10. N á h o d n ý v e k t o r

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "10. N á h o d n ý v e k t o r"

Transkript

1 10. N á h o d n ý v e k t o r Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět pojmy pro vektor o dvou souřadnicích, který budeme značit (X, Y ). Zobecnění pro více proměnných snadno provedeme. Příklad: Házíme dvěma mincemi a označíme 0, jestliže padne rub a 1 jestliže padne líc. Náhodná veličina X je výsledek z první mince a náhodná veličina Y je výsledek hodu na druhé minci. Náhodný pokus je popsán stavem náhodného vektoru (X, Y ) Definice: Sdružená distribuční funkce. Je-li (X, Y ) náhodný vektor, pak funkci F = F (x, y), která je definovaná předpisem ( ) F (x, y) = P (X x, Y y), (x, y) R 2, nazýváme sdruženou distribuční funkcí náhodného vektoru (X, Y ). y (X, Y ) Obr (x, y) x Hodnota sdružené distribuční funkce F (x, y) je rovna pravděpodobnosti s jakou se hodnota náhodného vektoru (X, Y ) vyskytne ve vyšrafované části roviny z obrázku Obr Věta: Vlastnosti sdružené distribuční funkce. Pro sdruženou distribuční funkci F (x, y) náhodného vektoru platí: a) Pro všechny hodnoty (x, y) R 2 je 0 F (x, y) 1. b) Funkce F (x, y) je neklesající jako funkce proměnné x a proměnné y. c) Je d) Je e) Je lim F (x, y) = lim x F (x, y) = 0. y lim F (x, y) = 1. (x,y) (, ) lim F (x, y) = P (X x), x R a lim F (x, y) = P (Y y), y R. y x Důkaz: a) Vlastnost vyplývá z definice sdružené distribuční funkce jako pravděpodobnosti. b) Tato vlastnost plyne z vlastnosti distribuční funkce náhodné veličiny, jestliže považujeme jednu proměnnou za pevnou. c) Pokud uvažujeme jev (X x Y y) a alespoň jedna z proměnných x či y se blíží k, pak popsaný náhodný jev přechází v jev nemožný V. Je ale P (V ) = 0. d) Jestliže v náhodném jevu (X x Y y) se obě proměnné bliží k, pak tento jev přejde v jev jistý U a je P (U) = 1. 55

2 e) Znázorníme si obě situace pomocí obrázku. Uvědomíme si jak se změní obrázek Obr pokud y (obr.10.2a) nebo x (Obr. 10.2b.). Náhodný jev (X x Y y) pro y přejde v náhodný jev (X x) a pro x přejde v náhodný jev (Y y). (X x) (Y y) y X = x (X, Y ) x y Y = y (X, Y ) x Obr. 10.2a. Obr. 10.2b. Poznámka: Marginální rozdělení. Je-li (X, Y ) náhodný vektor, pak jsou jeho souřadnice X a Y náhodné veličiny. Jejich rozdělení je popsáno příslušnými distribučními funkcemi. Ty se dají snadno určit ze sdružené distribuční funkce pomocí vztahů z tvrzení e) věty Definice: Je-li (X, Y ) náhodný vektor, pak rozdělení náhodných veličin X a Y se nazývá marginální rozdělení Věta: Je-li F (x, y) sdružená distribuční funkce náhodného vektoru (X, Y ), pak jsou marginální distribuční funkce F 1 (x), resp. F 2 (y) náhodné veličiny X, resp Y určeny vztahy a F 1 (x) = P (X x) = lim F (x, y), x R y F 2 (y) = P (Y y) = lim F (x, y), y R. x Důkaz: Tvrzení vyplývá z definice distribuční funkce náhodné veličiny a ze vztahů e) věty Příklad: 1. Náhodný vektor (X, Y ) má rozdělení určené sdruženou distribuční funkcí F (x, y), kde 0, x 0 nebo y 0, F (x, y) = 1 e 2x e 3y + e 2x 3y, x 0 a y 0. Určete marginální distribuční funkce náhodných veličin X a Y. Řešení: Marginální distribuční funkce F 1 (x) a F 2 (y) náhodných veličin X a Y určíme z jejich vyjádření odvozených ve větě Je a F 1 (x) = P (X x) = lim F (x, y), x R y F 2 (y) = P (Y y) = lim F (x, y), y R. x Protože je lim x e 2x = 0 a lim y e 3y = 0 dostaneme: F 1 (x) = 0, x 0, 1 e 2x, x 0; a F 2 (y) = 0, y 0, 1 e 3y, y 0; 56

