Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015"

Transkript

1 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška října 2015

2 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce

3 Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární algebra (kap. 2,3) 2 Diferenciální počet: 3 Integrální počet: 4 Opakování středoškolské matematiky

4 Několik pojmů 4/ 41 Číselné množiny 1 Přirozená čísla N = {1, 2, 3,..., n,... } operace: sčítání a násobení 2 Celá čísla Z = {..., n,..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., n,... } operace: sčítání, odčítání, násobení { } p 3 Racionální čísla Q =, p, q Z, q 0 q (konečný nebo nekonečný periodický desetinný rozvoj) operace: sčítání, odčítání, násobení, dělení 4 Reálná čísla R: množina racionálních a iracionálních čísel (iracionální čísla: nekonečný neperiodický desetinný rozvoj 2, π) 5 Rozšířená množina reálných čísel R = R {, + }

5 Operace s (+ ) a ( ) 5/ 41 1 pro x R definujeme: x + (+ ) = +, x + ( ) =, x (+ ) = x x ( ) = +, + = 0, x = 0 2 (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) =, (+ ) ( ) = +, ( ) (+ ) =, (+ ) (+ ) = +, (+ ) ( ) =, ( ) ( ) = + 3 pro x R \ {0} definujeme: pro x > 0 pro x < 0 x (+ ) = + x (+ ) = x ( ) = x ( ) = = + = x x = = + x x 4 nedefinované výrazy: dělení nulou, (+ ) (+ ), ( ) ( ), (+ ) + ( ) ±, 0 (± ), 1 ±, + jsou nevlastní body R

6 Pomocné pojmy 6/ 41 Okoĺı bodu v R Je-li x 0 R, pak okoĺım bodu x 0 nazýváme každý interval (x 0 ε, x 0 + ε), kde ε > 0; značení U ε (x 0 ) nebo U(x 0 ). prstencové okoĺı bodu x 0 R: množina U(x 0 ) \ {x 0 } okoĺı + interval (a, ), a R okoĺı interval (, a), a R levé okoĺı bodu x 0 R: interval (x 0 ε, x 0 ), ε > 0 pravé okoĺı bodu x 0 R: interval (x 0, x 0 + ε), ε > 0 Extrémy množin v R: minimum a maximum maximum množiny M R: číslo y M, takové, že x M : x y. minimum množiny M R: číslo z M, takové, že x M : x y. Ne každá množina v R musí mít extrém (tj. minimum nebo maximum množiny M může, ale nemusí existovat).

7 Pojmy 7/ 41 Funkce (reálná funkce jedné reálné proměnné) na množině D je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. definiční obor D(f ): maximální množina těch x R, pro která má předpis smysl obor hodnot funkce: H(f ) = {y R : x D(f ) : y = f (x)}, graf funkce:g(f ) = {[x, f (x)] R 2 ; x D(f )} rovnost funkcí: f = r [D(f ) = D(g) ( x D(f ) : f (x) = g(x))] funkce zdola, shora omezená funkce rostoucí, klesající, monotónní funkce prostá: x 1, x 2 D(f ), x 1 x 2 : f (x 1 ) f (x 2 ), funkce sudá: x D(f ) : x D(f ) f ( x) = f (x), funkce lichá: x D(f ) : x D(f ) f ( x) = f (x), periodická: T R : x D(f ) : x + T D(f ) f (x + T ) = f (x),

8 Operace s funkcemi 8/ 41 součet funkcí f a g je funkce h: h(x) = f (x) + g(x) pro x D(f ) g(x), analogicky rozdíl, součin funkcí; podíl funkcí f a g je funkce h: h(x) = f (x) pro x [D(f ) D(g)] \ {x D(g) : g(x) = 0}, g(x) absolutní hodnota funkce f je funkce h: h(x) = f (x) pro x D(f ); restrikce funkce (tj. zúžení funkce) Je-li f funkce a A D(f ), pak funkci, definovanou pouze na A, která každému x A přiřazuje tutéž hodnotu jako funkce f (tj. f (x) ), nazýváme restrikcí funkce f na množinu A. složená funkce Jsou-li f a g funkce pro která platí H(g) D(f ), lze definovat složenou funkci h(x) = f (g(x)) pro x D(g). inverzní funkce f 1 k prosté funkci f : x D(f ) : y = f (x) x = f 1 (y), D(f 1 ) = H(f )

9 Transformace grafu funkce 9/ 41 f 1 : y = f(x) f 2 : y = f( x) f 3 : y = f(x) + b f 4 : y = f(x a) f 5 : y = k f(x) f 6 : y = f(mx)

