NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení"

Transkript

1 NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení

2 Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti. Př. meteorologická data (teplota, tlak, rychlost a směr větru, ) lékařská data (výška, váha, věk, tlak, )

3 Sdružené rozdělení pravděpodobnosti Rozdělení náhodného vektoru popisuje sdružená distribuční funkce Sdružená distribuční funkce dvourozměrného vektoru X=(X,Y) je definována předpisem: ( x, y) = P( ( X < x) ( Y y) ) F < Zkrácený zápis pro P((X<x) (Y<y)) = P(X<x,Y<y) Hodnota sdružené distribuční funkce F(x, y) je rovna pravděpodobnosti, s jakou se hodnota náhodného vektoru X = (X, Y ) vyskytne ve vyšrafované části roviny Sdružená distribuční funkce má podobné vlastnosti jako distribuční funkce jedné proměnné.

4 Sdružené rozdělení pravděpodobnosti Pravděpodobnost, že náhodný vektor je z obdélníkové oblasti, lze vyjádřit pomocí distribuční funkce. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c a F c b F d a F d b F d Y c b X a P,,,,, + = < < Náh. vektor Sdružené roz.p. Marginální roz.p. Podmíněné roz.p. Kovariance Korelace Statgraphics Test

5 Diskrétní dvourozměrný náhodný vektor Náhodný vektor má diskrétní rozdělení jestliže existuje nejvýše spočetně mnoho hodnot náhodného vektoru tak, že: ( x ) i, y j = i j p Funkce p(x i,y j ) = P(X=x i,y=y j ) je sdružená (simultánní) pravděpodobnostní funkce Pro vyjádření sdružené distribuční funkce pomocí sdružené pravděpodobnostní funkce lze využít vztah ( x, y) = p( x ) i y j F, x i < x y < y j

6 Tabulka sdružených pravděpodobností Reprezentuje sdruženou pravděpodobnost diskrétního dvousložkového náhodného vektoru s konečným počtem hodnot X / Y x p(x,y ) p(x,y ) p(x,y ) n x p(x,y ) p(x,y ) p(x,y n ) x n y p(x n,y ) y p(x n,y ) y n p(x n, y n )

7 . Pravděpodobnost, že při přenosu digitální informace dojde k silné, resp. střední, resp. žádné, deformaci bitu je,;,3 a,6. Předpokládejme, že jsou přeneseny dva bity a rozsah deformace je pro každý bit nezávislý. Náhodný vektor X = [X,X ] udává počet bitů se silnou (X ) a střední (X ) deformací. Sestavte a) sdruženou pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru X, b) sdruženou distribuční funkci náhodného vektoru X.

8 Řešení: a) všechny možné výsledky: [, ] => P(X =,X =)=,6,6=,36 deformován může být první, nebo druhý bit [, ] => P(X =,X =)=,3,6=,36 [, ] => P(X =,X =)=,3,3=,9 [, ] => P(X =,X =)=,,6=, [, ] => P(X =,X =)=,,3=,6 [, ] => P(X =,X =)=,,=, počet bitů se silnou deformací počet bitů se střední deformací Zkouška:,36+,36+,9+,+,6+, =

9 Řešení: a) Tabulka sdružených pravděpodobností: X / X,36,,,36,6,9 Graf pravděpodobnostní funkce:

10 Řešení: b) Sdruženou distribuční funkci určíme ze sdružené pravděpodobnostní funkce. Výpočet sdružené distribuční funkce např. F(,5;,5) => jsme na intervalu (, (, : F P (,5;,5 ) = P( X <,5; X <,5 ) = (( X = ( X = ) ) ( X = ) ) = P( ( X = X = ) ( X = X = )) = p(,) + (, ) =,36 +, =, 48 = = p

11 Řešení: b) distribuční funkce náhodného vektoru X: X / X ( ; ( ; ( ; ( ; ( ; ) ( ;,36,7,8 ( ;,48,9,99 ( ; ),49,9 graf distribuční funkce náhodného vektoru X:

12 Marginální rozdělení pravděpodobnosti Určuje rozdělení jednotlivých složek (náhodných veličin X a Y) náhodného vektoru (X,Y) Marginální pravděpodobnostní funkce P x (x) a P y (y) diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou určeny vztahy: P P x y ( xi ) = p( xi, y j ) ( y ) j ( y j ) = p( xi, y j ) ( x ) i,, i j

