Metody analýzy kritické cesty

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Metody analýzy kritické cesty"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY SEMINÁRNÍ PRÁCE Metody analýzy kritické cesty Vypracoval: Tomáš Talášek AME, I. ročník

2 Obsah 1 Základní pojmy 3 2 CPM - Critical Path Method On-line řešení CPM PERT 10 4 Závěr 11

3 Úvod V této semestrální práci se budu zabývat problémy, které vznikají s plánováním rozsáhlejších projektů ve firmách. Při plánování náročnějších projektů je velmi důležité rozvrhnout si dílčí činnosti tak, aby výsledná doba, potřebná k vykonání celého projektu byla co nejkratší. Abychom toho mohli dosáhnout, musíme si nejprve stanovit realistické požadavky na trvání jednotlivých činností (a je rozumné u každé činnosti zanechat menší časovou rezervu). Bohužel s rostoucím počtem jednotlivých činností je velmi náročné pamatovat si všechny souvislosti a umět rozvrhnout, kdy bude která činnost vykonána. Proto bylo vyvinuto několik matematických metod, které se zabývají takzvanou analýzou kritické cesty (kritická cesta nám určuje minimální délku trvání celého projektu). V roce 1957 pánové Morgan R. Walker a James E. Kelley, Jr. vytvořili metodu pro analýzu kritické cesty, zvanou Critical path method (CPM) 1, která byla nejprve využita v chemickém průmyslu 2. V současné době se všeobecně používá pro libovolné typy projektů (např. softwarový vývoj, výzkumné projekty, vývoj nových produktů... ). Tato metoda je velmi obecná a lze ji aplikovat na libovolný projekt, kde se objevují vzájemně provázané a závislé činnosti. V roce 1958 byla metoda CPM upravena a vznikla metoda Program Evaluation and Review Technique (PERT). Tato metoda se liší tím, že do metody CPM zavádí statistiku a snaží se lépe odhadnout dobu trvání celého projektu. Metoda PERT byla vyvinuta pro americké námořnictvo, konkrétně při návrhu zbraňového systému ponorky Polaris. Metodu lze použít všude, kde se používá metoda CPM, ovšem ne vždy je to vhodné (u menších projektů máme zbytečně složité výpočty). 1 V česky psaných textech lze velmi často narazit na slovní spojení metoda CPM (tato práce není výjimkou). Toto označení není zcela správné, poněvadž zkratka CPM obsahuje slovo metoda. Přesto se toto slovní spojení hojně užívá. 2 Za zmínku jistě stojí, že tato metoda byla použita i v projektu Manhattan 2

4 1 Základní pojmy Předtím, než se seznámíme s jednotlivými metodami, bude nutné zavést několik pojmů z teorie grafů, které se v těchto metodách běžně používají. Definice 1.1. Grafem ve smyslu teorie grafů rozumíme dvojici množin G = (U, H), kde U je množina uzlů a H je množina hran. Hranou rozumíme neuspořádanou dvojici [u, v], kde u U, v U jsou uzly grafu. Poznámka 1.1. V následujícím textu budeme předpokládat, že množiny U a H jsou konečné. Definice 1.2. Dva uzly, které jsou spojeny hranou, nazýváme sousední. Stupeň uzlu je dán počtem hran, které z uzlu vycházejí. Definice 1.3. Graf nazýváme úplný, jestliže pro každé dva různé uzly u U, v U platí: [u, v] H. Definice 1.4. Existuje-li v grafu alespoň jedna hrana [u, u], kde u U, nazveme ji smyčkou. Existuje-li více hran mezi dvěma uzly, nazveme je paralelními hranami. Graf, v němž se vyskytuje alespoň jedna smyčka nebo paralelní hrany, nazveme multigrafem. Poznámka 1.2. Při analýze kritické cesty použijí pouze takové grafy, který nemají žádnou smyčku ani paralelní hranu. Definice 1.5. Sledem v grafu G nazýváme posloupnost uzlů u i0, u i1,..., u ik takovou, že [u i,j 1, u i,j ] H, pro j = 1,..., k. Sled, v němž se ani jeden uzel nevyskytuje vícekrát, se nazývá cesta v G. Číslo k se nazývá délka sledu nebo cesty. Definice 1.6. Nechť h je reálná funkce definovaná na množině hran H grafu G = (U, H). Potom trojici G h = (U, H, h) nazýváme hranově ohodnoceným grafem. Definice 1.7. Orientovaným grafem rozumíme dvojici množin G 0 = (U, H), kde U je množina uzlů a H množina orientovaných hran, kterými rozumíme uspořádané dvojice (u, v), kde u U, v V jsou dva různé uzly grafu G. 3

