Výuka matematiky v Norsku

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Výuka matematiky v Norsku Rigorózní práce Šárka Obrdlíková Brno 2013

2

3 Bibliografický záznam Autor: Šárka Obrdlíková Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Výuka matematiky v Norsku Studijní program: Matematika Studijní obor: Učitelství matematiky pro střední školy Akademický rok: 2013/2014 Počet stran: 65 Klíčová slova: didaktika matematiky, Norsko, matematická analýza, norský systém školství

4 Bibliographic Entry Author: Šárka Obrdlíková Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Title of Thesis: Mathematics Education in Norway Degree Programme: Mathematics Field of Study: Upper Secondary School Teacher Training in Mathematics Academic Year: 2013/2014 Number of Pages: 65 Key words: didactics of mathematics, Norway, calculus, norwegian education system

5 Abstrakt Tato práce se zabývá výukou matematiky v Norsku, přičemž zvláštní důraz je kladen na výuku matematické analýzy na středních školách gymnaziálního typu. V práci je nejprve stručně popsán norský vzdělávací systém a jeho hlavní principy a priority. Dále je předložen přehled učiva a stanovených kompetencí ve vzdělávací oblasti matematika, respektive v matematické analýze. Důležitou součástí vzdělávání v oblasti matematika je v Norsku také celostátní testování znalostí a dovedností žáků a studentů. V práci je vysvětlen systém písemných testů a pro lepší názornost je uvedeno několik konkrétních příkladů. V závěru jsou zařazeny příklady, které jsou v jistém ohledu specifické pro Norsko a tedy zajímavé z hlediska komparativní pedagogiky. Abstract This thesis deals with mathematics education in Norway with emphasis on calculus at grammar schools. Firstly, Norwegian education system with its main principles and priorities is briefly described. Secondly, summary of the main subject areas and competence aims in mathematics, especially in calculus, is presented. National exams are very important part of mathematics education in Norway. Thesis explains the examination system and contains several examples of exam exercises. Finally, mathematics exercises specific to Norway and interesting from the view of comparative education are included at the end of the thesis.

6 Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala paní prof. RNDr. Zuzaně Došlé, DSc. za cenné rady a připomínky. Dále bych chtěla poděkovat učitelům z norské střední školy Kristiansand Katedralskole Gimle, se kterými jsem měla možnost spolupracovat během mého pobytu v Norsku. Konkrétně jsou jimi především Tor Arne Mjølund, Hege Therese Syvertsen a Kjell Mjåland, kteří mi umožnili navštívit jejich výuku a poskytli své zkušenosti a komentáře k danému tématu. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji rigorózní práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. V Brně 14. října 2013 Šárka Obrdlíková

7 Obsah Úvod 8 1 Obecné principy vzdělávání v Norsku Vzdělávací systém v Norsku Srovnání s Českou republikou Vzdělávací obsah matematiky v Norsku Systém vzdělávání v oblasti matematika Učivo ve vzdělávací oblasti matematika Kompetence v matematické analýze Srovnání s Českou republikou Systém zkoušek a hodnocení Struktura písemných zkoušek a jejich hodnocení Ukázka příkladů z písemné zkoušky na úrovni 1P Ukázka příkladů z písemné zkoušky na úrovni R Příklady z norských učebnic Norské učebnice matematiky Příklady zajímavé z pohledu komparativní pedagogiky Zkušenosti s výukou Literatura 61

8 Úvod Úvod Cílem této práce je představit výuku matematiky v Norsku. Protože je však toto téma samo o sobě příliš rozsáhlé, je práce zaměřena pouze na oblast matematické analýzy na středních školách gymnaziálního typu. Motivací pro napsání práce zabývající se tímto tématem byl můj celkem jedenapůlroční pobyt v Norsku. Poprvé jsem se do Norska dostala v rámci jednosemestrálního studijního pobytu na Universitetet i Agder, a to díky programu Finanční mechanismy EHP/Norska. Během studia programu Comparative Educational Studies, který byl určen především pro zahraniční studenty, jsem měla možnost osobně navštívit konkrétní školy na všech stupních (tj. školku, základní školu i střední školu). Díky volitelnému předmětu School practice jsem navíc absolvovala několik hodin náslechů přímo ve výuce a díky tomu se seznámila se způsobem výuky matematiky dvou norských učitelů na střední škole Kristiansand Katedralskole Gimle. Během těchto hodin mne velice zaujal jejich přístup k výuce matematiky, který je v mnohém odlišný od toho, na co jsem byla zvyklá z České republiky. Týká se to především větší míry zapojení skupinové práce, využívání počítačů a také snaha, aby si studenti na co nejvíce postupů přišli sami (anglicky tzv. inquiry teaching). Protože jsem měla zájem, se o výuce matematiky v Norsku dozvědět co nejvíce, zažádala jsem o grant programu Comenius Asistentský pobyt a po jeho schválení jsem odjela do Norska pracovat jako asistentka učitelů matematiky na střední škole Kristiansand Katedralskole Gimle na celý školní rok 2011/2012. V rámci mého asistentství jsem spolupracovala se dvěma učiteli matematiky při výuce ve třech třídách, na třech různých úrovních. První z nich byla třída IB, konkrétně maturitní ročník. IB je zkratka pro speciální program International Baccalaureate, který zajišt uje jednotnou úroveň vzdělávání na mezinárodní úrovni a v němž je celá výuka 8

9 Úvod (kromě jazyků) vedena v anglickém jazyce. Více informací viz [1]. Další dvě třídy byly klasicky norské, nicméně vyučování matematiky v nich probíhalo v anglickém jazyce. Jednalo se o první ročník (konkrétně úroveň 1T) a třetí, tedy maturitní, ročník gymnázia (úroveň R2). Více o jednotlivých úrovních matematiky v Norsku viz kapitola 2.1. Nad rámec mého asistentského pobytu jsem pak ještě část roku vyučovala matematiku v prvním ročníku na úrovni 1P a navštívila několik hodin matematiky dalších úrovní. Práce je koncipována tak, aby čtenáře nejprve krátce seznámila se systémem vzdělávání v Norsku obecně. Poté se zaměřuje na oblast matematiky na středních školách gymnaziálního typu, dále konkrétněji na matematickou analýzu. Sestává ze čtyř kapitol, kde první je věnována již zmíněnému systému školství v Norsku a obsahuje také krátké srovnání s Českou republikou. Druhá kapitola se zabývá vzdělávacím obsahem matematiky na gymnáziích v Norsku. Konkrétněji rozebírá možnosti diferenciace studentů podle zvoleného stupně obtížnosti učiva a uvádí stanovené kompetence studentů v oblasti matematické analýzy. V závěru poskytuje srovnání s Českou republikou. Třetí kapitola je věnována systému národních zkoušek a hodnocení v Norsku, přičemž obsahuje ukázky z reálných testů použitých v roce 2011 na úrovni matematiky 1P a R2. Poslední kapitola poskytuje náhled do norských učebnic matematiky. Je v ní tedy stručně popsána jejich struktura a také uvedeny vybrané příklady z matematické analýzy, které jsou zajímavé z hlediska komparativní pedagogiky. Závěr kapitoly je doplněn o vlastní zkušenosti s výukou a komentáře norských učitelů k dané problematice. Práce je vysázena systémem L A TEX. 9

10 KAPITOLA 1. OBECNÉ PRINCIPY VZDĚLÁVÁNÍ V NORSKU Kapitola 1 Obecné principy vzdělávání v Norsku V této kapitole je uveden přehled systému školství v Norsku, který je v mnohém odlišný od toho českého. Liší se především délkou povinné školní docházky, která je v Norsku stanovena na 10 let. U předškolního a základního vzdělávání je navíc uveden krátký komentář týkající se výuky matematiky. 1.1 Vzdělávací systém v Norsku Hlavním principem norské vzdělávací politiky je umožnění vzdělávání pro všechny. Děti a mladí lidé tedy musí mít stejná práva na vzdělání - bez ohledu na jejich pohlaví, sociální nebo kulturní původ, speciální potřeby či místo, kde žijí (viz [2]). Z tohoto důvodu jsou státní školy, s výjimkou předškolního vzdělávání, bezplatné. Předškolní vzdělávání Jak již bylo řečeno v úvodu této kapitoly, státní školy v Norsku jsou bezplatné na všech stupních, s výjimkou školek, kde rodiče platí měsíční příspěvek. Tento příspěvek je však poměrně malý a bez problémů si ho mohou dovolit všichni pracující rodiče. Jeho výši si určuje vedení každé školky zvlášt, nicméně horní hranice je stanovena státem. V roce 2012 činila NOK (viz [3]), přičemž průměrný měsíční příjem pracujících na plný úvazek v roce 2012 byl NOK (viz [4]). Předškolní vzdělávání je určeno pro děti ve věku 0 5 let. Nejčastěji se ho však účastní děti ve věku 1 5 let, nebot mateřská dovolená trvá 44 týdnu (při vyplácení 10

