Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravděpodobnost a aplikovaná statistika"

Transkript

1 Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA

2 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost je založena na porovnání délky, ploch či objemů geometrických útvarů. Pro 2D platí P A = ω S P n = n! čeho je to vzorec a uveďte příklad aplikace Permutace n prvků je každá uspořádaná n-tice vytvořená z těchto prvků. Každý z n prvků se v této n-tici vyskytuje právě jednou. Jednotlivé permutace se od sebe liší pouze pořadím prvků.

3 Přehled témat 1. Pravděpodobnost (definice, využití, výpočet pravděpodobností náhodných jevů) 2. Podmíněná pravděpodobnost 3. Náhodná veličina 4. Statistické charakteristiky (3. a 4. týden) 5. Slabý zákon velkých čísel 6. Centrální limitní věta (teorém) 7. Bodový a intervalový odhad 8. Testování hypotéz 9. Korelace a regrese

4 2. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Domácí úkol č. 1 (20 bodů) Definujte pojem Uveďte jeho využití Případně ukažte na jednoduchém příkladu Odešlete elektronicky do stanoveného termínu

5 2.1 Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnost realizace jevu A, za předpokladu, že nastal jev B P B > 0 Definuje se vztahem P(A B) P A B = P(B) Pro nezávislé jevy A, B platí P A B = P(A), protože P(A B) P(A) P(B) P A B = = = P(A) P(B) P(B) Platí, že pokud P B > 0, pak P(A B) = P A A, B jsou nezávislé. Příklad: Dvakrát hodíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že součet přesáhne 10, víme-li, že padla (aspoň jedna) šestka? Řešení: P[součet > 10 min 1 6] = 6,5, 6,6, 5, = 3 11 = 0,27

6 2.2 Statistická nezávislost Je-li P A B = P(A), pak můžeme říci, že jev A je nezávislý na jevu B. Tato nezávislost je oboustranná, tj. je-li jev A nezávislý na jevu B, pak i jev B je nezávislý na jevu A. Pro nezávislé jevy tedy platí: P A B = P(A) P B A = P B. Platí-li, že jevy A a B jsou nezávislé, pak P A B = P(A) P(B) Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly pětky, víme-li, že součet hodnot je dělitelný pěti? Řešení: A padnou 2 pětky, B součet je dělitelný 5 P A B = 1, P B = P(A B) P A B = 36 = = 1 P(B) 7 7 = 0,14 36

7 2.2 Statistická nezávislost A padnou 2 pětky B součet je dělitelný 5 {[1,4],[2,3],[3,2],[4,1],[4,6],[5,5],[6,4]} P A B = 1 36, P B = 7 36 P A B = Příklad: Jsou uvedené jevy závislé či nezávislé? = 1 7 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Řešení: P A = 1, P B = 7 7 P A P B = 1 = P A B P A B = 1 1 = P A jevy jsou závislé 7 36 P B A = 1/36 = 1 7 = P B jevy jsou závislé tento krok je intuitivní 1/36 36

8 2.3 Míra statistické závislosti KOVARIANCE pro dvě náhodné veličiny X a Y Kovariance vyjadřuje souvislosti (závislosti) mezi jednotlivými veličinami σ X,Y = cov X, Y = E X X [Y Y] σ X,Y = cov X, Y = E XY E X E Y Pozn.: σ X,X = cov X, X = E X X X X = E X X 2 = var(x) Kovariance může nabývat jakýchkoliv reálných hodnot, ale pro dvě konkrétní veličiny musí platit cov 2 X, Y var(x) var(y) Pokud jsou X a Y nezávislé, pak cov X, Y = 0, neboť pro nezávislé veličiny platí, že E XY = E X E Y POZOR! Tvrzení neplatí opačně z nulové kovariance nelze nic usuzovat o nezávislosti

9 2.3 Míra statistické závislosti KOVARIANČNÍ MATICE Zobrazuje kovariance mezi n veličinami X 1,, X n = σ 11 σ 12 σ 1n σ 21 σ 22 σ 2n, σ ij jsou kovariance, σ ij = cov X i, X j = E X i X i [X j X j ] σ n1 σ n2 σ nn Pokud jsou X i a X j nezávislé, pak cov X i, X j = 0 Platí následující: 1) σ ii = cov X i, X i = var(x i ) a diagonální prvky matice představují rozptyly veličin 2) σ ij = σ ji (z definice) a kovarianční matice je tedy symetrická 3) pokud X i i X j vykazují často nadprůměrné hodnoty => cov X i, X j > 0 4) pokud X i i X j vykazuje často podprůměrné (malé) hodnoty => cov X i, X j > 0 5) pokud jedna z veličin vykazuje malé a druhá velké hodnoty => cov X i, X j < 0

