Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
|
|
- Adam Tobiška
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA
2 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost je založena na porovnání délky, ploch či objemů geometrických útvarů. Pro 2D platí P A = ω S P n = n! čeho je to vzorec a uveďte příklad aplikace Permutace n prvků je každá uspořádaná n-tice vytvořená z těchto prvků. Každý z n prvků se v této n-tici vyskytuje právě jednou. Jednotlivé permutace se od sebe liší pouze pořadím prvků.
3 Přehled témat 1. Pravděpodobnost (definice, využití, výpočet pravděpodobností náhodných jevů) 2. Podmíněná pravděpodobnost 3. Náhodná veličina 4. Statistické charakteristiky (3. a 4. týden) 5. Slabý zákon velkých čísel 6. Centrální limitní věta (teorém) 7. Bodový a intervalový odhad 8. Testování hypotéz 9. Korelace a regrese
4 2. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Domácí úkol č. 1 (20 bodů) Definujte pojem Uveďte jeho využití Případně ukažte na jednoduchém příkladu Odešlete elektronicky do stanoveného termínu
5 2.1 Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnost realizace jevu A, za předpokladu, že nastal jev B P B > 0 Definuje se vztahem P(A B) P A B = P(B) Pro nezávislé jevy A, B platí P A B = P(A), protože P(A B) P(A) P(B) P A B = = = P(A) P(B) P(B) Platí, že pokud P B > 0, pak P(A B) = P A A, B jsou nezávislé. Příklad: Dvakrát hodíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že součet přesáhne 10, víme-li, že padla (aspoň jedna) šestka? Řešení: P[součet > 10 min 1 6] = 6,5, 6,6, 5, = 3 11 = 0,27
6 2.2 Statistická nezávislost Je-li P A B = P(A), pak můžeme říci, že jev A je nezávislý na jevu B. Tato nezávislost je oboustranná, tj. je-li jev A nezávislý na jevu B, pak i jev B je nezávislý na jevu A. Pro nezávislé jevy tedy platí: P A B = P(A) P B A = P B. Platí-li, že jevy A a B jsou nezávislé, pak P A B = P(A) P(B) Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly pětky, víme-li, že součet hodnot je dělitelný pěti? Řešení: A padnou 2 pětky, B součet je dělitelný 5 P A B = 1, P B = P(A B) P A B = 36 = = 1 P(B) 7 7 = 0,14 36
7 2.2 Statistická nezávislost A padnou 2 pětky B součet je dělitelný 5 {[1,4],[2,3],[3,2],[4,1],[4,6],[5,5],[6,4]} P A B = 1 36, P B = 7 36 P A B = Příklad: Jsou uvedené jevy závislé či nezávislé? = 1 7 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Řešení: P A = 1, P B = 7 7 P A P B = 1 = P A B P A B = 1 1 = P A jevy jsou závislé 7 36 P B A = 1/36 = 1 7 = P B jevy jsou závislé tento krok je intuitivní 1/36 36
8 2.3 Míra statistické závislosti KOVARIANCE pro dvě náhodné veličiny X a Y Kovariance vyjadřuje souvislosti (závislosti) mezi jednotlivými veličinami σ X,Y = cov X, Y = E X X [Y Y] σ X,Y = cov X, Y = E XY E X E Y Pozn.: σ X,X = cov X, X = E X X X X = E X X 2 = var(x) Kovariance může nabývat jakýchkoliv reálných hodnot, ale pro dvě konkrétní veličiny musí platit cov 2 X, Y var(x) var(y) Pokud jsou X a Y nezávislé, pak cov X, Y = 0, neboť pro nezávislé veličiny platí, že E XY = E X E Y POZOR! Tvrzení neplatí opačně z nulové kovariance nelze nic usuzovat o nezávislosti