13 Marginální pravděpodobnosti DNV Jestliže zadáme sdruženou pravděpodobnostní funkci tabulkou, pak hodnoty jedné marginální pravděpodobnostní funkce získáme sečtením čísel v jednotlivých řádcích tabulky. Hodnoty této marginální pravděpodobnostní funkce zapisujeme do sloupce na okraji tabulky. Obdobně hodnoty druhé marginální pravděpodobnostní funkce dostaneme sečtením čísel v jednotlivých sloupcích tabulky. Hodnoty druhé marginální pravděpodobnostní funkce zapisujeme do řádku na okraji tabulky.

14 Rozšířená tabulka sdružených pravděpodobností X / Y y y y n P X (x i ) x p(x,y ) p(x,y ) p(x,y n ) P X (x ) x p(x,y ) p(x,y ) p(x,y n ) P X (x ) x n p(x n,y ) p(x n,y ) p(x n, y n ) P Y (y ) P Y (y ) P Y (y ) n P Y (y j ) P X (x n ) Modře zvýrazněné pole je kontrolní. Součet marginálních pravděpodobností, stejně jako součet sdružených pravděpodobností, musí být roven jedné.

15 . Navážeme na příklad. Náhodný vektor X je popsán sdruženou pravděpodobnostní funkcí uvedenou v tabulce: X / X,36,,,36,6,9 Určete a) marginální pravděpodobnosti P X (x ), P X (x ). b) marginální distribuční funkce F X (x ), F X (x ).

16 Řešení: a) Marginální rozdělení slouží k popisu jednotlivých složek náhodného vektoru. Marginální pravděpodobnost P X (x ), tj. pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, získáme dosazením do vztahu: P X ( x ) = p( x x ), ( x ) To odpovídá sečtení čísel v jednotlivých řádcích tabulky sdružené pravděpodobnosti. Např. P X ()=p(,)+p(,)+p(,)=+,36+,+,=,49. X / X P X (x ),36,,,49,36,6,9

17 Řešení: a) X / X P X (x ),36,,,49,36,6,4,9,9 P X (x ),8,8,

18 Řešení: b) Marginální distribuční funkce nalezneme pomocí marginálních pravděpodobností => X je diskrétní náhodná veličina popsána pravděpodobnostní funkcí P X (x i ). X P X (x i ),8,8, X ( ; ( ; ( ; ( ; ) F X (x ),8,99 Analogicky pro P X (x j ). X PX(x j ),49,4,9 X ( ; ( ; ( ; ( ; ) F X (x ),49,9

19 Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti Určuje rozdělení NV X za předpokladu, že NV Y nabyla hodnoty y. Chápeme jako podíl sdruženého a marginálního rozdělení pravděpodobnosti (má-li tento podíl smysl), v souladu s definicí podmíněné pravděpodobnosti.

20 Podmíněné rozdělení DNV Podmíněná pravděpodobnostní funkce: P P ( x y) ( y x) = = p P ( x, y) Y ( y) (, x) ( x) p y P Podmíněná distribuční funkce: F F ( x y) ( y x) = = x < x y < y p P P X ( x, y) ( y) (, y ) p x ( x), P Y, P, i X ( y), j i j Y X i j ( x), P P Y X ( y) ( x)

21 Nezávislost náhodných veličin Projevuje se tím, že jejich sdružená distribuční funkce (sdružená pravděpodobnostní funkce, resp. sdružená hustota pravděpodobnosti) se dá matematicky vyjádřit jako součin marginálních distribučních funkcí (marginálních pravděpodobnosti, resp. marginálních hustot pravděpodobnosti) jednotlivých náhodných veličin. Platí, že složky X, Y náhodného vektoru jsou nezávislé právě když platí: ( ) DNV: P X = x, Y = y = P ( X = x ) P ( Y = y ) i j X i Y j

22 3. Nechť X je náhodný vektor, s nímž jsme pracovali v příkladech a. Rozdělení tohoto náhodného vektoru (sdružená a marginální pravděpodobnostní funkce) je uvedeno v následující tabulce. Určete X / X P X (x ),36,36,9,8,9 a) P(x x ) b) zda jsou náhodné veličiny X a X nezávislé,,6,8,, P X (x ),49,4