10 2.3 Míra statistické závislosti KORELAČNÍ MATICE (matice korelačních koeficientů) Vzniká normováním kovariancí směrodatnými odchylkami σ i = var(x i ) a σ j = var(x j ) ρ = corr X i, X j = cov X i,x j var(x i ) var(x j ) = σ ij σ i σ j na rozdíl od kovariance nezávisí korelace na jednotkách a měřítku jeho hodnota se nezmění lineární transformací, tj. když místo X 1 použijeme Y 1 = a + b X 1 a místo X 2 použijeme Y 2 = c + d X 2 => corr X 1, X 2 = corr Y 1, Y 2 corr X i, X j 1,1

11 2.4 Bayesův vzorec Bayesův teorém či Bayesova věta Ukazuje, jak podmíněná pravděpodobnost jevu A souvisí s opačnou podmíněnou pravděpodobností Vzorec tedy slouží k výpočtu podmíněné pravděpodobnosti P(B A). Předpokládá, že známe opačnou pravděpodobnost, tedy P(A B). P(A B) P(B) P B A = P(A) Poprvé Thomas Bayes (1763 vydáno 2 roky po jeho smrti) Nezávisle na něm Pierre-Simon Laplace (1774)

12 2.4 Bayesův vzorec Celou teorii lze rozšířit a odvodit tak tzv. Bayesův vzorec Bayesův vzorec slouží k výpočtu podmíněné pravděpodobnosti P(B i A). Předpokládá, že známe opačnou pravděpodobnost, tedy P(A B i ). Je založen na větě o násobení pravděpodobností a úplné pravděpodobnosti. P B i A = P(A B i) P(B i ) n P(A B j ) P(B j ) j=1, i = 1,2,, n. P B A = P(A B) P(B) P(A)

13 2.4 Bayesův vzorec Příklad: Víme, že 90 % výrobků odpovídá požadovanému standardu. Byla zavedena zjednodušená kontrolní zkouška, která u standardního výrobku dá kladný výsledek s pravděpodobnosti 95 %, ale u nestandardního výrobku s pravděpodobností 20 %. Jaká je pravděpodobnost, že u výrobku, který kladně prošel zkouškou se jedná o standardní výrobek? Řešení: jev A zkouška výrobku dopadla kladně, jev B 1 výrobek je standardní: P B 1 = 0,9, jev B 2 výrobek není standardní P B 2 = 0,1 P A B 1 = 0,95 P A B 2 = 0,20 P B 1 A = P A B 1 P B 1 P A B 1 P B 1 + P A B 2 P B 2 = 0,95 0,9 0,95 0,9 + 0,20 0,1 = 0,977

14 3. Náhodná veličina Náhodná veličina je reálná funkce X(ω), která je definována na množině elementárních jevů Ω. Co to je elementární jev? Náhodný jev, který nelze vyjádřit jako sjednocení dvou možných jevů. Náhodný jev, který není možné dále rozložit. Elementární jevy představují jednotlivé základní (elementární) výsledky náhodného pokusu. Každému elementárnímu jevu ω z množiny elementárních jevů Ω přiřazuje právě jedno reálné číslo X ω = x. Obor hodnot veličiny X, je množina M = x; X ω = x.

15 3.1 Diskrétní náhodná veličina Náhodná veličina je reálná funkce X(ω), která je definována na množině elementárních jevů Ω. Každému elementárnímu jevu ω z množiny elementárních jevů Ω přiřazuje právě jedno reálné číslo X ω = x. Obor hodnot veličiny X, je množina M = x; X ω = x. Diskrétní (nespojitá) veličina M je konečná nebo spočetná množina Příklady: počet rozbitých lahví s zásilce 1000 ks, počet narozených dívek mezi 100 novorozeňaty,

