Interpolace pomocí splajnu

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Interpolace pomocí splajnu"

Štěpán Staněk
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Interpolace pomocí splajnu

2 Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom Spline (splajn) aproximující funkce je po částech polynom y=s 0 (x) y=s 1 (x) y=p n (x)... y=s n 1 (x)

3 Interpolace pomocí splajnu Splajn k-tého řádu Splajn k-tého řádu je funkce S, pro kterou platí: S 0 (x) pro x x 0, x 1 ) S 1 (x) pro x x 1, x 2 ) S(x) =. S n 1 (x) pro x x n 1, x n ) na každém intervalu x i, x i+1 ) je S i polynom stupně nanejvýš k S má na intervalu x 0, x n spojité derivace až do řádu k 1 včetně

4 Interpolace pomocí splajnu Lineární splajn Každé dva sousední body [x i, f i ], [x i+1, f i+1 ] propojíme úsečkou. S i (x) = f i + f i+1 f i x i+1 x i (x x i ), i = 0,..., n 1.

5 Interpolace pomocí splajnu Má-li f spojitou derivaci druhého řádu na intervalu x 0, x n, pak existuje konstanta C taková, že pro x x 0, x n platí f (x) S(x) < C h 2, kde h je maximální vzdálenost mezi sousedními uzly. Chybu lze učinit pro dostatečný počet uzlů libovolně malou.

6 Interpolace pomocí splajnu Nejpoužívanější je splajn 3. řádu, tzv. kubický splajn. Kubický splajn Kubický splajn je funkce S(x), která je kubický polynom na každém subintervalu x i, x i+1 ): S i (x) = a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) 2 + d i (x x i ) 3, x x i, x i+1 ) a vyhovuje podmínkám S i (x i ) = f (x i ), i = 0,..., n 1, S n 1 (x n ) = f (x n ) S i (x i+1 ) = S i+1 (x i+1 ), i = 0,..., n 2 S i (x i+1 ) = S i+1(x i+1 ), i = 0,..., n 2 S i (x i+1 ) = S i+1(x i+1 ), i = 0,..., n 2.

7 Interpolace pomocí splajnu Abychom mohli kubický splajn jednoznačně určit, předepisujeme ještě okrajové podmínky. Používané typy okrajových podmínek: a) S (x 0 ) = S (x n ) = 0 b) S (x 0 ) = f 0, S (x n ) = f n c) S (x 0 ) = f 0, S (x n ) = f n d) podmínky typu not-a-knot (S 1 je tentýž kubický polynom jako S 0 a S n 2 je tentýž kubický polynom jako S n 1 tj. S 0 (x 1) = S 1 (x 1) a S n 2 (x n 1) = S n 1 (x n 1))

8 Interpolace pomocí splajnu Postup pro nalezení kubického splajnu 1. způsob vhodné pro okrajové podmínky typu a) a b): Koeficienty c i, i = 0,..., n najdeme jako řešení soustavy c 0 = f 0 2 ( f1 h 0 c 0 + 2(h 0 + h 1 )c 1 + h 1 c 2 = 3 f ) 0 h 1 h ( 0 f2 h 1 c 1 + 2(h 1 + h 2 )c 2 + h 2 c 3 = 3 f ) 1 h 2 h ( ) fn 1 h n 2 c n 2 + 2(h n 2 + h n 1 )c n 1 + h n 1 c n = 3 f n 2 h n 1 h n 2 c n = f n 2 h i = x i+1 x i, f i = f i+1 f i. Ostatní koeficienty splajnu dopočítáme podle vzorců: a i = f i, i = 0,..., n 1, b i = f (x i+1) f (x i ) c i+1 + 2c i h i 3 h i, i = 0,..., n 1, d i = c i+1 c i 3h i, i = 0,..., n 1.

9 Interpolace pomocí splajnu 2. způsob vhodné pro okrajové podmínky typu c): Vyřešíme soustavu pro koeficienty b i, i = 0,..., n: b 0 = f 0 ( ) f h 1 b 0 + 2(h 0 + h 1 )b 1 + h 0 b 2 = 3 h 0 f 1 + h 1 h 0 0 h ( 1 ) f h 2 b 1 + 2(h 1 + h 2 )b 2 + h 1 b 3 = 3 h 1 f 2 + h 2 h 1 1 h h n 1 b n 2 + 2(h n 2 + h n 1 )b n 1 + h n 2 b n ( ) f = 3 h n 2 f n 1 + h n 1 h n 2 n 2 h n 1 b n = f n h i = x i+1 x i, f i = f i+1 f i. Ostatní koeficienty splajnu dopočítáme podle vzorců: a i = f i, i = 0,..., n 1, c i = 1 ( 3 f ) i 2b i b i+1, i = 0,..., n 1, h i h i d i = 1 ( hi 2 b i + b i+1 2 f ) i, i = 0,..., n 1. h i

10 Aproximace funkcı metoda nejmens ı ch c tvercu (MNC )

11 Máme body [x i, y i ], i = 0,..., n, obvykle získané měřením. Známe typ funkční závislosti mezi x a y, např. y = c 0 + c 1 x, obecně y = P m (x) = c 0 ϕ 0 (x) + + c m ϕ m (x), ϕ j, j = 1,..., m, jsou známé funkce. Hledáme hodnoty parametrů c 0,..., c m, pro které je aproximace nejlepší. y y y n y n y 1 y 1 y 0 y 0 x 0 x 1 x n x x 0 x 1 x n x