23 Řešení: a) P ( x x ) ( x, x ) ( x ) p =, PX x P X ( ) Např. pravděpodobnost, že přijmeme jeden bit se silnou deformací (X = ), víme-li, že jsme nepřijali ani jeden bit se střední deformací (X = ): P ( X = X = ) (, ) ( ),,49 = = = P X p,45 Při výpočtu ostatních podmíněných pravděpodobností postupujeme stejným způsobem => P(x x ): X / X,735,45,,86,4

24 Řešení: b) Jsou-li náhodné veličiny X, X nezávislé, pak i 3, j 3: ( x, x ) = P ( x ) P ( x ) p i j X i x j Každá z hodnot sdružené pravděpodobnosti uvedené v rozšířené tabulce sdružených pravděpodobností by musela být rovna součinu příslušných marginálních pravděpodobností. X / X P X (x ),36,,,49,36,6,4,9,9 P X (x ),8,8, Toto zcela zřejmě neplatí (např.: = p(, ) P X ()P X ()=,8,9 =,6).

25 Řešení: b) Jsou-li náhodné veličiny X, X nezávislé, pak i 3, j 3: ( x, x ) = P ( x ) P ( x ) p i j X i x j Každá z hodnot sdružené pravděpodobnosti uvedené v rozšířené tabulce sdružených pravděpodobností by musela být rovna součinu příslušných marginálních pravděpodobností. X / X P X (x ),36,,,49,36,6,4,9,9 P X (x ),8,8, Toto zcela zřejmě neplatí (např.: = p(, ) P X ()P X ()=,8,9 =,6). Náhodné veličiny X, X proto nejsou nezávislé.

26 Marginální číselné charakteristiky NV Číselná charakteristika náhodného vektoru shrnuje celkovou informaci o náhodném vektoru do jednoho čísla, vektoru nebo matice. Marginální číselné charakteristiky - shrnují informaci o jednotlivých složkách náhodného vektoru (X,Y), poloha (střední hodnota), variabilita (rozptyl, směrodatná odchylka), šikmost, špičatost. Zapisujeme je ve formě vektoru: X E, ( ) = ( E( X ) E( Y )) X ( ) = ( D( X ) D( Y )) D,

27 Podmíněné číselné charakteristiky NV Popisují vlastnosti podmíněných rozdělení. Př. Máme dvourozměrný náhodný vektor náhodné veličiny X (nadmořská výška) a Y (teplota), může nás zajímat střední teplota a rozptyl teploty v nadmořské výšce 6 m.n.m., tj. E(Y X=6) a D(Y X=6). Podmíněné střední hodnoty: E Podmíněné rozptyly: ( X Y = y) = E( X y) = x P( X y) i i i ( X = x) = E( Y x) = y j P( Yj x) E Y ( Y = y) = D( X y) = ( x E( X y) ) P( X y) D X ( X = x) = D( Y x) = y E( Y x) D Y i j, i, j,, ( j ) P( Yj x) j i i,, i j,,

28 Kovariance Kovariance cov(x,y) je nejjednodušší ukazatel vztahu mezi dvěma náhodnými veličinami. Definována jako smíšený centrální moment řádu ( + ) cov(x,y) = E (( X E( X )) ( Y E( Y ))) Kladná hodnota kovariance znamená, že se zvětšením hodnoty X se pravděpodobně zvýší i hodnota Y. Oproti tomu záporná hodnota kovariance informuje o tom, že se zvětšením hodnoty X se pravděpodobně sníží hodnota Y.

29 Kovariance Výpočetní vztah umožňující rychlejší výpočet než vztah definiční: cov X,Y = E X Y E X E Y Nejdůležitější vlastnosti: ( ) ( ) ( ) ( ) cov(x,x)=d(x) jsou-li X, Y nezávislé náhodné veličiny, pak cov(x,y ) = cov(a X + b, a Y + b ) = a a cov(x,y), V praxi se často setkáváme s kovarianční maticí: var(x) = D X cov ( ) cov( X, Y ) ( ) ( ) X, Y D Y

30 Koeficient korelace Korelační koeficient ρ(x,y) je mírou lineární závislosti dvou složek náhodného vektoru. ρ ( X, Y ) = ( X, Y ) ( ) D( Y ) cov D X,, ( ), D( Y ) D X jinak Korelační matice: cor(x) = ρ ρ( X, Y ) ( ) X, Y