16 3.1 Diskrétní náhodná veličina Náhodná veličina je reálná funkce X(ω), která je definována na množině elementárních jevů Ω. Každému elementárnímu jevu ω z množiny elementárních jevů Ω přiřazuje právě jedno reálné číslo X ω = x. Obor hodnot veličiny X, je množina M = x; X ω = x. Diskrétní (nespojitá) veličina M je konečná nebo spočetná množina Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny X je popsáno rozdělením pravděpodobnosti náhodné veličiny X Toto rozdělení je v diskrétním případě dáno: Výčtem (seznamem) všech hodnot, kterých může veličina X nabývat (označme tyto hodnoty x i ) Pravděpodobnostmi, s jakými veličina těchto hodnot nabývá (označme P X = x i = p i )

17 3.2 Spojitá náhodná veličina Náhodná veličina je reálná funkce X(ω), která je definována na množině elementárních jevů Ω. Každému elementárnímu jevu ω z množiny elementárních jevů Ω přiřazuje právě jedno reálné číslo X ω = x. Obor hodnot veličiny X, je množina M = x; X ω = x. Spojitá veličina M je uzavřený nebo otevřený interval Příklady: doba čekání na vlak metra, který jezdí v 3 minutových intervalech; hodnota elektrického napětí v rozvodné síti;

18 3.3 Rozdělení náhodné veličiny Diskrétní Alternativní rozdělení (X nabývá pouze dvou hodnot 0 nebo 1) Binomické rozdělení (n pokusů se stejnou pravděpodobností) Negativně binomické rozdělení Pascalovo rozdělení (speciální případ negativně binomického rozdělení) Geometrické rozdělení (speciální případ Pascalova rozdělení) Hypergeometrické rozdělení Logaritmické rozdělení Poissonovo rozdělení Spojitá Rovnoměrné rozdělení Exponenciální rozdělení Laplaceovo rozdělení (nebo také dvojitě exponenciální rozdělení) Normální rozdělení (označované také jako Gaussovo rozdělení) Logaritmicko-normální rozdělení (také lognormální rozdělení) Studentovo rozdělení Fischerovo-Snedecorovo rozdělení χ 2 rozdělení (Chí kvadrát) Cauchyho rozdělení Gamma rozdělení Logistické rozdělení Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení

19 3.3 Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X Toto rozdělení je v diskrétním případě dáno: Výčtem (seznamem) všech hodnot, kterých může veličina X nabývat (označme tyto hodnoty x i ) Pravděpodobnostmi, s jakými veličina těchto hodnot nabývá (označme P X = x i = p i ) Toto rozdělení je ve spojitém případě dáno: Popisem hustoty pravděpodobnosti f(x) (viz kap. 2.8) nebo Popisem distribuční funkce F(x) (viz kap. 2.9)

20 3.4 Hustota Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X je nezáporná funkce f(x) taková, že P X x = F x = Funkce f x má tyto vlastnosti: f x dx = M f x dx =1 f x = df(x) dx x = F x, kde existuje derivace f t dt, x R P x 1 X x 2 = P x 1 < X < x 2 = P x 1 < X x 2 = P x 1 X < x 2 = x F x 2 F x 1 = 2 x1 f x dx

21 3.5 Distribuční funkce Distribuční funkce F(x) náhodné veličiny X přiřazuje každému reálnému číslu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné číslu x, tedy F x = P(X x) Důležité vlastnosti: Pro každé reálné číslo x platí 0 F x 1 F(x) je neklesající, zprava spojitá funkce Pro každou distribuční funkci platí: lim F x = 0, lim F x = 1 x x Pro každá reálná čísla x 1 a x 2 platí P x 1 < X x 2 = F x 2 F(x 1 )

22 3.6 Náhodný vektor Výsledkem náhodného pokusu není většinou jen jedno jediné číslo, ale n-tice reálných čísel (např. pohyb bodu v prostoru a záznam souřadnic x, y, z). Pozorováním tohoto pokusu dostáváme n-tici náhodných veličin X = (X 1, X 2,, X n ) T a tu nazýváme náhodným vektorem (pro uvedený příklad to je trojice souřadnic). Pokud v našem případě budou všechny složky diskrétní, pak můžeme říci, že vektor X = (X 1, X 2,, X n ) T má vícerozměrné (sdružené) diskrétní rozdělení.