11 KAPITOLA 1. OBECNÉ PRINCIPY VZDĚLÁVÁNÍ V NORSKU měsíční částky ve výši 100 % platu), nebo 54 týdnů (při vyplácení měsíční částky ve výši 80 % platu) věk Universitets- og høyskoleutdanning Vysokoškolské a vyšší odborné vzdělávání Yrkesfaglig utdanning Odborná praxe Videregående opplæring Střední vzdělávání Grunnskole Základní vzdělávání Barnehager Předškolní vzdělávání Obrázek 1.1: Vzdělávací systém v Norsku. Přestože je předškolní vzdělávání nepovinné, navštěvovalo školky na konci roku 2011 téměř 90 % dětí ve věku 1 5 let. Konkrétněji, 96,5 procent dětí ve věku 3 5 let navštěvovalo školky v roce 2011 (viz [5]). Městské úřady jsou zodpovědné za zajištění dostatečného počtu míst ve školkách pro všechny zájemce. Na úrovni předškolního vzdělávání je největší počet soukromých institucí. Zhruba 50 % školek je totiž soukromých. Avšak i na tyto soukromé školky se vztahuje maximální výše školného stanovená státem. Školky mají, podobně jako ostatní stupně vzdělávání, závazné kurikulum, které obsahuje sedm vzdělávacích oblastí (viz [6]). Jednou z nich je také oblast nazvaná Čísla, prostor, tvary, která má za úkol rozvíjet matematické uvažování dětí. V praxi to pak vypadá tak, že děti mají například za úkol najít v lese co nejvíce předmětů, které mají tvar trojúhelníku (větvičky, kameny apod.). Velký důraz je však kladen na nenásilnou formu výuky. Děti nesmí být do ničeho nuceny a v případě, že učitel vidí, že je daná aktivita nebaví, je třeba najít jinou. Hlavním cílem je přiblížit dětem matematiku jako praktickou a zábavnou vědu již v raném věku tak, aby ji nechápaly jako něco složitého a jejich vztah k tomuto předmětu byl později ve škole co nejlepší. 11

12 KAPITOLA 1. OBECNÉ PRINCIPY VZDĚLÁVÁNÍ V NORSKU Základní vzdělávání V roce 1997 byla stanovena délka povinné školní docházky v Norsku na 10 let. Děti nastupují do školy ve věku šesti let a ukončují ji v 16 letech. Povinná školní docházka je rozdělena na dva stupně. První stupeň obsahuje třídy 1 7 a na této úrovni probíhá hodnocení pouze slovní formou. Klasifikační stupnice od 1 do 6 je zavedena až na druhém stupni (tedy ve třídách 8 10), přičemž známka 1 odpovídá nejhoršímu, nedostatečnému výkonu žáka a známka 6 je naopak určena pro vynikající výsledky. Více o klasifikační stupnici viz tabulka 3.1 v kapitole 3.1. Jedním z povinných předmětů, který žáci studují již od první třídy je také matematika. V prvních čtyřech letech je hodinová dotace 560 šedesátiminutových hodin. V ročnících 5 7 je to 328 hodin a na druhém stupni pak 313 hodin. Vyučovací hodina však obvykle trvá 45 minut. Zajímavostí je, že již po prvních dvou letech školní docházky by žáci měly být schopni sbírat, třídit, zaznamenávat a ilustrovat jednoduchá data pomocí tabulek a sloupcových grafů. Na druhém stupni základní školy je pak zařazena kromě statistiky také kombinatorika a pravděpodobnost (podrobněji viz [7]). Středoškolské vzdělávání Od roku 1976 je středoškolské vzdělávání rozděleno do dvou hlavních směrů všeobecné obory a učební obory (norsky studieforberedende utdanningsprogram a yrkesfaglige utdanningsprogram). Všeobecné obory jsou dále rozděleny do tří programů: specializace v přírodních vědách, matematice, umění a jazycích, společenských vědách a ekonomii (norsky Utdanningsprogram for studiespesialisering med programområder for realfag, formgivingsfag og språk, samfunnsfag og økonomi), specializace ve sportu (norsky Utdanningsprogram for idrettsfag), specializace v hudbě, tanci a dramatickém umění (norsky Utdanningsprogram for musikk, dans og drama). Učební obory mají 9 programů. Každý žák, který dokončil povinnou školní docházku, má právo studovat střední školu. Studium na střední škole obvykle trvá 3 roky. Tyto tři roky studia 12

13 KAPITOLA 1. OBECNÉ PRINCIPY VZDĚLÁVÁNÍ V NORSKU jsou označovány jako Vg1, Vg2 a Vg3 (z norského Videregående opplaring, tj. středoškolské vzdělávání). Studium všeobecných oborů zajišt uje během těchto tří let takové vzdělání, které, po úspěšném složení závěrečné zkoušky, opravňuje ke vstupu na vysokou školu. Pokud se však student rozhodne pro některý z učebních oborů, pak je toto studium rozděleno do dvou částí (teoretické a praktické) a po jejich absolvování není student způsobilý k přijetí na vysokou školu. Teoretická část takovýchto oborů sestává z prvních dvou let studia na střední škole (Vg1 a Vg2 ). Poté následuje třetí rok, který je zaměřený čistě prakticky a může již probíhat v některém podniku či firmě. K těmto třem letům je k získání výučního listu obvykle požadována ještě jednoletá přímá pracovní zkušenost. V případě, že není možné zajistit dostatek míst pro vykonání praxe, jsou úřady povinny zajistit místo toho další rok výuky ve škole (Vg3 ). Norský vzdělávací systém dbá na prostupnost a rovné šance pro všechny. Proto, pokud se rozhodne student po ukončení některého z učebních oborů pro další vzdělávání na vysoké škole, je možné, aby se zúčastnil jednoletého doplňkového studia (Vg4 ), po jehož absolvování mu bude nástup na vysokou školu umožněn. 1.2 Srovnání s Českou republikou Největším rozdílem mezi norským a českým systémem vzdělávání je odlišná doba povinné školní docházky. Zatímco v České republice je stanovena na 9 let, v Norsku byla tato délka roku 1997 změněna na 10 let. Žáci v obou zemích nastupují do školy ve věku šesti let. Norští žáci tedy končí povinnou školní docházku o rok starší než čeští, tj. ve věku 16 let. Rozdíl je však vyrovnán ještě před nástupem na vysokou školu, nebot zatímco v České republice trvá středoškolské vzdělání ukončené maturitou 4 roky, v Norsku je délka takovéhoto studijního programu pouze 3 roky. Rozdílné jsou také hlavní myšlenky vzdělávání. V Norsku se řídí hesly Každý má právo na vzdělání. a Všichni jsme si rovni.. Tento fakt má za následek, že úřady jsou povinny zajistit místo na některé ze středních škol každému žákovi, který má ukončenou povinnou školní docházku a má o toto vzdělávání zájem. Samozřejmě se tak děje s ohledem na schopnosti a dovednosti daného žáka. 13

14 KAPITOLA 1. OBECNÉ PRINCIPY VZDĚLÁVÁNÍ V NORSKU Dalším důsledkem je organizace všeobecných (tedy maturitních) a učebních oborů v rámci jedné školy. Z tohoto důvodu v Norsku prakticky neexistují samostatná gymnázia tak, jak je známe z České republiky. Bude-li tedy v další textu uvedeno slovo gymnázium v kontextu Norska, bude tím myšlen všeobecný studijní program. Hlavní myšlenkou tohoto uspořádání je fakt, že se mají možnost setkávat jak ti studenti, kteří budou v budoucnu studovat na vysoké škole, tak i ti, kteří budou pracovat manuálně. Pokud se mezi těmito lidmi vytvoří přátelství již na střední škole, je pak pravděpodobné, že společnost bude stmelenější a nebudou se jedni vyvyšovat nad druhé. Princip, který funguje v České republice, kdy jsou gymnázia, jakožto školy pro ty nejlepší studenty, separovány od ostatních, je v Norsku tudíž nepřijatelný. Často jsou součástí takovéto smíšené školy také třídy pro studenty se speciálními potřebami. Případně jsou tito studenti začleněni částečně, nebo úplně do běžných tříd. Na úrovni základních škol to tedy znamená, že běžnou základní školu navštěvují i žáci se speciálními potřebami, kteří jsou bud přímo začleněni do klasických tříd, nebo navštěvují sice speciální třídu, ale s ostatními žáky školy se potkávají na chodbách a účastní se společného programu (např. školních vystoupení) v průběhu školního roku. Díky tomu jsou studenti bez speciálních potřeb zvyklí na studenty s tělesným i mentálním postižením, vědí, jak se k nim chovat a berou je jako zcela přirozenou součást norské společnosti. Tento přístup řadí Norsko mezi země s nejvyšší mírou integrace žáků a studentů se speciálními potřebami. Aby bylo co nejvíce vyhověno potřebám studentů na středních školách, poskytují studenti učitelům dvakrát do roka zpětnou vazbu. Učitel má povinnost s každým z žáků osobně mluvit a zjistit tak například to, jak studentovi vyhovují zvolené metody výuky a její tempo i jak se student cítí v kolektivu svých spolužáků. V praxi to vypadá tak, že učitel zadá třídě samostatnou práci a na chodbě před třídou postupně promlouvá s jednotlivými studenty, které si vyvolává ze třídy. Ačkoliv učitelé oceňují zpětnou vazbu, která je jim takto poskytována, stěžují si na to, že vše probíhá v rámci běžných vyučovacích hodin a oni o ně tímto přicházejí. V České republice je v současnosti hodně diskutovaným tématem problematika národního testování žáků na základních školách a jednotná úroveň maturity na středních školách. V Norsku je tradice národního testování a zkoušení studentů 14