31 Koeficient korelace - vlastnosti ( ) ) ρ X, Y ) ρ ( X, Y ) = ρ( Y, X ) 3) ρ( X, X ) = 4) jsou-li X, Y nezávislé náhodné veličiny, pak ρ( X, Y ) = 5) je-li ρ(x,y) =, říkáme, že X, Y jsou nekorelované náhodné veličiny 6) je-li ρ(x,y) =, pak Y je lineární funkcí X (s rostoucím X roste Y) 7) je-li ρ(x,y) = -, pak Y je lineární funkcí X (s rostoucím X klesá Y) 8) je-li ρ(x,y) >, říkáme, že X, Y jsou pozitivně korelované (s rostoucím X roste Y ) 9) je-li ρ(x,y) <, říkáme, že X, Y jsou negativně korelované (s rostoucím X klesá Y )

32 Koeficient korelace výklad míry Typ korelace Velmi slabá Slabá Střední Silná ρ, -,9, -,9,3 -,49,5 -, Výklad míry korelace Cohen 988 jsou-li náhodné veličiny nekorelované, neznamená to, že jsou nezávislé, míru korelace musíme hodnotit v kontextu s modelovanou realitou, korelace neznamená nutně kauzalitu (příčinnou souvislost).

33 Koeficient korelace - vlastnosti Souvislost mezi ρ(x, Y) a závislostí náhodných veličin X, Y

34 4. Vrátíme se naposledy k příkladu. Náhodný vektor X = (X,X ) je popsán sdruženou pravděpodobnostní funkcí, známe jeho marginální pravděpodobnosti a v příkladu 3 jsme určili podmíněnou pravděpodobnostní funkci P(x x ) Nyní určete: a) E(X ), E(X ), D(X ), D(X ), b) E(X), D(X), c) cov(x, X ), var(x), ρ(x, X ), cor(x), d) E(X X =)

35 Řešení: a) E(X ), E(X ), D(X ), D(X ) jsou číselné charakteristiky náhodných veličin X a X (marginální charakteristiky vektoru X). Pro jejich nalezení použijeme marginální pravděpodobnosti vektoru X. Tabulka pomocných výpočtů: X / X P X (x ) x P X (x ) x P X (x ),36,,,49,36,6,4,4,4,9,9,8,36 P X (x ),8,8,,6,78 x P X (x ),8,, x P X (x ),8,4, Hodnoty uvedené ve žlutě zvýrazněných polích jsou rovny součtům hodnot v příslušných řádcích, resp. sloupcích.

36 Řešení: a) X / X,36,, P X (x ),49 x P X (x ) x P X (x ),36,6,4,4,4,9,9,8,36 P X (x ),8,8,,6,78 x P X (x ),8,, x P X (x ),8,4, E E E 3 = = i X i i = 3 = x PX x =,8 +,8 +, = i i i = ( X ) x P ( x ) =,8 +,8 +,, ( X ) ( ), ( ) ( ) ( ) D X ( ),8 = E X E X =, -, = 3 = X = j j j = ( X ) x P ( x ) =,49 +,4 +,9,6 E 3 ( X ) x P ( x ) =,49 +,4 +,9,78 = = j X j j = ( ) = E( X ) E( X ) D X ( ) =,78 -,6, 4 =

37 Řešení: b) E D X ( ) = ( E( X ) E( X )) (, ;,6) X, = ( ) = ( D( X ) D( X )) (,8;, 4), =

38 Řešení: c) Použijeme výpočetní vztah cov(x,x ) = E ( X X ) E( X ) E( ) X E 3 3 ( X X ) = x x p( x, x ) i = j = i j i =,36 +,, +, 36 +,6 + +,9 + + =, 6 j + cov(x,x ) =,6,,6 = -, 6 cov(x,x )=cov(x, X ) var(x) = D X cov ( ) cov( X, X ),8 -, 6 = ( ) ( ) X, X D X -, 6, 4

39 Řešení: c) Pomocí kovarianční matice určíme korelační koeficient a tím i korelační matici. ρ ( X, X ) ( X, X ) ( ) D( X ) cov -,6 = = = cor(x) = ρ D X,8, 4 -, 8 ρ( X, X ) -, 8 = ( ) X, X -, 8

