angl. Laplacian of Gaussian), 2 [G(x, y, σ) f (x, y)].
28 TRIK: ZÁMĚNA DERIVACE A KONVOLUCE 28/35 Díky linearitě zúčastněných operací lze zaměnit pořadí derivace a konvoluce 2 (G(x, y, σ) f (x, y)) = ( 2 G(x, y, σ)) f (x, y). Hodnoty derivace Gaussiánu 2 G lze předpočítat analyticky, protože na konkrétním obrazu nezávisí!
29 ODVOZENÍ 29/35 Aby se nám jednodušeji derivovalo, nahradíme x 2 + y 2 = r 2, kde r je Euklidovská vzdálenost od středu Gaussiánu. G(r) = e r2 2σ 2. G (r) = 1 r2 r e 2σ σ2 2. Druhá derivace G (r), tj. Laplacián Gaussiánu, je ( ) G (r) = 1 r 2 σ 2 σ 2 1 e r2 2σ 2.
30 ODVOZENÍ 2 30/35 Návrat k původním souřadnicím x, y a zavedeme normalizační koeficient c zajišťující, aby součet všech koeficientů v masce byl 0, dostaneme h(x, y) = c ( x 2 + y 2 σ 2 ) σ 4 e x2 +y 2 2σ 2.
31 PRŮBĚH DERIVACE 2D GAUSSIÁNU 31/
32 JAK POČÍTAT PRŮCHODY NULOU? 32/35 Při implementaci detektoru založeného na hledání průchodů nulou je třeba se vyhnout naivnímu řešení pomocí prahování LoG obrazu v intervalu hodnot blízkých k nule. Výsledkem by byly hodně nespojité hrany. Lepší je použít opravdový detektor průchodů nulou, např. v masce 2 2 s reprezentativním bodem třeba v levém horním rohu. Hrana se zde indikuje tehdy, pokud se uvnitř okna opravdu mění znaménko.
33 DoG JAKO APROXIMACE LoG 33/35 Cílem je aproximovat LoG operátor (Laplacian of Gaussian), tj. 2 G. Aproximovat lze pomocí diference dvou obrazů, které vznikly konvolucí s Gaussiánem o různém σ.
34 PŘÍKLAD PRŮCHODŮ NULOU 34/35 Originál DoG σ 1 = 0, 1 σ 2 = 0, 09 Průchody nulou Nevýhody: Příliš vyhlazeny ostré tvary. Například ostré rohy se ztrácejí. Snaží se spojovat hrany do uzavřených křivek. Talíř špaget.
35 ODSTRANĚNÍ NEVÝZNAMNÝCH HRANOVÝCH BODŮ 35/35 Průchody nulou Odstr. nevýzn. egdels LoG, σ = 0, 2
Hledání hran. Václav Hlaváč. České vysoké učení technické v Praze
Hledání hran Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Centrum strojového vnímání (přemosťuje skupiny z) Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky Fakulta elektrotechnická, katedra kybernetiky
VíceHledání hran. Václav Hlaváč. České vysoké učení technické v Praze
Hledání hran Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky 166 36 Praha 6, Jugoslávských partyzánů 1580/3 http://people.ciirc.cvut.cz/hlavac, vaclav.hlavac@cvut.cz
VíceAnalýza a zpracování digitálního obrazu
Analýza a zpracování digitálního obrazu Úlohy strojového vidění lze přibližně rozdělit do sekvence čtyř funkčních bloků: Předzpracování veškerých obrazových dat pomocí filtrací (tj. transformací obrazové
VíceGeometrické transformace
1/15 Předzpracování v prostoru obrazů Geometrické transformace Václav Hlaváč, Jan Kybic Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/
VíceOperace s obrazem II
Operace s obrazem II Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity Brno prezentace je součástí projektu FRVŠ č.2487/2011 Osnova Matematická morfologie Segmentace obrazu Klasifikace objektů
VíceDiskrétní 2D konvoluce
ČVUT FEL v Praze 6ACS. prosince 2006 Martin BruXy Bruchanov bruxy@regnet.cz Diracův impuls jednotkový impulz, δ-impulz, δ-funkce; speciální signál s nulovou šířkou impulzu a nekonečnou amplitudou; platí
VíceUNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek
UNIVERZITA PARDUBICE Licenční Studium Archimedes Statistické zpracování dat a informatika 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek Mgr. Jana Kubátová Endokrinologický ústav V Praze, leden 2012 Obsah
VíceRestaurace (obnovení) obrazu při známé degradaci
Restaurace (obnovení) obrazu při známé degradaci Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Centrum strojového vnímání (přemosťuje skupiny z) Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky
VíceRoman Juránek. Fakulta informačních technologíı. Extrakce obrazových příznaků 1 / 30
Extrakce obrazových příznaků Roman Juránek Ústav počítačové grafiky a multimédíı Fakulta informačních technologíı Vysoké Učení technické v Brně Extrakce obrazových příznaků 1 / 30 Motivace Účelem extrakce
VíceJasové transformace. Karel Horák. Rozvrh přednášky:
1 / 23 Jasové transformace Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Úvod. 2. Histogram obrazu. 3. Globální jasová transformace. 4. Lokální jasová transformace. 5. Bodová jasová transformace. 2 / 23 Jasové transformace
VíceM E T O D Y R O Z P O Z NÁNÍ OB J E K T Ů V O B R A Z U
M E T O D Y R O Z P O Z NÁNÍ OB J E K T Ů V O B R A Z U CÍLE LABORTATORNÍ ÚLOHY 1. Seznámení se s metodami rozpoznání objektů v obraze 2. Vyzkoušení detekce objektů na snímcích z kamery a MRI snímku ÚKOL
VíceDETEKCE HRAN V BIOMEDICÍNSKÝCH OBRAZECH
DETEKCE HRAN V BIOMEDICÍNSKÝCH OBRAZECH Viktor Haškovec, Martina Mudrová Vysoká škola chemicko-technologická v Praze, Ústav počítačové a řídicí techniky Abstrakt Příspěvek je věnován zpracování biomedicínských
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceOperace s obrazem I. Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity Brno. prezentace je součástí projektu FRVŠ č.
Operace s obrazem I Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity Brno prezentace je součástí projektu FRVŠ č.2487/2011 Osnova 1 Filtrování obrazu 2 Lineární a nelineární filtry 3 Fourierova
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceDZDDPZ6 Filtrace obrazu. Doc. Dr. Ing. Jiří Horák - Ing. Tomáš Peňáz, Ph.D. Institut geoinformatiky VŠB-TU Ostrava
DZDDPZ6 Filtrace obrazu Doc. Dr. Ing. Jiří Horák - Ing. Tomáš Peňáz, Ph.D. Institut geoinformatiky VŠB-TU Ostrava Prostorová zvýraznění - filtrace Ohnisková operace, použití pohyblivého okénka (kernel),
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceFILTRACE VE FOURIEROVSKÉM SPEKTRU
1/18 FILTRACE VE FOURIEROVSKÉM SPEKTRU (patří do lineárních integrálních transformací) Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz
Více2010 Josef Pelikán, CGG MFF UK Praha
Filtrace obrazu 21 Josef Pelikán, CGG MFF UK Praha http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ 1 / 32 Histogram obrázku tabulka četností jednotlivých jasových (barevných) hodnot spojitý případ hustota pravděpodobnosti
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
VíceÚvod do zpracování signálů
1 / 25 Úvod do zpracování signálů Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Spojitý a diskrétní signál. 2. Spektrum signálu. 3. Vzorkovací věta. 4. Konvoluce signálů. 5. Korelace signálů. 2 / 25 Úvod do zpracování
VíceX31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky
X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceDodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
VíceÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Vysoké učení technické v Brně 1. ÚVOD...
5 OBSAH. ÚVOD... 7 2. ZÁKLADNÍ POJMY... 8 2. POČÍTAČOVÉ VIDĚNÍ... 8 2.2 REPREZENTACE OBRAZU... 9 2.3 ZPRACOVÁNÍ OBRAZU... 3. DIGITALIZACE OBRAZU... 3. VZORKOVÁNÍ... 3.2 KVANTOVÁNÍ... 2 4. FILTRACE A DETEKCE
VíceJana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
VíceCW01 - Teorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011 SPEC. 2.p 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceDiplomová práce Rozpoznávání význačných rysů triangularizovaných modelů
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky Diplomová práce Rozpoznávání význačných rysů triangularizovaných modelů Plzeň, 2014 Lukáš Karlíček Originální
VíceKOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč, Jan Kybic. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání.