12 Voĺıme ty hodnoty koeficientů c 0,..., c m, pro které je kvadratická odchylka ρ 2 (c 0,... c m ) = minimální. (y i P m (x i )) 2 = (y i c 0 ϕ 0 (x i ) c m ϕ m (x i )) 2 y=c 0 +c1 x y=c 0 +c1 x en e1 e0 x... 0 x1 xn x... 0 x1 xn

13 Aproximace přímkou Máme body [x i, y i ], i = 0,..., n. Hledáme přímku y = P 1 (x) = c 0 + c 1 x, pro kterou je ρ 2 (c 0, c 1 ) = (y i c 0 c 1 x i ) 2 minimální. Normální rovnice pro koeficienty přímky Koeficienty c 0 a c 1 najdeme jako řešení soustavy rovnic c 0 počet bodů {}}{ (n + 1) + c 1 x i = c 0 x i + c 1 xi 2 = y i x i y i

14 Jsou-li vektory (1, 1,..., 1) }{{} (n+1) krát normální soustava rovnic má jediné řešení. a (x 0, x 1,..., x n ) lineárně nezávislé,

15 Jiná možnost zápisu soustavy normálních rovnic pro přímku kde Odtud pak Z T Zc = Z T y, 1 x 0 1 x 1 Z =.., c = 1 x n ( c0 c 1 ), y = c = ( Z T Z ) 1 Z T y. y 0 y 1. y n.

16 Aproximace parabolou Máme body [x i, y i ], i = 0,..., n. Hledáme parabolu y = P 2 (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2. Normální rovnice pro koeficienty paraboly Koeficienty c 0, c 1 a c 2 najdeme jako řešení soustavy rovnic c 0 počet bodů {}}{ (n + 1) + c 1 x i + c 2 xi 2 = c 0 c 0 x i + c 1 xi 2 + c 2 xi 3 = xi 2 + c 1 xi 3 + c 2 xi 4 = y i x i y i xi 2 y i

17 Jiná možnost zápisu soustavy normálních rovnic pro parabolu kde Odtud pak Z T Zc = Z T y, 1 x 0 x 2 0 y 0 1 x 1 x1 2 c 0 Z =..., c = c 1 y 1, y = c.. 1 x n xn 2 2 y n c = ( Z T Z ) 1 Z T y.

18 Aproximace obecně Máme body [x i, y i ], i = 0,..., n. Hledáme funkci y = P m (x) = c 0 ϕ 0 (x) + c 1 ϕ 1 (x) + + c m ϕ m (x), ϕ 0,..., ϕ m jsou známé funkce. Normální rovnice Koeficienty c 0, c 1,..., c m najdeme jako řešení soustavy rovnic c 0 ϕ 2 0 (x i ) + c 1 ϕ 1 (x i )ϕ 0 (x i ) + + c m ϕ m(x i )ϕ 0 (x i ) = c 0 ϕ 0 (x i )ϕ 1 (x i ) + c 1 ϕ 2 1 (x i ) + + c m ϕ m(x i )ϕ 1 (x i ) = c 0 ϕ 0 (x i )ϕ m(x i ) + c 1 ϕ 1 (x i )ϕ m(x i ) + + c m ϕ 2 m (x i ) = y i ϕ 0 (x i ) y i ϕ 1 (x i ) y i ϕ m(x i )

19 Jiná možnost zápisu soustavy normálních rovnic Z T Zc = Z T y, kde ϕ 0 (x 0 ) ϕ 1 (x 0 ) ϕ m (x 0 ) y ϕ 0 (x 1 ) ϕ 1 (x 1 ) ϕ m (x 1 ) c 0 0 Z =..., c = y 1., y =.. c ϕ 0 (x n ) ϕ 1 (x n ) ϕ m (x n ) m y n Odtud pak c = ( Z T Z ) 1 Z T y.

20 Jsou-li vektory ϕ 0 = (ϕ 0 (x 0 ), ϕ 0 (x 1 ),..., ϕ 0 (x n )), ϕ 1 = (ϕ 1 (x 0 ), ϕ 1 (x 1 ),..., ϕ 1 (x n )),. ϕ m = (ϕ m (x 0 ), ϕ m (x 1 ),..., ϕ m (x n )) lineárně nezávislé, normální soustava rovnic má jediné řešení. Matice soustavy Z T Z je v tomto případě symetrická pozitivně definitní.

21 MNČ nelineární model Nelineární model může být např. y = ae bx, hledáme a a b, y = a sin(kx + b) + c, hledáme a, k, b, c, y = a b+cx, hledáme a, b, c. Obecně y = f (x, c 0,..., c m ), hledáme c 0,..., c m tak, aby ρ 2 (c 0,..., c m ) = m (y i f (x i, c 0,..., c m )) 2 bylo minimální. V některých případech lze model linearizovat. Obecně hledáme minimum funkce více proměnných na to existují speciální metody. Často se používá Levenberg-Marquardtův algoritmus.

22 Aproximace exponenciálou Máme body [x i, y i ], i = 0,..., n. Hledáme exponenciální funkci Zlogaritmujeme: y = ae bx. ln y = ln a + bx a dál postupujeme jako při hledání přímky.

23 Postup při hledání exponenciály Označíme c 0 = ln a, c 1 = b. Koeficienty c 0 a c 1 najdeme jako řešení soustavy c 0 počet bodů {}}{ (n + 1) + c 1 x i = c 0 x i + c 1 xi 2 = ln y i x i ln y i. Koeficienty exponenciály jsou pak a = e c 0, b = c 1.

24 Pro takto nalezené a, b však ρ 2 (a, b) = ( ) 2 y i ae bx i nemusí nabývat nejmenší možné hodnoty!

Podobné dokumenty

Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení

Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná