Prostorové interpolace. Waldo Tobler 1970: "Everything is related to everything else, but near things are more related than distant things.

Transkript

1 Prostorové interpolace Waldo Tobler 1970: "Everything is related to everything else, but near things are more related than distant things."

2 Prostorové interpolace Predikce hodnot cílové proměnné pro celé zájmové území s využitím pozorování proměnné na omezeném počtu míst Prostorová predikce = interpolace + extrapolace Hengl 2009: A Practical Guide to Geostatistical Mapping

3 Interpolační metody VEKTOR RASTR Metody Globální Regrese - trend Lokální Regrese lokální trend Inverse Distance Weighted IDW Spline Thiessenovy polygony Natural Neighbours interpolation Geostatistika (Kriging) Výstupy Trendy Spojité modely, DEM

4 Interpolační metody VEKTOR RASTR Metody Globální Regrese - trend Lokální Regrese lokální trend Inverse Distance Weighted IDW Spline Thiessenovy polygony Natural Neighbours interpolation Geostatistika (Kriging) deterministické (geo)statistické Výstupy Trendy Spojité modely, DEM

5 Globální trend Lineární Kvadratický Kubický z = a + bx + cy z = a + bx + cy + dx 2 + exy + fy 2

6 Interpolační metody VEKTOR RASTR Metody Globální Regrese - trend Lokální Regrese lokální trend Inverse Distance Weighted IDW Spline Thiessenovy polygony Natural Neighbours interpolation Geostatistika (Kriging) deterministické (geo)statistické Výstupy Trendy Spojité modely, DEM

7 Lokální trend polynomická funkce proložená vybranými body v sousedství citlivé na volbu velikosti sousedství, možná anisotropie interpolovaný povrchu nemusí procházet vstupními body

8 IDW hodnota interpolovaného bodu závislá na inverzní vzdálenosti od sousedů citlivé na: outliers a nahloučení bodů; možná anisotropie Povrch (téměř) prochází vstupními body Z(s 0 ) zjišťovaná hodnota Z(s i ) hodnota ve známých bodech d - vzdálenost dvou bodů p modifikuje vliv vzdálenosti

9 Spline proložení křivky s nejmenším celkovým zakřivením křivka musí procházet body nevhodné pro povrch s náhlými výraznými změnami Thin-plate spline (Hutchinson 1995) Regularized spline with tension and smoothing (Mitasova & Mitas, 1993)

10 Thiessenovy polygony Vytvoření TIN splňující Delaunay kritéria: kružnice opsaná trojúhelníku neobsahuje žádný jiný bod Kolmice v polovinách stran trojúhelníků; jejich průsečíky tvoří vrcholy Thiessenových polygonů

11 Natural neighbours Sárkozy F.

12 Natural neighbours Sárkozy F.

13 Natural neighbours Sárkozy F.

14 Natural neighbours Sárkozy F.

15 Srovnání metod Přesný versus přibližný interpolátor extrapolace? IDW Spline Kriging gis.stackexchange.com

16 Testování kvality interpolace Cross-validace Postupně vždy vypustím jeden bod, provedu interpolaci a na vynechaném bodě změřím odchylku mezi interpolovanou a originální hodnotou Vyhodnotím jako RMSE (Root mean square Error) RMSE lze použít i pro odhad vhodných parametrů interpolační metody příklad pro p parametr (IDW) ESRI Help

17 Lineární interpolace Pokud jsou dány dva body, lineární interpolace je přímka mezi těmito body Bilineární interpolace opakovaná lineární interpolace mezi body ve čtvercové síti Wikipedia

18 Geostatistika - Kriging Technika navržen důlním inženýrem D. E. Krigem a statistikem H.S. Sichelem v 50. letech; matematicky popsáno francouzským matematikem G. Matheronem až v letech základ geostatistiky Statistický přístup, mohu stanovit chybu interpolace Stejný prediktor jako u IDW Váha lambda ale určena více faktory: semivariogramem, vzdáleností a prostorovým uspořádáním dat v okolí bodu Několik částí 1. Explorativní - zkoumám statistické předpoklady (stationarity) 2. Fitování modelu na zjištěný vztah a jejich srovnání 3. Predikce hodnot (interpolace)

