X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní"

Transkript

1 ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X = x, y = hx Y = y nazýváme transformovanou náhodnou veličinou. Diskrétní rozdělení 7.. Příklad Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p X, jejíž hodnoty jsou uvedeny v tabulce. Určete pravděpodobnostní funkci p Y a střední hodnotu EY náhodné veličiny Y = X. x p X x Řešení: Určíme si hodnoty náhodné veličiny Y tak, že si je zapíšeme jako další řádek tabulky. Potom je uspořádáme jako rostoucí posloupnost a sloučíme hodnoty pravděpodobnostní funkce p X, které odpovídají různým hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní funkce x y p X x Spojité rozdělení y p Y y Náhodná veličina X má spojité rozdělení určené distribuční funkcí F X, resp. hustotu f X, fumkce h : a, b c, d je měřitelná a náhodná veličina Y = hx. Poznamenejme, pokud a >, resp. b <, pak F X x = 0 pro x a, F X x = pro X b a f X x = 0 pro x / a, b. Obdobně pro c >, resp. d <, pak F Y y = 0 pro x c, F Y y = pro X d a f Y y = 0 pro y / c, d. Algoritmus a vzorce pro výpočet rozdělení transformované náhodné veličiny. i Funkce h rostoucí v intervalu a, b a h : a, b c, d.

2 Pro y c, d je: F Y y = P Y y = P hx y = P X h y = F X h y. F Y y = 0, pro y < c; F Y y =, pro y d. Pro hustotu f Y je v intervalu c, d : f Y y = F Y y = d dy F Y y = d dy F Xh y = = F Xh y [h y] = f X h y [h y], jinde je hustota f X = 0. Je tedy pro y c, d : F Y y = F X h y, f Y y = dh y dy f X h y. 7. Příklad Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu 0, a náhodná veličina Y = ln X. Určete rozdělení náhodné veličiny Y a její střední hodnotu EY a kvantilovou funkci q Y. Řešení: Ze zadaní dostaneme pro distribuční funkci F X a hustotu f X vzorce: F X x = 0, x < 0, x, 0 x <,, x ; f X x = 0, x < 0,, 0 < x <, 0, x >. Průběhy obou funkcí jsou znázorněny na obrázcích Obr. 7.a a Obr. 7.b. F X x x Graf distribuční funkce F X Graf hustoty f X Graf ln X Obr. 7.a Obr. 7.b Obr. 7.c Z průběhu funkce ln, Obr. c, vidíme, že pro X 0, je Y, 0. Je tedy pro y, 0 f X Y ln X X F Y y = P Y y = P ln X y = P X e y = F X e y = e y. Dále je F Y y = pro y > 0. Odtud dostaneme pro hustotu, že f Y y = F Y y = e y = e y, pro y < 0,

3 f Y y = F Y y = = 0 pro y > 0. Průběhy obou charakteristik jsou znázorněny na obrázcích Obr. 7.d a Obr. 7.e. F Y y Obr. 7.d Obr. 7.e Kvantilovou funkci q y můžeme určit pomocí distribuční funkce F Y z rovnice F Y q Y α = α e q Y α = α q Y α = ln α, 0 < α <, nebo ze vztahu mezi kvantilovými funkcemi při transformaci pomocí rostoucí funkce. Je q Y α = hq X α, q X α = α q Y α = ln α, 0 < α <. ii Funkce h je klesající v intervalu a, b a h : a, b c, d. Pro y c, d je: F Y y = P Y y = P hx y = P X h y F Y y = F X h y. F Y y = 0, pro y < c; F Y y =, pro y d. Pro hustotu f Y je v intervalu c, d : f Y y f Y y = F Y y = d dy F Y y = d dy FX h y = = F Xh y [h y] = f X h y [h y], jinde je hustota f X = 0. Je tedy pro y c, d : F Y y = F X h y, f Y y = dh y dy Střední hodnota Y je rovna EY = yf Y ydy = 0 yey dy = [ye y ] 0 0 f X h y. ey dy = [ e y ] 0 =

4 nebo z původního rozdělení EY = Eln X = ln xf Xx dx = = ln x dx = [xln x] 0 0 x x dx = dx =. 7.. Příklad Náhodná veličina X má rozdělení určené hustotou f X x = π + x pro x 0 a f X x = 0 pro x < 0. Určete hustotu f Y rozdělení náhodné veličiny Y = X. Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu 0, a v něm je funkce hx = x klesající a zobrazuje tento interval na interval,. Viz Obr. 7.a a Obr. 7.b. /π f X hx x X Obr. 7.a Obr. 7.b Pro distribuční funkci je tedy F Y y = pro y. Pro zbývající hodnoty y, dostaneme pro distribuční funkci vzorec F Y y = P Y y = P X y = P y X = y y = P X = F X. Pro hustotu f Y náhodné veličiny Y dostaneme ze vzorce f Y = F Y : y, : f Y y = d dy F Y y = y F X y = f X = π + y. = Pro y, je f Y y = = 0. Poznamenejme, že k výpočtu hustoty f Y nepotřebujeme znát distribuční funkci F X. Po derivování jejího vyjádření dostaneme vzorec, který obsahuje jenom původní hustotu Průběh hustoty f Y znázorníme na obrázku Obr. 4

5 7.c. Všimeme si, že ze vzorce a z obrázku vidíme, že při lineární tranformaci dochází pouze ke změně měřítka, charakter hustotu se zachovává. /π f Y y Obr. 7.c iii Funkce h není monotónní v intervalu a, b nebo je náhodná veličina směsí náhodných veličin. V tomto případě rozdělíme interval a, b na sjednocení dílčích intervalů, v nichž je funkce h ryze monotónní. Náhodnou veličinu pak vyjádříme jako směs a jako směs ji transformujeme. Využíváme skutečnosti, že pro transformaci náhodné veličiny platí X = Mix α U, V, Y = hx Y = Mix α hu, hv. V jednodušších případech vycházíme z definice distribuční funkce, kde musíme rozřešit nerovnici hx y v závislosti na parametru y. Postupy ukážeme na příkladě Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení N0; s hustotou ϕ, a distribuční funkcí Φ, kde ϕx = π e x / a Φx = π x e t / dt, x R. Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y = X. Řešení: Výpočet pomocí distribuční funkce. Průběhy obou charakteristik znázorníme na obrázcích Obr. 7.4a a Obr. 7.4b. Hustota je sudou funkcí, platí tudíž rovnost ϕx = ϕ x. Odtud plyne, že Φx + Φ x = Φx Φ x = Φx, x 0. / π ϕx x Φx x Obr. 7.4a Obr. 7.4b Funkce Y = hx = X je sudá, klesající v intervalu, 0 a rostoucí v intervalu 0,. Nabývá hodnot z intervalu 0,. Pro hustotu 5

6 a distribuční funkci platí Pro y 0, je F Y y = f Y y = 0 pro y 0. F Y y = P Y y = P X y = P y X y = = Φ y Φ y = Φ y. Derivováním vzorce dostaneme vyjádření hustoty ve tvaru f Y y = d dy Φ y = ϕ y Po dosazení hodnoty funkce ϕ dostaneme vyjádření f Y y = πy e y/, y > 0., y 0,. y Výpočet pomocí směsi. Funkce Y = hx = X je sudá, klesající v intervalu, 0 a rostoucí v intervalu 0,. Nabývá hodnot z intervalu 0,. Pro hustotu a distribuční funkci platí F Y y = f Y y = 0 pro y 0. Náhodnou veličinu X vyjádříme jako směs X = Mix α U, V, kde náhodná veličina U nabývá zápornývh hodnot a náhodná velčina V nabývá kladných hodnot. Protože je P X < 0 = P X > 0 = Φ0 =, jsou váhové koeficienty směsi α = α =. Pro hustoty komponent směsi dostaneme f U x = ϕx, x < 0, 0, x > 0; f V x = 0, x < 0 ϕx, x > 0, Pro transformaci směsi platí vzorec X = Mix / U, V, Y = hx Y = Mix / hu, hv. U : y = hx = x, x, 0, je klesající a x = h y = y, y 0,. Podle vzorce je f hu y = f U h y dh y dy = ϕ y y = πy e y, y > 0. 6