5 Projekty budeme zobrazovat pomocí nezáporně hranově ohodnocených souvislých acyklických síťových grafů se vstupem a výstupem. Každá hrana představuje nějakou činnost, kdežto uzly představují začátky a konce činností. Hodnost hrany představuje dobu, která je potřebná pro vykonání činnosti. Různé činnosti našeho projektu na sebe mohou různě navazovat: činnosti na sebe bezprostředně navazují více činností následuje po ukončení jediné činnosti jedna činnost následuje po ukončení více činností více činností následuje po ukončení více činností mezi dvěma činnostmi může existovat více paralelních činností činnost C následuje po ukončení činnosti A a B, kdežto činnost D následuje pouze po ukončení činnosti A Projekt nejčastěji znázorňujeme graficky: Obr. 1: Grafické znázornění projektu. 4

6 2 CPM - Critical Path Method Našim cílem je nalézt nejdelší cestu v grafu, kterou nazýváme kritická cesta. Celková délka kritické cesty je dána součtem dob trvání jednotlivých činností, které na kritické cestě leží. Tato doba odpovídá minimální možné délce celého projektu. Činnost, které leží na kritické cestě se nazývají kritické. Pokud dojde k prodloužení doby, potřebné na vykonání kritické činnosti, doba potřebná na vykonání celého projektu se prodlouží. Je důležité si uvědomit, že kritická cesta nemusí být v projektu pouze jedna. Při používání metody CPM hledáme různé časové rezervy, které nám říkají, o kolik se jednotlivé činnosti mohou prodloužit případně začít později. Pokud chceme použít metodu CPM, je potřeba znát tyto informace o projektu: technologická struktura projektu pevný odhad doby trvání každé dílčí činnosti termín zahájení nebo dokončení projektu, případně celková dobu trvání projektu Používané značení: (i, j) činnost začínající v uzlu i a končící v uzlu j, i < j y ij doba trvání činnosti (i, j) T doba trvání projektu n počet uzlů v grafu t i (0) termín nejdříve možného začátku činností začínajících v uzlu i t i (0) + y ij termín nejdříve možného konce činnosti (i, j) t i (1) termín nejpozději přípustného konce činností začínajících v uzlu i t i (1) y ij termín nejpozději přípustného začátku činnosti (i, j) 5

