Matematika (KMI/PMATE)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika (KMI/PMATE)"

Transkript

1 Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30

2 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární funkce pojem limity funkce v bodě vlastní limita funkce jednostranné limity nevlastní limita funkce limita funkce v nevlastním bodě spojitost funkce spojitost funkce v bodě spojitost funkce na otevřeném intervalu spojitost funkce na uzavřeném intervalu početní operace s limitami Matematika (KMI/PMATE) 2 / 30

3 Lineární funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q k... směrnice, q... absolutní člen D(f) = R H(f) = R Příklady lineárních funkcí f(x) = 3x 2 k = 3, q = 2 f(x) = 2x 5 k = 2, q = 5 f(x) = 5x + 1 k = 5, q = 1 f(x) = 3x + 1 k = 3, q = 1 Matematika (KMI/PMATE) 3 / 30

4 Graf lineární funkce Grafem lineární funkce je přímka. Na obrázcích jsou uvedeny grafy funkcí f(x) = 2x 1 a f(x) = x + 4. Graf funkce f(x) = 2x 1 Graf funkce f(x) = x + 4 Matematika (KMI/PMATE) 4 / 30

5 Lineární funkce - shrnutí Mějme lineární funkci f(x) = kx + q. Hodnota q odpovídá funkční hodnotě pro x = 0. Je tedy q = f(0). Graf lineární funkce protíná svislou osu ve výšce q. Hodnota směrnice k je rovna změně funkční hodnoty v případě, že hodnota x se zvětší o jednotku. Hodnota směrnice k ovlivňuje sklon grafu lineární funkce - čím větší hodnota k, tím větší sklon dané přímky. Obecně je k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1. Matematika (KMI/PMATE) 5 / 30

6 Lineární funkce - shrnutí Mějme lineární funkci f(x) = kx + q. Hodnota q odpovídá funkční hodnotě pro x = 0. Je tedy q = f(0). Graf lineární funkce protíná svislou osu ve výšce q. Hodnota směrnice k je rovna změně funkční hodnoty v případě, že hodnota x se zvětší o jednotku. Hodnota směrnice k ovlivňuje sklon grafu lineární funkce - čím větší hodnota k, tím větší sklon dané přímky. Obecně je k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1. Matematika (KMI/PMATE) 5 / 30

7 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

8 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5, , f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9, , Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

9 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5, , f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9, , Závěr: Čím bĺıž je x číslu 5, tím bĺıž je f(x) číslu 9. Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

10 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5, , f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9, , Závěr: Čím bĺıž je x číslu 5, tím bĺıž je f(x) číslu 9. Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

11 Limita funkce Limita funkce Tento druh závislosti označujeme symbolem a čteme: lim(x + 4) = 9 x 5 limita funkce f(x) = x + 4 pro x jdoucí k pěti je rovna devíti. Otázka: Proč tak složitě? Proč to děláme tak složitě? Proč pouze nedosadíme za x číslo 5 do předpisu funkce f(x) = x + 4? Je přeci zřejmé, že platí f(5) = = 9. Matematika (KMI/PMATE) 7 / 30

12 Limita funkce Limita funkce Tento druh závislosti označujeme symbolem a čteme: lim(x + 4) = 9 x 5 limita funkce f(x) = x + 4 pro x jdoucí k pěti je rovna devíti. Otázka: Proč tak složitě? Proč to děláme tak složitě? Proč pouze nedosadíme za x číslo 5 do předpisu funkce f(x) = x + 4? Je přeci zřejmé, že platí f(5) = = 9. Matematika (KMI/PMATE) 7 / 30

13 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

14 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

15 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Proč nás zajímá hodnota v bodě x = 2? Proč je limita rovna právě 4? Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

16 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Proč nás zajímá hodnota v bodě x = 2? Proč je limita rovna právě 4? Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

17 Limita funkce Odpověd na první otázku Limity nám pomáhají např. najít extrémní (největší a nejmenší) funkční hodnoty. Využíváme přitom pojem tečny grafu funkce. Tečna ke grafu funkce f(x) v bodě a. Připomeňme, že směrnici přímky, která prochází body o souřadnicích [a, f(a)] a [x, f(x)] lze vypočítat dle vzorce k = f(x) f(a). x a Tečna ke grafu funkce a její směrnice Matematika (KMI/PMATE) 9 / 30

18 Limita funkce Odpověd na druhou otázku Je: x 2 4 x 2 (x 2)(x + 2) =. x 2 Pro všechna x 2 je (x 2)(x + 2) x 2 = x + 2. x 1,9 1,99 1, ,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999? 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 10 / 30

19 Limita funkce Odpověd na druhou otázku Je: x 2 4 x 2 (x 2)(x + 2) =. x 2 Pro všechna x 2 je (x 2)(x + 2) x 2 = x + 2. x 1,9 1,99 1, ,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999? 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 10 / 30

20 Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30

21 Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Nakreslete graf funkce f(x)! Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30

22 Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Nakreslete graf funkce f(x)! Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30

23 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

24 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

25 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Při přibližování zleva dostáváme jiné hodnoty, než při přibližování zprava (nakreslete graf funkce). Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

26 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Při přibližování zleva dostáváme jiné hodnoty, než při přibližování zprava (nakreslete graf funkce). Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

27 Limita funkce Neformální definice Necht platí, že pro x bĺıžící se číslu a (zleva i zprava) se funkční hodnoty funkce f(x) bĺıží jednomu číslu b. Potom říkáme, že f(x) se bĺıží b pro x jdoucí k a, resp. že limita f(x) pro x a je (rovna číslu) b. Píšeme lim f(x) = b. x a Jestliže se hodnoty f(x) nebĺıží k jedné konkrétní hodnotě b pro x jdoucí k číslu a (zprava i zleva), potom říkáme, že funkce f(x) nemá limitu pro x a. Matematika (KMI/PMATE) 13 / 30

28 Limita funkce Neformální definice Necht platí, že pro x bĺıžící se číslu a (zleva i zprava) se funkční hodnoty funkce f(x) bĺıží jednomu číslu b. Potom říkáme, že f(x) se bĺıží b pro x jdoucí k a, resp. že limita f(x) pro x a je (rovna číslu) b. Píšeme lim f(x) = b. x a Jestliže se hodnoty f(x) nebĺıží k jedné konkrétní hodnotě b pro x jdoucí k číslu a (zprava i zleva), potom říkáme, že funkce f(x) nemá limitu pro x a. Matematika (KMI/PMATE) 13 / 30

29 Poznámky k definici Je důležité, aby se funkční hodnoty f(x) bĺıžily k jednomu stejnému číslu, když se hodnota x bĺıží k číslu a z obou stran. Pokud se například f(x) bĺıží hodnotě 1 pro x = 1, 9; 1, 99; 1, 999,..., tj. pro x 2 bĺıží hodnotě 3 pro x = 2, 1; 2, 01; 2, 001,..., tj. pro x 2 + potom limita f(x) pro x 2 neexistuje. Může se stát, že funkční hodnota f(x) se nepřibližuje k žádné konkrétní hodnotě při přibližování x k a z obou stran. Potom říkáme, že limita f(x) pro x a neexistuje. V uvedené neformální definici používáme poněkud nepřesný pojem přibližovat se k.... Je nutné tuto definici upřesnit. Matematika (KMI/PMATE) 14 / 30

30 Korektní definice limity funkce Korektní definice limity funkce Řekneme, že číslo b je limitou funkce f(x) pro x a, tedy: lim f(x) = b, x a jestliže ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 15 / 30

31 Jednostranná limita funkce Definice (jednostranné) limity funkce zleva Řekneme, že lim f(x) = b, x a jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a δ, a), potom je f(x) (b ε, b + ε). Definice (jednostranné) limity funkce zprava Řekneme, že lim f(x) = b, x a + jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a, a + δ), potom je f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 16 / 30

32 Jednostranná limita funkce Příklad Necht je f(x) = x + x x. Potom je lim f(x) = 1 x 0 lim f(x) = +1 x 0 + lim x 0 f(x) neexistuje Matematika (KMI/PMATE) 17 / 30

33 Nevlastní limita funkce Příklad - nevlastní limita ( ) 1 Vypočtěte lim x 0 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). Zleva: x -0,1-0,01-0,001-0,000 1 f(x) Zprava: x 0,1 0,01 0,001 0,000 1 f(x) Matematika (KMI/PMATE) 18 / 30

34 Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30

35 Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Takovéto typy limit označujeme jako nevlastní limity a říkáme, že divergují k +, resp. k. lim f(x) =, lim x a f(x) =, lim x a x 0 1 x 2 = Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30

36 Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Takovéto typy limit označujeme jako nevlastní limity a říkáme, že divergují k +, resp. k. lim f(x) =, lim x a f(x) =, lim x a x 0 1 x 2 = Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30

37 Definice nevlastní limity funkce Definice nevlastní limity Řekneme, že lim x a f(x) =, jestliže ke každému reálnému číslu K > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí nerovnost f(x) > K. Definice nevlastní limity Řekneme, že lim x a f(x) =, jestliže ke každému reálnému číslu K < 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí nerovnost f(x) < K. Matematika (KMI/PMATE) 20 / 30

38 Limita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu lim x x x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30

39 Limita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu lim x x x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Definice limity v nevlastním bodě Řekneme, že lim x f(x) = b, jestliže pro všechna reálná čísla ε > 0 existuje reálné číslo x 0 takové, že pro všechna x (x 0, ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30

40 Limita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu lim x x x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Definice limity v nevlastním bodě Řekneme, že lim x f(x) = b, jestliže pro všechna reálná čísla ε > 0 existuje reálné číslo x 0 takové, že pro všechna x (x 0, ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30