15 KAPITOLA 1. OBECNÉ PRINCIPY VZDĚLÁVÁNÍ V NORSKU již pevně zakořeněná. Testování žáků, ve snaze zajistit v tak velké a rozmanité zemi stejnou úroveň vzdělávání, probíhá na základních školách každý podzim v 5., 8. a 9. ročníku. Testují se znalosti a dovednosti žáků ve čtení, počítání a anglickém jazyce. Národním zkouškám na středních školách se budeme více věnovat v kapitole 3. Jak také dále uvidíme, v Norsku je velká podpora práce s počítačem (a to nejen v hodinách matematiky). Studenti na středních školách jsou povinni některé zadané úkoly řešit výhradně s využitím výpočetní techniky. Učitelům a tvůrcům kurikula je tento přístup umožněn především proto, že každý středoškolský student dostává na začátku svého studia k dispozici notebook, který si od školy pronajímá za 800 NOK za rok. Stejnou částku však dostává od státu jako podporu na studium a pokud si takto pronajímá počítač po celou dobu svého tříletého studia, je mu na konci třetího ročníku tento počítač věnován. Všechny notebooky jsou navíc napojeny na školní tiskárny a školní internet. Značku notebooku vybírá škola a všem studentům je na začátku prvního ročníku poskytnut stejný počítač. Ve školním roce 2012/2013 navíc začalo probíhat testování projektu, v rámci něhož jsou studentům místo notebooků poskytnuty ipady, které by také měly nahradit učebnice. Tato zkušenost bude následně vyhodnocena a na jejím základě bude rozhodnuto o možném nahrazení počítačů, a případně také učebnic, touto technikou. 15

16 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU Kapitola 2 Vzdělávací obsah matematiky v Norsku Výuka matematiky na středních školách v Norsku je mnohem více diferencovaná, než jak je tomu v České republice. Tato práce je zaměřena na výuku matematiky na středních školách gymnaziálního typu. Proto se i následující text bude týkat diferenciace na úrovni gymnázií. 2.1 Systém vzdělávání v oblasti matematika V této kapitole je popsán norský systém matematického vzdělávání, který se od českého výrazně liší. Důraz je kladen na možnost volby a prostupnost mezi jednotlivými stupni obtížnosti. Pro lepší názornost je níže uvedena tabulka, do které jsou zaneseny všechny možnosti volby pro jednotlivé ročníky uspořádané podle náročnosti. Přitom nejobtížnější jsou předměty 1T, R1 a R2. 1. roč. 2. roč. 3. roč. 1T R1 R2 1P S1 S2 2T 2P Tabulka 2.1: Možnosti volby úrovně v jednotlivých ročnících Studium matematiky je povinné pouze v prvních dvou ročnících gymnázia. 16

17 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU V prvním ročníku mají studenti možnost volby mezi dvěma stupni obtížnosti. Těmi jsou Matematika 1P (více praktická varianta) a Matematika 1T (náročnější a více teoretická varianta). Názvy předmětů vychází z norských výrazů Matematikk praktisk (praktická matematika) a Matematikk teoretisk (teoretická matematika). Studenti si volí zcela dle svých zájmů a schopností. Nicméně vzhledem k tomu, jaký je systém přijímání studentů na vysoké školy, může tato volba zásadně ovlivnit jejich vstup na univerzitu. Například k přijetí na Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet (Technickou univerzitu v Trondheimu) je absolvování pouze nižší úrovně matematiky 1P v prvním ročníku nedostačující, nebot se od vyšší úrovně 1T liší skladbou učiva - viz tabulka 2.2. Hodinová dotace obou variant je stejná 140 šedesátiminutových hodin, případně odpovídající počet hodin jiné délky, za rok (viz [7]). Je třeba poznamenat, že ačkoliv jsou stanovené časové dotace předepsány v jednotkách šedesátiminutových hodin, každá škola si může tento celek rozdělit do vyučovacích hodin libovolné délky. V praxi tak většinou hodiny trvají, stejně jako v České republice, 45 minut. Hodiny jsou navíc obvykle spojovány do tzv. dvouhodinovky. Ti, kteří si zvolí nejkratší možnou, tedy dvouletou, variantu studia matematiky, si v druhém roce studia obvykle volí jednu z variant 2P, 2T. Naopak předměty S1 a R1 jsou určené těm, kteří se rozhodli ve studiu pokračovat i ve třetím ročníku. Hodinová dotace předmětů 2P a 2T je shodná, 84 šedesátiminutových hodin (viz [8]). Varianta 2T je opět více teoretická, nicméně mnoho škol tento předmět z důvodu nedostatku zájmu vůbec neotvírá. Studenti, kteří se již nechtějí ve třetím ročníku matematikou zabývat, si totiž raději volí nejjednodušší možnou variantu 2P. Ostatní se rozdělí do skupin S1 a R1, kde je hodinová dotace 140 šedesátiminutových hodin (viz [9] a [10]). Vzhledem k větší náročnosti předmětu R1 je pro studenty lepší před jejich studiem absolvovat předmět 1T. Není to však podmínkou. Název S1 vychází z norského Matematikk for samfunnsfag (matematika pro sociální vědy). Tento předmět je proto zaměřen více prakticky a určen studentům, kteří se budou v budoucnu zaměřovat spíše na humanitní studia. Varianta R1 (z norského Matematikk for realfag, tj. matematika pro přírodní vědy) je nejnáročnější možností ve druhém ročníku. V případě zájmu stu- 17

18 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU dentů může být dále doplněna volitelným předmětem Matematika X s dotací 84 šedesátiminutových hodin (viz [11]). Na variantu R1 navazuje ve třetím ročníku předmět R2. Studentům je však umožněno absolvovat také jednodušší matematiku S2, která je koncipována jako navazující předmět k S1. Hodinová dotace obou variant třetího ročníku je stejná jako u předmětů R1 a S1 ve druhém ročníku. 2.2 Učivo ve vzdělávací oblasti matematika Výuka matematiky je v Norsku koncipována tak, že jednotlivé oblasti matematiky jsou probírány ve více letech. Dochází tak k tomu, že učivo je prohlubováno opakovaně, s delší časovou prodlevou. Skladba učiva pro jednotlivé ročníky všeobecného studijního směru (tedy ekvivalentu českých gymnázií) je uvedena v tabulkách níže, a to pro všechny možné varianty obtížnosti matematiky. 1. ročník 1P Arit. a algebra Geometrie Ekonomie Pravděpodobnost Funkce 1T Arit. a algebra Geometrie Pravděpodobnost Funkce Tabulka 2.2: Možnosti studia matematiky v prvním ročníku 2. a 3. ročník a) varianta pro ty, kteří si zvolili nejkratší možnou variantu studia matematiky, tj. pouze v prvním a druhém ročníku: - ve druhém ročníku mají studenti na výběr jednu z následujících dvou možností 2P Arit. a algebra v praxi Statistika Modelování 2T Geometrie Kombinat. a pravděp. Kultura a modelování 18

19 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU b) varianta pro ty, kteří se zaměřují spíše na humanitní vědy: - předmět Matematika 1S je vyučován ve druhém ročníku - předmět Matematika 2S je vyučován ve třetím ročníku S1 (2. roč.) Algebra Funkce Pravděpodobnost Lineární optimalizace S2 (3. roč.) Algebra Funkce Pravděpodobnost Statistika c) varianta pro ty, kteří se zaměřují spíše na přírodovědné vědy: - předmět Matematika R1 je vyučován ve druhém ročníku - předmět Matematika R2 je vyučován ve třetím ročníku R1 (2. roč.) Geometrie Algebra Funkce Kombinatorika a pravděp. R2 (3. roč.) Geometrie Algebra Funkce Diferenciální rovnice d) volitelný předmět Matematika X vyučovaný ve druhém ročníku X (2. roč.) Teorie čísel Komplexní čísla Pravděpodobnost a statistika 2.3 Kompetence v matematické analýze Tato kapitola umožňuje hlubší vhled do výuky partií matematické analýzy na gymnáziích v Norsku. Je zde uvedeno konkrétní učivo a očekávané výstupy pro jednotlivé úrovně matematiky ve všech třech ročnících. Stanovené kompetence v ostatních oblastech matematiky, s ohledem na zaměření této práce, uváděny záměrně nejsou, přestože tvoří podstatnou část náplně hodin matematiky (viz kapitola 2.2). 1. ročník Matematika 1P Funkce - žák by měl být schopen pracovat s různými reprezentacemi funkce 19

20 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU vyšetřit průběh funkcí, které popisují situace z praxe (určením nulových bodů, průsečíků s osami, extrémů, gradientu) a interpretovat praktické výsledky prakticky využívat lineární funkce (nárůst, pokles), a to i s pomocí počítačových programů Matematika 1T Funkce - žák by měl být schopen nakreslit graf funkce s využitím základních znalostí funkcí určit nulové body, průsečíky s osami, gradient, nalézt přibližnou hodnotu derivace funkce v daném bodě a ukázat některé praktické příklady využití znát definici derivace funkce a dále ji použít při odvození pravidla pro derivaci polynomické funkce; toto pravidlo dále využít při vyšetření průběhu funkcí vytvořit a interpretovat funkce popisující praktické situace, analyzovat empirické funkce a aproximovat je lineární funkcí používat výpočetní techniku pro zjištění průběhu funkcí a jejich vlastností (polynomické, racionální lomené, exponenciální a mocninné funkce) 2. ročník Matematika 2P Matematické modelování - žák by měl být schopen provést měření v praktických experimentech a formulovat jednoduchý model na základě naměřených dat; využívat výpočetní techniku ke konstrukci tohoto modelu a posouzení jeho validity používat matematiku v praxi a posoudit a vysvětlit, kdy je možno daný matematický model použít a kdy naopak ne Matematika 2T Kultura a matematické modelování - žák by měl být schopen 20