7 V : y = hx = x, x 0,, je rostoucí a x = h y = y, y 0,. Podle vzorce je f hv y = f V h y dh y dy = ϕ y y = πy e y, y > 0. Pro hustotu náhodné veličiny Y dostaneme pro y > 0 vzorec f Y y = f huy + f hv y = πy e y, který se shodný se vzorcem získaným předchozím výpočtem. Poznámka: Rozdělení se nazývá χ, čteme chíkvadrát o jednom stupni volnosti a je jedním z nejdůležitějších ve statistice. Průběhy obou charakteristik jsou znázorněny na obrázcích Obr. 7.4c a Obr. 7.4d. Hustota f Y náhodné veličiny s tímto rozdělením není omezená lim f Y y =, y 0+ ale je integrovatelná. f Y F Y y y Obr. 7.4c Obr. 7.4d Normální rozdělení Základní vzorce a vlastnosti normálního rozdělení. Normální rozdělení Nµ; σ má náhodná veličina X s hustotou Má pak distribuční funkci f X x = πσ e x µ/ σ, x R. F X x = πσ x e t µ/ σ dt. Je pak EX = µ, DX = σ a σx = σ. Normované normální rozdělení N0;, má náhodná veličina U, která má hustotu ϕx = e u /, u R π 7

8 a distribuční funkci Platí vztahy Φu = π u e t / dt, u R. ϕu = ϕ u, Φu + Φ u =, Φ u = Φu, a f X x = x µ σ ϕx µ/σ, F Xx = Φ σ q U α = q U α, q U 0.5 = 0, q X α = σq U α + µ. 7.5 Příklad Náhodná veličina U má normované normální rozdělení N0;. Určete: a i P U <.45; ii P U > 0.4; iii P.5 < U <.. b i P U > ; ii P U < U +. c číslo ε takové, že P U < ε = Řešení: Hledané pravděpodobnosti vyčíslíme pomocí distribuční funkce Φ, jejíž hodnoty odečteme z tabulek. Je pak a i P U <.45 = Φ.45. Protože máme k dispozici tabulky Tabulka, kde je proměnná tabelována po krocích 0.0 použijeme lineární interpolace hodnot funkce Φ. Je pak i P U <.45 = Φ.45 = Φ [Φ.44 Φ.4] = 0 = /4. = ii P X > 0.4 = Φ 0.4 = [ Φ0.4] = Φ0.4 = Φ0.4 + [Φ0.44 Φ0.4] = 0 = [ ]/0 = iii P.5 < U <. = Φ. Φ.5 = = Φ. + Φ.5 = Φ. + 0 [Φ.4 Φ.] 0 + Φ. 5 [Φ.4 Φ.] = [ ]/ + 0 8

9 b [ ]/0 = = i P U > = P U > = P U < + P U > = = Φ + Φ = Φ + Φ = Φ.44 = = [ Φ.4 4 Φ.4 Φ.4] = 0.94 = 0 = [ /0] = ii P U < U + = P U U < 0 = P U U < 0 = = P < U < = Φ Φ = = c Je 0, 95 = P U < ε = P ε < U < ε = Φε Φ ε = = Φε Φε = = ε = q U0.975 =.96, když příslušnou hodnotu kvantilu nalezneme v Tabulce Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení N; 4. Vypočtěte pravděpodobnosti: a i P X <.78; ii P X >.456; iii P 4.8 < X <.6. b i P X > 5; ii P X > X + 4. c číslo ε takové, že P X < ε = Řešení: Požadované pravděpodobnosti vypočítáme pomocí distribuční funkce. Pro uvažované rozdělení je EX = µ = a DX = 4, tedy σ =. Distribuční funkce tohoto rozdělení F X u = Φ u. Je pak a i P X <.78 = F X.78 = Φ.78 = Φ.089 = ; ii P X >.456 = F X.456 = Φ.456 = = Φ.8 = Φ.8 = 0.890; iii P 4.8 < X <.6 = F X.6 F X 4.8 = = Φ.6 Φ 4.8 = Φ0.68 Φ.569 = = Φ Φ.569 = = b i P X > 5 = P X > 5 X < 5 = F X 5 + F X 5 = Φ.6 + Φ.6 = = Φ Φ.68 = Φ0.68 Φ.68 = = =. 0. ii P X > X + 4 = P X X 4 > 0 = = P X 4X + > 0 = P X < + P X > 4 = 9

