Funkce jedné proměnné

Transkript

1 Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf nakreslete V případě b) napište rovnici funkce na jejímž grafu leží body AB zjistěte zda je funkce rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf nakreslete a) f : y = 4 3 x f : y = 3x + 4 f 3 : y = 3x + 4 f 4 : y = 4 3 x 5 3 b) f 5 : A[ ] B[3] f 6 : A[] B[ ] f 7 : A[ 3] B[33] f 8 : A[ ] B[ 3] Příklad 3-4 Nakreslete soustavu křivek pro celočíselné parametry: a) y = x + b b b) y = ax + 3 a Příklad 5 Konečný kapitál K n je přímo úměrný počátečnímu kapitálu K o s koeficientem (úročitelem) + in kde i je roční úroková míra a n počet let úročení Vypočítejte K při počátečním kapitálu 7-Kč při 6% úroku Příklad 6 Budoucí spotřeba C je lineární funkcí současné spotřeby C : C = Y + ( + r)(y C ) Y je očekávaný budoucí důchod Y současný důchod r reálná úroková míra Vypočítejte: budoucí spotřebu při nulové současné spotřebě současnou spotřebu při nulové budoucí spotřebě celý příjem na spotřebu tj pro C = Y Příklad 7-9 V následujících příkladech pro funkce dané rovnicí určete definiční obor a obor hodnot intervaly na kterých je funkce rostou či klesající maximum a minimum průsečíky grafu s osami a graf načrtněte a) f: y = 3 + x x b) f: y = x 4x + 4 c) f: y = x 4x + 6 Příklad - V následujících příkladech pro funkce dané body grafu určete rovnici definiční obor a obor hodnot intervaly na kterých je funkce rostoucí či klesající maximum a minimum průsečíky grafu s osami a graf načrtněte a) A[3] B[ 5] C[4] b) A[ 9] B[] C[3] c) A[ ] B[3] C[33] Příklad 3 Vzhledem k parametrům a b kvadratické funkce y = ax ax + b určete definiční obor a obor hodnot a soustavu křivek pro zvolené parametry nakreslete Příklad 4 Množství vybraných daní při sazbě r je dáno Lafferovou funkcí T(r) = r r Vypočítejte sazbu daně pro maximální příjem Načrtněte graf funkce T

2 Příklad 5 Nákladová funkce na produkci Q výrobků je dána rovnicí N(Q) = Q 4Q + 3 Poptávková funkce je dána rovnicí P(Q) = 4Q Vypočítejte pro které množství výrobků nastane na trhu rovnováha (tj N(Q) = P(Q)) Příklad 6- V následujících příkladech najděte základní tvar rovnice pro dané funkce definiční obor a obor hodnot načrtněte graf vyznačte střed a průsečíky grafu s osami souřadnic a) f: y = x x 3 b) f: y = 3x+5 x+3 c) f: y = x x d) f: y = x x+ e) f: y = (x+) x +x Příklad - Přirozená míra u nezaměstnanosti která je dána rovnicí u = na míře σ ztráty práce a na míře φ nalezení práce Nakreslete průběh funkce míry nezaměstnanosti a) pro konstantní míru σ b) pro konstantní míru φ Příklad 3 Vypočítejte průsečíky grafů funkcí y = x b x + y = k parametru b 3 x σ σ+φ je závislá Příklad 4 Vypočítejte průsečíky tří grafů funkcí y = ax kde a = a = a = x Grafy nakreslete Příklad 5-8 Vypočítejte průsečíky grafů funkcí daných rovnicemi jejich průsečíky s osami souřadnic a grafy nakreslete: a) x y = y = x 6x + 8 b) x y + = y = 5 x c) xy = y = x d) xy = y = x + 3x 3 Příklad 9-3 Určete definiční obor obor hodnot průsečíky grafu s osami a nakreslete graf funkcí a) f: y = + x 4 b) f: y = x 4 Příklad 3-3 Určete hodnoty parametrů a b R tak aby graf funkce f procházel body AB:

3 a) f: y = (a + )3 x + b A[ 5] B[] b) f: y = b + log /3 (x + a) A[] B[8] Příklad Určete definiční obor funkce f a průsečíky grafu s osami souřadnic: a) f: y = /x /(3 x 7) b) f: y = log(6x x 8) Příklad Stav kapitálu při době splatnosti n počátečním (současném) kapitálu K o a úroku p% připisovanému na konci roku se počítá podle vzorce K n = K o ( + i) n (i = p/) Vypočítejte a) K n je-li K o = Kč p =5% n =4 roky b) Dobu splatnosti n je-li K o = Kč K n = Kč p =% Současná hodnota kapitálu se počítá podle vzorce K o = K n /( + i) n Příklad 37 Vypočítejte kolik musíme uložit při roční sazbě 6% abychom za 3 roky měli na účtu -Kč Příklad Vypočítejte diferenci posloupnosti nakreslete část grafu: a) a n = n 4 b) a n = 7 + 3n Příklad 4-4 Vypočítejte kvocient posloupnosti nakreslete část grafu: a) a n = /( ) n b) a n = n 3 n Příklad 4 Vkladatel uloží na počátku úrokovacího období K o Kč a pak ukládá pravidelně na konci každého úrokovacího období stejnou sumu K o po dobu n let Jak vysokou částku uspoří je-li roční úroková míra p% a daň z úroků 5%? (První vložená částka je postupně úročena n krát) Konečná částka bude K n = K o ( + 85 p n ) + K o ( + 85 p ) n + + K o ( + 85 p ) + K o Vypočítejte součet geometrické posloupnosti pro K o = 5 p =% Příklad 43 Po dobu šesti let investujeme tak dobře že získáváme 5 -Kč pravidelně každý rok s úrokem 3% Jaký bude náš finální kapitál? Spojité úročení: Počet úrokových období pro připisování úroků roste neomezeně délka období klesá k nule Pro efektivní úrokovou sazbu i a úrokovou intenzitu i e platí +i e = lim ( + i n + n )n = e i i e = e i i = ln( + i e )

4 Pro spojité úročení pro hodnotu kapitálu platí K n = K o e in pro hodnotu počátečního kapitálu pak K o = K n e in Příklad 44 Vypočítejte úrokovou sazbu i odpovídající efektivní úrokové sazbě 3% Příklad 45 Vypočítejte hodnotu kapitálu při spojitém úročení za 5 let je-li počáteční kapitál -Kč a úrok 5% Příklad 46 Vypočítejte současnou (počáteční) hodnotu kapitálu při spojitém úročení aby za 3 roky hodnota kapitálu vzrostla na 5 -Kč při úroku 5% Příklad 47-5 Vypočítejte limity posloupností: a) lim n + b) lim (n+)(n 3)(5 3n) n 3 +n+5 n 4 + n + 3+n n 3 n c) lim 3 n +4 n + n 4 d) lim n + ( + n )n+3 Příklad 5-54 Vypočítejte limity funkce f v krajních bodech definičního oboru a v bodech ve kterých funkce není definovaná: a) f(x) = x 3 9 x b) f(x) = x x+5 3x 4x 5 c) f(x) = x3 8 x d) f(x) = x x Příklad Vypočítejte derivaci funkce f v bodě a určete definiční obor funkce f i f : a) f(x) = x + x 5 3 a = x b) f(x) = x a = 5 c) f(x) = e x (x + x ) a = d) f(x) = log(x + x ) a = Příklad 59-6 Napište rovnici tečny grafu funkce f v bodě P : a) f(x) = x + 4x + P[? ] b) f(x) = x P[5? ] c) f(x) = 3x 4 P[? ] x 3 d) f(x) = ln(x + ) P[? ]

5 Příklad Napište rovnici tečny v průsečíku grafů funkcí: a) f: y = x + 3x + g: y = x + 4 b) f: y = 8 x g: y = x c) f: y = x x g: y = Příklad Najděte intervaly na kterých je funkce f rostoucí a intervaly kde je klesající: a) f(x) = x 3 x b) f(x) = x + x c) f(x) = x ln x Příklad 69-7 Určete intervaly na kterých je funkce f konvexní a intervaly kde je funkce konkávní: a) f(x) = 5x + x + 7 b) f(x) = x 3 + x c) f(x) = ln(x 9) Příklad Najděte všechny lokální extrémy funkce f : a) f (x) = x (x 6) b) f(x) = x + x c) f(x) = 6x x d) f(x) = x ln x Příklad Vypočítejte maximum a minimum funkce f na uzavřeném intervalu: a) f(x) = x 6x + 5 b) f(x) = x ln x e c) f(x) = x + x 4 Příklad 8-8 Denní výstup výrobků firmy je dán produkční funkcí kde L je spotřebovaná práce v hodinách na den Vypočítejte pro jaké L je produkce firmy nulová maximální rostoucí a klesající Křivku produkce načrtněte a) Q = 4L + 4L L 3 b) Q = L 3 36L + 6L Příklad 8 Funkce celkových transakčních nákladů TC = r N Y N + tn závisí na počtu N návštěv banky (Y je důchod r N úroková míra t ztráta času v bance) Vypočítejte N pro které jsou celkové náklady minimální Do jednoho grafu zakreslete funkci transakčních nákladů Y TN = tn funkci obětovaného úroku OU = r N a funkci TC N

