CLARKEOVA-WRIGHTOVA METODA ŘEŠENÍ ÚLOHY VRP

Transkript

1 CLARKEOVA-WRIGHTOVA METODA ŘEŠENÍ ÚLOHY VRP 1. Definice úlohy Úloha VRP (Vehicle Routing Problem problém okružních jízd) je definována na obecné dopravní síti S = (V,H), kde V je množina uzlů sítě a H množina hran spojujících tyto uzly. Uzel V 0 je označován jako středisko této sítě a uzly V 1,,V n představují místa odběru (místa vyžadující obsluhu). V místech odběru vzniká požadavek na přepravu určitého množství dopravních elementů - tato přeprava je uskutečňována vozidly, jejichž trasa začíná a končí ve středisku V 0 a jejichž kapacita je shora omezená. Úlohou je pak sestavit sadu tras vozidel tak, aby byl požadavek každého místa odběru uspokojen jedinou obsluhou vozidla, a aby celkové náklady na přepravu byly minimální (z hlediska délky nebo času). Ze zadání úlohy vyplývají dvě podmínky přípustnosti jejího řešení: každý zákazník musí být v rámci některé trasy obsloužen právě jednou (1) musí být respektována nepřekročitelná kapacita obsluhujících vozidel (2) Vedle těchto základních podmínek mohou být na sadu tras obsluhujících vozidel kladeny další podmínky přípustnosti řešení, jejichž zavedením se původní úloha VRP modifikuje jsou to např.: globální podmínky: množství elementů, které je možné rozvést v rámci jedné trasy omezení maximální doby trvání, resp. délky jedné trasy (nepřekročitelná pracovní doba osádek vozidel, nutné doby odpočinků, zákazy jízd v určitých dnech apod.) omezení vyplývající z maximálně možného počtu obsloužených míst jednou trasou vzhledem k jejich požadavkům a kapacitám vozidel omezený disponibilní vozový park, kde v případě, že je park heterogenní, se mohou jednotlivá vozidla lišit svou technologickou a kapacitní způsobilostí lokální podmínky: respektování časové dosažitelnosti obsluhovaných míst, tzn. uspokojení požadavku obsluhovaného místa v zadaném časovém intervalu respektování technologické dosažitelnosti obsluhovaných míst, tzn. požadavek na obsloužení zákazníka pouze vozidlem určitých parametrů limitovaná spotřeba pohonných hmot; přijatelné náklady vynaložené na obsluhu apod. V dalším textu se budeme zabývat úlohou trasování pro nejjednodušší případ, kdy předpokládáme homogenní vozový park, a kde trasa jednoho vozidla bude tvořena jedinou okružní 1

2 jízdou. Je-li doba trvání trasy omezená, může být trasa vytvořena z více okružních jízd. Dále v úloze, kterou budeme řešit neklademe žádné omezující časové podmínky pro obsluhu uzlů. Úloha se v tom případě redukuje na pokrytí požadavků odběratelů soustavou tras a následné přidělení těchto tras jednotlivým vozidlům disponibilního parku může být řešeno v následující fázi nezávisle na úloze trasování. 2. Clarkeova-Wrightova metoda Nejznámější heuristickou metodou řešící uvedenou úlohu VRP je Clarkeova-Wrightova, kterou zveřejnili její autoři G. Clarke a J. W. Wright v roce Postup metody spočívá v tom, že v každé iteraci metody jsou podle jistého kritéria vybrány dvě možné trasy (V 0 V i V 0 ) a (V 0 V j V 0 ) a tyto jsou spojeny do jedné tzv. sdružené trasy (V 0 V i V j V 0 ). Dvě trasy mohou být sdruženy jen tehdy, jestliže vzniklá sdružená trasa bude vyhovovat uvedeným podmínkám přípustnosti řešení (1) a (2), což znamená, že součet zátěže sdružovaných tras nesmí překročit kapacitu vozidla K. Při postupu lze snadno kontrolovat i splnění dalších globálních podmínek jako např. maximální délku trasy, počet navštívených uzlů, dobu trvání jízdy, kde příslušná kontrolovaná veličina nově vzniklé sdružené trasy je závislá pouze na odpovídajících sledovaných veličinách sdružovaných tras, resp. sdružovaných uzlů. Výhodnost nebo nevýhodnost sdružení dvou tras je určena úsporou, která jejich sdružením vznikne. Tuto úsporu měříme tzv. výhodnostním koeficientem z ij podle vztahu z ij = (d 0i + d 0j d ij ), kde d 0i, d 0j a d ij označují délky hran (V 0,V i ), (V 0,V j ) a (V i,v j ). Hodnota z ij tedy vyjadřuje rozdíl mezi součtem délek tras (V 0 V i V j ) a (V 0 V j V 0 ) a délkou sdružené trasy (V 0 V i V j V 0 ). Metoda sdruží v každé iteraci postupu ty dva uzly, které vykazují nejvyšší výhodnostní koeficient z ij, pokud je možné s ohledem na přípustnost toto sdružení provést. Výhodou tohoto postupu je, že koeficient z ij závisí pouze na vzájemných vzdálenostech uzlů V i, V j a V 0 a nemění se pokud je možné tyto dva uzly spojit. Metodu, kterou jsme právě popsali můžeme zformulovat do několika kroků: 1) Pro danou dopravní síť S = (V,H) sestavíme matici vzdáleností D = {d(i,j)}, kde i,j = 0,1,,n; n = V. Obecně nemusí být síť S úplná (tj. v grafové reprezentaci znázorněna grafem, který není úplným grafem), to znamená, že prvky matice D mohou vyjadřovat jak délky úseků, tak i vzdálenosti mezi jednotlivými uzly. Dále mějme zadány následující hodnoty: c.. průměrná rychlost pohybu vozidla na síti t...doba potřebná k vyložení jednotkového množství elementů z obsluhujícího vozidla T..maximální doba pobytu vozidla mimo výchozí uzel V 0 K.kapacita vozidla q i. množství elementů přepravovaných z uzlu V 0 do uzlu V i (i = 1,,n) 2) Vytvoříme počáteční řešení, které představuje soubor elementárních tras (V 0 V i V 0 ) pro všechny uzly sítě i = 1,,n s uvedeným množstvím elementů a dobami přepravy (lze také doplnit doby potřebné k vyložení elementů z vozidla): 2

3 Trasa Množství elementů Doba přepravy 2 d V 0 V i V 0 q 1 c q t 1 V 0 V n V 0 q n 2 d 0n + q c n t 3) Z matice D odvodíme matici výhodnostních koeficientů Z = {z ij }, kde i,j = 1,,n podle vztahu z ij = d 0i + d 0j d ij, kde z ij, jak bylo zavedeno, vyjadřuje rozdíl mezi součtem délek tras (V 0 V i V 0 ) a (V 0 V j V 0 ) a délkou sdružené trasy (V 0 V i V j V 0 ). 4) V matici Z najdeme největší kladný prvek z ij a sdružíme, je-li to možné, trasy (V 0 V i V 0 ) a (V 0 V j V 0 ) do sdružené trasy (V 0 V i V j V 0 ). Pokud takový prvek neexistuje, skončíme. Aktuální množina okružních tras je výsledkem algoritmu. V opačném případě přejdeme na krok 5). 5) Zkontrolujeme, zda sdružením tras (V 0 V i V 0 ) a (V 0 V j V 0 ) vznikne přípustná trasa. Pokud přípustná trasa nevznikne, tak položíme z ij = 0 a přejdeme na krok 4). V opačném případě pokračujeme krokem 6). 6) Aktualizujeme množinu uzlů V vyjmutím uzlů i a j, pokud sdružením tras přestaly být krajními uzly trasy. Položíme z ij = 0. Aktualizujeme množinu tras vyjmutím sdružených tras a vložením nové trasy. Současně také aktualizujeme ostatní sledované parametry (dobu přepravy, množství elementů, délku trasy aj.). Není-li krok 4) a 5) možný, najdeme nejblíže menší nebo stejně velký prvek z st a sdružíme trasy obsahující uzly V s a V t ; mohou to být elementární trasy nebo trasy, vzniklé předchozím sdružováním. Pro krajní uzly V s a V t nově vzniklé trasy položíme z st = 0 a přejdeme na krok 4). Postup opakujeme, pokud není matice Z vyčerpána nebo pokud není zřejmé, že kapacity vozidel jsou vyčerpány a další řešení nemá smysl. Výsledné řešení nemusí být optimální, ale často bude jen suboptimální. 3. Příklad Máme dánu neorientovanou, souvislou a hranově ohodnocenou dopravní síť S = (V,H). Požadujeme přepravit dané množství dopravních elementů z výchozího uzlu V 0 do ostatních uzlů sítě V i, kde i = 1,,n. Dále známe průměrné rychlosti a kapacity všech vozidel a budeme předpokládat, že jsou stejné. Množství elementů, přepravované do kteréhokoliv uzlu, nepřekračuje kapacitu jednoho vozidla. Dále je známa doba potřebná pro vyložení elementu z vozidla, která je stejná pro všechny komplety a všechny uzly. Doba mezi výjezdem a návratem každého vozidla do výchozího uzlu V 0 je shora omezená. 3

