Diskrétní 2D konvoluce

Transkript

1 ČVUT FEL v Praze 6ACS. prosince 2006 Martin BruXy Bruchanov bruxy@regnet.cz

2 Diracův impuls jednotkový impulz, δ-impulz, δ-funkce; speciální signál s nulovou šířkou impulzu a nekonečnou amplitudou; platí pro něj {, t = 0 + δ(t) = lim f (t) = t 0 0, t 0, δ(t)dt = v DSP technice se definuje δ-funkce δ(n) jako normalizovaný impulz, který má ve vzorku 0 hotnodu a ostatní vzorky mají hodnotu 0.

3 Popis vzorkovaného signálu A analogový vstup t sample and hold A vzorky analogového signálu n Č n analogově číslicový převodník číslicová data násobení signálu posloupností Diracových impulzů je ekvivalentní vzorkování signálu v okamžicích těchto impulzů jakýkoliv impulz může být reprezentován jako posunutá a škálované δ-funkce.

4 Reprezentaze impulzu Jakýkoliv impulz může být reprezentován jako posunutá a škálované δ-funkce, např x(n) = 2,5δ(n )

5 Odezva systému h(n) na jednotkový impulz Delta funkce [n] Impulzní odezva [n] Lineární systém h[n] Odezvou lineárního systému na Diracův impulz je impulzní odezva (váhová funkce) h(n). Konvolucí impulzní odezvy systému a vstupního signálu je výstupní signál systému.

6 Diskrétní konvoluce Jak rozumět tomu, jak lin. systém mění vstupní signál x(n) na výstupní y(n)? Vstupní signál je dekomponován na množinu impulzů, každý impulz představuje posunutá a škálovaná δ-funkce. Výsledný výstup každého impulzu je škálovaná a posunutá verze impulzní odezvy. x(n) = 2,5δ(n ) y(n) = 2,5h(n ) Znalost impulzní odezvy systému umoňuje stanovit výstup pro libovolný vstupní signál. Pokud je lineární systém koncipován jako filtr, pak impulzní odezva se nazývá konvoluční jádro (convolution kernel), nebo maska.

7 Konvoluce y(n) = x(n) h(n) = h(n) x(n) y(n) = M j 0 h(j) x(i j) x(n) h(n) 4,0,0 2,0,0 0,0,0 2,0 4,0,0 2,0,0 0,0,0 2,0, ,0 0 2

8 Příklad konvoluce I. x 0 5 = {0,0;,0;,2; 2,0;,4;,4} x(0)h(n 0) x()h(n ) x(2)h(n 2) 4,0 4,0 4,0,0,0,0 2,0 2,0 2,0,0,0,0 0,0 0,0 0,0,0,0,0 2,0 2,0 2,0, , , x()h(n ) x(4)h(n 4) x(5)h(n 5) 4,0 4,0 4,0,0,0,0 2,0 2,0 2,0,0,0,0 0,0 0,0 0,0,0,0,0 2,0 2,0 2,0, , ,

9 Příklad konvoluce II. x 6 8 = {0,5; 0,0; 0,6} x(6)h(n 6) x(7)h(n 7) 4,0 4,0 4,0 x(8)h(n 8),0 2,0,0 0,0,0 2,0,0 2,0,0 0,0,0 2,0,0 2,0,0 0,0,0 2,0, , , ,0 Po sečtění všech složek y(n):,0 2,0,0 0,0,0 2,0,

10 aplikace v počítačové grafice a pro zpracování obrazu y(m, n) = y(m, n) = x(m, n) h(m, n) M k=0 ( N l=0 ( ) ) h(m k, n l) x(k, l) pomocí konvolučních jader lze definovat filtry provádějící: vyhlazování (filtr dolní propust) doostřování (filtr horní propust) detekce hran (gradientní operátory)

11 Jak udělat z jednorozměrné 2D Filtr pro klouzavé průměrování Převod do 2D: Binomický fitr H = (,, ) H 2 = (, 4, 6, 4, ) 6 6 h = (,, ) = 9 h 2 = (, 4, 6, 4, ) =

12 Výpočet 2D diskrétní konvoluce /9 79 / / /9 /9 /9 /9 22 /9 2 /9 H = = 2 Postup: Máme vstupní a výstupní bitmapu, konvoluční jádro zpracovává bod po bodu vstup(i, j) a vypočítanou hodnotu zapisuje na odpovídající pozici výstup(i, j).

13 Kde běžný uživatel využije konvoluční jádra Tvorba vlastních filtrů a úpravy obrazu v rastrových editorech: Adobe Photoshop, Paint Shop Pro, GIMP,... Dávkové zpracování obrazu pomocí ImageMagick Podpora v některých vektorových editorech. Úprava vektorových elementů ve formátu SVG

14 Grafické editory a konvoluce Zadávání konvolučních jader v graf. editoru GIMP.

15 Vyhlazovací filtry I. Originál zarušeného snímku.

16 Vyhlazovací filtry II. H = 9

17 Vyhlazovací filtry III. H 2 =

18 Vyhlazovací filtry IV. H =

19 Gaussovo rozostření I. G(x, y) = x 2 +y 2 2πσ 2 e 2σ 2 0, 0,2 0,2 0,2 0, 0, 0, Rozptyl σ = 0,75.

20 Gaussovo rozostření II. H G = =

21 Vyhlazovací filtry závěr H =, H 2 = , H = Průměrovací filtry mají střední hodnotu všech členů, např. pro H 2 je průměr 6 ( ) =. Nevýhodou průměrovacích filtrů je to, že při vyhlazení dojde na ostrých barevných přechodech k mírnému rozmazání a kvůli tomu utrpí i tenké čáry a další detaily.