7 Postup při řešení projektu: Nejprve stanovíme hodnotu nejdříve možných začátků t j (0): t 1 (0) = 0 t j (0) = max (i<j) (t i(0) + y ij ), j = 2, 3,..., n Následně stanovíme hodnotu nejpozději přípustných konců t i (1) t n (1) = T, pokud je T zadáno, v opačném případě t n (1) = t n (0) t i (1) = min (i<j) (t j(1) y ij ), i = n 1,..., 2, 1 Výpočet různých časových rezerv: Celková časová rezerva nám určuje maximální možné zpoždění, způsobující prodloužení činnosti, které neprodlouží celkovou dobu projektu. Předpokládáme, že všechny předchozí činnosti začaly co možná nejdříve. Celkovou časovou rezervu vypočítáme podle vzorce: CR ij = t j (1) t i (0) y ij Jestliže doba trvání projektu není předem daná, potom T = t n (0). V takovéto situaci jsou celkové časové rezervy kritických činností rovny nule. Pokud T > t n (0), pak i kritické činnosti mají celkovou časovou rezervu, která je rovna T t n (0). Pakliže by ovšem bylo T < t n (0), znamená to, že daný projekt nelze v požadovaném čase realizovat. V takovémto případě se musíme pokusit zkrátit dobu trvání jednotlivých činností, což vetšinou znamená růst nákladů. Volná časová rezerva nám určuje maximální možné zpoždění začátku nebo prodloužení trvání činnosti, které neovlivní nejdříve možné doby začátku všech bezprostředně následujících činností, za předpokladu, že všechny bezprostředně předchozí činnosti byly zahájeny co možná nejdříve. Volnou časovou rezervu vypočítáme podle vzorce: V R ij = t j (0) t i (0) y ij 6

8 Závislá časová rezerva nám určuje maximální možné zpoždění začátku nebo prodloužení trvání činnosti, které neovlivní nejpozději přípustné termíny začátku všech bezprostředně následujících činností, za předpokladu, že všechny bezprostředně předchozí činnosti skončí co možná nejpozději. Závislou časovou rezervu vypočítáme podle vzorce: ZR ij = t j (1) t i (1) y ij Nezávislá časová rezerva nám určuje maximální možné zpoždění začátku nebo prodloužení trvání činností, které neovlivní nejdříve možné termíny začátku všech bezprostředně následujících činností, za předpokladu, že všechny bezprostředně předchozí činnosti skončí co možná nejpozději. Nezávislou časovou rezervu vypočítáme podle vzorce: { 0 NR ij = max t j (0) t i (1) y ij Příklad užití metody CPM při plánování koupě rodinného domu: 7

9 2.1 On-line řešení CPM Pro jednodušší řešení projektů pomocí metody CPM je vhodné použít k tomu určený software. Při hledání softwaru jsem narazil na Critical Path Calculator, který se nachází na internetové adrese path.php. Jedna se on-line nástroj, který počítá nejkratší dobu potřebnou na vykonání projektu a celkovou časovou rezervu. Použití nástroje je velmi snadné, i když se celý ovládá čistě textově. Kompletní práci s nástrojem si ukážeme na jednoduchém projektu, který popisuje zvučení kapely před koncertem. Nejprve si připravíme seznam všech činností v textové podobě. Každou činnost napíšeme na jeden řádek v takovéto syntaxi: "Název činnosti" délka "Na čem činnost závisí" Pakliže naše činnost závisí na více jiných činnostech, napíšeme je všechny za sebe. Pokud je činností více, můžeme je uložit do textového souboru a následně jej načíst pomocí pole...or upload the task list as a plain text file:. Na pořadí činností v našem seznamu nezáleží, jejich počet je omezen na Obr.4: Zadání projektu ve formě textu. V momentě, kdy máme seznam činností hotový, stačí kliknout na tlačítko Analyze project... a náš projekt bude zpracován. 8

10 Obr.3: Výsledné zpracování projektu. Critical path lenght určuje délku kritické cesty Tasks on the critical path určuje, které činnosti leží na kritické cestě (včetně začátku a konců jejich trvání) Task scheduling details nám popisuje, kdy můžou začít jednotlivé činnosti a jakou mají časovou rezervu 9

