Voroného konstrukce na mapě světa

Transkript

1 na mapě světa Jan Ústav matematiky, FSI VUT,

2 na mapě světa Jan Ústav matematiky, FSI VUT,

3 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru). Voroného buňka pro daný prvek m M - množina všech x X takových, pro něž je nejbližším prvkem z množiny M prvek m Voroného diagram - rozdělení roviny X na Voroného buňky pro všechny prvky m M

4 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru). Voroného buňka pro daný prvek m M - množina všech x X takových, pro něž je nejbližším prvkem z množiny M prvek m Voroného diagram - rozdělení roviny X na Voroného buňky pro všechny prvky m M

5 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru). Voroného buňka pro daný prvek m M - množina všech x X takových, pro něž je nejbližším prvkem z množiny M prvek m Voroného diagram - rozdělení roviny X na Voroného buňky pro všechny prvky m M

6 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru). Voroného buňka pro daný prvek m M - množina všech x X takových, pro něž je nejbližším prvkem z množiny M prvek m Voroného diagram - rozdělení roviny X na Voroného buňky pro všechny prvky m M

7 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru). Voroného buňka pro daný prvek m M - množina všech x X takových, pro něž je nejbližším prvkem z množiny M prvek m Voroného diagram - rozdělení roviny X na Voroného buňky pro všechny prvky m M

8 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru). Voroného buňka pro daný prvek m M - množina všech x X takových, pro něž je nejbližším prvkem z množiny M prvek m Voroného diagram - rozdělení roviny X na Voroného buňky pro všechny prvky m M

9 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru). Voroného buňka pro daný prvek m M - množina všech x X takových, pro něž je nejbližším prvkem z množiny M prvek m Voroného diagram - rozdělení roviny X na Voroného buňky pro všechny prvky m M

10 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru). Voroného buňka pro daný prvek m M - množina všech x X takových, pro něž je nejbližším prvkem z množiny M prvek m Voroného diagram - rozdělení roviny X na Voroného buňky pro všechny prvky m M

11 Metody výpočtu K danému prvku m 0 M hledáme jeho Voroného buňku. Voroného buňka - základní postup Voroného buňku B(m 0 ) dostaneme průnikem polorovin P m0,m (přes všechna m M, m m 0 ) určených přímkami oddělujících dvojici (m 0, m) a obsahující prvek m 0 B(m 0 ) = Námět k zamyšlení m M,m m 0 P m0,m Vymyslete lepší algoritmus pro nalezení Voroného buňky.

12 Metody výpočtu K danému prvku m 0 M hledáme jeho Voroného buňku. Voroného buňka - základní postup Voroného buňku B(m 0 ) dostaneme průnikem polorovin P m0,m (přes všechna m M, m m 0 ) určených přímkami oddělujících dvojici (m 0, m) a obsahující prvek m 0 B(m 0 ) = Námět k zamyšlení m M,m m 0 P m0,m Vymyslete lepší algoritmus pro nalezení Voroného buňky.

13 Metody výpočtu K danému prvku m 0 M hledáme jeho Voroného buňku. Voroného buňka - základní postup Voroného buňku B(m 0 ) dostaneme průnikem polorovin P m0,m (přes všechna m M, m m 0 ) určených přímkami oddělujících dvojici (m 0, m) a obsahující prvek m 0 B(m 0 ) = Námět k zamyšlení m M,m m 0 P m0,m Vymyslete lepší algoritmus pro nalezení Voroného buňky.

14 Metody výpočtu K danému prvku m 0 M hledáme jeho Voroného buňku. Voroného buňka - základní postup Voroného buňku B(m 0 ) dostaneme průnikem polorovin P m0,m (přes všechna m M, m m 0 ) určených přímkami oddělujících dvojici (m 0, m) a obsahující prvek m 0 B(m 0 ) = Námět k zamyšlení m M,m m 0 P m0,m Vymyslete lepší algoritmus pro nalezení Voroného buňky.

15 Oddělující přímka Základním stavebním prvkem pro konstrukci Voroného buňky je oddělující přímka neboli bisektor a jí (a bodem) určená polorovina. Základní problém Jsou dány body X a Y v základním prostoru P. Hledáme jejich oddělující přímku p a jí a bodem X určenou polorovinu π X. Konstrukce Body X a Y vedeme přímku q,vznikne úsečka XY,najdeme její střed S.Přímka p je kolmice na q vedená bodem S. Tato přímka rozděluje prostor P na dvě části, poloroviny π X, resp. π Y, v nichž leží body X, resp. Y.