40 Řešení: d) Pro výpočet E(X X =) potřebujeme znát podmíněnou pravděpodobnostní funkci P(x x ): X / X,735,45,,86,4 E ( X X ) = x P( x X = ) =,86 +,4 + =,4 3 = i = i i =

41 Řešení příkladů ve Statgraphicsu

42 Studenti z jedné studijní skupiny byli na zkoušce z matematiky a fyziky (zkouska.sf3). Jejich výsledky jsou popsány náhodným vektorem X=(M,F) T. M známka z matematiky F známka z fyziky Určete a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce b) P(M=, F=3), P(M= F=3), F(;3), F M (,3), P(M<3,F>) c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F d) cov(m,f) e) ρ(m,f)

43 Řešení: a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce

44 Řešení: a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce

45 Řešení: a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce p(m,f)

46 Řešení: a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce P F (f)

47 Řešení: a) Sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce P M (m)

48 Řešení: b) P(M=, F=3) P(M=, F=3)

49 Řešení: b) P(M= F=3) P(M= F=3)=P(M=,F=3)/P F (3)=,/,5=,

50 Řešení: b) F(;3) F(;3)=P(M<,F<3)=P(M=,F=)+P(M=,F=)=,

51 Řešení: b) F M (,3) F M (,3)=P(M<,3)=P M ()+P M ()=,3

52 Řešení: b) P(M<3,F>) P(M<3,F>)=,5

53 Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F

54 Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F

55 Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F Tabular Options

56 Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F

57 Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F

58 Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F

59 Řešení: c) střední hodnoty, rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin M a F

60 Řešení: d) cov(m,f)

61 Řešení: d) cov(m,f)

62 Řešení: e) ρ(m,f)

63 Statgraphics NEUMOŽŇUJE přímý výpočet podmíněného rozdělení a podmíněných charakteristik diskrétního náhodného vektoru!!!

64 Test

65 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: a) Náhodný vektor je definován jako dvourozměrný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny. b) Sdružené rozdělení popisuje rozdělení náhodného vektoru. c) Marginální rozdělení popisuje rozdělení jednotlivých složek náhodného vektoru. d) Je-li X=(X,Y) T náhodný vektor, pak EX=E(XY).

66 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: a) Náhodný vektor je definován jako dvourozměrný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny. (Náhodný vektor muže být i vícerozměrný) b) Sdružené rozdělení popisuje rozdělení náhodného vektoru. c) Marginální rozdělení popisuje rozdělení jednotlivých složek náhodného vektoru. d) Je-li X=(X,Y) T náhodný vektor, pak EX=E(XY).

67 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: a) Náhodný vektor je definován jako dvourozměrný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny. (Náhodný vektor muže být i vícerozměrný) b) Sdružené rozdělení popisuje rozdělení náhodného vektoru. c) Marginální rozdělení popisuje rozdělení jednotlivých složek náhodného vektoru. d) Je-li X=(X,Y) T náhodný vektor, pak EX=E(XY).

68 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: a) Náhodný vektor je definován jako dvourozměrný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny. (Náhodný vektor muže být i vícerozměrný) b) Sdružené rozdělení popisuje rozdělení náhodného vektoru. c) Marginální rozdělení popisuje rozdělení jednotlivých složek náhodného vektoru. d) Je-li X=(X,Y) T náhodný vektor, pak EX=E(XY).

69 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: a) Náhodný vektor je definován jako dvourozměrný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny. (Náhodný vektor muže být i vícerozměrný) b) Sdružené rozdělení popisuje rozdělení náhodného vektoru. c) Marginální rozdělení popisuje rozdělení jednotlivých složek náhodného vektoru. d) Je-li X=(X,Y) T náhodný vektor, pak EX=E(XY). X E ( ) = ( E( X ), E( Y ))

70 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: e) E(XY)=EX EY f) Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují vztah mezi náhodnými veličinami, které tvoří jeho složky. g) Kovariance je mírou závislosti náhodných veličin. h) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé.

71 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: e) E(XY)=EX EY f) Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují vztah mezi náhodnými veličinami, které tvoří jeho složky. g) Kovariance je mírou závislosti náhodných veličin. h) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé.

72 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: e) E(XY)=EX EY f) Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují vztah mezi náhodnými veličinami, které tvoří jeho složky. (Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují jednotlivé složky náhodného vektoru) g) Kovariance je mírou závislosti náhodných veličin. h) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé.