6 Příklad Zákon růstu odpovídající jevu daného statistickými daty je znázorněn demografickou křivkou logistikou V následujících příkladech vyšetřete průběh logistiky v zjednodušeném tvaru a) y = +e x b) y = +e x Příklad 85 Gaussovo rozdělení pravděpodobnosti je dáno funkcí φ(x) = π e x / Určete definiční obor limity v krajních bodech definičního oboru intervaly konvexity extrémy a inflexní body graf načrtněte Funkce dvou proměnných Příklad 86 Pro funkci f: z = min(x y) kde x y určete vrstevnice a graf Příklad 87-9 Pro funkci f danou rovnicí určete definiční obor obor hodnot vrstevnice a graf a) f: z = x + y b) f: U = X + 4Y 5X 5Y c) f: U = 5X + X 5X Y d) f: z = + xy e) f: z = xy Příklad 9-94 Pro funkci f danou rovnicí určete definiční obor obor hodnot vrstevnice a graf a) f: z = x 3y b) f: z = + x + 3y c) f: z = x + 3y Příklad Pro funkci f danou rovnicí vypočítejte parciální derivace v bodě A a) f: z = x 3y A[] b) f: z = + x + 3y A[] c) f: z = + x + 3y A[] d) f: z = x + 3y A[] Příklad 99 Mezní míra substituce ve spotřebě funkce užitku je rovna poměru jejích parciálních derivací Vypočítejte mezní míru pro funkci užitku U(X Y) = X + 4Y 5X 5Y vzhledem k oběma proměnným Příklad -3 Vypočítejte obalovou křivku jednoparametrické soustavy křivek a) (x c) + y = 4 c R

7 b) (x c) + y = c c R c) y = c(x c) c R d) y = c (x c) c R Příklad 4-8 Pro funkci f vypočítejte druhé parciální derivace a) f: U = X + 4Y 5X 5Y b) f: U = 5X + X 5X Y c) f: z = + xy d) f: z = xy e) f: U = X + 4Y + 5X 5Y Příklad 9-3 Vypočítejte lokální extémy funkce f a) f: U = X + 4Y 5X 5Y b) f: U = 5X + X 5X Y c) f: U = X + 4Y + 5X 5Y d) f: z = 9x 7x + 4x y y e) f: z = 5x 5x + y y Příklad 4 Vypočítejte maximum funkce užitku U = X + 4Y 5X 5Y s linií rozpočtu (vazba) X 3Y = Příklad 5 Vypočítejte extrémy produkční funkce Q = KL při funkci nákladů L + K 3 = (vazba) Příklad 6 Vypočítejte minimum Cobb-Douglasovy produkční funkce Q = KL závislé na kapitálu K a na práci L pro náklady dané vazbou K + L 3 = Příklad 7 Vypočítejte minimální náklady Cobb-Douglasovy produkční funkce Q = KL pro Q = 4 jednotek nákladové funkce C(K L) = K + L Příklad 8 Vypočítejte minimální náklady pro KL = 9 jednotek (vazba) výstupu nákladové funkce C(L K) = 3L + 6K Určitý integrál Příklad 9- Lichoběžníkovým vzorcem pro n = aproximujte obsah rovinného obrazce určeného danou funkcí na daném intervalu a) f(x) = e x na b) f(x) = e x na 4 x Příklad -8 Určete primitivní funkci a potom podle Newtonova-Leibnizova vzorce vypočítejte určitý integrál:

8 4 a) x+ dx x dx x 3 e x dx e x +3 4 x b) x( x )dx c) x d) (x 3) dx e) x (3 x + 4 x )dx f) ex 9 g) 3x 6 3 x dx h) (x )(4x 3)dx Příklad 9-33 Počítejte metodou per partes a) x ln x dxdx b) x 5 x dx c) (x + 5)e x dx d) ln x dx e) (ln x) dx Příklad Počítejte substitucí integrály 3 a) x 5x + 4 dx b) xe x dx c) e (ln x)3 x d) e dx /x dx x 3 Příklad Počítejte integrály: 6 a) 9x 5 dx b) 5 3x dx c) 6 dx 3 (9x 5) 5 /5 d) e 5x dx 3 4x 3 e) dx

9 f) dx (x+) 5 Příklad Počítejte integrály: dx x +4 x 3 x dx x 4 4x +7 dx e x + e dx x(ln x+) dx x( x+) a) x b) c) ex d) e) Příklad Počítejte nevlastní integrály a) b) + dx x + dx x + c) e x dx + d) x x dx e) + dx e x ln x Příklad Vypočítejte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami: a) 4y = 8x x 4y = x + 6 b) xy = 6 x + y = 7 c) y = x + 4x x y + 4 = d) y = e x y = e x x = e) y = ln x y = x = e