16 Oddělující přímka Základním stavebním prvkem pro konstrukci Voroného buňky je oddělující přímka neboli bisektor a jí (a bodem) určená polorovina. Základní problém Jsou dány body X a Y v základním prostoru P. Hledáme jejich oddělující přímku p a jí a bodem X určenou polorovinu π X. Konstrukce Body X a Y vedeme přímku q,vznikne úsečka XY,najdeme její střed S.Přímka p je kolmice na q vedená bodem S. Tato přímka rozděluje prostor P na dvě části, poloroviny π X, resp. π Y, v nichž leží body X, resp. Y.

17 Oddělující přímka Základním stavebním prvkem pro konstrukci Voroného buňky je oddělující přímka neboli bisektor a jí (a bodem) určená polorovina. Základní problém Jsou dány body X a Y v základním prostoru P. Hledáme jejich oddělující přímku p a jí a bodem X určenou polorovinu π X. Konstrukce Body X a Y vedeme přímku q,vznikne úsečka XY,najdeme její střed S.Přímka p je kolmice na q vedená bodem S. Tato přímka rozděluje prostor P na dvě části, poloroviny π X, resp. π Y, v nichž leží body X, resp. Y.

18 Oddělující přímka Základním stavebním prvkem pro konstrukci Voroného buňky je oddělující přímka neboli bisektor a jí (a bodem) určená polorovina. Základní problém Jsou dány body X a Y v základním prostoru P. Hledáme jejich oddělující přímku p a jí a bodem X určenou polorovinu π X. Konstrukce Body X a Y vedeme přímku q,vznikne úsečka XY,najdeme její střed S.Přímka p je kolmice na q vedená bodem S. Tato přímka rozděluje prostor P na dvě části, poloroviny π X, resp. π Y, v nichž leží body X, resp. Y.

19 Oddělující přímka Základním stavebním prvkem pro konstrukci Voroného buňky je oddělující přímka neboli bisektor a jí (a bodem) určená polorovina. Základní problém Jsou dány body X a Y v základním prostoru P. Hledáme jejich oddělující přímku p a jí a bodem X určenou polorovinu π X. Konstrukce Body X a Y vedeme přímku q,vznikne úsečka XY,najdeme její střed S.Přímka p je kolmice na q vedená bodem S. Tato přímka rozděluje prostor P na dvě části, poloroviny π X, resp. π Y, v nichž leží body X, resp. Y.

20 Oddělující přímka Základním stavebním prvkem pro konstrukci Voroného buňky je oddělující přímka neboli bisektor a jí (a bodem) určená polorovina. Základní problém Jsou dány body X a Y v základním prostoru P. Hledáme jejich oddělující přímku p a jí a bodem X určenou polorovinu π X. Konstrukce Body X a Y vedeme přímku q,vznikne úsečka XY,najdeme její střed S.Přímka p je kolmice na q vedená bodem S. Tato přímka rozděluje prostor P na dvě části, poloroviny π X, resp. π Y, v nichž leží body X, resp. Y.

21 Oddělující přímka Základním stavebním prvkem pro konstrukci Voroného buňky je oddělující přímka neboli bisektor a jí (a bodem) určená polorovina. Základní problém Jsou dány body X a Y v základním prostoru P. Hledáme jejich oddělující přímku p a jí a bodem X určenou polorovinu π X. Konstrukce Body X a Y vedeme přímku q,vznikne úsečka XY,najdeme její střed S.Přímka p je kolmice na q vedená bodem S. Tato přímka rozděluje prostor P na dvě části, poloroviny π X, resp. π Y, v nichž leží body X, resp. Y.

22 Sférická geometrie prostor P kulová plocha se středem C o poloměru r přímka hlavní kružnice sféry P (kružnice středem C o poloměru r) úsečka ublouk hlavní kružnice střed úsečky bod na úsečce určený polovičním středovým úhlem úhel přímek úhel příslušných rovin Takto chápané pojmy nám umožní konstrukci oddělující přímky, poloroviny a tedy i Voroného buňky ve sférické geometrii. To můžeme použít pro určení oblasti významu.

23 Sférická geometrie prostor P kulová plocha se středem C o poloměru r přímka hlavní kružnice sféry P (kružnice středem C o poloměru r) úsečka ublouk hlavní kružnice střed úsečky bod na úsečce určený polovičním středovým úhlem úhel přímek úhel příslušných rovin Takto chápané pojmy nám umožní konstrukci oddělující přímky, poloroviny a tedy i Voroného buňky ve sférické geometrii. To můžeme použít pro určení oblasti významu.