23 3.7 Náhodný výběr Náhodný výběr o rozsahu n je posloupnost nezávislých náhodných veličin X 1, X 2,, X n se stejným rozdělením. Je možné ho chápat jako vektor X = (X 1, X 2,, X n ). Vlastní realizaci pak budeme značit jako x = x 1, x 2,, x n. Naměřené hodnoty, neboli pozorování či vstupní data, x 1, x 2,, x n. Protože jsou náhodné veličiny X 1, X 2,, X n nezávislé a mají stejné rozdělení, platí pro distribuční funkci F(x) náhodného výběru F x = F x 1 F x 2 F x n, x i R

24 3.8 Uspořádaný náhodný výběr Nechť X 1, X 2,, X n náhodný výběr (např. výšky mužů) Setřídíme hodnoty podle velikosti (např. od nejmenší po největší) X (1), X (2),, X (n) uspořádaný výběr, X (1) X (2), X (n), kde X (1) = min, X (n) = max, X (i) i-tá pořádková statistika (od slova pořadí) Pro uspořádaný výběr pak lze určit min, max, medián, modus, kvantil (percentil), kvartil apod.

25 3.9 Rozdělení náhodného vektoru Říkáme, že náhodný vektor x = (x 1,, x n ) T má vícerozměrné rozdělení Pro diskrétní rozdělení: Pravděpodobnostní funkce p(x) náhodného výběru (jednotlivé pokusy jsou nezávislé) v případě diskrétního rozdělení veličin X 1, X 2,, X n je p x = p x 1 p(x 2 ) p(x n ), x i R Vícerozměrné diskrétní rozdělení je dáno výčtem všech vektorů (x 1,, x n ) T a příslušnými pravděpodobnostmi P(X 1 = x 1,, X n = x n )

26 3.9 Rozdělení náhodného vektoru Říkáme, že náhodný vektor x = (x 1,, x n ) T má vícerozměrné rozdělení Pro spojité rozdělení: Náhodný vektor x = (x 1,, x n ) T má spojité rozdělení, pokud existuje nezáporná reálná funkce f = (x 1,, x n ) taková, že b 1 b n P X 1 (a 1, b 1, X 2 a 2, b 2, X n a n, b n ) = f(x 1,, x n ) dx 1,, dx n a 1 a n Funkci f = (x 1,, x n ) nazýváme sdružená hustota

27 3.10 Marginální rozdělení Zajímá-li nás rozdělení menšího počtu souřadnic (velmi často jde o případ jedné souřadnice), pak se takovému rozdělení říká marginální. Marginální rozdělení veličiny X i je dáno pravděpodobnostmi P(X i = x i ) pro všechny hodnoty x i, kterých může veličina X i nabývat. Pro diskrétní rozdělení: Pravděpodobnost P(X i = x i ) se získá vysčítáním pravděpodobností P(X 1 = x 1,, X i 1 = x i 1, X i = x i, X i+1 = x i+1,, X n = x n ) přes všechny možné hodnoty x 1,, x i 1, x i+1,, x n, tj. x 1 x i 1 x i+1 x n P(X 1 = x 1,, X i 1 = x i 1, X i = x i, X i+1 = x i+1,, X n = x n )

28 3.10 Marginální rozdělení Zajímá-li nás rozdělení menšího počtu souřadnic (velmi často jde o případ jedné souřadnice), pak se takovému rozdělení říká marginální. Marginální rozdělení veličiny X i je dáno pravděpodobnostmi P(X i = x i ) pro všechny hodnoty x i, kterých může veličina X i nabývat. Pro spojité rozdělení: Analogicky: hustota f i (x i ) pro jedinou složku se získá integrováním sdružené hustoty f x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n přes všechny ostatní proměnné x 1,, x i 1, x i+1,, x n, tj. b 1 b n f x 1,, x n f i x i = dx 1. dx i 1, dx i+1. dx n a 1 a n Uvedená hustota se nazývá marginální hustota.

29 3.11 Sdružená hustota Náhodný vektor X = (X 1, X 2,, X n ) T má rozdělení spojitého typu, existuje-li nezáporná reálná funkce f(x 1, x 2,, x n ) taková, že P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2,, X n a n, b n b 1 b 2 b n = f x 1, x 2,, x n dx 1 dx 2 dx n a 1 a 2 Funkci f x 1, x 2,, x n Musí platit: a n pak nazýváme sdružená hustota. f x 1, x 2,, x n dx 1 dx 2 dx n = 1

30 3.11 Sdružená hustota

31 3.12 Marginální hustota Náhodný vektor X = (X 1, X 2,, X n ) T má rozdělení spojitého typu, existuje-li nezáporná reálná funkce f(x 1, x 2,, x n ) taková, že P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2,, X n a n, b n = b 1 b 2 b n f x 1, x 2,, x n dx 1 dx 2 dx n a 1 a 2 a n Funkci f x 1, x 2,, x n pak nazýváme sdružená hustota. Musí platit: f x 1, x 2,, x n dx 1 dx 2 dx n = 1 Hustota f i (x i ) pouze jedné složky X i se získá ze sdružené hustoty: f i x i = f x 1, x 2,, x n dx 1 dx i 1 dx i+1 dx n Této hustotě se říká marginální hustota veličiny X i

32 3.13 Podmíněné rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,, X n ) T má rozdělení spojitého typu, existuje-li nezáporná reálná funkce f(x 1, x 2,, x n ) taková, že b 1 b 2 b n f x 1, x 2,, x n P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2,, X n a n, b n = dx 1 dx 2 dx n Funkci f x 1, x 2,, x n pak nazýváme sdružená hustota. a 1 a 2 a n Marginální hustota veličiny X i : f i x i = f x1, x 2,, x n dx 1 dx i 1 dx i+1 dx n Pro dvě veličiny: X = (X 1, X 2 ) T P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2 b = 1 b 2 a1 f x a 2 1, x 2 dx 1 dx 2 f 2 x 2 = f x1, x 2 dx 1

33 3.13 Podmíněné rozdělení náhodného vektoru Pro dvě veličiny: X = (X 1, X 2 ) T P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2 b = 1 b 2 a1 f x a 2 1, x 2 dx 1 dx 2 f 2 x 2 = f x1, x 2 dx 1 Podmíněná hustota pravděpodobnosti f x 1 x 2 veličiny X 1 za podmínky X 2 = x 2 f x 1 x 2 = f x 1, x 2, f f 2 x 2 x 2 > 0 2 Podmíněná pravděpodobnost P X 1 A X 2 = x 2 = A f x 1 x 2 dx 1

34 3.14 Lineární kombinace náhodných veličin X a Y pro libovolné X a Y pro nezávislé náhodné veličiny X a Y E c = c E X + Y = E X + E Y E X Y = E X E Y E ax = ae X var ax + by = a 2 var X + b 2 var Y E a + bx = a + be X var X + Y = var X + var Y E ax + by = ae X + be Y var X Y = var X + var Y var c = 0 var ax = a 2 var X var a + bx = b 2 varx var ax + by = a 2 var X + 2ab cov X, Y + b 2 var Y

35 3.15 Absolutní a relativní četnost Úkolem mat. statistiky je zpracování dat, která vykazují náhodné kolísání Pozorování = naměřené hodnoty, vstupní data Absolutní četnost = počet pozorování, která nabývají daných hodnot (n i ) Rozsah souboru = počet všech pozorování n = i n i Relativní četnost = podíl absolutní četnosti na rozsahu souboru r i = n i n - platí i r i = i n i n = 1 n n i = 1 n n = 1 - často udávaná v % (podíl výsledků s danou hodnotou) absolutní či relativní četnost lze zobrazit v histogramu

36 3.15 Absolutní a relativní četnost z konstantního vzorku lze určit některé statistiky (průměrnou výšku, nejvyšší, nejnižší výšku ) = popisné statistiky k závěrům o populaci je třeba použít TEORII PRAVDĚPODOBNOSTI, neboť výsledky náhodných pokusů se chovají jako náhodné veličiny (tzn. relativní četnost odpovídá pravděpodobnosti, že náhodná veličina nabývá příslušných hodnot)

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2010/2011 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta

Více

Vícerozměrná rozdělení

Vícerozměrná rozdělení Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2009/2010 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Zpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK

ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz POPISNÉ STATISTIKY - OPAKOVÁNÍ jedna kvalitativní

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Jevy a náhodná veličina

Jevy a náhodná veličina Jevy a náhodná veličina Výsledky některých jevů jsou vyjádřeny číselně -na hrací kostce padne číslo 1, 4, 6.., jiným jevům můžeme čísla přiřadit (stupeň školního vzdělání: ZŠ, SŠ, VŠ) Data jsme rozdělili

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více