1/25 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč, Jan Kybic Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD
VíceGrafika na počítači. Bc. Veronika Tomsová
Grafika na počítači Bc. Veronika Tomsová Proces zpracování obrazu Proces zpracování obrazu 1. Snímání obrazu 2. Digitalizace obrazu převod spojitého signálu na matici čísel reprezentující obraz 3. Předzpracování
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceAproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceKOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.
1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:
VíceOperace s obrazem. Biofyzikální ústav LF MU. Projekt FRVŠ 911/2013
Operace s obrazem Biofyzikální ústav LF MU Obraz definujeme jako zrakový vjem, který vzniká po dopadu světla na sítnici oka. Matematicky lze obraz chápat jako vícerozměrný signál (tzv. obrazová funkce)
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceMetoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceFiltrace obrazu ve frekvenční oblasti
Filtrace obrazu ve frekvenční oblasti Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky 166 36 Praha 6, Jugoslávských partyzánů 1580/3 http://people.ciirc.cvut.cz/hlavac,
VíceFrekvenční charakteristiky
Frekvenční charakteristiky EO2 Přednáška Pavel Máša ÚVODEM Frekvenční charakteristiky popisují závislost poměru amplitudy výstupního ku vstupnímu napětí a jejich fázový posun v závislosti na frekvenci
VíceSENZORY PRO ROBOTIKU
1/13 SENZORY PRO ROBOTIKU Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac ROBOTICKÉ SENZORY - PŘEHLED
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
VíceDiferenciál a Taylorův polynom
Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci
VíceMĚŘENÍ A ANALÝZA ELEKTROAKUSTICKÝCH SOUSTAV NA MODELECH. Petr Kopecký ČVUT, Fakulta elektrotechnická, Katedra Radioelektroniky
MĚŘENÍ A ANALÝZA ELEKTROAKUSTICKÝCH SOUSTAV NA MODELECH Petr Kopecký ČVUT, Fakulta elektrotechnická, Katedra Radioelektroniky Při návrhu elektroakustických soustav, ale i jiných systémů, je vhodné nejprve
VíceOkruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil
Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceZ OBRAZOVÉHO ZÁZNAMU. Jan HAVLÍK. Katedra teorie obvodů, Fakulta elektrotechnická
POROVNÁNÍ HRANOVÝCH DETEKTORŮ POUŽITÝCH PŘI PARAMETRIZACI POHYBU Z OBRAZOVÉHO ZÁZNAMU Jan HAVLÍK Katedra teorie obvodů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Abstrakt Tento článek
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceREALIZACE HRANOVÉHO DETEKTORU S VYUŽITÍM VLNKOVÉ TRANSFORMACE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV TELEKOMUNIKACÍ FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF TELECOMMUNICATIONS
VíceCircular Harmonics. Tomáš Zámečník
Circular Harmonics Tomáš Zámečník Úvod Circular Harmonics Reprezentace křivky, která je: podmonožinou RxR uzavřená funkcí úhlu na intervalu Dále budeme hovořit pouze o takovýchto křivkách/funkcích
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování
KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha
VíceVlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Statické vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Dynamické vlastnosti členů
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceModelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015 verze: 2015-04-14 12:31
VíceROZ II cv. 01 Dekonvoluce KM - FJFI - ČVUT
ROZ II cv. 01 Dekonvoluce KM - FJFI - ČVUT ZS 2013 ÚTIA - ZOI zoi.utia.cas.cz Kontakty Ústav teorie informace a automatizace AV ČR, v.v.i. http://www.utia.cas.cz Zpracování obrazové informace http://zoi.utia.cas.cz
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÉ GRAFIKY A MULTIMÉDIÍ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER GRAPHICS AND
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceKybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11
Kybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11 Program 1. seminární cvičení: základní typy klasifikátorů a jejich princip 2. počítačové cvičení: procvičení na problému rozpoznávání číslic... body za aktivitu
