Circular Harmonics. Tomáš Zámečník

Transkript

1 Circular Harmonics Tomáš Zámečník

2 Úvod Circular Harmonics Reprezentace křivky, která je: podmonožinou RxR uzavřená funkcí úhlu na intervalu <0,2π> Dále budeme hovořit pouze o takovýchto křivkách/funkcích

3 Fourierova řada Varianta 1 Fourierova řada

4 Fourierova řada Množina křivek Křivky(funkce) tvoří vektorový prostor

5 Fourierova řada Množina křivek Křivky(funkce) tvoří vektorový prostor Bází je nekonečná množina harmonických křivek

6 Fourierova řada Množina křivek Křivky(funkce) tvoří vektorový prostor Bází je nekonečná množina harmonických křivek Báze: B 1 2, cos, sin, cos 2, sin 2, cos 3, sin 3,...

7 Fourierova řada Množina křivek Libovolnou křivku lze zapsat jako lineární kombinaci báze: F i 0 a i B i

8 Fourierova řada Množina křivek Libovolnou křivku lze zapsat jako lineární kombinaci báze: F i 0 a i B i Hodnotu křivky pro úhel θ získáme: F i 0 a i B i

9 Fourierova řada Množina křivek Libovolnou křivku lze zapsat jako lineární kombinaci báze: F i 0 a i B i Hodnotu křivky pro úhel θ získáme: Fourierova řada F i 0 a i B i

10 Fourierova řada Koeficienty i tý koeficient se vypočte: 2 a i 0 F B i d Nultý koeficient kružnice Nenulový koeficient harmonická křivka

11 Harmonické křivky Fourierova řada

12 Legendrovy polynomy Varianta 2 Legendrovy polynomy

13 Legendrovy polynomy Stejný postup, jiná báze Funkce křivky opět jako součet řady: F i 0 a i C i

14 Legendrovy polynomy Stejný postup, jiná báze Funkce křivky opět jako součet řady: Báze: C i F i 0 a i C i P i cos

15 Legendrovy polynomy Stejný postup, jiná báze Funkce křivky opět jako součet řady: Báze: C i F i 0 a i C i P i cos P i jsou Legendrovy polynomy: P 0 x 1, P 1 x x, P n 1 x 2n 1 x P n x n P n 1 x n 1

16 Harmonické křivky 2 Legendrovy polynomy

17 Využití v praxi Implementace

18 Implementace úvod Zadání Zadávající: dr. Jana Velemínská, katedra antropologie PřFUK Vedoucí práce: dr. Josef Pelikán, MFF UK Téma: Určení pohlavního dimorfismu z fotografií kosti pánevní.

19 Implementace úvod Ukázka vstupních fotografií

20 Implementace úvod Postup zpracování obrazu Nalezení křivky kontury incisura ischiadica major na fotografii (výřez na kosti)

21 Implementace úvod Postup zpracování obrazu Nalezení křivky kontury incisura ischiadica major na fotografii (výřez na kosti) Zvolit vhodnou reprezentaci křivky pro statistické zpracování série vzorků.

22 Implementace úvod Postup zpracování obrazu Nalezení křivky kontury incisura ischiadica major na fotografii (výřez na kosti) Zvolit vhodnou reprezentaci křivky pro statistické zpracování série vzorků. Např. harmonické křivky

23 Implementace úvod Implementace Circular Harmonics Vstupem je množina bodů reprezentující nalezenou křivku

24 Implementace úvod Implementace Circular Harmonics Vstupem je množina bodů reprezentující nalezenou křivku Výstupem by měla být malá množina koeficientů vyjadřujících pohlavní dimorfismus

25 Implementace úvod Rozdíly proti matematické teorii Racionální čísla místo reálných Neuzavřená křivka (pouze část) Vstupem je posloupnost bodů místo spojité funkce Konečný počet koeficientů = ztrátová komprese

26 Implementace postup (1) Zpracování vstupu Vstupem je posloupnost bodů v kartézských souřadnicích (integer)

27 Implementace postup (1) Zpracování vstupu Vstupem je posloupnost bodů v kartézských souřadnicích (integer) Určení počátku souřadného systému Střed mezi koncovými body (úsečka AB)