22 Detekce hran Hrany se v digitálním obrazu nacházejí v místech, kde se prudce mění jas. Vylepšování hran souvisí s doostřováním a dokáže zlepšit vnímání lidksého zraku. Důležité pro předzpracování obrazu v počítačovém vidění: rozeznávání objektů identifikace zpracování otisků prstů, tvarů obličeje určování pozice vzhledem ke kameře Optical Character Recognition (OCR)

23 Princip detekce hran Hrana je v obraze dána obrazovým elementem a jeho okolím, je určena tím, že se náhle změní hodnota obrazové funkce f (x, y). Pro studium změn funkce dvou proměnných se používají parciální derivace a změnu funkce udává její gradient, který určuje směr největšího růstu ψ funkce a strmost tohoto růstu f (x, y) : f (x, y) = ( f x Laplaceův operátor, vychází z 2. derivací: ) 2 ( ) f 2 + y 2 f (x, y) = 2 f x f y 2

24 Princip detekce hran, pokračování Laplaceův operátor 2 f (x, y) = 2 f y 2 V diskrétním obraze aproximujeme derivace pomocí diferencí: x f 2 f x 2 ( f (i, j) f (i, j) ) ( f (i, j) f (i +, j) ) 2 f y 2 ( f (i, j + ) f (i, j) ) ( f (i, j) f (i, j ) ) 2 f x 2 f (i, j) 2f (i, j) + f (i +, j))... (, 2, ) 2 f f (i, j + ) 2f (i, j) + f (i, j )... 2 y 2 H 4 = H 5 = 8

25 Laplacián, filtr typu horní propust H 4 = Laplacián je invariantní vůči otočení. Přičtení 28 slouží k posunutí jasu pixelů.

26 Operátor Prewittové Příklad operátoru, který aproximuje první derivaci (další možnosti např. Sobel, Kirch, Robinson,... ). Slouží pro odhad gradientu v okolí pro osm směrů (ty se získají pootočením matice). H P = 0 0 0, 0 0 H P = 0, H P = Větší matice s vyšším rozlišením může sloužit k vytváření reliéfu v různých směrech.

27 Operátor Prewittové, příklad všechny směry

28 Doostřování Ostrost vidění je pro lidské vnímání velmi důležitou vlastností. Často se stává, že obraz pro sejmutí kamerou, vyfotografování nebo naskenování nemá moc ostré hrany. Tady nám pomůžou filtry pro ostření, které zvýrazní hrany v obrazu. Nevýhoda dále popsaných filtrů je to, že kromě hran zvýrazní v obraze také šum a některé další nechtěné detaily. Pro doostřování využijeme Laplacián jehož hodnotu odečteme od hodnoty původního pixelu: g(i, j) = f (i, j) ( f (i, j) + f (i +, j) + + f (i, j + ) + f (i, j ) 4f (i, j) ) = = 5f (i, j) f (i, j) f (i +, j) f (i, j + ) f (i, j ) H 6 =

29 Příklad pro programátory int sharpen filter[][]={{0,,0}, {,5, }, {0,,0}}; for(x = 0 ; x < PIX WIDTH; x++){ for(y = 0; y < PIX HEIGHT; y++){ for(k = 0; k < ; k++){ for(l = 0; l < ; l++){ y = getpixel (INPUT, (x ) + k, (y ) + l); sum y += y sharpen filter[k][l]; } } putpixel(output, i, j, sum y); } }

30 Doostřování, příklady I. Digitalizovaný videosignál snímku z CCD kamery.

31 Doostřování, příklady II. H 6 =

32 Doostřování, příklady III. H 7 = 9

33 Příklad uživatelského filtru pro vylepšení obrazu Originál

34 Příklad uživatelského filtru pro vylepšení obrazu Detekce hran pomocí jádra H

35 Příklad uživatelského filtru pro vylepšení obrazu Gaussovo rozostření, rozptyl 5 pixelů

36 Příklad uživatelského filtru pro vylepšení obrazu Překrytí Rozostření R Sloučení zrnitosti Detekované hrany D Originál O Sloučení zrnitosti: L S = O + D 28 Překrytí: L P = L S (L S + (2 T (255 L S ))/255)/255

37 Příklad uživatelského filtru pro vylepšení obrazu Výsledek

38 Příklad uživatelského filtru pro vylepšení obrazu Originál

39 Reference Smith, Steven W.: The Scientists and Engineer s Guide to Digital Signal Processing. California Technical Publishing, Goznales, Rafael C.; Woods, E. Richards: Digital Image Processing. Prentice Hall 2002, 2nd edition. Hlaváč, Václav; Sedláček Miloš: Zpracování signálů a obrazů. Vydavatelství ČVUT Dokumentace k programu GIMP