AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

Transkript

1 AKM CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice A je symetrická, pokud platí A=A AI=IA=A A+0=0+A=A AB BA Příklad 11: Mějme dvě čtvercové matice A a B a) Spočtěte součet a rozdíl matic b) Spočtěte součin matic c) Existují k maticím A a B matice inverzní? d) Spočtěte determinant e) Určete transpozice matic Příklad 12: Mějme dvě matice A a B A =, = 2 8 B A =, B = Spočtěte součin matic A a B v přípustném pořadí Zapište transpozici výsledné matice Příklad 13: Mějme matici Y Y = a) Jsou řádkové vektory matice Y lineárně nezávislé? b) Jakou hodnost má matice Y?

2 Příklad 14: Je matice A symetrická? A = Příklad 15: Nechť X je libovolná matice typu nxk Je součin matic X X nutně matice symetrická? Využijte některých pravidel výše Příklad 16: Mějme sloupcový vektor u = ( u1, u2,, u5) a) Jaký rozměr má matice b) Jaký rozměr má matice u u? Zapište prvky této matice uu? Zapište prvky této matice Příklad 17: Mějme náhodný vektor y řádu nx1 Zapište E(y) a var(y) Příklad 18: Mějme matici A A = a) Chceme zjistit, jaký je průměr řádků matice A toho můžeme dosáhnout násobením matice A vhodným řádkovým vektorem zleva Najděte tedy takový vektor, aby byl výsledkem součinu řádkový vektor [2 4 2] b) Chceme získat vážený součet sloupců matice A s vahami 03, 05, 02 c) Najděte matici C takovou, aby maticovým součinem CA vznikla matice, která odpovídá matici A s prohozenými řádky d) Najděte matici C takovou, aby maticovým součinem AC vznikla matice, která odpovídá matici A s opačným pořadím sloupců

3 E( c) = c D( c ) = 0 E( cx ) = ce( X ) Opakování statistiky 2 D( cx ) = c D( X ) E( X + Y) = E( X ) + E( Y) E( X Y) = E( X ) E( Y) Nezávislé náhodné veličiny X a Y: D( X ± Y) = D( X ) + D( Y) Závislé náhodné veličiny X a Y: D( X ± Y) = D( X ) + D( Y) ± 2cov( X, Y) Příklad 19: Co jsou: a) Střední hodnota b) Medián c) Modus d) Rozptyl e) Kovariance f) Korelace g) Šikmost h) Špičatost Příklad 110: Porovnejte rozptyl a špičatost následujících dvou rozdělení: Příklad 111: a) Jsou-li dvě náhodné veličiny negativně korelované, co nám to říká o jejich kovarianci? b) Jakých hodnot může nabývat kovariance dvou náhodných veličin? Jak je to s korelací? c) Víme-li, že cov(x,y) = 0, jsou náhodné veličiny X a Y nutně nezávislé? Vysvětlete d) Nechť jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé Je možné, že cov(x,y) = 0,58? e) Která z následujících možností může nastat (jaký vztah je mezi kovariancí a korelací): a corr(x,y) = -1,56 b corr(x,y) = 0,28 a cov(x,y) = 0 c corr(x,y) = 0,28 a cov(x,y) = -0,5 d corr(x,y) = 0,28 a cov(x,y) = 0,5

4 Příklad 112: Když v televizních zprávách uslyšíte: Průměrná měsíční mzda je Kč, vztahuje se termín průměrná mzda ke střední hodnotě, mediánu nebo modu? Jakou charakteristiku byste vy zvolili a proč? Jaké rozdělení mají mzdy v populaci? Příklad 113: Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou a) Nakreslete graf distribuční funkce veličiny X (pozn: F( x) = P( X x) ) b) Spočtěte E(X) c) Spočtěte var(x) Příklad 114: Jaká je střední hodnota z hodu šestistěnnou kostkou? Příklad 115: Jsou dány dvě nezávislé náhodné veličiny X a Y, pro které platí: Spočtěte: E(X) = 10, var(x) = 1 E(Y) = 5, var(y) = 2 a) E(4X) b) E(X+5) c) E(X+Y) d) E(4X-3Y) e) var(4x) f) var(x+5) g) var(x+y) h) var(4x+3y) i) var(x-y) j) var(2x-y+5) Příklad 116: Následující tabulka udává sdružené rozdělení náhodných veličin X a Y Rozhodněte, zda jsou veličiny X a Y nezávislé Dále spočtěte: a) E(X Y=1) a E(Y X=1) b) E(X) a E(Y) c) var(x) a var(y)