11 3 PERT Metoda PERT je zobecněním metody analýzy kritické cesty CPM. Tato metoda se používá k řízení složitých projektů majících stochastickou povahu. Dobu trvání každé dílčí činnosti zde chápe jako náhodnou proměnnou mající určité rozložení pravděpodobnosti. Empiricky bylo zjištěno, že v praxi toto nejlépe vystihuje tzv. beta rozdělení, které lépe vystihuje proměnlivost provozních podmínek. odhad. Pro každou činnost nejprve stanovíme 3 odhady doby trvání: a ij - optimistický odhad, m ij - nejpravděpodobnější odhad, b ij - pesimistický Pomocí těchto odhadů si popíšeme základní charakteristiku β-rozdělení: y ij = a ij + 4m ij + b ij 6 Postup výpočtu pro metodu PERT: Nejprve vypočítáme střední hodnoty y ij, σij 2 = (b ij a ij ) 2, σ ij = (b ij a ij ) 36 6 pro každou činnost (i,j). Následně pomocí metody CPM určíme kritickou cestu, jejíž délka bude představovat průměrnou dobu trvání projektu T. Celková doba trvání projektu pak leží v intervalu T ± σ. Příklad užití metody PERT při plánování koupě rodinného domu: 10

12 4 Závěr V této práci jsme si ukázali dvě základní metody pro analýzu kritické cesty. I když jsou tyto metody starší, pořád jsou hojně užívané pro svou jednoduchost, přehlednost a velmi uspokojivé výsledky. Navíc jsou tyto metoda velmi rychlé, jak jsme si ukázali s použitím on-line aplikace. Největším problémem těchto metod je jednoznačně příprava před samotným výpočtem. Je velmi složité odhadnout čas jednotlivých činností, zvláště pokud jsme nikdy podobnou činnost neprováděli. Tento problém se snaží vykompenzovat metoda PERT, nicméně i zde musím odhadnout doby, potřebné na vykonání činností. Sám jsem se s analýzou kritické cesty setkal několikrát v oblasti ekonomických modelů, tak v oblasti managementu. Přesto, že jsou metody CPM a PERT dostačující, objevují se i nové, vyspělejší metody (např. Critical Chain Project Management - CCPM). Nicméně tyto metody už nejsou čistě matematické, poněvadž se zaměřují i na psychologický přístup (odvozují se z teorie omezení (Theory of Constraints TOC). Literatura [1] Demel J.: Grafy a jejich aplikace, Academia Praha (2002) [2] Bohanesová E.: Matematické modely v ekonomii, Univerzita Palackého, (2010) [3] Critical Path Calculator: path.php (on-line ) [4] Wikipedie(ENG): path method (online ) 11

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Řízení projektů. Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT

Řízení projektů. Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT Řízení projektů Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT 1 Úvod základní pojmy Projekt souhrn činností, které musí být všechny realizovány, aby byl projekt dokončen Činnost

Více

Metody síťové analýzy

Metody síťové analýzy Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický

Více

Časové rezervy. Celková rezerva činnosti

Časové rezervy. Celková rezerva činnosti Časové rezervy Celková rezerva činnosti CR Volná rezerva činnosti VR Nezávislá rezerva činnosti - NR Celková rezerva činnosti Maximální počet časových jednotek, které jsou k dispozici pro provedení činnosti,

Více

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová

Více

Teorie síťových modelů a síťové plánování

Teorie síťových modelů a síťové plánování KSI PEF ČZU Teorie síťových modelů a síťové plánování Část přednášky doc. Jaroslava Švasty z předmětu systémové analýzy a modelování. Zápis obsahuje základní vymezení projektu, časového plánování a popis

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010 SÍŤOVÁ ANALÝZA Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz 1. července 2010 Obsah 1 Úvod do síťové analýzy Hlavní metody síťové analýzy a jejich charakteristika Metoda CPM Metoda PERT Nákladová analýza Metoda

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1. Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1

P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1. Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1 P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1 Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1 Vznik a historie projektového řízení Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

Projektový management

Projektový management Projektový management 2009 Ludmila Fridrichová Použité zdroje 1. Svozilová, A.: Projektový management. Praha: Grada Publishing, a.s., 2006. ISBN-80-247-1501-5 2. Němec, V.: Projektový management. Praha:

Více

Management projektu III. Fakulta sportovních studií přednáška do předmětu Projektový management ve sportu