21 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU vytvořit matematický model na základě zjištěných dat a dále s ním pracovat; tj. posoudit jeho platnost a v případě potřeby jej opravit využívat výpočetní techniku k zjištění a konstrukci vhodného matematického modelu pracovat s pojmy implikace a ekvivalence, znát základní typy matematických důkazů a argumentace a umět tyto matematické důkazy provést v praxi předložit příklady multikulturní historie matematiky a diskutovat o důležitosti matematiky v přírodních vědách, technologii, společenském životě a kultuře Matematika S1 Funkce - žák by měl být schopen nakreslit graf polynomické, exponenciální, mocninné a racionální lomené (s lineárním čitatelem i jmenovatelem) funkce s využitím výpočetní techniky i bez ní vytvořit a interpretovat funkce jako model a popis reálné situace v ekonomii a společenských vědách, analyzovat empirické funkce a využít regresi k nalezení polynomické aproximace funkce určit nulové body a průsečíky grafů s využitím výpočetní techniky i bez ní nalézt směrnici funkce aritmeticky a přibližnou hodnotu okamžitého růstu funkce v praktických situacích znát a rozumět definici derivace funkce, umět vypočítat derivaci polynomické funkce a využít tohoto k diskuzi polynomických funkcí Lineární optimalizace - žák by měl být schopen modelovat praktické optimalizační problémy v ekonomii s využitím lineárních rovnic a nerovnic interpretovat lineární optimalizační problém dvou proměnných graficky řešit lineární optimalizační problémy graficky a početně - s využitím výpočetní techniky i bez ní 21

22 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU Matematika R1 Funkce - žák by měl mít představu o pojmech ohraničenost, spojitost a diferencovatelnost funkce a být schopen uvést konkrétní příklady funkcí, které nejsou spojité nebo diferencovatelné umět použít vzorce pro derivaci mocninných, exponenciálních a logaritmických funkcí a derivovat složené funkce, rozdíl, součet, součin a podíl funkcí (včetně různých kombinací téhož) být schopen používat první a druhou derivaci k vyšetření průběhu funkce a interpretovat derivace v příkladech praktických situací být schopen nakreslit graf funkce (s využitím výpočetní techniky i bez ní) a vysvětlit základní vlastnosti dané funkce s využitím grafu umět najít rovnici horizontálních a vertikálních asymptot racionálních lomených funkcí a tyto asymptoty zanést do grafu být schopen používat vektorové funkce s parametrem k vyjádření křivky v rovině, nakreslit tuto křivku a s využitím derivace dané funkce najít rychlost a zrychlení 3. ročník Matematika S2 Funkce - žák by měl být schopen derivovat polynomické, mocninné, exponenciální a logaritmické funkce a jejich součty, rozdíly, součiny a podíly; umět použít pravidlo pro derivaci složené funkce diskutovat graf funkce v praktických souvislostech s využitím první a druhé derivace interpretovat základní vlastnosti funkce s využitím grafu funkce řešit problémy optimalizace v ekonomii v závislosti na příjmech, výdajích a poptávce a vypočítat marginální výdaje a příjmy a využít je v jednoduchých modelech 22

23 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU modelovat exponenciální a logistický růst s využitím exponenciálních a logaritmických funkcí vypočítat obsah plochy pod grafem s využitím výpočetní techniky a toto dále interpretovat v praktických situacích Matematika R2 Funkce - žák by měl být schopen zjednodušit a řešit lineární a kvadratické rovnice s trigonometrickými výrazy s využitím vztahů mezi trigonometrickými funkcemi derivovat elementární funkce a využívat první a druhou derivaci k jejich diskuzi převést trigonometrické výrazy tvaru a sin kx + b cos kx a ukázat jejich periodicitu interpretovat definici určitého integrálu jakožto limity součtu a neurčitého integrálu jako primitivní funkce vypočítat integrály elementárních funkcí za pomoci primitivních funkcí, substituce, parciálních zlomků interpretovat určitý integrál v modelech praktických situací a využívat jej k výpočtu plochy a objemu rotačních těles vytvořit matematický model s pomocí elementárních funkcí na základě pozorovaných dat, diskutovat výsledek a použitou metodu Diferenciální rovnice - žák by měl být schopen modelovat praktické situace pomocí diferenciálních rovnic, řešit je a interpretovat jejich výsledky řešit lineární diferenciální rovnice prvního řádu a rovnice se separovanými proměnnými; předložit příklady některých významných oblastí jejich využití řešit homogenní diferenciální rovnice druhého řádu a používat druhý Newtonův zákon k popisu volných kmitů pomocí periodických funkcí řešit diferenciální rovnice a nakreslit směrová pole a integrální křivky, interpretovat je s pomocí techniky 23

24 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU 2.4 Srovnání s Českou republikou Největším rozdílem ve výuce matematiky na gymnáziích v těchto dvou zemích je její struktura. V Norsku si studenti mohou od počátku sami volit z několika úrovní v každém ročníku (viz kapitola 2.1). Dochází tak k tomu, že studenti jsou vzděláváni ve skupinách podle toho, jakou úroveň matematiky si zvolili a nikoliv v rámci jedné třídy tak, jak byli zapsáni ke studiu. V České republice jsou naopak všichni studenti dané třídy vzděláváni v jednom hlavním proudu a v případě většího zájmu o matematiku si mohou zvýšit její úroveň zapsáním volitelného předmětu. Větší možnost rozvoje v oblasti matematiky pak dávají speciální matematicky zaměřené třídy, kde je větší hodinová dotace tohoto předmětu. Zde však platí, že student se do takovéto třídy musí přihlásit hned na začátku studia a vyšší úroveň matematiky je nastavena po celou dobu daného studijního programu. Při srovnávání výuky matematické analýzy na gymnáziích v Norsku a České republice je zásadním faktorem odlišnost struktury kurikulárních dokumentů na státní úrovni. Zatímco v Norsku je státem dané kurikulum rozčleněno podle jednotlivých úrovní matematiky pro každý ročník zvlášt, v České republice je pro školu závazný tzv. rámcový vzdělávací program (zkráceně RVP), který určuje pouze to, jaké učivo má být probráno za celé čtyřleté období a očekávané výstupy na konci studia. České školy pak samy vypracovávají školní vzdělávací program (zkráceně ŠVP), který stanovuje, ve kterém ročníku se bude konkrétní učivo probírat. Při porovnávání struktury učiva je tedy nezbytné vzít v úvahu nejen český Rámcový vzdělávací program pro gymnázia [12], ale také školní vzdělávací programy konkrétních gymnázií. Pro tyto účely jsem se zaměřila na tři školní vzdělávací programy na dvou školách. První dva jsou programy brněnského gymnázia (Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14), které nabízí jednak studium v matematicky zaměřených třídách (viz ŠVP [13]), tak i klasický všeobecný směr (viz ŠVP [14]). Poslední program [15] pochází z Gymnázia Jihlava a je určen pro všeobecný směr. Na těchto třech příkladech je vidět velká odlišnost nejen v hodinové dotaci, ale také s tím souvisejícím množství probírané látky. Všechny zmiňované školní vzdělávací programy však vycházejí ze stejného rámcového vzdělávacího programu [12]. 24

25 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU Obecně se dá říci, že v Norsku je uplatňován přístup, kdy jsou jednotlivé oblasti matematiky rozděleny do více ročníků a učivo je postupně prohlubováno. Příkladem může být diferenciální počet, se kterým studenti začínají již v prvním ročníku (předmět Matematika 1T) a dále se k němu vrací i v předmětech R1 ve druhém ročníku a R2 ve třetím. Další takovou oblastí jsou funkce, které jsou při typické kombinaci předmětů 1T (resp. 1P), S1 a S2 také probírány ve všech ročnících. V České republice je obvykle každá oblast probírána pouze jednou a v dalších ročnících se k ní již studenti nevrací. Funkce jsou tak většinou probírány jako celek ve druhém ročníku (viz [13], [14] a [15]). Výše zmiňovaný diferenciální počet je příkladem učiva, které se v českém Rámcovém vzdělávacím programu pro gymnázia vůbec nevyskytuje, ale v Norsku je kurikulem na státní úrovni stanoveno jako závazné pro většinu úrovní matematiky na gymnáziu a to v předmětech Matematika 1T, S1, R1, S2 a R2 (viz kapitola 2.3). Přesto to neznamená, že se diferenciální počet na českých gymnáziích vůbec nevyskytuje. Rámcový vzdělávací program pro gymnázia totiž vymezuje rámec vzdělávání, který je závazný pro všechna gymnázia, avšak každá škola může toto minimum obohatit o další učivo. Z [13] a [15] vyplývá, že se na těchto školách diferenciální počet probírá. Nicméně doba zařazení se liší. Na Gymnáziu Jihlava je zařazen na konci třetího ročníku a na zmiňovaném gymnáziu v Brně dokonce až ve čtvrtém ročníku. Oproti tomu norští studenti se s pojmem derivace setkávají již v prvním ročníku. Zde je třeba poznamenat, že první ročník norského gymnázia věkově odpovídá druhému ročníku v ČR (viz kapitola 1). Navíc záleží na zvolené úrovni matematiky v Norsku, nebot v předmětu 1P (v prvním ročníku) diferenciální počet zařazen není. Stejně tak jej nenajdeme ani ve Školním vzdělávacím programu pro čtyřleté všeobecné studium [14] na Gymnáziu, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Nyní se zaměříme na porovnání výuky dalších oblastí matematické analýzy, kde dochází k odlišnému zařazení do výuky. Jsou jimi integrální počet, komplexní čísla a diferenciální rovnice. Integrální počet přímo navazuje na diferenciální počet ve výuce na jihlavském gymnáziu i v matematicky zaměřených třídách brněnského gymnázia. Na Gymnáziu Jihlava je to na začátku čtvrtého ročníku a na brněnském gymnáziu na konci čtvrtého ročníku. V nematematických třídách v Brně integrály probírány vůbec nejsou, což je vzhledem k absenci znalosti diferenciálního počtu logické. 25