9 2.3 Míra statistické závislosti KOVARIANČNÍ MATICE Zobrazuje kovariance mezi n veličinami X 1,, X n = σ 11 σ 12 σ 1n σ 21 σ 22 σ 2n, σ ij jsou kovariance, σ ij = cov X i, X j = E X i X i [X j X j ] σ n1 σ n2 σ nn Pokud jsou X i a X j nezávislé, pak cov X i, X j = 0 Platí následující: 1) σ ii = cov X i, X i = var(x i ) a diagonální prvky matice představují rozptyly veličin 2) σ ij = σ ji (z definice) a kovarianční matice je tedy symetrická 3) pokud X i i X j vykazují často nadprůměrné hodnoty => cov X i, X j > 0 4) pokud X i i X j vykazuje často podprůměrné (malé) hodnoty => cov X i, X j > 0 5) pokud jedna z veličin vykazuje malé a druhá velké hodnoty => cov X i, X j < 0
10 2.3 Míra statistické závislosti KORELAČNÍ MATICE (matice korelačních koeficientů) Vzniká normováním kovariancí směrodatnými odchylkami σ i = var(x i ) a σ j = var(x j ) ρ = corr X i, X j = cov X i,x j var(x i ) var(x j ) = σ ij σ i σ j na rozdíl od kovariance nezávisí korelace na jednotkách a měřítku jeho hodnota se nezmění lineární transformací, tj. když místo X 1 použijeme Y 1 = a + b X 1 a místo X 2 použijeme Y 2 = c + d X 2 => corr X 1, X 2 = corr Y 1, Y 2 corr X i, X j 1,1
11 2.4 Bayesův vzorec Bayesův teorém či Bayesova věta Ukazuje, jak podmíněná pravděpodobnost jevu A souvisí s opačnou podmíněnou pravděpodobností Vzorec tedy slouží k výpočtu podmíněné pravděpodobnosti P(B A). Předpokládá, že známe opačnou pravděpodobnost, tedy P(A B). P(A B) P(B) P B A = P(A) Poprvé Thomas Bayes (1763 vydáno 2 roky po jeho smrti) Nezávisle na něm Pierre-Simon Laplace (1774)
12 2.4 Bayesův vzorec Celou teorii lze rozšířit a odvodit tak tzv. Bayesův vzorec Bayesův vzorec slouží k výpočtu podmíněné pravděpodobnosti P(B i A). Předpokládá, že známe opačnou pravděpodobnost, tedy P(A B i ). Je založen na větě o násobení pravděpodobností a úplné pravděpodobnosti. P B i A = P(A B i) P(B i ) n P(A B j ) P(B j ) j=1, i = 1,2,, n. P B A = P(A B) P(B) P(A)
13 2.4 Bayesův vzorec Příklad: Víme, že 90 % výrobků odpovídá požadovanému standardu. Byla zavedena zjednodušená kontrolní zkouška, která u standardního výrobku dá kladný výsledek s pravděpodobnosti 95 %, ale u nestandardního výrobku s pravděpodobností 20 %. Jaká je pravděpodobnost, že u výrobku, který kladně prošel zkouškou se jedná o standardní výrobek? Řešení: jev A zkouška výrobku dopadla kladně, jev B 1 výrobek je standardní: P B 1 = 0,9, jev B 2 výrobek není standardní P B 2 = 0,1 P A B 1 = 0,95 P A B 2 = 0,20 P B 1 A = P A B 1 P B 1 P A B 1 P B 1 + P A B 2 P B 2 = 0,95 0,9 0,95 0,9 + 0,20 0,1 = 0,977
14 3. Náhodná veličina Náhodná veličina je reálná funkce X(ω), která je definována na množině elementárních jevů Ω. Co to je elementární jev? Náhodný jev, který nelze vyjádřit jako sjednocení dvou možných jevů. Náhodný jev, který není možné dále rozložit. Elementární jevy představují jednotlivé základní (elementární) výsledky náhodného pokusu. Každému elementárnímu jevu ω z množiny elementárních jevů Ω přiřazuje právě jedno reálné číslo X ω = x. Obor hodnot veličiny X, je množina M = x; X ω = x.