10 = F X + F X 4 = Φ + Φ 4 = Φ + Φ.5 = = Φ + Φ.5 = = c 0.95 = P ε < X < + ε = F X + ε F X ε = = Φ +ε Φ ε = Φ ε Φ ε = Φ ε Φ ε = = ε = q U0.975 ε =.96 = Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení N; σ a P X > 5 = 0.. Určete parametr σ. Řešení: Je-li F X distribuční funkce daného rozdělení, pak 0. = P X > 5 = F X 5 = Φ 5 σ = Φ σ. Odtud plyne, že Φ σ = 0.8 σ = q U0.8 σ = q U 0.8 = 0.84 =.56 a σ = Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení Nµ; 9 a P X < 4 = Určete parametr µ. Řešení: Je-li F X distribuční funkce daného rozdělení, pak 0.96 = P X < 4 = F X 4 = Φ 4 µ 4 µ = q U Odtud plyne, že µ = 4 q U 0.96 = 4.75 = Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení Nµ; σ a P X < 85 = 0.9, P X < 95 = Určete parametry rozdělení a pravděpodobnost P X > 60. Řešení: Je-li F X distribuční funkce daného rozdělení, pak u µ F X u = Φ. Je pak σ 85 µ 0.9 = F X 85 = Φ 85 µ = q U 0.9 =.8 ; σ σ 95 µ 0.95 = F X 95 = Φ 95 µ = q U 0.95 =.645 ; σ σ µ +.8σ = 85 a µ +.645σ = 95 Odtud plyne, že σ = σ = 0 σ = 7.548, µ = 85.8σ = = 49.68, σ = Potom je 0

11 P X > 60 = F X 60 = Φ = = = Φ0.75 = 7.0. Příklad Délka výrobku je náhodná veličina, která má normální rozdělení se střední hodnotou µ = 7.5cm a směrodatnou odchylkou σ = 4mm. Kontrolou projdou výrobky delší než 7mm. Jaká je pravděpodobnost P k, že náhodně vybraný výrobek bude delší než 8.cm. Řešení: Délka výrobku je náhodná veličina X, která má rozdělení N75; 6, kde počítáme vše v milimetrech. Jestliže označíme F X její distribuční funkci, je pravděpodobnost toho, že výrobek projde kontrolou rovna 7 75 P X > 7 = F X 7 = Φ = Φ 0.5 = 4 = Φ0.5 = Sledovaný jev X > 8 je podmíněný, kde podmínkou je X > 7. Tedy P X > 8 X > 7 P X > 8 P k = P X > 8 X > 7 = = P X > 7 P X > 7. Je ale 8 75 P X > 8 = F X 8 = Φ = Φ.75 = 4 tedy = = 0.04, P k = = Příklad Při balení balíčků kg cukru je jejich váha náhodná veličina X, která má normální rozdělení N; 0 4. Jaká je pravděpodobnost P 0, že v krabici, která obsahuje dvacet balíčků se bude váha krabice lišit od 0kg nejvýše o 40g. Řešení: Označme si X i, i 0, váhu i tého balíčku v krabici. Váhy jednotlivých balíčků jsou na sobě nezávislé, tudíž jsou to nezávislé náhodné veličiny. Je tedy váha krabice náhodnou veličinou, která je výběrovým úhrnem Y = 0 X i. i=