Management projektu III. Fakulta sportovních studií přednáška do předmětu Projektový management ve sportu Management projektu III. Fakulta sportovních studií 2016 5. přednáška do předmětu Projektový management ve sportu doc. Ing. Petr Pirožek,Ph.D. Ekonomicko-správní fakulta Lipova 41a 602 00 Brno Email: pirozek@econ.muni.cz

Více

NÁSTROJE A TECHNIKY PROJEKTOVÉHO MANAGEMENTU

NÁSTROJE A TECHNIKY PROJEKTOVÉHO MANAGEMENTU NÁSTROJE A TECHNIKY PROJEKTOVÉHO MANAGEMENTU Projektová dekompozice Přednáška Teorie PM č. 2 Úvod do vybraných nástrojů projektového managementu Úvodní etapa projektu je nejdůležitější fáze projektu. Pokud

Více

M A N A G E M E N T P O D N I K U 2 Tržní postavení produktu, management a síťová analýza. LS, akad.rok 2014/2015 Management podniku - VŽ 1

M A N A G E M E N T P O D N I K U 2 Tržní postavení produktu, management a síťová analýza. LS, akad.rok 2014/2015 Management podniku - VŽ 1 M A N A G E M E N T P O D N I K U 2 Tržní postavení produktu, management a síťová analýza LS, akad.rok 2014/2015 Management podniku - VŽ 1 Tržní postavení produktu LS, akad.rok 2014/2015 Management podniku

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

Řízení projektů. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Řízení projektů. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Řízení projektů Ing. Michal Dorda, Ph.D. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Použitá literatura Tato prezentace byla vytvořena především s využitím následujících zdrojů: ŠIROKÝ, J. Aplikace počítačů v provozu vozidel.

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

A3RIP Řízení projektů. 6. seminář

A3RIP Řízení projektů. 6. seminář A3RIP Řízení projektů 6. seminář 24. 10. 2012 Obsah 1. od iniciace k plánovaní 2. plánování projektu fáze projektu činnosti (WBS) čas (Ganttův diagram, síťové diagramy) zdroje náklady rizika 3. bonusový

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy

Více

Aplikovaná informatika

Aplikovaná informatika Aplikovaná informatika Základy tvorby projektových plánů metodou CPM - projektové řízení. ZEMÁNEK, Z. PLUSKAL, D. SMETANA, B. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

APLIKACE METODY MONTE CARLO K SIMULACI KRITICKÉ CESTY (APPLICATION OF THE MONTE CARLO METHOD FOR THE SIMULATION OF A CRITICAL PATH)

APLIKACE METODY MONTE CARLO K SIMULACI KRITICKÉ CESTY (APPLICATION OF THE MONTE CARLO METHOD FOR THE SIMULATION OF A CRITICAL PATH) 21. medzinárodná vedecká konferencia Riešenie krízových situácií v špecifickom prostredí Fakulta bezpečnostného inžinierstva UNIZA, Žilina, 25. - 26. máj 216 APLIKACE METODY MONTE CARLO K SIMULACI KRITICKÉ

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Možnosti využití metody kritické cesty

Možnosti využití metody kritické cesty Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Možnosti využití metody kritické cesty Diplomová práce Vedoucí práce: Doc. Ing. Josef Holoubek, CSc. Bc. Jana Doležalová Brno 2012 Ráda bych na tomto

Více

Obecné metody systémové analýzy

Obecné metody systémové analýzy Obecné metody systémové analýzy Graf jako pojem matematické teorie grafů (nikoliv např. grafické znázornění průběhu funkce): určitý útvar (rovinný, prostorový), znázorňující vztahy (vazby, relace) mezi

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

Plánovací a odhadovací nástroje. J. Sochor, J. Ráček 1

Plánovací a odhadovací nástroje. J. Sochor, J. Ráček 1 Plánovací a odhadovací nástroje J. Sochor, J. Ráček 1 Work Breakdown Structure - WBS Typy: Proces, produkt, hybridní. Formáty: Osnova nebo grafický organizační diagram. Vysokoúrovňové WBS neukazuje závislosti