5 Příklad 117: Házíme dvěma mincemi A a B (možné hodnoty kódujeme vždy jako 0 a 1), z výsledků hodláme spočítat náhodné veličiny X a Y následujícím způsobem: X = mince A, Y = mince A + mince B a) Sestavte tabulku sdruženého pravděpodobnostního rozdělení veličin X a Y b) Jsou veličiny X a Y nezávislé? Svoji odpověď zdůvodněte c) Jsou veličiny X a Y pozitivně korelované, negativně korelované, nebo nekorelované? Svoji odpověď zdůvodněte d) Určete P(Y = 2 X = 1), P(Y = 2 X = 0) a E(Y X = 1) e) Jsou-li obecně dvě náhodné veličiny nekorelované, znamená to nutně, že jsou nezávislé? Svou odpověď zdůvodněte Příklad 118: a) Jakou byste očekávali korelaci mezi mzdami a vzděláním? b) Jakou relaci byste v průměru očekávali mezi mzdami lidí se základní a střední školou, tj E(mzda vzdělání = 9)? E(mzda vzdělání = 13) Naznačte vztah mezd a vzdělání proložením regresní přímkou Dají se očekávat konstantní přírůstky průměrné mzdy s rostoucím vzděláním? Příklad 119: Populační rozdělení výšky mužů (X) má střední hodnotu 180 cm a směrodatnou odchylku 4 cm O rozdělení této náhodné veličiny nic jiného nevíme Náhodně vybereme 10 jedinců a změříme hodnotu náhodné veličiny X každého z nich, tj, jejich výšku (získáme tak hodnoty x 1, x 2,, x 10 ) Z těchto získaných hodnot spočítáme prostý aritmetický průměr Jelikož vybíráme jedince náhodně, je i veličina X náhodná 10 i= 1 X = a) Jaká je střední hodnota X a jaký je rozptyl? b) (Zákon velkých čísel) Namísto 10 lidí uvažujeme obecně n lidí Co se stane s E( X ) a var( X ), jestliže n roste nade všechny meze? Příklad 120: Uvažujme náhodný výběr (x 1, x 2, x 3, x 4 ) z populace, v níž má sledovaný znak X neznámou 2 střední hodnotu (označme µ ) a neznámý rozptyl (označme σ ) a) Je výběrový průměr 4 i= 1 X = x i nestrannou odhadovou statistikou (nebo stručně 10 nestranným odhadem) populační střední hodnoty µ? (Odhadová statistika parametru s je nestranná, je-li E(s) = µ ) b) Uvažujme namísto prostého aritmetického průměru vážený průměr podle předpisu: ω = 0,1x + 0, 2x + 0,3x + 0, 4x Je ω nestranným odhadem µ? c) Které z obou odhadových statistik z a) a b) byste věřili při odhadu µ více? 10 x i

6 Příklad 121: V televizních novinách bylo uvedeno, že týdenní průměrná doba, kterou děti do 5 let věku stráví u televize je 22,6 hodin se směrodatnou odchylkou 6,1 hodin Firma zaměřená na sociologické výzkumy však tvrdí, že je tento odhad značně podhodnocen a skutečná týdenní průměrná doba trávená dětmi do 5 let věku u televize je významně vyšší Předpokládáme, že náhodná veličina X (průměrná týdenní doba strávená dětmi do 5 let věku u televize) má normální rozdělení a) Formulujte nulovou a alternativní hypotézu b) Firma provedla výzkum u 60 dětí (na základě prohlášení rodičů) a spočítala výběrový průměr 25,2 hodin Rozhodla se provést test na 5% hladině významnosti co znamená α = 0,05? c) Je tato hodnota statisticky významně vyšší než deklarovaná střední hodnota 22,6? d) Jak by se výsledek testu změnil (uvažujte stále α = 0,05), kdyby výběrový průměr činil ne 25,2, ale 23,4 hodin? e) Představte si, že populační rozptyl neznáte a odhadnete jej na základě výběrového rozptylu Hodnota směrodatné odchylky pak vyšla 6,1 hodin Jak se řešení problému změní? Příklad 122: Diktátor nejmenované země využil referenda k legitimizaci své moci a tvrdí, že byl podpořen 60% voličů OSN zveřejněným výsledkům příliš nedůvěřuje a najala vás, abyste ověřili pravdivost těchto výsledků Poněkud omezený rozpočet vám umožňuje získat údaje o 400 náhodně vybraných voličích Po sběru dat vyšlo najevo, že z výběrového vzorku 400 lidí hlasovalo pro diktátora přesně 200 estujte na hladině významnosti α = 0,05 hypotézu o pravdivosti diktátorova tvrzení oproti jednostranné alternativě, že diktátor počet svých voličů nadhodnotil a) Pro daný hlas zaveďte znak X, který nabývá hodnoty 1, pokud jedinec diktátora volil a hodnoty 0, pokud jej nevolil Jaká je střední hodnota X v celé populaci? Jaký je rozptyl X? b) Formulujte vhodně statistické hypotézy, na základě kterých se pokusíte vyvrátit tvrzení diktátora Zvažte a okomentujte, jak nejlépe postavit nulovou hypotézu a zda volit jednostrannou či oboustrannou alternativní hypotézu c) estujte Vámi definované hypotézy na hladině významnosti α = 005 Pokuste se vlastními slovy popsat, co vlastně znamená hladina významnosti 1% d) Učiňte závěr