73 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: e) E(XY)=EX EY f) Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují vztah mezi náhodnými veličinami, které tvoří jeho složky. (Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují jednotlivé složky náhodného vektoru) g) Kovariance je mírou závislosti náhodných veličin. h) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé.

74 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: e) E(XY)=EX EY f) Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují vztah mezi náhodnými veličinami, které tvoří jeho složky. (Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují jednotlivé složky náhodného vektoru) g) Kovariance je mírou závislosti náhodných veličin. h) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. (Je-li cov(x, Y) =, mohou, ale nemusí být náhodné veličiny X a Y nezávislé)

75 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: i) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. j) Je-li ρ(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. k) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nekorelované, jsou lineárně nezávislé. l) cov(x,x)=.

76 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: i) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. j) Je-li ρ(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. k) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nekorelované, jsou lineárně nezávislé. l) cov(x,x)=.

77 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: i) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. j) Je-li ρ(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. k) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nekorelované, jsou lineárně nezávislé. l) cov(x,x)=.

78 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: i) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. j) Je-li ρ(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. k) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nekorelované, jsou lineárně nezávislé. l) cov(x,x)=.

79 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: i) Je-li cov(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. j) Je-li ρ(x,y)=, pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. k) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nekorelované, jsou lineárně nezávislé. l) cov(x,x)=. (cov(x,x)=dx)

80 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: m) ρ(x,x)= n) cov(x,y)=e(xy)-e(x) E(Y).

81 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: m) ρ(x,x)= n) cov(x,y)=e(xy)-e(x) E(Y).

82 Určete, zda jsou pravdivé následující výroky: m) ρ(x,x)= n) cov(x,y)=e(xy)-e(x) E(Y).

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

4. Na obrázku je rozdělovací funkce (hustota pravděpodobnosti) náhodné veličiny X. Jakou hodnotu musí mít parametr k?

4. Na obrázku je rozdělovací funkce (hustota pravděpodobnosti) náhodné veličiny X. Jakou hodnotu musí mít parametr k? A 1. Stanovte pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabyde hodnoty menší než 6: P( X 6). Veličina X má rozdělení se střední hodnotou 6 a směrodatnou odchylkou 5: N(6,5). a) 0 b) 1/3 c) ½ 2. Je možné,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

STATISTICKÁ VAZBA. 1.1 Statistická vazba Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Literatura 9

STATISTICKÁ VAZBA. 1.1 Statistická vazba Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Literatura 9 STATISTICKÁ VAZBA Obsah 1 Korelační analýza 1 1.1 Statistická vazba.................................... 1 1.2 Motivační příklady................................... 1 1.3 Sdružená distribuční funkce a nezávislost

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

S1P Příklady 02. Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: :

S1P Příklady 02. Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: : S1P Příklady 02 Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 2 3 cm Na stranách jsou obrázky: : Ω ={strom, houba, kytka, slunce, dům, ryba} Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů odpovídá

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Lineární a nelineární regrese Přednášky ZS 2016-2017 Sponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 2016 Povinná látka. Bude v písemkách a bude

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii. Zobrazení dvojrozměrných dat Bodový graf - Scatterplot Korelační koeficient

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii. Zobrazení dvojrozměrných dat Bodový graf - Scatterplot Korelační koeficient PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Zobrazení dvojrozměrných dat Bodový graf - Scatterplot Korelační koeficient Analýza vztahů mezi dvěma proměnnými Souvisí nějak? Výška a váha Známky u jednotlivých

Více

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka

Více

Matematika III: Pracovní listy

Matematika III: Pracovní listy Matematika III: Pracovní listy Viktor Dubovský, Marcela Jarošová, Jiří Krček, Jitka Krčková, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

Motivace příklad použití lokace radarového echa Význam korelace Popis náhodných signálů číselné charakteristiky

Motivace příklad použití lokace radarového echa Význam korelace Popis náhodných signálů číselné charakteristiky A0M38SPP - Signálové procesory v praxi - přednáška 7 2 Motivace příklad použití lokace radarového echa Význam korelace Popis náhodných signálů číselné charakteristiky (momenty) Matematická definice korelační

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2009/2010 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

Obecné, centrální a normované momenty

Obecné, centrální a normované momenty Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více