12 Ta má ovšem také normální rozdělení se střední hodnotou EY = 0 = 0 a rozptylem DY = = 0.00, tedy rozdělení N0; Protože je 40 g=0.04kg, pak počítáme pravděpodobnost P 0 = P Y = P Y Jestliže si označíme F Y distribuční funkci náhodné veličiny Y, je u 0 F Y u = Φ 0.00 a tedy pro hledanou pravděpodobnost dostaneme P 0 = F Y F Y = = Φ Φ = = Φ Φ = Φ = = Φ0.894 = 0.84 = Příklad Chyby při měření mají normální rozdělení N0; 0.0. Kolik měření musíme provést, aby byla chyba průměru měření menší než ε = 0.04 s pravděpodobností P = Řešení: Jestliže si označíme hodnotu i tého měření jako M + X i, kde M je hledaná hodnota a X i je chyba i tého měření, tedy náhodná veličina, pak průměr všech měření má hodnotu n n i= M + X i = M + n n i= X i = M + X, kde náhodná veličina X představuje chybu průměru měření. Protože jsou jednotlivá měření na sobě nezávislá, má náhodná veličina X normální rozdělení s parametry EX = 0 a DX = 0.0 n. Jestliže si označíme F X distribuční funkci náhodné veličiny X, pak F X u = Φ. Potom musí platit 0.95 = P X < 0.04 = u n 0. = P 0.04 < X < 0.04 = F X 0.04 F X 0.04 = = Φ 0.04 n 0. Φ 0.04 n 0. = Φ 0.04 n 0.,

13 tedy Φ0.4 n = n = q U = n = 0.4 = 4.9 n 4.9 = 4.0. K získání požadované přesnosti musíme provést alespoň 5 měření. 7.. Příklad Náhodná veličina X normální rozdělení N; 5. Pro náhodnou veličinu Y = X určete: a pravděpodobnost P Y ; b číslo a tak, aby P X < a = Řešení: Náhodná veličina Y má také normální rozdělení. Jeho parametry určíme z vlastností střední hodnoty a rozptylu. Je EY = EX = = 5; DY = DX = 9 5 = 45, má tedy náhodná veličina Y normální rozdělení N5; 45. a Potom je P X = F Y = 5 = Φ = Φ.04 = = b a = P Y < a = F Y a = Φ a 5 = q U a = q U = = Příklad Nezávislé náhodné veličiny X a Y mají po řadě normální rozdělení N; 4 a N5; 9. Pro náhodné veličiny Z = X + Y a W = X Y určete: a P Z 0; b číslo a tak, aby P W EW < a = Řešení: Lineární kombinace nezávislých náhodných veličin, které mají normální rozdělení, má také normální rozdělení. Jeho parametry určíme z vlastností střední hodnoty a rozptylu. Je EZ = EX + EY = + 5 =, DZ = DX + DY = = 7; EW = EX EY = 5 = 4, DW = DX + DY = =.

14 a Náhodná veličina Z má normální rozdělení N; 7, tedy 0 4 P Z 0 = F Z 0 = Φ = Φ 7 = Φ0.94 = b Náhodná veličina W má normální rozdělení N 4;. tedy 0.95 = P W + 4 < a = P 4 a < W < 4 + a = a a a = F W 4 + a F W 4 a = Φ Φ = Φ a Φ = a = q U =.96 = Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení N;. Určete: a rozdělení náhodných veličin Y = X, Z = X a W = X ; b pravděpodobnosti P X, P Y, P Z < 4 a P W > 0. Řešení: Je EX = a DX =. Náhodné veličiny mají také normální rozdělení a pro jejich parametry dostaneme: Y : EY = EX =. =, DY =. DX = 4. = ; Y N;. Z : EZ =. EX =. =, DZ = DX = = 9. = 7; Z N ; 7. W : EW =. EX =. =, DW =. DX = = 9. = 7; W N; 7. b F X u = Φ u µx σ X P X = F X = Φ = Φ u, tedy = Φ = 0.780; P Y = F Y = Φ = Φ0.89. = 0.67 = = 0.86; P Z < 4 = P < Z < = Φ + = Φ 5 9 Φ 9 P W > 0 = F W 0 = Φ 0. = Φ + = = Φ0.96 Φ0.9 = = 0.559; = Φ 0.85 = Φ0.85. = 4

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv

, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv 42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost

cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost 3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Vícerozměrná rozdělení

Vícerozměrná rozdělení Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 7 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Probrali jsme spojité modely Tyhle termíny by měly být známé: Rovnoměrné rozdělení Střední hodnota Mccalova transformace Normální rozdělení Přehled

Více

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost

Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost 6. dubna 0 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a vyřešte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi

Více