15 3.1 Diskrétní náhodná veličina Náhodná veličina je reálná funkce X(ω), která je definována na množině elementárních jevů Ω. Každému elementárnímu jevu ω z množiny elementárních jevů Ω přiřazuje právě jedno reálné číslo X ω = x. Obor hodnot veličiny X, je množina M = x; X ω = x. Diskrétní (nespojitá) veličina M je konečná nebo spočetná množina Příklady: počet rozbitých lahví s zásilce 1000 ks, počet narozených dívek mezi 100 novorozeňaty,
16 3.1 Diskrétní náhodná veličina Náhodná veličina je reálná funkce X(ω), která je definována na množině elementárních jevů Ω. Každému elementárnímu jevu ω z množiny elementárních jevů Ω přiřazuje právě jedno reálné číslo X ω = x. Obor hodnot veličiny X, je množina M = x; X ω = x. Diskrétní (nespojitá) veličina M je konečná nebo spočetná množina Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny X je popsáno rozdělením pravděpodobnosti náhodné veličiny X Toto rozdělení je v diskrétním případě dáno: Výčtem (seznamem) všech hodnot, kterých může veličina X nabývat (označme tyto hodnoty x i ) Pravděpodobnostmi, s jakými veličina těchto hodnot nabývá (označme P X = x i = p i )
17 3.2 Spojitá náhodná veličina Náhodná veličina je reálná funkce X(ω), která je definována na množině elementárních jevů Ω. Každému elementárnímu jevu ω z množiny elementárních jevů Ω přiřazuje právě jedno reálné číslo X ω = x. Obor hodnot veličiny X, je množina M = x; X ω = x. Spojitá veličina M je uzavřený nebo otevřený interval Příklady: doba čekání na vlak metra, který jezdí v 3 minutových intervalech; hodnota elektrického napětí v rozvodné síti;
18 3.3 Rozdělení náhodné veličiny Diskrétní Alternativní rozdělení (X nabývá pouze dvou hodnot 0 nebo 1) Binomické rozdělení (n pokusů se stejnou pravděpodobností) Negativně binomické rozdělení Pascalovo rozdělení (speciální případ negativně binomického rozdělení) Geometrické rozdělení (speciální případ Pascalova rozdělení) Hypergeometrické rozdělení Logaritmické rozdělení Poissonovo rozdělení Spojitá Rovnoměrné rozdělení Exponenciální rozdělení Laplaceovo rozdělení (nebo také dvojitě exponenciální rozdělení) Normální rozdělení (označované také jako Gaussovo rozdělení) Logaritmicko-normální rozdělení (také lognormální rozdělení) Studentovo rozdělení Fischerovo-Snedecorovo rozdělení χ 2 rozdělení (Chí kvadrát) Cauchyho rozdělení Gamma rozdělení Logistické rozdělení Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení
19 3.3 Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X Toto rozdělení je v diskrétním případě dáno: Výčtem (seznamem) všech hodnot, kterých může veličina X nabývat (označme tyto hodnoty x i ) Pravděpodobnostmi, s jakými veličina těchto hodnot nabývá (označme P X = x i = p i ) Toto rozdělení je ve spojitém případě dáno: Popisem hustoty pravděpodobnosti f(x) (viz kap. 2.8) nebo Popisem distribuční funkce F(x) (viz kap. 2.9)
20 3.4 Hustota Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X je nezáporná funkce f(x) taková, že P X x = F x = Funkce f x má tyto vlastnosti: f x dx = M f x dx =1 f x = df(x) dx x = F x, kde existuje derivace f t dt, x R P x 1 X x 2 = P x 1 < X < x 2 = P x 1 < X x 2 = P x 1 X < x 2 = x F x 2 F x 1 = 2 x1 f x dx
21 3.5 Distribuční funkce Distribuční funkce F(x) náhodné veličiny X přiřazuje každému reálnému číslu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné číslu x, tedy F x = P(X x) Důležité vlastnosti: Pro každé reálné číslo x platí 0 F x 1 F(x) je neklesající, zprava spojitá funkce Pro každou distribuční funkci platí: lim F x = 0, lim F x = 1 x x Pro každá reálná čísla x 1 a x 2 platí P x 1 < X x 2 = F x 2 F(x 1 )
22 3.6 Náhodný vektor Výsledkem náhodného pokusu není většinou jen jedno jediné číslo, ale n-tice reálných čísel (např. pohyb bodu v prostoru a záznam souřadnic x, y, z). Pozorováním tohoto pokusu dostáváme n-tici náhodných veličin X = (X 1, X 2,, X n ) T a tu nazýváme náhodným vektorem (pro uvedený příklad to je trojice souřadnic). Pokud v našem případě budou všechny složky diskrétní, pak můžeme říci, že vektor X = (X 1, X 2,, X n ) T má vícerozměrné (sdružené) diskrétní rozdělení.
23 3.7 Náhodný výběr Náhodný výběr o rozsahu n je posloupnost nezávislých náhodných veličin X 1, X 2,, X n se stejným rozdělením. Je možné ho chápat jako vektor X = (X 1, X 2,, X n ). Vlastní realizaci pak budeme značit jako x = x 1, x 2,, x n. Naměřené hodnoty, neboli pozorování či vstupní data, x 1, x 2,, x n. Protože jsou náhodné veličiny X 1, X 2,, X n nezávislé a mají stejné rozdělení, platí pro distribuční funkci F(x) náhodného výběru F x = F x 1 F x 2 F x n, x i R
24 3.8 Uspořádaný náhodný výběr Nechť X 1, X 2,, X n náhodný výběr (např. výšky mužů) Setřídíme hodnoty podle velikosti (např. od nejmenší po největší) X (1), X (2),, X (n) uspořádaný výběr, X (1) X (2), X (n), kde X (1) = min, X (n) = max, X (i) i-tá pořádková statistika (od slova pořadí) Pro uspořádaný výběr pak lze určit min, max, medián, modus, kvantil (percentil), kvartil apod.
25 3.9 Rozdělení náhodného vektoru Říkáme, že náhodný vektor x = (x 1,, x n ) T má vícerozměrné rozdělení Pro diskrétní rozdělení: Pravděpodobnostní funkce p(x) náhodného výběru (jednotlivé pokusy jsou nezávislé) v případě diskrétního rozdělení veličin X 1, X 2,, X n je p x = p x 1 p(x 2 ) p(x n ), x i R Vícerozměrné diskrétní rozdělení je dáno výčtem všech vektorů (x 1,, x n ) T a příslušnými pravděpodobnostmi P(X 1 = x 1,, X n = x n )
26 3.9 Rozdělení náhodného vektoru Říkáme, že náhodný vektor x = (x 1,, x n ) T má vícerozměrné rozdělení Pro spojité rozdělení: Náhodný vektor x = (x 1,, x n ) T má spojité rozdělení, pokud existuje nezáporná reálná funkce f = (x 1,, x n ) taková, že b 1 b n P X 1 (a 1, b 1, X 2 a 2, b 2, X n a n, b n ) = f(x 1,, x n ) dx 1,, dx n a 1 a n Funkci f = (x 1,, x n ) nazýváme sdružená hustota
27 3.10 Marginální rozdělení Zajímá-li nás rozdělení menšího počtu souřadnic (velmi často jde o případ jedné souřadnice), pak se takovému rozdělení říká marginální. Marginální rozdělení veličiny X i je dáno pravděpodobnostmi P(X i = x i ) pro všechny hodnoty x i, kterých může veličina X i nabývat. Pro diskrétní rozdělení: Pravděpodobnost P(X i = x i ) se získá vysčítáním pravděpodobností P(X 1 = x 1,, X i 1 = x i 1, X i = x i, X i+1 = x i+1,, X n = x n ) přes všechny možné hodnoty x 1,, x i 1, x i+1,, x n, tj. x 1 x i 1 x i+1 x n P(X 1 = x 1,, X i 1 = x i 1, X i = x i, X i+1 = x i+1,, X n = x n )
28 3.10 Marginální rozdělení Zajímá-li nás rozdělení menšího počtu souřadnic (velmi často jde o případ jedné souřadnice), pak se takovému rozdělení říká marginální. Marginální rozdělení veličiny X i je dáno pravděpodobnostmi P(X i = x i ) pro všechny hodnoty x i, kterých může veličina X i nabývat. Pro spojité rozdělení: Analogicky: hustota f i (x i ) pro jedinou složku se získá integrováním sdružené hustoty f x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n přes všechny ostatní proměnné x 1,, x i 1, x i+1,, x n, tj. b 1 b n f x 1,, x n f i x i = dx 1. dx i 1, dx i+1. dx n a 1 a n Uvedená hustota se nazývá marginální hustota.