26 KAPITOLA 2. VZDĚLÁVACÍ OBSAH MATEMATIKY V NORSKU Norští studenti se s integrály setkají pouze v předmětech R2 a S2, které jsou zařazeny v posledním ročníku. V předmětu S2 se však jedná pouze o využití vlastností určitého integrálu za pomoci počítačových programů. Znalost teorie není požadována, což je mnohými učiteli kritizováno. Komplexní čísla se v současnosti nevyskytují v závazném rámci kurikula na státní úrovni ani v Norsku, ani v České republice. V Norsku se s nimi studenti mohou setkat pouze ve volitelném předmětu Matematika X (viz kapitola 2.2), který se však na mnoha školách vůbec nevyučuje, nebot o něj studenti nejeví dostatečný zájem. V České republice se komplexní čísla v běžných hodinách matematiky na gymnáziích stále vyučují, ale pouze jako rozšiřující oblast matematiky. Znamená to tedy, že záleží na rozhodnutí každé školy, zda je zařadí do svého ŠVP, či ne. Jihlavské gymnázium zařadilo tuto látku do čtvrtého ročníku, probírá se tedy po diferenciální a integrálním počtu. V matematicky zaměřených třídách brněnského gymnázia jsou komplexní čísla probírána taktéž ve čtvrtém ročníku, avšak ihned na začátku a tedy ještě před diferenciálním a integrálním počtem. V brněnských třídách se všeobecným zaměřením je výuka matematiky povinná pouze v prvních třech letech a komplexní čísla se zde vůbec neprobírají. Nejvýraznější rozdíl v zařazení učiva je u diferenciálních rovnic, které se v rámci běžné výuky na českých gymnáziích vůbec neobjevují. V Norsku je tato látka probírána v posledním ročníku gymnázia, a to na té nejvyšší úrovni (Matematika R2). Norští studenti musí znát a umět řešit diferenciální rovnice prvního i druhého řádu a využít je při řešení příkladů z praxe. Konkrétněji viz kapitola 2.3 a příklad 4.8 v kapitole

27 KAPITOLA 3. SYSTÉM ZKOUŠEK A HODNOCENÍ Kapitola 3 Systém zkoušek a hodnocení V kapitole 1.2 jsme zmiňovali národní testování žáků základních škol. Kromě toho je však v Norsku zavedena také dlouhá tradice národních zkoušek. Tyto zkoušky probíhají na středních školách ve všech ročnících, i když se jich účastní vždy jen vybraná část studentů. Se zvyšujícím se stupněm je procento zkoušených studentů v rámci jednotlivých předmětů vyšší. Škola o tom, kolik osob bude vybráno, nerozhoduje. Počty studentů, kteří se musí zkoušek v rámci jednotlivých předmětů účastnit, jsou zaslány odpovědné osobě každé školy a ta pak vybere konkrétní jména. Většina z vybraných studentů absolvuje zkoušku písemnou, ale každoročně probíhá také ústní zkoušení. V prvním ročníku je vybráno přibližně 20 % studentů, kteří konají zkoušku z jednoho předmětu. A to bud písemnou, nebo ústní. K písemné zkoušce může být student prvního ročníku vybrán v předmětu matematika, nebo v anglickém jazyce. U ústní zkoušky je výběr rozšířen o přírodovědné předměty. Ve druhém ročníku jsou všichni studenti vybráni ke složení zkoušky z jednoho předmětu. I zde platí, že se jedná pouze o jeden typ - písemnou, či ústní. V posledním ročníku nahrazují tyto národní zkoušky závěrečnou (maturitní) zkoušku. Z toho tedy vyplývá, že studenti si nemohou sami volit, z jakého předmětu budou závěrečné zkoušky skládat. Je však jisté, že to bude pouze z těch předmětů, které mají zapsány v posledním ročníku studia, kdy jsou již poměrně silně profilovaní. Nicméně každý student je povinen složit písemnou zkoušku z norského (příp. sámského) jazyka a kromě toho ještě dvě další písemné zkoušky a jednu ústní zkoušku. Konkrétní informaci o tom, ze kterého předmětu budou skládat zkoušku, případně zda ústní či písemnou, se všichni dozví v jeden den. V případě jarního termínu zkoušek se tak děje obvykle v polovině května. Zkoušky 27

28 KAPITOLA 3. SYSTÉM ZKOUŠEK A HODNOCENÍ pak probíhají od poloviny května do poloviny června. Doba přípravy na zkoušku se tedy liší v závislosti na předmětu. 3.1 Struktura písemných zkoušek a jejich hodnocení Základní struktura a časová dotace písemných testů z matematiky je stejná pro všechny ročníky gymnázia. Test je rozdělen do dvou částí. Na první část mají studenti dvě (60 minutové) hodiny a jedinými pomůckami, které mohou používat, jsou běžné psací potřeby, kružítko, pravítko a úhloměr. V druhé části je naopak možno používat jakékoliv pomůcky kromě internetu a jiných způsobů komunikace s dalšími lidmi. K řešení příkladů mohou tedy používat především kalkulačky, počítačové programy a také knihy. U některých úloh je navíc přímo požadováno řešení s pomocí počítačového programu. Například pro výpočet složitějších integrálů apod. Student je pak povinen odevzdat společně s řešením také soubor (obvykle ve formátu.docx), kde dokumentuje použití konkrétního počítačového programu. K tomu žáci využívají aplikace PrintScreen a každý krok patřičně okomentují. Studenti jsou k takovéto práci s výpočetní technikou vedeni v průběhu celých tří let studia na střední škole. Celková doba písemné práce je pět hodin. Student na začátku dostane zadání obou dvou částí zároveň a může na nich pracovat v libovolném pořadí dle svého uvážení. Nicméně první část je povinen odevzdat dvě hodiny po začátku a pomůcky k druhé části je mu dovoleno používat až od této doby. Tedy právě dvě hodiny po začátku práce. Celá písemná práce sestává pouze z otevřených úloh. První část, která je kratší, je obvykle tvořena dvěma až třemi úlohami. Každá z nich je navíc rozčleněna do několika podúloh (viz kapitoly 3.2 a 3.3). Důraz je kladen především na zvládnutí teorie. Druhá část je zaměřena více prakticky. Řešiteli jsou často předkládána reálná data (viz Příklad 4, kapitola 3.2). Záleží však také na konkrétním předmětu. Objevují se zde nejčastěji čtyři úlohy až šest úloh, které jsou dále rozděleny na jednotlivé podotázky. Zadání je každému studentovi, který skládá zkoušku v norštině, předloženo ve dvou písemných verzích norštiny (nynorsk a bokmål). Obě tyto varianty jsou 28

29 KAPITOLA 3. SYSTÉM ZKOUŠEK A HODNOCENÍ totiž oficiálními jazyky v Norsku. V případě severní části Norska, kde je úředním jazykem také sámština, je zadání poskytnuto i v sámském jazyce. Úvodní stránka obsahuje obecné informace o zkoušce týkající se doby řešení, možnosti použití pomůcek i obecných pravidel hodnocení. U každé úlohy je v závorce uveden maximální počet bodů, který může řešitel získat. Hodnocení písemných prací probíhá externě. Všechny písemné práce jsou tedy odeslány na centrálu a následně rozeslány vybraným učitelům, kteří jsou za tuto práci odměněni zvlášt (tj. finančně mimo učitelský plat, podle počtu opravených prací). Každá práce musí být navíc ohodnocena dvěma různými hodnotiteli. Ti se pak dohodnou na výsledném bodovém ohodnocení a známce. Opravené písemné práce jsou pak poslány zpět na příslušnou školu a studenti mají možnost do nich nahlédnout za přítomnosti svého učitele a případně podat stížnost na hodnocení. Vzhledem k časové náročnosti externího hodnocení se studenti dozví výsledek až poslední školní den, případně první den letních prázdnin. Při hodnocení písemné části zkoušky je brána v potaz: úroveň matematické gramotnosti a matematického porozumění, míra logického uvažování, schopnost využití získaných znalostí v nových situacích, míra schopnosti využít vhodné pomůcky k řešení zadaného problému (např. kalkulačka, počítačový program), schopnost posouzení správnosti (přiměřenosti) výsledků, schopnost vysvětlit postup řešení a odůvodnit výsledky, míra schopnosti psát jasně a srozumitelně, využití tabulek a grafů, přesnost výpočtů. V případě, že je úlohu možno řešit více různými způsoby a v zadání úlohy není jednoznačně určeno, který z těchto způsobů mají studenti zvolit, může si každý z řešitelů vybrat metodu řešení dle sebe. Mohou se však vyskytnout i takové úlohy, kde je požadován zcela specifický způsob řešení. Nedodržení tohoto postupu je pak penalizováno úplnou, nebo částečnou ztrátou bodů. 29

