Matematika (KMI/PMATE)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika (KMI/PMATE)"

Transkript

1 Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30

2 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární funkce pojem limity funkce v bodě vlastní limita funkce jednostranné limity nevlastní limita funkce limita funkce v nevlastním bodě spojitost funkce spojitost funkce v bodě spojitost funkce na otevřeném intervalu spojitost funkce na uzavřeném intervalu početní operace s limitami Matematika (KMI/PMATE) 2 / 30

3 Lineární funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q k... směrnice, q... absolutní člen D(f) = R H(f) = R Příklady lineárních funkcí f(x) = 3x 2 k = 3, q = 2 f(x) = 2x 5 k = 2, q = 5 f(x) = 5x + 1 k = 5, q = 1 f(x) = 3x + 1 k = 3, q = 1 Matematika (KMI/PMATE) 3 / 30

4 Graf lineární funkce Grafem lineární funkce je přímka. Na obrázcích jsou uvedeny grafy funkcí f(x) = 2x 1 a f(x) = x + 4. Graf funkce f(x) = 2x 1 Graf funkce f(x) = x + 4 Matematika (KMI/PMATE) 4 / 30

5 Lineární funkce - shrnutí Mějme lineární funkci f(x) = kx + q. Hodnota q odpovídá funkční hodnotě pro x = 0. Je tedy q = f(0). Graf lineární funkce protíná svislou osu ve výšce q. Hodnota směrnice k je rovna změně funkční hodnoty v případě, že hodnota x se zvětší o jednotku. Hodnota směrnice k ovlivňuje sklon grafu lineární funkce - čím větší hodnota k, tím větší sklon dané přímky. Obecně je k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1. Matematika (KMI/PMATE) 5 / 30

6 Lineární funkce - shrnutí Mějme lineární funkci f(x) = kx + q. Hodnota q odpovídá funkční hodnotě pro x = 0. Je tedy q = f(0). Graf lineární funkce protíná svislou osu ve výšce q. Hodnota směrnice k je rovna změně funkční hodnoty v případě, že hodnota x se zvětší o jednotku. Hodnota směrnice k ovlivňuje sklon grafu lineární funkce - čím větší hodnota k, tím větší sklon dané přímky. Obecně je k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1. Matematika (KMI/PMATE) 5 / 30

7 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

8 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5, , f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9, , Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

9 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5, , f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9, , Závěr: Čím bĺıž je x číslu 5, tím bĺıž je f(x) číslu 9. Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

10 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5, , f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9, , Závěr: Čím bĺıž je x číslu 5, tím bĺıž je f(x) číslu 9. Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

11 Limita funkce Limita funkce Tento druh závislosti označujeme symbolem a čteme: lim(x + 4) = 9 x 5 limita funkce f(x) = x + 4 pro x jdoucí k pěti je rovna devíti. Otázka: Proč tak složitě? Proč to děláme tak složitě? Proč pouze nedosadíme za x číslo 5 do předpisu funkce f(x) = x + 4? Je přeci zřejmé, že platí f(5) = = 9. Matematika (KMI/PMATE) 7 / 30

12 Limita funkce Limita funkce Tento druh závislosti označujeme symbolem a čteme: lim(x + 4) = 9 x 5 limita funkce f(x) = x + 4 pro x jdoucí k pěti je rovna devíti. Otázka: Proč tak složitě? Proč to děláme tak složitě? Proč pouze nedosadíme za x číslo 5 do předpisu funkce f(x) = x + 4? Je přeci zřejmé, že platí f(5) = = 9. Matematika (KMI/PMATE) 7 / 30

13 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

14 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

15 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Proč nás zajímá hodnota v bodě x = 2? Proč je limita rovna právě 4? Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

16 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Proč nás zajímá hodnota v bodě x = 2? Proč je limita rovna právě 4? Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

17 Limita funkce Odpověd na první otázku Limity nám pomáhají např. najít extrémní (největší a nejmenší) funkční hodnoty. Využíváme přitom pojem tečny grafu funkce. Tečna ke grafu funkce f(x) v bodě a. Připomeňme, že směrnici přímky, která prochází body o souřadnicích [a, f(a)] a [x, f(x)] lze vypočítat dle vzorce k = f(x) f(a). x a Tečna ke grafu funkce a její směrnice Matematika (KMI/PMATE) 9 / 30

18 Limita funkce Odpověd na druhou otázku Je: x 2 4 x 2 (x 2)(x + 2) =. x 2 Pro všechna x 2 je (x 2)(x + 2) x 2 = x + 2. x 1,9 1,99 1, ,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999? 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 10 / 30

19 Limita funkce Odpověd na druhou otázku Je: x 2 4 x 2 (x 2)(x + 2) =. x 2 Pro všechna x 2 je (x 2)(x + 2) x 2 = x + 2. x 1,9 1,99 1, ,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999? 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 10 / 30