3 Typy rozdělení náhodného vektoru I. Diskrétní rozdělení. Poznámka: V souladu s pojmem diskrétního rozdělení u náhodné veličiny zavádíme stejným způsobem diskrétní rozdělení náhodného vektoru Definice: Diskrétní rozdělení. Říkáme, že náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení, jestliže nabývá konečně nebo spočetně mnoha diskrétních hodnot Definice: Sdružená pravděpodobnostní funkce. Jestliže má náhodný vektor (X, Y ) diskrétní rozdělení, pak funkci p = p(x, y), která je definována předpisem ( ) p(x, y) = P (X = x Y = y), (x, y) R 2 nazýváme sdruženou pravděpodobnostní funkcí náhodného vektoru (X, Y ) Věta: Vlastnosti sdružené pravděpodobnostní funkce. Funkce p = p(x, y) je sdruženou pravděpodobnostní funkcí náhodného vektoru (X, Y ) právě když platí: a) Je 0 p(x, y) 1 pro všechny hodnoty (x, y) R 2. b) Je p(x, y) = 1. (x,y) R 2 c) Existuje pouze konečná nebo spočetná množina (posloupnost) hodnot (x i, y k ), pro které je P (x i, y k ) > 0. Poznámka: Má-li náhodný vektor diskrétní rozdělení, pak jeho rozdělení snadno popíšeme dvourozměrnou tabulkou, kde do řádků vyneseme hodnoty x i, kterých nabývá souřadnice X a do sloupců hodnoty y k druhé souřadnice. V tabulce na odpovídajícím místě uvedeme hodnotu pravděpodobnosti p(x i, y k ). Jeho marginální rozdělení jsou pak také diskrétní. Pravděpodobnostní funkce náhodných veličin X a Y se nazývají marginální a pro jejich vyjádření platí Věta: Marginální pravděpodobnostní funkce. Je-li p(x, y) sdružená pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru (X, Y ), pak jsou marginální pravděpodobnostní funkce p 1 (x), resp. p 2 (y) náhodné veličiny X, resp Y dány vztahy: p 1 (x) = p(x, y), x R a p 2 (y) = p(x, y), y R. x R Důkaz: Tvrzení bezprostředně vyplývá z definice pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Je p 1 (x) = P (X = x) = P (X = x Y = y) = p(x, y), neboť se jednotlivé náhodné jevy pro různé hodnoty souřadnice Y vylučují, jsou to tudíž jevy disjunktní. Obdobně získáme vyjádření marginální pravděpodobnostní funkce p 2, která odpovídá náhodné veličině Y. Poznámka: Všimneme, že pokud zadáme sdruženou pravděpodobnostní funkci tabulkou, pak tabulky marginálních pravděpodobnostních funkcí dostaneme jako řádek, který získáme sečtením tabulky po sloupcích a druhou jako sloupec, jestliže sečteme tabulku po řádcích. Tabulka pro sdruženou pravděpodobnostní funkci a marginální pravděpodobnostní funkce. 57