VíceÚpravy rastrového obrazu
Přednáška 11 Úpravy rastrového obrazu Geometrické trasformace Pro geometrické transformace rastrového obrazu se používá mapování dopředné prochází se pixely původního rastru a určuje se barva a poloha
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
VíceANALÝZA A SEGMENTACE TOMOGRAFICKÝCH OBRAZŮ ANALYSIS AND SEGMENTATION OF TOMOGRAPHIC IMAGES
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV TELEKOMUNIKACÍ FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF TELECOMUNICATION
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály
VíceÚloha - rozpoznávání číslic
Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání
VíceROZ II cv. 01 Dekonvoluce KM - FJFI - ČVUT
ROZ II cv. 01 Dekonvoluce KM - FJFI - ČVUT ZS ÚTIA - ZOI zoi.utia.cas.cz Kontakty Ústav teorie informace a automatizace AV ČR, v.v.i. http://www.utia.cas.cz Zpracování obrazové informace http://zoi.utia.cas.cz
Víceoddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA)
Vytěžování dat Filip Železný Katedra počítačů oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 22. září 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 22. září 2014 1 / 25 Odhad rozdělení Úloha: Vstup: data D = {
VíceÚvod do optimalizace, metody hladké optimalizace
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 13. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Příklady
VícePARCIÁLN LNÍ ROVNICE
PARCIÁLN LNÍ DIFERENCIÁLN LNÍ ROVNICE VE ZPRACOVÁNÍ OBRAZU Autor práce: Vedoucí práce: Anna Kratochvílová Ing.Tomáš Oberhuber Zadání Najít vhodný matematický model pro segmentaci obrazových dat Navrhnout
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
VíceAnalýza pohybu. Karel Horák. Rozvrh přednášky: 1. Úvod. 2. Úlohy analýzy pohybu. 3. Rozdílové metody. 4. Estimace modelu prostředí. 5. Optický tok.
1 / 40 Analýza pohybu Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Úvod. 2. Úlohy analýzy pohybu. 3. Rozdílové metody. 4. Estimace modelu prostředí. 5. Optický tok. 2 / 40 Analýza pohybu Karel Horák Rozvrh přednášky:
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceDEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
VíceROZ I. CVIČENÍ V. Morfologické operace v obraze teorie & praxe
ROZ I. CVIČENÍ V. Morfologické operace v obraze teorie & praxe TEORIE Morfologické operace v obraze Zdroje (7.. 0): Wikipedia EN: http://en.wikipedia.org/wiki/mathematical_morphology CMP: http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac/
VíceZpracování digitalizovaného obrazu (ZDO) - Segmentace II
Zpracování digitalizovaného obrazu (ZDO) - Segmentace II Další metody segmentace Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Zpracování digitalizovaného
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra kybernetiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra kybernetiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE PLZEŇ, 202 Pavel Jedlička TÉMA ČESKY: Předzpracování medicínských obrazů pro následnou segmentaci NÁZEV ANGLICKY:
VíceVyužití lokálních filtrací ve zpracování obrazu
26.10.2012, Brno Připravil: Václav Sebera, Martin Brabec, Jan Baar Předmět: Zpracování obrazu pro úlohy dřevařského inženýrství strana 2 Obsah a) Vyhlazování obrazu Odstranění šumu Abstrakce (zjednodušení)
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ DETEKTOR OBJEKTŮ S VYUŽITÍM VLNKOVÉ TRANSFORMACE DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER S THESIS
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKACNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV TELEKOMUNIKACÍ FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF TELECOMMUNICATIONS
VícePopis zobrazení pomocí fuzzy logiky
Popis zobrazení pomocí fuzzy logiky diplomová práce Ján Fröhlich KM, FJFI, ČVUT 23. dubna 2009 Ján Fröhlich ( KM, FJFI, ČVUT ) Popis zobrazení pomocí fuzzy logiky 23. dubna 2009 1 / 25 Obsah 1 Úvod Základy
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Více