20 Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30

21 Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Nakreslete graf funkce f(x)! Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30

22 Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Nakreslete graf funkce f(x)! Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30

23 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

24 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

25 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Při přibližování zleva dostáváme jiné hodnoty, než při přibližování zprava (nakreslete graf funkce). Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

26 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Při přibližování zleva dostáváme jiné hodnoty, než při přibližování zprava (nakreslete graf funkce). Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

27 Limita funkce Neformální definice Necht platí, že pro x bĺıžící se číslu a (zleva i zprava) se funkční hodnoty funkce f(x) bĺıží jednomu číslu b. Potom říkáme, že f(x) se bĺıží b pro x jdoucí k a, resp. že limita f(x) pro x a je (rovna číslu) b. Píšeme lim f(x) = b. x a Jestliže se hodnoty f(x) nebĺıží k jedné konkrétní hodnotě b pro x jdoucí k číslu a (zprava i zleva), potom říkáme, že funkce f(x) nemá limitu pro x a. Matematika (KMI/PMATE) 13 / 30

28 Limita funkce Neformální definice Necht platí, že pro x bĺıžící se číslu a (zleva i zprava) se funkční hodnoty funkce f(x) bĺıží jednomu číslu b. Potom říkáme, že f(x) se bĺıží b pro x jdoucí k a, resp. že limita f(x) pro x a je (rovna číslu) b. Píšeme lim f(x) = b. x a Jestliže se hodnoty f(x) nebĺıží k jedné konkrétní hodnotě b pro x jdoucí k číslu a (zprava i zleva), potom říkáme, že funkce f(x) nemá limitu pro x a. Matematika (KMI/PMATE) 13 / 30

29 Poznámky k definici Je důležité, aby se funkční hodnoty f(x) bĺıžily k jednomu stejnému číslu, když se hodnota x bĺıží k číslu a z obou stran. Pokud se například f(x) bĺıží hodnotě 1 pro x = 1, 9; 1, 99; 1, 999,..., tj. pro x 2 bĺıží hodnotě 3 pro x = 2, 1; 2, 01; 2, 001,..., tj. pro x 2 + potom limita f(x) pro x 2 neexistuje. Může se stát, že funkční hodnota f(x) se nepřibližuje k žádné konkrétní hodnotě při přibližování x k a z obou stran. Potom říkáme, že limita f(x) pro x a neexistuje. V uvedené neformální definici používáme poněkud nepřesný pojem přibližovat se k.... Je nutné tuto definici upřesnit. Matematika (KMI/PMATE) 14 / 30

30 Korektní definice limity funkce Korektní definice limity funkce Řekneme, že číslo b je limitou funkce f(x) pro x a, tedy: lim f(x) = b, x a jestliže ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 15 / 30

31 Jednostranná limita funkce Definice (jednostranné) limity funkce zleva Řekneme, že lim f(x) = b, x a jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a δ, a), potom je f(x) (b ε, b + ε). Definice (jednostranné) limity funkce zprava Řekneme, že lim f(x) = b, x a + jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a, a + δ), potom je f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 16 / 30

32 Jednostranná limita funkce Příklad Necht je f(x) = x + x x. Potom je lim f(x) = 1 x 0 lim f(x) = +1 x 0 + lim x 0 f(x) neexistuje Matematika (KMI/PMATE) 17 / 30

33 Nevlastní limita funkce Příklad - nevlastní limita ( ) 1 Vypočtěte lim x 0 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). Zleva: x -0,1-0,01-0,001-0,000 1 f(x) Zprava: x 0,1 0,01 0,001 0,000 1 f(x) Matematika (KMI/PMATE) 18 / 30

34 Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30

35 Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Takovéto typy limit označujeme jako nevlastní limity a říkáme, že divergují k +, resp. k. lim f(x) =, lim x a f(x) =, lim x a x 0 1 x 2 = Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30

36 Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Takovéto typy limit označujeme jako nevlastní limity a říkáme, že divergují k +, resp. k. lim f(x) =, lim x a f(x) =, lim x a x 0 1 x 2 = Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30

37 Definice nevlastní limity funkce Definice nevlastní limity Řekneme, že lim x a f(x) =, jestliže ke každému reálnému číslu K > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí nerovnost f(x) > K. Definice nevlastní limity Řekneme, že lim x a f(x) =, jestliže ke každému reálnému číslu K < 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí nerovnost f(x) < K. Matematika (KMI/PMATE) 20 / 30

38 Limita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu lim x x x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30

39 Limita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu lim x x x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Definice limity v nevlastním bodě Řekneme, že lim x f(x) = b, jestliže pro všechna reálná čísla ε > 0 existuje reálné číslo x 0 takové, že pro všechna x (x 0, ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30

