Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Transkript

1 Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz kružnice k ve stejnolehlosti se středem v M a λ = - 0,5, průsečíky k a k jsou krajní body A hledaných tětiv. Body B jsou obrazy bodů A ve stejnolehlosti se středem v M a λ = - 2 Příklad 2: Uvnitř kružnice k(s,r) leží bod M. Bodem M sestrojte tětivu AB tak, aby platil vztah AM : BM = 2 : 3 Sestrojte kružnici k, která je obrazem kružnice k ve stejnolehlosti se středem v M a λ = 2 / 3. Průsečíky kružnic k a k jsou krajní body hledaných tětiv. Další postup viz úloha 1.

2 Příklad 3: Je dána kružnice k(s,r) a bod Q v její vnější oblasti. Sestrojte všechny úsečky AB s krajními body ležícími na kružnici k, pro které platí : QA = 3. QB Sestrojte obraz k kružnice k ve stejnolehlosti se středem Q a λ = 1/3. Průsečíky kružnic k a k jsou body B hledaných úseček. Body A jsou obrazy bodů B ve stejnolehlosti se středem Q a λ = 3.

3 Příklad 4: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém je a : b : c = 2 : 3 : 4, v c = 5 cm. Sestrojte pomocný trojúhelník A B C se stranami v poměru 2 : 3 : 4 (např. a = 4cm, b = 6cm, c = 8cm) a sestrojte jeho výšku v c (její délka není 5 cm) Dále je možno postupovat třemi způsoby (rozhodněte, která konstrukce je nejjednodušší): 1. Výšku v c upravte na 5 cm tak, že v c je vnitřní částí úsečky o délce 5 cm. Hledaný trojúhelník ABC je obrazem A B C. Při konstrukci využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné. 2. Výšku v c upravte na 5 cm tak, že v c prodloužíte od paty kolmice. Hledaný trojúhelník ABC je obrazem A B C. Při konstrukci využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné.

4 3. Výšku v c upravte na 5 cm tak, že v c prodloužíte od vrcholu C. Hledaný trojúhelník ABC je obrazem A B C ve stejnolehlosti se středem v C. Při konstrukci využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné. Nejjednodušší je třetí postup (sestrojujete pouze jednu rovnoběžku). Příklad 5: Sestrojte rovnostranný trojúhelník KLM o výšce v = 6 cm. Sestrojte pomocný rovnostranný trojúhelník K L M. Výšku M X upravte na 6 cm. Trojúhelník KLM je obrazem trojúhelníku K L M ve stejnolehlosti se středem v M. Využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné.

5 Příklad 6:Do rovnostranného trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tak, aby K, L AB, M BC, N AC. Do rovnostranného trojúhelníka ABC sestrojte pomocný čtverec K L M N tak, aby K, L AB, N AC. Čtverec KLMN je obrazem čtverce K L M N ve stejnolehlosti se středem v A. Využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že přímka procházející bodem a jeho obrazem prochází středem stejnolehlosti. Příklad 7:Do kruhové výseče (S = 6 cm, α = 60 ) vepište čtverec ABCD. Do zadané kruhové výseče sestrojte pomocný čtverec A B C D tak, aby body A,B,D ležely na poloměrech zadané výseče. Bod C je obrazem bodu C se středem v bodě S.

6 Příklad 8: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a : b : c = 2 : 3 : 4, a poloměr kružnice vepsané má délku ρ = 3cm. Sestrojte pomocný trojúhelník A B C s poměrem stran a : b : c = 2 : 3 : 4 (např. 4cm, 6cm, 8cm), sestrojte střed S poloměr kružnice vepsané ρ, ten upravte na 3 cm. Hledaný trojúhelník ABC je obrazem trojúhelníka A B C ve stejnolehlosti se středem v S. Využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné.

7 Příklad 9: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li α = 60, β = 45, v c = 6 cm. Sestrojte pomocný trojúhelník A B C, ve kterém je α = 60, β = 45, c má libovolnou délku. Výšku v c upravte na 6 cm. Trojúhelník ABC je obrazem trojúhelníka A B C ve stejnolehlosti se středem v C. Využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné. Příklad 10: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li α = 75, γ = 45, r = 6 cm. Sestrojte pomocný trojúhelník A B C s úhly α = 75, γ = 45, b má libovolnou délku. Sestrojte kružnici opsanou trojúhelníku A B C (nebo jen střed S a poloměr r ). Poloměr r upravte na 6 cm. Trojúhelník ABC je obrazem trojúhelníka A B C ve stejnolehlosti se středem v S. Využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné.

8