19 Explorativní část Zkoumám statistické charakteristiky dat rozdělení (histogram, QQplot,...) outliers prostorové rozdělení (voronoi mapy) autokorelace (semivariogram)

20 Semivariance g ve vzdálenosti h je rovna polovině průměrné variance mezi body dané vzdálenosti h Fitování modelu Terénní data Semivariogram Hengl T. (2007): JRC Scientific and Technical report

21 Fitování modelu Sdružením semivariancí do skupin podle vzdálenosti (tzv. lagů) vytvořím experimentální semivariogram (průměrné hodnoty v lagu) Pro ten pak fituju model (prokládám křivku) z předem definovaných (např. exponenciální, gaussovský, sférický ) Experimentální semivariogram Fitovaný model Hengl T. (2007): JRC Scientific and Technical report

22 Fitování modelu 2 Range max. vzdálenost na kterou jsou data autokorelovaná Sill hodnota semivariance odpovídající range Nugget prostorová variabilita nebo chyby na menší prostorové škále než popisují moje data (< sampling distance) Různé modely podle tvaru křivky: exponenciální gausův sférický

23 Fitování modelu - ArcGIS

24 IDRISI. Clarks Laboratory Fitování modelu v IDRISI

25 IDRISI. Clarks Laboratory Fitování modelu v IDRISI

26 Vlastní interpolace/predikce IDW Kriging

27 Regression kriging Mám k dispozici další proměnnou(né) jako např. model terénu, na kterých je predikovaná proměnná závislá a mohu je tedy zahrnout do interpolace T. Hengl et al. / Computers & Geosciences 33 (2007)

28 Kriging zmatení pojmů Vstupními daty jen polohy bodů a jejich hodnoty = Ordinary kriging Ordinary kriging Mám další pomocné proměnné prostředí (např. DEM, LAI, půdní typy), které mohou predikovat moji závislou proměnnou, Regression kriging = Kriging with external drift = Universal kriging RK = KDE = UK Odchylky v počtu a typu doplňkových proměnných i technickém řešení výpočtu; matematicky a především ve výsledku jsou shodné Hengl, T., Heuvelink, G. B. M., & Rossiter, D. G. (2007). About regression-kriging: From equations to case studies. Computers & Geosciences, 33(10),

29 Srovnání metod IDW Spline Kriging gis.stackexchange.com

30 Voronoi Srovnání metod TIN IDW Kriging Splines with tension Regularized spline Mitas et al. 1999

31 Literatura Srovnání metod Li, J., & Heap, A. D. (2011). A review of comparative studies of spatial interpolation methods in environmental sciences: Performance and impact factors. Ecological Informatics, 6(3-4), Prostorová statistica s důrazem na Kriging Hengl, T. (2007). A Practical Guide to Geostatistical Mapping of Environmental Variables. JRC Scientific and Technical Report. Ispra, Italy Hengl, T., Heuvelink, G. B. M., & Rossiter, D. G. (2007). About regressionkriging: From equations to case studies. Computers & Geosciences, 33(10), Diggle P.J. and Ribeiro P.J. jr. (2007): Model-based Geostatistics. Springer Cressie N.A.C. (1993): Statistics for Spatial Data (Wiley Series in Probability and Statistics) Bivand R.S., Pebesma E. and Goméz-Rubio V. (2008): Applied Spatial Data Analysis with R. Springer

32 Analýza sítí VEKTOR RASTR Charakteristiky sítí: Délka Orientace Konektivita Modelování zatížení sítě Optimální spojení Optimální trasa Problém obchodního cestujícího Alokace zdrojů

33 Analýza sítí optimální spojení

34 Analýza sítí obchodní cestující Problém obchodního cestujícího (Travelling salesman problem TSP) Definovaná místa v síti která mám navštívit Hledám nejkratší (nejlevnější) cestu mezi místy V mluvě teorie grafů: Hamiltonovská kružnice Varianta chci navštívit všechny místa: problém čínského listonoše Genetický algritmus, 500 měst, generací; 9 hodin výpočtu

35 Analýza sítí alokace zdrojů

36 Analýza sítí konektivita Upstream Upstream - threshold