30 KAPITOLA 3. SYSTÉM ZKOUŠEK A HODNOCENÍ Dle počtu bodů je pak přiřazena příslušná známka. V Norsku je používán systém šestistupňového hodnocení, kde známka 6 odpovídá nejlepšímu výsledku a známka 1 nejhoršímu. Konkrétněji: 6 student má vynikající znalosti v daném předmětu 5 student má velmi dobré znalosti v daném předmětu 4 student má dobré znalosti v daném předmětu 3 student má poměrně dobré znalosti v daném předmětu 2 student má slabé znalosti v daném předmětu 1 student má velmi slabé znalosti v daném předmětu Tabulka 3.1: Klasifikační stupnice v Norsku V následujících dvou kapitolách jsou uvedeny některé z příkladů, které byly zadány studentům při národních zkouškách na jaře roku Zatímco první z nich je ukázkou té nejjednodušší úrovně v prvním ročníku (Matematikk 1P), druhá je naopak zaměřena na nejnáročnější úroveň posledního ročníku (Matematikk R2). Zadání písemných prací jsou po uskutečnění zkoušky veřejně přístupné na stránkách Utdanningsdirektoratet, tedy direktoriátu pro školství, který přímo spadá pod norské Ministerstvo školství (viz například [16] a [17]). 3.2 Ukázka příkladů z písemné zkoušky na úrovni 1P V této části jsou uvedeny tři příklady z testu ze dne , který byl určen pro studenty předmětu 1P. Všechny uvedené příklady pocházejí z druhé části, takže studenti mohli k jejich řešení používat počítač, učebnice či kalkulačku. V testu z jara 2011 se objevil pouze jeden příklad z matematické analýzy (příklad 7). Tento fakt je však pochopitelný, vzhledem k tomu, že 1P je nejnižší možnou úrovní matematiky, se kterou se lze na gymnáziích setkat. Cílem této kapitoly je ukázat úzké propojení příkladů s reálným životem. Z tohoto důvodu jsou uvedeny také příklady 4 a 9, a to i přesto, že první z nich je z oblasti aritmetiky a druhý kombinatoriky. Obrázky jsou převzaty z elektronické verze zadání zkoušky [16]. 30

31 KAPITOLA 3. SYSTÉM ZKOUŠEK A HODNOCENÍ Příklad 4 Víte, že... - průměrně každé dvě sekundy je snědena jedna plechovka játrové paštiky Stabburet. Každý rok je snědeno více než 120 milionů krajíců chleba s paštikou Stabburet. Stabburet Leverpostei 100 g Den originale Stabburet Leverpostei Výše uvedené informace jsou převzaty z internetových stránek firmy Stabburet (výrobce játrové paštiky - pozn. překladatele). Využijte tyto informace k řešení níže zadaných úloh. a) Vypočtěte, kolik kilogramů paštiky Stabburet je snědeno v průběhu jednoho dne, pokud počítáme s tím, že jedna plechovka obsahuje 100 g paštiky. b) Vypočtěte, kolik gramů játrové paštiky je průměrně použito na jeden krajíc chleba. c) Vypočtěte, na kolik krajíců chleba vystačí paštika z jedné plechovky. Příklad 7 Počet gramů CO 2, které automobil vypouští do ovzduší při ujetí jednoho kilometru je dán funkcí f(x) = 0, 046x 2 6, 7x + 386, kde x udává rychlost automobilu měřenou v km/h. 31

32 KAPITOLA 3. SYSTÉM ZKOUŠEK A HODNOCENÍ a) Nakreslete graf funkce f v souřadnicovém systému pro hodnoty proměnné x od 20 do 100. b) Kolik gramů CO 2 vypustí automobil za jeden kilometr, pokud pojede rychlostí 60 km/h? c) Při jaké rychlosti jsou emise CO 2 minimální? Jaká je hodnota těchto emisí na jeden kilometr? Automobil jede rychlostí 80 km/h po dobu půl hodiny. d) Jaké je množství emisí CO 2, které auto za tuto půlhodinu vypustí? Příklad 9 Kámen-nůžky-papír je soutěž mezi dvěma lidmi. Každý z nich se rozhodne pro jednu z možností kámen, nůžky, či papír a svoji volbu ukáží oba současně pomocí jedné ruky (viz obrázek níže). 32

33 KAPITOLA 3. SYSTÉM ZKOUŠEK A HODNOCENÍ Pravidla jsou: Nůžky vyhrávají nad papírem. Papír vyhrává nad kamenem. Kámen vyhrává nad nůžkami. V případě, že oba ukáží stejně (např. kámen), je to remíza. Bard a Lars budou hrát Kámen-nůžky-papír. Jedna z možných variant je, že například Bard ukáže kámen a Lars zvolí papír. a) Vypište všechny možnosti, které mohou nastat, pokud Bard a Lars hrají Kámen-nůžky-papír jednou. Necht B znamená vítězství Barda, U znamená remízu (z norského uavgjort) a L značí výhru Larse. b) Ukažte, že pravděpodobnost, že Bard vyhraje, tedy P (B), je 1 3. Bard a Lars budou nyní hrát Kámen-nůžky-papír třikrát po sobě. Možný výsledek je BUL, což znamená, že Bard vyhraje poprvé, podruhé to bude remíza a Lars vyhraje ve třetím kole. c) Kolik různých výsledku můžeme získat, pokud Bard a Lars budou hrát třikrát po sobě? d) Jaká je pravděpodobnost, že Bard vyhraje minimálně dvě z těchto tří her? Když dva lidé hrají Kámen-nůžky-papír, vítězem je ten, který vyhraje nejvíce z těchto her. Pokud oba dva vyhrají stejný počet her, je to remíza. e) Jaká je pravděpodobnost, že Bard vyhraje? Poznámka: Příklad 9 byl v naprosto stejném znění použit i při testování studentů na úrovni 1T (testování probíhalo ve stejný den i stejnou hodinu). Celkově se však test lišil a platí, že test pro studenty 1P je zaměřen více prakticky, což je patrné především v první části testu. 33

34 KAPITOLA 3. SYSTÉM ZKOUŠEK A HODNOCENÍ 3.3 Ukázka příkladů z písemné zkoušky na úrovni R2 Účelem této kapitoly je ilustrovat náročnost závěrečné písemné práce předmětu R2. Jedná se tedy o nejobtížnější variantu matematiky v posledním ročníku studia. V této kapitole jsou uvedeny dva příklady ze sedmi, které byly použity dne Příklad 1 byl v písemné práci zařazen jako první příklad první části. Tedy té části, ve které je zakázáno používat jakékoliv pomůcky (kromě psacích potřeb, kružítka, pravítka a úhloměru). Příklad 7 je posledním příkladem celé práce a byl tudíž zařazen v části druhé, kde je studentům umožněno využití výpočetní techniky i knih. Příklad 1 a) Derivuj funkce 1. f(x) = 2 sin(2x), 2. g(x) = x 2 cos(2x), 3. h(x) = 2 1 x2 4x. b) Vypočti integrály 1. x e x dx, 2. 5x+3 x 2 9 dx. c) Obrázek níže ukazuje kružnici se středem v počátku a poloměrem jedna. 34

35 KAPITOLA 3. SYSTÉM ZKOUŠEK A HODNOCENÍ S využitím geometrické úvahy vypočti integrál x2 dx. Svůj postup zdůvodni. d) Jsou dány vektory a a b. Vysvětli a nakresli, jaká je vzájemná poloha těchto dvou vektorů, pokud 1. a b = 0, 2. a b = 0. e) Jsou dány body A(1, 1, 1), B(2, 1, 3), C(3, 2, 2). Pomocí výpočtu ukaž, že AB AC je kolmý k oběma vektorům AB i AC. f) Matematickou indukcí dokaž: n 1 = 4n 1 3. Příklad 7 Je dána funkce f(x) = 5x 2 e x, x > 0. a) Nakresli graf funkce f(x). b) 1. Ukaž, že f (x) = 5(2x x 2 ) e x. Které pravidlo pro derivaci jsi použil/a? 2. Načrtni tabulku pro určování znaménka funkce f (x). Použij tuto tabulku k nalezení intervalů, kde funkce roste a kde klesá. Urči případná minima a maxima grafu funkce f(x). c) S pomocí derivace ukaž, že f(x) dx = 5x 2 e x 10x e x 10e x + C. d) Jestliže víte, že vypočtěte lim a (an e a ) = 0 pro n R, a lim a 0 f(x) dx. 35

36 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC Kapitola 4 Příklady z norských učebnic 4.1 Norské učebnice matematiky Nejčastěji používanými učebnicemi matematiky na středních školách v Norsku jsou učebnice SINUS Matematikk nakladatelství Cappelen. Tyto učebnice jsou vydávány pro každou úroveň matematiky zvlášt. Jedna kniha tudíž pokrývá učivo v daném předmětu na celý školní rok. První kapitolu učebnice určené pro předmět Matematikk 1P lze nalézt na stránkách [18], druhou kapitolu knihy k předmětu Matematikk 1T na [19]. Tyto učebnice odpovídají požadavkům, které jsou stanoveny kurikulem pro studenty středních škol. To je znát hned na začátku každé kapitoly, která začíná výčtem očekávaných výstupů. Graficky jsou velice pěkně zpracovány, doplněny o barevné ilustrace a zvýraznění důležitých částí textu (vzorce, poučky apod.). Stejně tak jsou odlišeny řešené příklady, které obsahuje každá z kapitol. Kapitoly jsou dále rozčleněny na dílčí podkapitoly, což umožňuje lepší orientaci nejen v obsahu, ale také v celé učebnici. Každá z podkapitol začíná teoretickým úvodem, který však často bývá ilustrován pomocí konkrétního příkladu. Dále obsahuje vzorově vyřešený typový příklad s navazujícími příklady sloužícími k procvičení látky během výuky, případně v rámci domácího úkolu. Na konci každé kapitoly je uvedeno přehledné, barevně odlišené shrnutí učiva (norsky Sammendrag). K dalšímu procvičení slouží zvláštní sbírka úloh. Tato sbírka má bud podobu samostatné knihy, nebo je začleněna přímo do učebnice, kdy jsou tyto 36

37 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC příklady uvedeny na konci knihy. Příklady obsažené ve sbírce jsou rozděleny do tří kategorií podle náročnosti, případně typu úloh. Tyto kategorie jsou barevně odlišeny, viz [20]. Kategorie 1 obsahuje základní úlohy, kategorie 2 náročnější a poslední kategorií jsou tzv. blandede oppgaver, tedy smíšené úlohy. Zatímco v prvních dvou kategoriích jsou příklady seřazeny přesně podle dílčích podkapitol v učebnici a k jejich řešení není třeba použít žádných jiných znalostí, smíšené příklady pokrývají několik podkapitol, případně kapitol současně. Výsledky všech cvičení, obsažených v učebnici, případně sbírce úloh, jsou uvedeny na konci knihy. Posledních několik stránek učebnice je navíc věnováno rejstříku pojmů. V případě, že se v učebnici vyskytují příklady, které je možné řešit s využitím kalkulátoru, může rejstříku předcházet ještě několik stránek s takovýmito řešenými příklady, u kterých je uveden přesný návod, jak kalkulátor (značky Casio a Texas) použít. Další důležitou podporou jsou také stránky vydavatelství učebnic Cappelen [25]. Zde je kromě řešených souhrnných cvičení, které jsou určeny k procvičení každé z kapitol, také množství odkazů na interaktivní cvičení a návody, jak pracovat s počítačovými programy při řešení matematických úloh a příkladů z učebnice. Viz například návod k použití počítačového programu GeoGebra při řešení příkladů z učebnice Matematikk 1P [21]. 4.2 Příklady zajímavé z pohledu komparativní pedagogiky Cílem této kapitoly je uvedení konkrétních příkladů z matematické analýzy, které jsou používány ve výuce matematiky v Norsku. Důraz je kladen na příklady, které jsou pro Norsko specifické a zároveň tedy zajímavé z hlediska komparativní pedagogiky. Z tohoto důvodu se zde vyskytují příklady, které se liší v době zařazení do učiva, případně se s nimi na českých středních školách téměř nelze setkat (například úlohy z diferenciálního a integrálního počtu). Dále také příklady, které jsou úzce navázány na řešení problémů z praxe. U každého příkladu je uveden stručný komentář týkající se zařazení do výuky na norských gymnáziích a také jeho podrobné nepřevzaté řešení. Pouze grafy jsou převzaty ze stránek učebnic SINUS [25], odkud byly čerpány některé příklady. 37

38 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC Další příklady byly vybrány přímo z učebnic SINUS (viz [22] a [24]). Příklad 4.1. V jistém roce sněžilo v Lillestrandu celý začátek prosince. Výška sněhu S(x) měřená v centimetrech x-tý den v prosinci byla S(x) = 0, 10x 2 + x + 10, x [0, 15]. (4.1) a) Vypočtěte průměrný přírůstek výšky sněhu za den v období od 10. prosince do 15. prosince. b) Narýsujte graf funkce S(x). c) Graficky určete okamžité tempo růstu výšky sněhu 5. prosince. (gradient v bodě) Komentář: Příklad slouží k procvičení na závěr kapitoly Matematické modelování a tempo růstu v prvním ročníku studia v předmětu 1T. Tento příklad je uveden jako tzv. kontroloppgave, tedy příklad na konci kapitoly sloužící k ověření znalostí studentů. Je dostupný na webových stránkách učebnice SINUS (viz [26]). Řešení: a) Nejprve určíme výšku sněhu k 10. prosinci a výšku sněhu k 15. prosinci S(10) = 0, = 30 cm S(15) = 0, = 47, 5 cm. Celkový přírůstek za období od 10. do 15. prosince je tedy rozdíl těchto hodnot P c = S(15) S(10) = 47, 5 cm 30 cm = 17, 5 cm. Průměrný přírůstek P za jeden den pak spočítáme jako podíl celkového přírůstku za dané období a počtu dní v daném období. Tedy P = P c počet dní = 17, 5 cm 5 dní = 3, 5 cm/den. Průměrný přírůstek výšky sněhu za jeden den byl v daném období 3,5 cm/den. 38

39 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC b) Graf funkce S(x). Zdroj: Sinus Cappelen [27] c) Chceme-li zjistit okamžité tempo růstu, jde vlastně o to, zjistit, jaká je směrnice tečny grafu v daném bodě. To lze pomocí některého z matematických programů nebo tak, že z grafu odečteme souřadnice dvou bodů [x 1, y 1 ] a [x 2, y 2 ] ležících na dané tečně. Zdroj: Sinus Cappelen [27] Směrnice k tečny dané těmito body je pak k = y 2 y 1 x 2 x 1. Z grafu lze odečíst například hodnoty souřadnic bodů A = [5; 17, 5] a B = [10; 27, 5]. Po dosazení těchto hodnot dostáváme k = 27, 5 17, = 10 5 = 2. 39

40 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC X -ová souřadnice vyjadřuje počet dní a y-ová výšku sněhu v centimetrech. Výsledná hodnota je proto v centimetrech za den. Okamžitého tempo růstu výšky sněhu 5. prosince tedy bylo 2 cm za den. Příklad 4.2. Najděte limitu a) b) lim x 2 x 2 x 6 ; x + 2 2x 2 14x + 12 lim x 1 x 2 + 2x 3. Komentář: Limita funkce je pojem zaváděný v úvodu kapitoly Derivace v prvním ročníku, úroveň 1T. Vzhledem k tomu, že studenti jsou s tímto pojmem seznámeni pouze z důvodu nutnosti jeho užití v definici derivace funkce, požaduje se znalost limity pouze jednoduchých polynomických a racionálních funkcí. Uvedený příklad je převzat přímo z učebnice SINUS pro matematiku 1T (viz [22]). Řešení: a) Při hledání dané limity nejprve upravíme výraz x 2 x 6 x + 2 = (x 3)(x + 2) x + 2 Celý problém se tím zjednoduší na hledání limity lim (x 3), x 2 = x 3. tedy lim (x 3) = 2 3 = 5. x 2 b) I v tomto případě využijeme toho, že zlomek za limitou lze zjednodušit. 2x 2 14x + 12 lim x 1 x 2 + 2x 3 = lim x 1 2(x 2 7x + 6) x 2 + 2x 3 = lim x 1 2(x 6) (x + 3) = 2(1 6) = lim x 1 2(x 6)(x 1) (x + 3)(x 1) = = 10 4 =

41 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC Příklad 4.3. Mějme funkci f, kde f(x) = 3x 2 + 6x 2. (4.2) a) S užitím definice derivace funkce najděte f (0). b) Najděte derivaci f (x) pomocí pravidel pro derivování. c) Určete intervaly monotonie funkce f. d) Najděte rovnici tečny grafu f(x) v bodě (0, f(0)). e) V souřadnicovém systému zakreslete graf funkce f(x) a jeho tečnu v bodě (0, f(0)). Komentář: Příklad testuje základní znalost derivace. Tato problematika je zařazena hned v prvním ročníku v předmětu 1T, kde je požadována znalost definice derivace funkce jakožto limity. Avšak derivace pouze polynomické funkce. Prohloubení znalostí následuje v dalších ročnících. Příklad lze nalézt na internetových stránkách učebnice SINUS, kde slouží jako příklad k procvičení na závěr kapitoly Derivace (viz [28]). Řešení: a) Derivace funkce f(x) v bodě [x 0 ; f(x 0 )] je definována pomocí limity následovně f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Pokud položíme x = x x 0 = h, lze definici přepsat ve tvaru f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. (4.3) h 0 h Poznámka. V norské učebnici matematiky SINUS 1T je již při grafickém odvozování definice derivace položeno x = h. Vlastní definice je tudíž uvedena ve pouze ve tvaru (4.3), kde je místo x 0 použito označení a. Pro x 0 = 0 (resp. a = 0) tedy platí f f(0 + h) f(0) (0) = lim. (4.4) h 0 h 41

42 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC Nejprve vyjádříme funkční hodnoty funkce f(x) v bodech x = 0+h a x = 0. f(0 + h) = 3(0 + h) 2 + 6(0 + h) 2 = 3h 2 + 6h 2 f(0) = = 2 Po dosazení do definice (4.4) dostáváme f 3h 2 + 6h (0) = lim h 0 h = lim h 0 ( 3h + 6) = = 6. = lim h 0 3h 2 + 6h h = lim h 0 h( 3h + 6) h b) Při určování derivace funkce f(x) využijeme následujících pravidel pro výpočet derivace 1. (g + h) = g + h, kde g, h jsou reálné funkce, 2. (ag) = a g, kde a je konstanta a g je reálná funkce, 3. c = 0, kde c je konstanta, 4. (x n ) = n x n 1. Pak je f (x) = ( 3x 2 + 6x 2) = 6x + 6. c) Při hledání intervalů, kde je funkce rostoucí a kde klesající, využijeme tabulky, do níž zaneseme znaménko hodnoty první derivace f (x) = 6x + 6 = 6(1 x). = x x (, 1) x (1, ) f (x) + - Funkce f(x) je rostoucí pro x (, 1) a klesající na intervalu (1, ). d) Rovnice tečny ke grafu funkce f(x) v bodě [x 0, f(x 0 )] má tvar y = f (x 0 ) x + b. V příkladu a) jsme vypočítali, že f (0) = 6. Pak dostáváme y = 6x + b. Konstantu b dopočítáme díky znalosti souřadnic bodu, který leží na dané 42

43 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC tečně. Takovým bodem je bod dotyku [0, f(0)] = [0, 2]. Dosazením x-ové a y-ové souřadnice získáme rovnici 2 = b, z čehož vyplývá b = 2. Rovnice tečny grafu f(x) v bodě [0, f(0)] je proto y = 6x 2. e) Graf funkce f(x) s tečnou v bodě [0, f(0)]. Graf funkce f(x). Zdroj: Sinus Cappelen [29] Příklad 4.4. V Lilleviku bylo krásné teplé léto. x-tý den v červenci byla teplota vody v jezeře T (x) měřená ve stupních Celsia T (x) = 0, 007x 3 + 0, 21x 2 1, 344x + 18, x [0, 21], (4.5) kde x = 0 odpovídá 30. červnu. a) Nakreslete graf funkce T (x). b) Vypočítejte, kdy byla v daném období teplota vody v jezeře nejnižší. Jaká byla tato teplota? c) Vypočítejte, kdy byla v daném období teplota vody v jezeře nejvyšší. Jaká byla tato teplota? d) V jakém období teplota vody v jezeře rostla? 43

44 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC Komentář: V tomto příkladu je testována schopnost využití vlastností funkce v praxi. Příklad přímo navazuje na předchozí 4.3, je tedy zařazen v prvním ročníku v předmětu Matematika 1T. Řešení: a) Graf funkce T(x). Graf funkce T(x). Zdroj: Sinus Cappelen [29] b) Pokud hledáme, kdy byla v jezeře nejnižší teplota, znamená to, že hledáme minimum funkce T (x). To nalezneme pomocí znalosti znaménka první derivace funkce T (x) a stacionárních bodů. Nejprve vypočítáme derivaci T (x) = ( 0, 007x 3 + 0, 21x 2 1, 344x + 18) = 0, 021x 2 + 0, 42x 1, 344 a úpravami získáme součinový tvar T (x) = 0, 021(x 2 20x + 64) = 0, 021(x 4)(x 16). Nulovými body jsou x = 4 a x = 16. Stacionárními body tedy jsou [4; f(4)] =. [4; 15, 5] a [16; f(16)] =. [16; 21, 6]. Pomocí tabulky 4.1 nyní určíme znaménko první derivace dané funkce T (x). Před bodem x = 4 je hodnota derivace T (x) záporná, takže funkce T (x) na intervalu x 0, 4) klesá. Na intervalu x (4, 16) je derivace T (x) naopak kladná. Funkce T (x) zde tudíž roste. Na posledním intervalu je funkce T (x) opět klesající. 44

45 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC x x 0, 4) x (4, 16) x (16, 21-0, x x T (x) Tabulka 4.1: Tabulka se znaménky první derivace. Z toho vyplývá, že funkce T (x) má v bodě [4; T (4)] minimum a v bodě [16; T (16)]. = [16; 21, 6] lokální maximum.. = [4; 15, 5] lokální Nyní je však třeba vyšetřit také body na hranici intervalu, tedy body pro něž je x = 0 a x = 21. Funkční hodnota pro x = 0 je 18. To znamená, že 30. června byla teplota vody v jezeře v Lilleviku 18 stupňů Celsia. Poslední zkoumaný den, tedy 21. července (x = 21), byla tato hodnota nižší, a to přibližně 17,6 stupňů Celsia. Porovnáním všech hodnot zjistíme, že nejnižší teplota vody byla pro x = 4, což odpovídá 4. červenci. Tato teplota byla 15,5 stupňů Celsia. c) Z předchozích výpočtů, viz b), vyplývá, že nejvyšší teplota vody byla v jezeře v Lilleviku 16. července, a to přibližně 21,6 stupňů Celsia. d) Interval, v němž teplota vody v jezeře rostla, lze zjistit z tabulky 4.1. Funkce T (x) je totiž rostoucí právě tehdy, když je její první derivace T (x) kladná. Z výše zmíněné tabulky vyplývá, že tato podmínka je splněna pro interval x (4, 16). Teplota vody v jezeře tudíž rostla od 4. do 16. července. Příklad 4.5. Obchod s potravinami potřebuje přestěhovat svůj sklad do jiné lokality. Celkem je zapotřebí přestěhovat 900 m 3 chlazených výrobků a 1200 m 3 výrobků, které nevyžadují chlazení. 45

46 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC Půjčovna nákladních aut nabízí dva typy automobilů. Typ I může odvézt 20 m 3 chlazeného zboží a 40 m 3 ostatního zboží. Typ II odveze 30 m 3 chlazeného zboží a 30 m 3 ostatního zboží. Manažer obchodu zvažuje možnost vypůjčení si obou nákladních automobilů. Předpokládejme, že automobil typu I bylo třeba použít x krát a automobil typu II y krát. a) Graficky znázorněte oblast vymezenou možnými hodnotami neznámých x a y. b) Určete, kolikrát musí být využit každý z automobilů, aby byly náklady na přepravu co nejnižší. Pokud půjčovné nákladního automobilu typu I je 3000 kr za jednu cestu (tam a zpět) a půjčovné automobilu typu II je 4000 kr za cestu. Komentář: Tento typ příkladu se vyskytuje v druhém ročníku při studiu matematiky S1. Jedná se o typický příklad toho, jak se v Norsku klade důraz na schopnost řešit tzv. příklady ze života. Příklad spadá do učiva Lineární optimalizace (viz [30]). Podrobné řešení tohoto příkladu odpovídá postupu, který je používán v Norsku (viz také [31]). Řešení: a) Víme, že chlazených výrobků musí být přepraveno 900 m 3. Přepravní kapacita tedy musí být minimálně 900 m 3. Ze zadání vyplývá, že x značí počet jízd, které musí vykonat automobil typu I, jehož přepravní kapacita pro chlazené výrobky je 20 m 3. Obdobně y značí počet jízd, které vykoná automobil typu II s přepravní kapacitou 30 m 3 chlazených výrobků. Pak dostáváme nerovnici 20x + 30y 900. Naopak zboží, které nepotřebuje chlazení, je 1200 m 3. Proto musí být při daném počtu jízd tento objem minimální přepravní kapacita, tedy 40x + 30y = Zároveň platí, že x 0 a y 0, nebot počty jízd nemohou být záporné. 46

47 KAPITOLA 4. PŘÍKLADY Z NORSKÝCH UČEBNIC Tím jsme dostali soustavu čtyř nerovnic y 2 3 x + 30, y 4 3 x + 40, x 0, y 0. Grafické řešení této soustavy je znázorněno níže. Vymezení oblasti možných hodnot x a y. Zdroj: Sinus Cappelen [31] b) V předchozím grafu je barevně vymezena oblast všech možných řešení (tzn. uspořádaných dvojic [x, y], které vyhovují současně všem čtyřem nerovnicím). Na hranici této oblasti jsou vyznačeny body A = [0, 40], B = [15, 20], C = [45, 0]. Tyto body jsou specifické tím, že mají bud nejnižší hodnotu x-ové souřadnice, nejnižší hodnotu y-ové souřadnice, nebo nejnižší možné souřadnice x a y současně. Funkci, která určuje náklady na dopravu označíme z. Za jednu cestu automobilem typu I zaplatí obchod kr a počet jízd značíme x. Náklady na jednu cestu automobilem typu II zaplatí kr a počet takovýchto cest značíme y. 47