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

FAKULTA EKONOMICKÁ. Using Algorithms of Graphs Theory for Project Management in Company ŠKODA POWER

FAKULTA EKONOMICKÁ. Using Algorithms of Graphs Theory for Project Management in Company ŠKODA POWER ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA EKONOMICKÁ Diplomová práce Použití algoritmů teorie grafů pro řízení projektů ve firmě ŠKODA POWER Using Algorithms of Graphs Theory for Project Management in Company

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Křivky a plochy technické praxe

Křivky a plochy technické praxe Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř. 17. listopadu 49. Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř. 17. listopadu 49. Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř. 17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2Management

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

ISKŘ MS Project případová studie, řešení kritická cesta (CPM) PLUSKAL Dalibor

ISKŘ MS Project případová studie, řešení kritická cesta (CPM) PLUSKAL Dalibor 1 ISKŘ MS Project případová studie, řešení kritická cesta (CPM) PLUSKAL Dalibor Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Projekt: Vzdělávání pro bezpečnostní systém státu (reg. č.: CZ.1.01/2.2.00/15.0070)

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

D8 Plánování projektu

D8 Plánování projektu Projektový manažer 250+ Kariéra projektového manažera začíná u nás! D Útvarové a procesní řízení D8 Plánování projektu Toto téma obsahuje informace o správném postupu plánování projektu tak, aby byl respektován

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

5.2.6 Tabulkové řešení metod CPM a PERT

5.2.6 Tabulkové řešení metod CPM a PERT 5.2.6 Tabulkové řešení metod CPM a PERT Tabulkové řešení umožňuje algoritmizovat postupy jednotlivých metod, algoritmy realizovat programově s použitím běžného tabulkového procesoru nebo databázového prostředí.

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2009 Tereza Drechslerová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Obor: Statistika a ekonometrie

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Seminární práce. Téma: Síťové diagramy, Ganttovy diagramy

Seminární práce. Téma: Síťové diagramy, Ganttovy diagramy MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ EKONOMICKO-SPRÁVNÍ FAKULTA Seminární práce Téma: Síťové diagramy, Ganttovy diagramy Vypracovali: Šilhánek Jiří Homolka Tomáš BRNO 2005 OBSAH: 1. Hamronogramy... 1 2. Cyklogramy...

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

4 Pojem grafu, ve zkratce

4 Pojem grafu, ve zkratce Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Obecné, centrální a normované momenty

Obecné, centrální a normované momenty Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Hlavolamy a teorie grafů

Hlavolamy a teorie grafů Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není

Více

5 Metody a nástroje řízení projektů

5 Metody a nástroje řízení projektů Aplikace počítačů v provozu vozidel 55 5 Metody a nástroje řízení projektů 5.1 Vývoj nástrojů řízení Projektové řízení se zaměřovalo zejména na unikátní díla a inovace. Nástroje projektového řízení se

Více

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra ekonomických studií. Metody projektového plánování a jejich porovnání Bakalářská práce

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra ekonomických studií. Metody projektového plánování a jejich porovnání Bakalářská práce VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra ekonomických studií Metody projektového plánování a jejich porovnání Bakalářská práce Autor: Jakub Studený Vedoucí práce: Ing. Martina KUNCOVÁ, Ph.D. Jihlava,

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012 Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Projektové řízení (Projektový cyklus)

Projektové řízení (Projektový cyklus) Projektové řízení (Projektový cyklus) Vzdělávací program v rámci projektu Rekonstrukce učitelů - posílení profesní a kompetenční připravenosti učitelů (CZ.1.07/1.3.10/02.0052) 1 Projektový cyklus Metodické

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27 Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus

Více

6 Ordinální informace o kritériích

6 Ordinální informace o kritériích 6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více