4 Úkolem je určit počet vozidel a jejich trasy tak, aby při splnění všech uvedených požadavků byl součet délek tras všech vozidel, začínajících a končících v uzlu V 0, minimální. Pro nalezení suboptimálního řešení této úlohy použijeme popsanou C-W metodu. Dopravní síť úlohy je definována pomocí matice vzdáleností D této sítě, která je úplnou sítí (tzn., že prvky matice vzdáleností jsou zároveň délkami příslušných úseků hran). Jsou dány počty elementů q i a další výchozí údaje: c = 30 km/h; t = 0,1 h; T = 8h; K = 15 elementů. Matice vzdáleností D je v tomto případě neorientované sítě symetrická, můžeme tedy prvky pod hlavní diagonálou vynechat matice vypadá takto: i/j Z matice vzdáleností D je odvozena matice výhodnostních koeficientů Z = {z ij }: i/j Údaje v následující tabulce zachycují počáteční řešení: Elementární q trasy i Délky , , , , ,9 1. iterace: Podle kroku 4) hledáme první zlepšující řešení: max z ij = z 23 = 99; sdružíme proto trasy (0 2 0) a (0 3 0). Podle kroku 5) kontrolujeme přípustnost sdružené trasy na základě provedení kroku 6) takto: vyjmutím právě sdružené trasy aktualizujeme množinu tras počátečního řešení; pro právě sdruženou trasu aktualizujeme množství elementů q a dále aktualizujeme délku trasy a dobu T strávenou kompletem mimo uzel V 0. Po provedení kroku 6) zjišťujeme, že součet zátěží q 2 + q 3 = 11, což je hodnota nižší než přípustná 4

5 kapacita vozidla K = 15. Dále zjišťujeme, že nová doba pobytu vozidla mimo uzel V 0 je rovna 5,4 a tedy nepřekračuje zadanou přípustnou hodnotu T = 8. Nepřekročení hodnot K a T znamená, že nová sdružená trasa ( ) je přípustnou trasou. Uvedené skutečnosti jsou zřejmé z následující tabulky. Nakonec kroku 6) položíme z 23 = 0 a dále pokračujeme krokem 4) v hledání další přípustné trasy. Trasa q 2 + q 3 Délka Doba Po 1. iteraci dostáváme tuto aktualizovanou množinu tras a odpovídající zátěže: Elementární q trasy i Délky , , ,9 2. iterace: Pokračujeme hledáním dalšího přípustného řešení: max z ij = z 45 = 74, sdružená trasa ( ) je přípustná, viz tabulka: Trasa q 4 + q 5 Délka Doba ,2 Po 2. iteraci dostáváme tuto aktualizovanou množinu tras a odpovídající zátěže: Elementární q trasy i Délky , ,2 3. iterace: Pokračujeme hledáním dalšího přípustného řešení: max z ij = z 34 = 56, vytvořit sdruženou trasu by znamenalo sdružit trasy obsahující uzly V 3 a V 4, tzn. trasy ( ) a ( ); z tabulky je zřejmé, že taková trasa je nepřípustná, protože bychom překročili přípustnou kapacitu K obsluhujícího vozidla: q( ) = 11, q( ) = 9; 11+9=20 > K=15. Proto po 3. iteraci zůstávají množina tras a odpovídající zátěže nezměněné. 4. iterace: Pokračujeme hledáním dalšího přípustného řešení: max z ij = z 12 = 55, trasa vzniklá sdružením tras, které obsahují uzly V 1 a V 2, tj. (0 1 0) a ( ) je opět nepřípustná, protože 6+11=17 > K=15, což nelze. Tedy i po 4. iteraci zůstávají množina tras a odpovídající zátěže nezměněné. 5

6 5. iterace: Pokračujeme hledáním dalšího přípustného řešení: max z ij = z 13 = 52; nastává stejná situace jako po 4. iteraci; trasa vzniklá sdružením tras, které obsahují uzly V 1 a V 3, tj. (0 1 0) a ( ) je opět nepřípustná, protože 6+11=17 > K=15, což nelze. I po 5. iteraci zůstávají množina tras a odpovídající zátěže nezměněné. 6. iterace: Pokračujeme hledáním dalšího přípustného řešení: max z ij = z 14 = 49; trasa vzniklá sdružením tras, které obsahují uzly V 1 a V 4, tj. (0 1 0) a ( ) je přípustná, protože 6+9=15, což není hodnota větší než K=15 Trasa q 1 + q 4 + q 5 Délka Doba ,4 Po 6. iteraci již nelze kroky 4) a 5) opakovat, tzn. že další sdružování tras není možné, a proto poslední aktualizovaná množina tras, zátěže, délek tras a dob pobytu mimo výchozí uzel obsahuje nalezené řešení viz tabulku: Elementární trasy q i Délky ,4 Optimální množina tras vozidel je tedy dvouprvková, výsledné řešení má součet délek tras 276 km oproti výchozímu součtu délek elementárních tras 498 km; součet dob provozu vozidel je 11,8 h. Protože T = 8 < 11,8 < 2x8 = 16, jsou pro splnění úkolu nutná dvě vozidla. 4. Zdroje CLARKE, G; WRIGHT, J. W.: Scheduling of Vehicles from a Central Depot to a Number of Delivery Points, Operations research 12, 1964, strana TUZAR, A.; MAXA, P.; SVOBODA, V.: Teorie dopravy, ČVUT v Praze, Praha