24 Sférická geometrie prostor P kulová plocha se středem C o poloměru r přímka hlavní kružnice sféry P (kružnice středem C o poloměru r) úsečka ublouk hlavní kružnice střed úsečky bod na úsečce určený polovičním středovým úhlem úhel přímek úhel příslušných rovin Takto chápané pojmy nám umožní konstrukci oddělující přímky, poloroviny a tedy i Voroného buňky ve sférické geometrii. To můžeme použít pro určení oblasti významu.

25 Sférická geometrie prostor P kulová plocha se středem C o poloměru r přímka hlavní kružnice sféry P (kružnice středem C o poloměru r) úsečka ublouk hlavní kružnice střed úsečky bod na úsečce určený polovičním středovým úhlem úhel přímek úhel příslušných rovin Takto chápané pojmy nám umožní konstrukci oddělující přímky, poloroviny a tedy i Voroného buňky ve sférické geometrii. To můžeme použít pro určení oblasti významu.

26 Sférická geometrie prostor P kulová plocha se středem C o poloměru r přímka hlavní kružnice sféry P (kružnice středem C o poloměru r) úsečka ublouk hlavní kružnice střed úsečky bod na úsečce určený polovičním středovým úhlem úhel přímek úhel příslušných rovin Takto chápané pojmy nám umožní konstrukci oddělující přímky, poloroviny a tedy i Voroného buňky ve sférické geometrii. To můžeme použít pro určení oblasti významu.

27 Sférická geometrie prostor P kulová plocha se středem C o poloměru r přímka hlavní kružnice sféry P (kružnice středem C o poloměru r) úsečka ublouk hlavní kružnice střed úsečky bod na úsečce určený polovičním středovým úhlem úhel přímek úhel příslušných rovin Takto chápané pojmy nám umožní konstrukci oddělující přímky, poloroviny a tedy i Voroného buňky ve sférické geometrii. To můžeme použít pro určení oblasti významu.

28 Sférická geometrie prostor P kulová plocha se středem C o poloměru r přímka hlavní kružnice sféry P (kružnice středem C o poloměru r) úsečka ublouk hlavní kružnice střed úsečky bod na úsečce určený polovičním středovým úhlem úhel přímek úhel příslušných rovin Takto chápané pojmy nám umožní konstrukci oddělující přímky, poloroviny a tedy i Voroného buňky ve sférické geometrii. To můžeme použít pro určení oblasti významu.

29 Voroného diagram Výpočet Voroného diagramu postupnou konstrukcí jednotlivých buňek by určitě nebyl nejvhodnější. Existují proto jiné algoritmy, které využívají vlastností diagramu jako celku (pomocí tzv. příbojové vlny nebo Delauneyovy triangulace). Složitost algoritmu Výpočet Voroného diagramu je nejrychlejší Fortunovým algoritmem pomocí tzv. příbojové vlny s_algorithm Algoritmus počítá v čase O(n log n) při n prvcích množiny M. Literatura Berg, Cheong, Kreveld, Overmars: Computational Geometry, Springer Verlag 1997

30 Voroného diagram Výpočet Voroného diagramu postupnou konstrukcí jednotlivých buňek by určitě nebyl nejvhodnější. Existují proto jiné algoritmy, které využívají vlastností diagramu jako celku (pomocí tzv. příbojové vlny nebo Delauneyovy triangulace). Složitost algoritmu Výpočet Voroného diagramu je nejrychlejší Fortunovým algoritmem pomocí tzv. příbojové vlny s_algorithm Algoritmus počítá v čase O(n log n) při n prvcích množiny M. Literatura Berg, Cheong, Kreveld, Overmars: Computational Geometry, Springer Verlag 1997

31 Voroného diagram Výpočet Voroného diagramu postupnou konstrukcí jednotlivých buňek by určitě nebyl nejvhodnější. Existují proto jiné algoritmy, které využívají vlastností diagramu jako celku (pomocí tzv. příbojové vlny nebo Delauneyovy triangulace). Složitost algoritmu Výpočet Voroného diagramu je nejrychlejší Fortunovým algoritmem pomocí tzv. příbojové vlny s_algorithm Algoritmus počítá v čase O(n log n) při n prvcích množiny M. Literatura Berg, Cheong, Kreveld, Overmars: Computational Geometry, Springer Verlag 1997