4 p(x, y) x 1 x 2... x i... p 2 (y) y 1 p(x 1, y 1 ) p(x 2, y 1 )... p(x i, y 1 )... p 2 (y 1 ) y 2 p(x 1, y 2 ) p(x 2, y 2 )... p(x i, y 2 )... p 2 (y 2 ) y k p(x 1, y k ) p(x 2, y k )... p(x i, y k )... p 2 (y k ) p 1 (x) p 1 (x 1 ) p 1 (x 2 )... p 1 (x i )... 1 Tab Poslední políčko je kontrolní, součet posledního řadku a posledního sloupce musí být jedna, stejně jako součet všech hodnot v původní tabulce Definice: Nezávislost náhodných veličin. Jestliže má náhodný vektor (X, Y ) diskrétní rozdělení, pak říkáme, že jsou jeho souřadnice X a Y nezávislé náhodné veličiny, jestliže jsou náhodné jevy (X = x) a (Y = y) nezávislé pro všechny hodnoty (x, y) R 2. V opačném případě mluvíme o závislých náhodných veličinách Věta: Podmínka nezávislosti. Je-li p(x, y) sdružená pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru (X, Y ), pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé právě když pro sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce platí: ( ) p(x, y) = p 1 (x) p 2 (y), (x, y) R 2. Důkaz: Náhodné jevy (X = x) a (Y = y) jsou nezávislé, právě když platí P (X = x Y = y) = P (X = x) P (Y = y) p(x, y) = p 1 (x) p 2 (y), (x, y) R 2. Poznámka: Pro tabulku Tab to znamené, že políčko (x i, y k ) dostaneme jako součin políčka x i a políčka y k v marginálních pravděpodobnostních funkcích. Dá se tedy sdružená pravděpodobnostní funkce zpětně vytvořit ze svých marginálních pravděpodobnostních funkcí. Příklad: 1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení určené sdruženou pravděpodobnostní funkcí p, která je zadána tabulkou Tab Určete marginální pravděpodobnostní funkce a rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. y\x ,1 0,2 0,1 1 0,3 0,2 0,1 y\x p 2 (y) -1 0,1 0,2 0,1 0,4 1 0,3 0,2 0,1 0,6 p 1 (x) 0,4 0,4 0,2 Tab Tab Řešení: Marginální pravděpodobnostní funkce určíme pomocí vzorců z věty Je pak X : p 1 (x) = p(x, y) a Y : p 2 (y) = p(x, y). x R Postupujeme podle poznámky k větě 10.9 a znázorníme výsledek do tabulky Přidáme k tabulce řádek a sloupec a hodnoty vytvoříme tak, že sečteme tabulku jednak po řádcích a jednak po sloupcích. V přidaném sloupci jsou hodnoty marginální pravděpodobnostní funkce 58

5 p 2 (y) náhodné veličiny Y a v přidaném řádku pak hodnoty marginální pravděpodobnostní funkce p 1 (x) náhodné veličiny X. Závislost či nezávislost otestujeme z podmínky p(x, y) = p 1 (x)p 2 (y), kterou jsme pro nezávislost náhodných veličin odvodili ve větě Je například p(0, 1) = 0, 1 a p 1 (0)p 2 ( 1) = 0, 4.0, 4 = 0, 16. Protože jsou výsledky různé nemusíme rovnost pro další políčka z tabulky ověřovat. Náhodné veličiny X a Y jsou závislé. Příklad: 2. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení určené sdruženou pravděpodobnostní funkcí p, která je zadána tabulkou Tab Určete marginální pravděpodobnostní funkce a rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. y\x ,06 0,3 0,24 3 0,04 0,2 0,16 y\x p 2 (y) 0 0,06 0,3 0,24 0,6 3 0,04 0,2 0,16 0,4 p 1 (x) 0,1 0,5 0,4 Tab Tab Řešení: Marginální pravděpodobnostní funkce určíme pomocí vzorců z věty Je pak X : p 1 (x) = p(x, y) a Y : p 2 (y) = p(x, y). x R Postupujeme podle poznámky k větě 10.9 a znázorníme výsledek do tabulky Přidáme k tabulce řádek a sloupec a hodnoty vytvoříme tak, že sečteme tabulku jednak po řádcích a jednak po sloupcích. V přidaném sloupci jsou hodnoty marginální pravděpodobnostní funkce p 2 (y) náhodné veličiny Y a v přidaném řádku pak hodnoty marginální pravděpodobnostní funkce p 1 (x) náhodné veličiny X. Závislost či nezávislost otestujeme z podmínky p(x, y) = p 1 (x)p 2 (y), kterou jsme pro nezávislost náhodných veličin odvodili ve větě Ověříme postupně zda platí rovnost pro jednotlivá políčka. Pro hodnoty v prvním řádku dostaneme: v druhém řádku dostaneme 0, 06 = 0, 6.0, 1; 0, 3 = 0, 6.0, 5; 0, 24 = 0, 6.0, 4; 0, 04 = 0, 4.0, 1; 0, 2 = 0, 4.0, 5; 0, 16 = 0, 4.0, 4. Protože podmínka pro nezávislost je splněna pro všechny dvojice hodnot náhodného vektoru (X, Y ) z tabulky, jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. II. Spojité rozdělení. Poznámka: V souladu s pojmem spojitého rozdělení u náhodné veličiny zavádíme stejným způsobem spojité rozdělení náhodného vektoru Definice: Spojité rozdělení. Říkáme že náhodný vektor (X, Y ) má spojité rozdělení jestliže pro jeho sdruženou distribuční funkci F (x, y) platí: F (x, y) = x y f(u, v)dudv, (x, y) R 2. Funkci f(x, y) nazýváme sdruženou hustotou náhodného vektoru (X, Y ) Věta: Vlastnosti sdružené hustoty. Funkce f(x, y) je sdruženou hustotu náhodného vektoru (X, Y ) právě když platí: 59

6 1. Je f(x, y) 0 pro (x, y) R Je f(x, y)dxdy = 1. Pro sdruženou hustotu f(x, y) dále platí: 3. f(x, y) = 2 F x y (x, y) pro skoro všechna (x, y) R2. 4. Pro A R 2 je P ((X, Y ) A) = f(x, y) dxdy. A Věta: Marginální rozdělení. Jestliže má náhodný vektor (X, Y ) spojité rozdělení určené sdruženou hustotu f(x, y), pak pro jeho marginální distribuční funkce platí: X; F 1 (x) = x ( f(u, y) du)dy, x R; Y ; F 2 (y) = y ( f(x, v) dv)dx, y R. Marginální náhodné veličiny X a Y mají spojité rozdělení a pro jejich hustoty platí: X : f 1 (x) = Y : f 2 (y) = f(x, y) dy, x R; f(x, y) dx, y R. Důkaz: Tvrzení vyplývá z definice pojmů a z věty Je x y x F 1 (x) = lim F (x, y) = lim f(u, v)dudv = ( f(u, y) dy)du, x R. y y Ze vztahu f 1 (x) = F 1 (x) a ze vzorce pro derivaci funkce horní meze plyne vzorec pro funkci f 1 (x) Definice: Marginální hustoty. Hustoty f 1 (x) a f 2 (y) z věty se nazývají marginální Definice: Nezávislost náhodných veličin. Říkáme, že jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé, jestliže jsou náhodné jevy (X x) a (Y y) nezávislé pro všechny hodnoty x a y z R. V opačném případě nazýváme náhodné veličiny závislými Věta: Podmínka pro nezávislost. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě když platí: F (x, y) = F 1 (x) F 2 (y) pro (x, y) R 2, kde F (x, y) je sdružená distribuční funkce náhodného vektoru (X, Y ) a F 1 (x), resp. F 2 (y), jsou marginální distribuční funkce náhodné veličiny X, resp. Y. 60

7 Důkaz: Tvrzení vyplývá z definice nezávislosti náhodných jevů a z významů uvedených pojmů. Platí totiž pro nezávislost jevů (X x) a (Y ) následující ekvivalence: P ((X x) (Y y)) = P (X x) P (Y y) F (x, y) = F 1 (x) F 2 (y), (x, y) R 2. Poznámka: Pro náhodný vektor (X, Y ), který má spojité rozdělení plyne z podmínky z věty tato podmínka nezávislosti pro hustoty: f(x, y) = 2 F x y = ( x y (F 1(x) F 2 (y))) = F 1(x) F 2(y) = f 1 (x) f 2 (y), (x, y) R 2. Odtud tedy plyne tvrzení Věta: Spojitě rozdělené náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě když pro jejich marginální a sdruženou hustotu platí: f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y), (x, y) R Věta: Pro náhodné veličiny X a Y platí: 1. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 2. Jsou-li náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak platí: E(XY ) = E(X)E(Y ). Důkaz: Odvození provedeme například pro spojité rozdělení. Označíme-li po řadě f(x, y), f 1 (x) a f 2 (y) sdruženou hustotu náhodného vektoru (X, Y ), marginální hustotu náhodné veličiny X a marginální hustotu náhodné veličiny Y, pak je E(X + Y ) = (x + y)f(x, y) dxdy = xf(x, y) dxdy + yf(x, y) dxdy = R 2 R 2 R 2 = = ( x ) f(x, y) dy dx + x f 1 (x)dx + ( ) y f(x, y) dx dy = yf 2 (y) dy = E(X) + E(Y ). Jsou-li náhodné veličiny X a Y nezávislé je podle věty f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y) a tedy E(XY ) = xyf(x, y) dxdy = (xf 1 (x))(yf 2 (y)) dxdy = R 2 R 2 = x f 1 (x)dx yf 2 (y) dy = E(X)E(Y ). Poznámka: Pro náhodné veličiny X a Y sledujeme často jejich závislost a podobně jako u vlastností jedné náhodné veličiny se ji snažíme popsat číselnou hodnotou. Činíme tak pomocí koeficientů kovariance a korelace Definice: Koeficient kovariance. Je-li (X, Y ) náhodný vektor, pak koeficientem kovariance náhodných veličin X a Y nazýváme číslo C(X, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))). 61

8 Věta: Vlastnosti kovariance. Pro koeficient kovariance náhodných veličin X a Y platí: a) C(X, X) = D(X). b) C(X, Y ) = C(Y, X). c) C(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). d) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak C(X, Y ) = 0. e) Je-li C(X, Y ) 0, pak jsou náhodné veličiny X a Y jsou závislé. f) C(X, ax + b) = ad(x). Důkaz: Tvrzení a) b) jsou zřejmá. c) Je C(X, Y ) = E(XY XE(Y ) Y E(X) + E(X)E(Y )) = = E(XY ) E(X)E(Y ) E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). d) Z věty 10.9 plyne, že pro nezávislé náhodné veličiny X a Y je E(XY ) = E(X)E(Y ), tedy podle c) je C(X, Y ) = 0. e) Tvrzení je negací tvrzení d). Pokud by byly náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak musí být C(X, Y ) = 0. f) Pro Y = ax + b z vlastností střední hodnoty vyplývá, že C(X, Y ) = E(X(aX + b)) E(X)E(aX + b) = ae(x 2 ) + be(x) a(e(x)) 2 be(x) = a(e(x 2 ) (E(X)) 2 ) = ad(x). Poznámka: K popisu závislosti náhodných veličin používáme normovaný koeficient, který je odvozen z koeficientu kovariance Definice: Koeficient korelace. Pro náhodné veličiny X a Y nazýváme koeficientem korelace číslo ρ(x, Y ) = C(X, Y ). D(X)D(Y ) Věta: Vlastnosti koeficientu korelace. Pro koeficient korelace náhodných veličin X a Y platí: a) ρ(x, X) = 1; b) ρ(x, Y ) = ρ(y, X); c) Je-li ρ(x, Y ) 0, pak jsou náhodné veličiny X a Y závislé. d) Pro nezávislé náhodné veličiny X a Y je ρ(x, Y ) = 0. e) ρ(x, ax + b) = sgn a = a a ; f) ρ(x, Y ) 1; g) ρ(x, Y ) = ±1 Y = ax + b. Důkaz: Tvzení a) - e) plynou snadno z vlastností koeficientu kovariance z věty Důkazy tvrzení e) a f) jsou pracnejší, nebudeme je zde uvádět. Poznámka: Z vlastností f) a g) plyne, že koeficient korelace je vlastně mírou lineární závislosti náhodných veličin. 62

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Matematika pro ekonomy

Matematika pro ekonomy Matematika pro ekonomy Karel Hrach Matematika pro ekonomy VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU Praha 2007 Matematika pro ekonomy Karel hrach Copyright Vysoká škola ekonomie a managementu 2007. Vydání první.

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

1.1 Úvod... 1 1.2 Data... 1. 3 Statistická analýza dotazníkových dat 8. Literatura 10

1.1 Úvod... 1 1.2 Data... 1. 3 Statistická analýza dotazníkových dat 8. Literatura 10 MÍRY STATISTICKÉ VAZBY, VÝBĚROVÁ ŠETŘENÍ, STATISTICKÁ ANALÝZA DOTAZNÍKOVÝCH DAT Obsah 1 Statistická data 1 1.1 Úvod.......................................... 1 1. Data...........................................

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 3 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme základní statistiky, typy proměnných a začali analýzu kvalitativních dat Tyhle termíny by měly být známé: Histogram, krabicový graf

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více