10 Základní elementární funkce Základní elementární funkce: funkce exponenciální a logaritmické, mocninné, goniometrické a cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické. Elementární funkce: lze vytvořit ze základníıch elementárních funkcí pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání funkcí. logaritmická funkce exponenciální funkce

11

12

13 Eulerovo číslo e, exponenciální funkce e x 13/ 41 ( e= lim ) n e= n n k=0 1 k!

14 Přirozený logaritmus: (ln x) inverzní funkce k e x 14/ 41

15 Mocninná funkce 15/ 41 Obecná mocninná funkce x α je definovaná : x α = e α ln x pro x > 0, α R, D(x α ) = (0, ) Pro některé exponenty α lze D(x α )rozšířit. Mocninná funkce s přirozeným exponentem a n tá odmocnina. Sudé n: inverzní: D(f ) = R, H(f ) = 0, ) D(f ) = 0, ), H(f ) = R

16 Mocninná funkce s přirozeným exponentem a n tá odmocnina (liché n) 16/ 41. D(f ) = R, H(f ) = R D(f ) = R, H(f ) = R

17 Mocninná funkce se záporným celým exponentem 17/ 41 f : y = x n, n N, x R \ {0} lichý exponent sudý exponent D(f ) = R \ {0}, H(f ) = (0, ) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}

18 Mocninná funkce s racionálním exponentem 18/ 41 r Q \ Z, r = p, p Z, q N, q 2, p, q : nesoudělná q f : y = x p q = q x p Definiční obor: p > 0, q liché: D(f ) = R p < 0, q liché: D(f ) = R \ {0} p > 0, q sudé: D(f ) = 0, ) p < 0, q sudé: D(f ) = (0, ) Mocninná funkce s reálným exponentem: f : y = x r, x R +, r R \ Q Mocninná funkce s nulovým exponentem: f : y = x r, x R, r = 0 : x 0 = 1

19 Mocninná funkce 19/ 41

20 Goniometrické funkce a cyklometrické funkce 20/ 41 D(f ) : 1, 1, H(f ) : π 2, π 2 D(f ) : 1, 1, H(f ) : 0, π

21 Hyperbolické funkce 21/ 41

22 Hyperbolometrické funkce 22/ 41

23 Definiční obory funkcí : příklady 23/ 41 1 a)y = 1 x b)y = x 1 x 2 4 c)y = x 1 2 a)y = x 2 3x + 2 b)y = 4 x + 1 x 1 c)y = 1 x x a)y = 3 x + 1 x 2 3x + 2 b)y = 5 x 1 c)y = 1 x x a)y = ln(cos x) b)y = ln 5x x 2 4

24 Limita funkce 24/ 41 Vlastní limita funkce ve vlastním bodě lim f (x) = A x x 0 ε R + δ R + x (x 0 δ, x 0 +δ)\{x 0 } : f (x) (A ε, A+ε) Nevlastní limita funkce ve vlastním bodě lim f (x) = + x x 0 M R δ R + x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 } : f (x) > M Vlastní limita funkce ve nevlastním bodě lim f (x) = A x ε R + K R x R : f (x) (A ε, A + ε) Nevlastní limita funkce ve nevlastním bodě lim f (x) = x M R K R xr, x > K : f (x) > M

25 Vlastnosti limit 25/ 41 1 Věta: Necht x 0 R, A R. Limita v bodě x 0 existuje právě tehdy, když v tomto bodě existují obě jednostranné limity a jsou stejné. 2 Věta: Funkce má v bodě x 0 R nejvýše jednu limitu. 3 Věta (Henrich Eduard Heine): Necht x 0 R, A R a funkce f je definovaná na nějakém prstencovém okoĺı bodu x 0. Potom lim x x 0 f (x) = A právě když pro každou posloupnost {x n } takovou, že pro každé n N je x n v tomto prstencovém okoĺı, platí lim x n = x 0 lim f (x n) = A n n 4 Věta: Necht x 0 R a necht existují lim x x0 f (x), lim x x0 g(x). Platí: 1 lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim x x0 x x0 2 lim f (x)g(x) = lim f (x) lim x x0 x x0 f (x) 3 lim x x0 g(x) = lim x x 0 f (x) lim x x0 g(x) 4 lim x x0 f (x) = lim x x0 f (x) g(x) x x0 g(x) x x0

26 Spojitost funkce 26/ 41 Funkce je spojitá v bodě x 0 R, jestliže platí: lim x x0 f (x) = f (x 0 ) Je-li funkce f spojitá v bodě x 0, potom existuje vlastní limita funkce f v bodě x 0 funkce f je definovaná v bodě x 0 (f (x 0 )) hodnota funkce a její limity se rovnají Vlastnost spojitých funkcí 1 Věta: Necht funkce f a g jsou spojité v bodě x 0 R. Pak i funkce f ± g a f g jsou spojité v bodě x 0. Je-li navíc g(x 0 ) 0, je i funkce f /g spojitá v bodě x 0. 2 Věta: Necht funkce f je spojitá v bodě x 0 R a necht funkce g je spojitá v bodě f (x 0 ). Potom funkce g(f (x)) je spojitá v bodě x 0. 3 Věta: Necht f je základní elementární funkce a necht x 0 je vnitřním bodem definičního oboru D(f ). Potom funkce f je spojitá v bodě x 0.

27 Výpočet limit 27/ 41 Limity funkcí spojitých v bodě: dosazení. Věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu. (počítání s ± ) Limita funkcí shodujících se v prstencovém okoĺı bodu (úprava zkrácení rozšíření zlomku vytýkání ) Věta o sevření Věta o součinu nulové a omezené funkce Věta o limitě složené funkce Věta ( o limitě) typu 1/0 ( ) = + 0 =

28 Derivace 28/ 41 Definice: Nectt x 0 D(f ). Existuje-li limita f (x) f (x 0 ) lim, x x 0 x x 0 značíme ji f (x 0 ) a nazýváme derivací funkce f v bodě x 0. Je-li f (x 0 ) R, pak funkce f má v bodě x 0 vlastní derivaci. Je-li f (x 0 ) = ±, pak funkce f má v bodě x 0 nevlastní derivaci. Věta: Má li funkce f v bodě x 0 vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá. Definice: Necht existuje vlastní derivace f (x) funkce f pro všechna x M D(f ). Pak funkci f : y = f (x), x M nazýváme derivací funkce f na M.

29 Pravidla pro derivování 29/ 41 1 (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ) 2 (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ) ( ) f 3 (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g g 2 (x 0 ) 4 (cf ) (x 0 ) = cf (x 0 ) 5 složená funkce F = f (g(x)), existuje derivace g v bodě x 0 a derivace f v bodě u 0 = g(x 0 ). Potom složená funkce F má derivaci v bodě x 0 a platí F (x 0 ) = f (u 0 ) g (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ) 6 derivace funkce tvaru f (x) g(x) f (x) g(x) g(x) ln f (x) = e

30 Derivace základních funkcí 30/ 41

31 Tečna a normála 31/ 41 Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0)

32 Základní věty diferenciálního počtu 32/ 41 Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht funkce f je spojitá v uzavřeném intervalu a, b a necht má derivaci v otevřenén intervalu (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b): f (ξ) = f (b) f (a) b a l Hospitalovo pravidlo Necht x 0 R a je splněna jedna z podmínek: lim f (x) = lim g(x) = 0 nebo lim f (x) = lim g(x) = x x0 x x0 x x0 x x0 f (x) Potom existuje-li lim x x0 g (x), existuje i limita lim x x 0 f (x) g(x) a platí lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x)

33 Monotonie, extrémy 33/ 41 Věta. Necht funkce f je spojitá v intervalu I. Pak platí implikace: f > 0 f je v intervalu I rostoucí f 0 f je v intervalu I neklesající f < 0 f je v intervalu I klesající f 0 f je v intervalu I nerostoucí f = 0 f je v intervalu I konstantní Lokální extrémy Funkce má v bodě x 0 lokální minimum (lokální maximum), existuje-li okoĺı P(x 0 ) bodu x 0, že pro všechna x P(x 0 ) platí: f (x) f (x 0 ) (resp. f (x) f (x 0 ). Věta Má-li funkce f v bodě x 0 lokální extrém a existuje-li f (x 0 ), je f (x 0 ) = 0. To znamená, že funkce může nabývat svých lokálních extrémů na intervalu I v těch vnitřních bodech intervalu I, ve kterých: nemá derivaci derivace je rovna nule

34 Konvexní a konkávní funkce 34/ 41 Věta. Necht funkce f je spojitá v intervalu I. Pak platí implikace: f > 0 f je v intervalu I ryze konvexní f 0 f je v intervalu I konvexní f < 0 f je v intervalu I ryze konkávní f 0 f je v intervalu I konkávní f = 0 f je v intervalu I lineární Inflexní bod Bod [x 0, f (x 0 )] je inflexním bodem funkce f, jestliže existuje f (x 0 ) R a funkce f je v nějakém levém okoĺı bodu x 0 ryze konvexní a nějakém pravém okoĺı bodu x 0 ryze konkávní (resp. naopak). (Tj. konvexnost se mění na konkávnost (resp. naopak).)