28 Implementace postup (1) Zpracování vstupu Vstupem je posloupnost bodů v kartézských souřadnicích (integer) Určení počátku souřadného systému Střed mezi koncovými body (úsečka AB) Převod na polární souřadnice (double)

29 Implementace postup (1) Zpracování vstupu Vstupem je posloupnost bodů v kartézských souřadnicích (integer) Určení počátku souřadného systému Střed mezi koncovými body (úsečka AB) Převod na polární souřadnice (double) Normalizace Úhly <0, π > délky relativně k délce AB

30 Implementace postup (1) Zpracování vstupu Vstupem je posloupnost bodů v kartézských souřadnicích (integer) Určení počátku souřadného systému Střed mezi koncovými body (úsečka AB) Převod na polární souřadnice (double) Normalizace Úhly <0, π > délky relativně k délce AB Případně seřazení vzestupně podle úhlu

31 Implementace postup (2) Vytvoření funkce F F(θ) je 2π periodická funkce, reprezentující křivku

32 Implementace postup (2) Vytvoření funkce F F(θ) je 2π periodická funkce, reprezentující křivku Volba dostatečně malého kroku (úhlu) α F bude určena v bodech kα

33 Implementace postup (2) Vytvoření funkce F F(θ) je 2π periodická funkce, reprezentující křivku Volba dostatečně malého kroku (úhlu) α F bude určena v bodech kα Interpolace vstupní posloupnosti v bodech kα Interpolace musí být v kartézských souřadnicích

34 Implementace postup (2) Vytvoření funkce F F(θ) je 2π periodická funkce, reprezentující křivku Volba dostatečně malého kroku (úhlu) α F bude určena v bodech kα Interpolace vstupní posloupnosti v bodech kα Interpolace musí být v kartézských souřadnicích Symetrické doplnění poloviny křivky

35 Implementace postup (3) Výpočet koeficientů Integrování

36 Implementace postup (3) Výpočet koeficientů Integrování Některé koeficienty budou nulové, protože křivka je π periodická.

37 Implementace postup (3) Výpočet koeficientů Integrování Některé koeficienty budou nulové, protože křivka je π periodická. Nulové budou koeficienty harmonických křivek, které nejsou π periodické.

38 Implementace postup (3) Výpočet koeficientů Integrování Některé koeficienty budou nulové, protože křivka je π periodická. Nulové budou koeficienty harmonických křivek, které nejsou π periodické. Na výstup se uloží pouze nenulové koeficienty.

39 Předběžné výsledky Předběžné výsledky

40 Předběžné výsledky Aproximace křivky vstupní křivka (asi 600 bodů = 1200 integerů = 4800bytů) výstupní křivka (6 koeficientů = 6 doublů = 48bytů)

41 koeficient 0 Předběžné výsledky První dva nenulové koeficienty vypočtené na třinácti vzorkách koeficient 1

42 Předběžné výsledky První dva nenulové koeficienty vypočtené na třinácti vzorkách Korelace mezi prvním a druhým koeficientem je asi 0,95

43 Předběžné výsledky První dva nenulové koeficienty vypočtené na třinácti vzorkách Korelace mezi prvním a druhým koeficientem je asi 0,95 Zdá se tedy, že spolu souvisí a podle grafu by skutečně mohly vypovídat o rozdílnosti tvaru mezi mužskými a ženskými vzorky.

44 Dimorfismus Příklad zjevného pohlavního dimorfismus Kdo je kdo?

45 Dimorfismus Příklad zjevného pohlavního dimorfismus Muž Žena

46 Dimorfismus Příklad zjevného pohlavního dimorfismus

47 Zdroje Zdrojový kód Implementace algoritmu v jazyku C# Součást projektu Morphometrics

48 Zdroje Odkazy hesla pro vyhledávání: circular harmonics, spherical harmonics, Fourier series, Legendre polynomials, morphometrics, sex dimorphism, incisura ischiadica major