41 Spojitost funkce Obecný náhled: Jestliže se hodnoty funkce mění plynule, tj. bez náhlých skoků, říkáme, že daná funkce je spojitá. Spojitost v bodě I Spojitost v bodě II Spojitost v bodě III Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. Funkce f(x) je spojitá v bodě a. Matematika (KMI/PMATE) 22 / 30

42 Spojitost funkce Definice spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a, jestliže existuje vlastní limita lim x a f(x) platí rovnost lim x a f(x) = f(a) Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu I, jestliže je spojitá v každém bodě intervalu I. Matematika (KMI/PMATE) 23 / 30

43 Spojitost funkce - alternativní definice Definice jednostranné spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zleva v bodě a, jestliže existuje limita zleva lim f(x) x a platí rovnost lim f(x) = f(a) x a Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zprava v bodě a, jestliže existuje limita zprava lim f(x) x a + platí rovnost lim f(x) = f(a) x a + Řekneme, že funkce je spojitá v uzavřeném intervalu a, b, jestliže je spojitá v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) a dále je spojitá zprava v bodě a a současně je spojitá zleva v bodě b. Matematika (KMI/PMATE) 24 / 30

44 Spojitost funkce Která z uvedených funkcí je spojitá na svém definičním oboru? { x + 1 pro x 2, f(x) = 5 x pro x > 2 g(x) = { x + 1 pro x < 2, 6 x pro x > 2 h(x) = 1 { x 1/x pro x 0, k(x) = 0 pro x = 0 Matematika (KMI/PMATE) 25 / 30

45 Spojitost a limita funkce Z definice spojitosti funkce v bodě plyne, že pokud víme, že v bodě a je funkce f(x) spojitá, potom lze limitu lim x a f(x) vypočítat ze vztahu lim f(x) = f(a). x a Každá funkce, která vznikne z mocninné funkce, a dále pak z goniometrických, cyklometrických, exponenciálních a logaritmických funkcí pomocí konečného počtu početních operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání, je spojitá na svém definičním oboru. Matematika (KMI/PMATE) 26 / 30

46 Operace s limitami Pravidla pro počítání s limitami V následujících vzorcích předpokládáme, že existují limity Potom platí následující vzorce: lim f(x), a lim g(x). x a x a lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x a x a x a [f(x) g(x)] = lim f(x) lim lim x a lim x a g(x) x a x a [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x a x a f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x) lim x a g(x) ( 0) Matematika (KMI/PMATE) 27 / 30

47 Významné vzorce sin x lim x 0 x = 1 e x 1 lim = 1 x 0 x a x 1 lim = ln a x 0 x ln(1 + x) lim = 1 x 0 x lim x 0 m (1 + x) n 1 x = n m Matematika (KMI/PMATE) 28 / 30

48 Významné vzorce sin x lim x 0 x = 1 e x 1 lim = 1 x 0 x a x 1 lim = ln a x 0 x ln(1 + x) lim = 1 x 0 x lim x 0 m (1 + x) n 1 x = n m Matematika (KMI/PMATE) 29 / 30

49 Sendvičová věta Předpokládejme, že existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) jsou splněny nerovnosti f(x) g(x) h(x). Dále předpokládejme, že jsou splněny rovnosti lim f(x) = lim h(x) = b. x a x a Potom existuje i limita lim x a g(x) a platí lim g(x) = b. x a Matematika (KMI/PMATE) 30 / 30

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě Název projektu Zlepšení podmínek vzdělávání SZŠ Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0358 Název školy Střední zdravotnická škola, Turnov, 28.

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

1 Zdroj napětí náhradní obvod

1 Zdroj napětí náhradní obvod 1 Zdroj napětí náhradní obvod Příklad 1. Zdroj napětí má na svorkách naprázdno napětí 6 V. Při zatížení odporem 30 Ω klesne napětí na 5,7 V. Co vše můžete o tomto zdroji říci za předpokladu, že je v celém

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast (předmět) Autor ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr CZ.1.07/1.5.00/34.0705 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Matematická skládanka násobení a dělení výrazů s mocninami

Matematická skládanka násobení a dělení výrazů s mocninami Matematická skládanka násobení a dělení výrazů s mocninami Očekávané výstupy dle RVP ZV: matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných, určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1. Obsahové vymezení předmětu Matematika prolíná celým základním vzděláváním a její výuka vede žáky především předmět Matematika zahrnuje vzdělávací Matematika

Více

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II .1.17 Parametrické sstém lineárních funkcí II Předpoklad: 11 Pedagogická poznámka: Celá hodina vznikla na základě jednoho příkladu ze sbírk úloh od Jindr Petákové. S příkladem mělo několik generací studentů

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I

2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I .. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více