35 Asymptoty 35/ 41 Rovnice asymptot. svislá: x = x 0, pokud aspoň jedna jednostranná limita pro x x 0 je ± šikmá: y = kx + q, kde k = lim f (x) x, q = lim f (x) kx

36 Průběh funkce 1 Pro funkci určíme: 1 definiční obor D(f ), 2 zda je (není) sudá, lichá, periodická 3 průsečíky s osami souřadnic (pokud existují) 4 jednostranné limity v krajních bodech D(f ) 2 Vypočteme a vyšetříme derivaci f (x) : > 0 f (x) je rostoucí f (x) < 0 f (x) je klesající = 0 stacionární body 3 Vypočteme a vyšetříme druhou derivaci f (x) : > 0 f (x) je ryze konvexní f (x) < 0 f (x) je ryze konkávní = 0 možné inflexní body 4 Najdeme rovnice asymptot. svislá: x = x 0, pokud aspoň jedna jednostranná limita pro x x 0 je ± šikmá: y = kx + q, kde k = lim f (x) x, q = lim f (x) kx 5 Graf.

37 Půběh funkce y = x 2 +1 x Pro funkci určíme: 1 definiční obor D(f ) = (, 1) ( 1, 1) (1, ), 2 zda je sudá: f ( x) = ( x)2 + 1 ( x) 2 1 = x x 2 = f (x) je sudá. 1 Proto vyšetříme průběh pouze na množině 0, 1) (1, + ) 3 průsečíky s osami souřadnic (pokud existují): x = 0 y = 1 Y = [0, 1]; y 0 x D(f ) 4 jednostranné limity v krajních bodech D(f ): x lim x x 2 1 = 1 x lim x 1 + x 2 1 = x (x 1)(x 1) = = + lim x 1 x x 2 1 = x (x 1)(x 1) = 2 0 =

38 Průběh y = x 2 +1 x Určíme derivaci: : 1. a 2. derivace y = 2x(x 2 1) (x 2 + 1) 2x (x 2 1) 2 = 4x (x 2 1) 2 4x (x 2 1) 2 > 0 x (, 1) f (x) je rostoucí x ( 1, 0) f (x) je rostoucí < 0 x (0, 1) f (x) je klesající x (1, ) f (x) je klesající = 0 x = 0 M = [0, 1] lokální maximum 3. Určíme druhou derivaci: y = 4(x 2 1) 2 + 4x 2(x 2 1) 2x (x 2 1) 4 = 12x (x 2 1) 3 12x (x 2 1) 3 > 0 x 2 1 > 0 x (, 1) f (x) je konvexní x (1, ) f (x) je konvexní < 0 x 2 1 < 0 x ( 1, 1) f (x) je konkávní 0 nemá inflexní body

39 Průběh y = x 2 +1 x 2 1 : Asymptoty svislá: x = x 0, pokud aspoň jedna jednostranná limita pro x x 0 je ± x lim x 1 + x 2 1 = lim x x +1 x 2 1 = Tedy přímky x = 1 a x = 1 jsou svislými asymptotami. šikmá: y = kx + q, kde k = lim f (x) x, q = lim f (x) kx f (x) x lim = lim x x x + (x 2 1)x = 0 x lim f (x) 0 x = lim x x x 2 1 = 1 Přímka y = 1 je šikmá asymptota.

40 Globální (absolutní) extrémy Definice: Necht M D(f ) a x 0 M. Funkce f nabývá na množině M globálního maxima (resp. globálního minima) v bodě x 0, jestliže pro všechna x M platí f (x) f (x 0 ) (resp. f (x) f (x 0 )). Spojitá funkce na uzavřeném intervalu a, b nabývá absolutních extrémů. Extrémy mohou být: v bodě lokálního extrému na (a, b) nebo v krajních bodech a, b. Příklad: y = 1 5 (x 2 + 2x) 4 = 1 (x 2 + 2x) 4 5, na intervalu 1, 2. Stacionární body: y 4 = 0 : 5 (x 2 + 2x) 1 5 (2x + 2) = 0 x = 1 Derivace neexistuje (ale funkce je definovaná) ( jmenovatel = 0) x = 0 1, 2, x = 2 1, 2 Hodnoty funkce : a = 1 x = 0 b = 2 f ( 1) = 0 f (0) = 1 f (2) = max min

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

, f g jsou elementární funkce.

, f g jsou elementární funkce. Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

a = a 0.a 1 a 2 a 3...

a = a 0.a 1 a 2 a 3... Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829,

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829, 1 ÚVOD 1.1 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 1.2 Předpokládané znalosti ze střední

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Cvičení Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír a

Více

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. @121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni. KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje.

Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje. Číslo projektu Škola Autor Číslo materiálu Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Mgr. Renata

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i Přednáška č. 6 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 6 29. října 2007 1 / 64 Přehled elementárních funkcí Jde o pojem spíše historický než matematický. Vymezuje se několik (základních)

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více