40 Limita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu lim x x x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Definice limity v nevlastním bodě Řekneme, že lim x f(x) = b, jestliže pro všechna reálná čísla ε > 0 existuje reálné číslo x 0 takové, že pro všechna x (x 0, ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30

41 Spojitost funkce Obecný náhled: Jestliže se hodnoty funkce mění plynule, tj. bez náhlých skoků, říkáme, že daná funkce je spojitá. Spojitost v bodě I Spojitost v bodě II Spojitost v bodě III Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. Funkce f(x) je spojitá v bodě a. Matematika (KMI/PMATE) 22 / 30

42 Spojitost funkce Definice spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a, jestliže existuje vlastní limita lim x a f(x) platí rovnost lim x a f(x) = f(a) Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu I, jestliže je spojitá v každém bodě intervalu I. Matematika (KMI/PMATE) 23 / 30

43 Spojitost funkce - alternativní definice Definice jednostranné spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zleva v bodě a, jestliže existuje limita zleva lim f(x) x a platí rovnost lim f(x) = f(a) x a Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zprava v bodě a, jestliže existuje limita zprava lim f(x) x a + platí rovnost lim f(x) = f(a) x a + Řekneme, že funkce je spojitá v uzavřeném intervalu a, b, jestliže je spojitá v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) a dále je spojitá zprava v bodě a a současně je spojitá zleva v bodě b. Matematika (KMI/PMATE) 24 / 30

44 Spojitost funkce Která z uvedených funkcí je spojitá na svém definičním oboru? { x + 1 pro x 2, f(x) = 5 x pro x > 2 g(x) = { x + 1 pro x < 2, 6 x pro x > 2 h(x) = 1 { x 1/x pro x 0, k(x) = 0 pro x = 0 Matematika (KMI/PMATE) 25 / 30

45 Spojitost a limita funkce Z definice spojitosti funkce v bodě plyne, že pokud víme, že v bodě a je funkce f(x) spojitá, potom lze limitu lim x a f(x) vypočítat ze vztahu lim f(x) = f(a). x a Každá funkce, která vznikne z mocninné funkce, a dále pak z goniometrických, cyklometrických, exponenciálních a logaritmických funkcí pomocí konečného počtu početních operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání, je spojitá na svém definičním oboru. Matematika (KMI/PMATE) 26 / 30

46 Operace s limitami Pravidla pro počítání s limitami V následujících vzorcích předpokládáme, že existují limity Potom platí následující vzorce: lim f(x), a lim g(x). x a x a lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x a x a x a [f(x) g(x)] = lim f(x) lim lim x a lim x a g(x) x a x a [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x a x a f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x) lim x a g(x) ( 0) Matematika (KMI/PMATE) 27 / 30

47 Významné vzorce sin x lim x 0 x = 1 e x 1 lim = 1 x 0 x a x 1 lim = ln a x 0 x ln(1 + x) lim = 1 x 0 x lim x 0 m (1 + x) n 1 x = n m Matematika (KMI/PMATE) 28 / 30

48 Významné vzorce sin x lim x 0 x = 1 e x 1 lim = 1 x 0 x a x 1 lim = ln a x 0 x ln(1 + x) lim = 1 x 0 x lim x 0 m (1 + x) n 1 x = n m Matematika (KMI/PMATE) 29 / 30

49 Sendvičová věta Předpokládejme, že existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) jsou splněny nerovnosti f(x) g(x) h(x). Dále předpokládejme, že jsou splněny rovnosti lim f(x) = lim h(x) = b. x a x a Potom existuje i limita lim x a g(x) a platí lim g(x) = b. x a Matematika (KMI/PMATE) 30 / 30

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Funkce 5. rˇı jna / 28

Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Funkce 5. rˇı jna / 28 Funkce Helena Říhová FBMI 5. října 2012 Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 1 / 28 Obsah 1 Reálná funkce jedné reálné proměnné Limita funkce Věty o limitách Spojitost funkce Význačné limity Asymptoty

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

9. Limita a spojitost funkce

9. Limita a spojitost funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 9. Limita a spojitost funkce OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a r), kde r > 0; značí se O (a,

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

Derivace a průběh funkce.

Derivace a průběh funkce. Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce 2.6. Limita funkce Nechť c R jevnitřnínebokrajníbod intervalu definičního oboru funkce f.(funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x blízkým bodu c, ale různýmod c, (tedy x (c d,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto

Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto Exponenciální funkce Exponenciální funkce je taková funkce, která má neznámou na místě exponentu. Symbolický zápis by tedy vypadal takto: f:y = a x, kde a > 0 a zároveň a 1 (pokud by se a mohlo rovnat

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

, f g jsou elementární funkce.

, f g jsou elementární funkce. Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Cvičení Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír a

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. 2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více