29 3.11 Sdružená hustota Náhodný vektor X = (X 1, X 2,, X n ) T má rozdělení spojitého typu, existuje-li nezáporná reálná funkce f(x 1, x 2,, x n ) taková, že P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2,, X n a n, b n b 1 b 2 b n = f x 1, x 2,, x n dx 1 dx 2 dx n a 1 a 2 Funkci f x 1, x 2,, x n Musí platit: a n pak nazýváme sdružená hustota. f x 1, x 2,, x n dx 1 dx 2 dx n = 1
30 3.11 Sdružená hustota
31 3.12 Marginální hustota Náhodný vektor X = (X 1, X 2,, X n ) T má rozdělení spojitého typu, existuje-li nezáporná reálná funkce f(x 1, x 2,, x n ) taková, že P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2,, X n a n, b n = b 1 b 2 b n f x 1, x 2,, x n dx 1 dx 2 dx n a 1 a 2 a n Funkci f x 1, x 2,, x n pak nazýváme sdružená hustota. Musí platit: f x 1, x 2,, x n dx 1 dx 2 dx n = 1 Hustota f i (x i ) pouze jedné složky X i se získá ze sdružené hustoty: f i x i = f x 1, x 2,, x n dx 1 dx i 1 dx i+1 dx n Této hustotě se říká marginální hustota veličiny X i
32 3.13 Podmíněné rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,, X n ) T má rozdělení spojitého typu, existuje-li nezáporná reálná funkce f(x 1, x 2,, x n ) taková, že b 1 b 2 b n f x 1, x 2,, x n P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2,, X n a n, b n = dx 1 dx 2 dx n Funkci f x 1, x 2,, x n pak nazýváme sdružená hustota. a 1 a 2 a n Marginální hustota veličiny X i : f i x i = f x1, x 2,, x n dx 1 dx i 1 dx i+1 dx n Pro dvě veličiny: X = (X 1, X 2 ) T P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2 b = 1 b 2 a1 f x a 2 1, x 2 dx 1 dx 2 f 2 x 2 = f x1, x 2 dx 1
33 3.13 Podmíněné rozdělení náhodného vektoru Pro dvě veličiny: X = (X 1, X 2 ) T P X 1 a 1, b 1, X 2 a 2, b 2 b = 1 b 2 a1 f x a 2 1, x 2 dx 1 dx 2 f 2 x 2 = f x1, x 2 dx 1 Podmíněná hustota pravděpodobnosti f x 1 x 2 veličiny X 1 za podmínky X 2 = x 2 f x 1 x 2 = f x 1, x 2, f f 2 x 2 x 2 > 0 2 Podmíněná pravděpodobnost P X 1 A X 2 = x 2 = A f x 1 x 2 dx 1
34 3.14 Lineární kombinace náhodných veličin X a Y pro libovolné X a Y pro nezávislé náhodné veličiny X a Y E c = c E X + Y = E X + E Y E X Y = E X E Y E ax = ae X var ax + by = a 2 var X + b 2 var Y E a + bx = a + be X var X + Y = var X + var Y E ax + by = ae X + be Y var X Y = var X + var Y var c = 0 var ax = a 2 var X var a + bx = b 2 varx var ax + by = a 2 var X + 2ab cov X, Y + b 2 var Y
35 3.15 Absolutní a relativní četnost Úkolem mat. statistiky je zpracování dat, která vykazují náhodné kolísání Pozorování = naměřené hodnoty, vstupní data Absolutní četnost = počet pozorování, která nabývají daných hodnot (n i ) Rozsah souboru = počet všech pozorování n = i n i Relativní četnost = podíl absolutní četnosti na rozsahu souboru r i = n i n - platí i r i = i n i n = 1 n n i = 1 n n = 1 - často udávaná v % (podíl výsledků s danou hodnotou) absolutní či relativní četnost lze zobrazit v histogramu
36 3.15 Absolutní a relativní četnost z konstantního vzorku lze určit některé statistiky (průměrnou výšku, nejvyšší, nejnižší výšku ) = popisné statistiky k závěrům o populaci je třeba použít TEORII PRAVDĚPODOBNOSTI, neboť výsledky náhodných pokusů se chovají jako náhodné veličiny (tzn. relativní četnost odpovídá pravděpodobnosti, že náhodná veličina nabývá příslušných hodnot)
Téma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceNáhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2010/2011 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
Více2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).
1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2009/2010 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK
ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz POPISNÉ STATISTIKY - OPAKOVÁNÍ jedna kvalitativní
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Více2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.
Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.
VíceBakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceJevy a náhodná veličina
Jevy a náhodná veličina Výsledky některých jevů jsou vyjádřeny číselně -na hrací kostce padne číslo 1, 4, 6.., jiným jevům můžeme čísla přiřadit (stupeň školního vzdělání: ZŠ, SŠ, VŠ) Data jsme rozdělili
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
Více