ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol."

Transkript

1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol.

2 Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní geometrie, v rámci semináře z deskriptivní geometrie. Příklady jsou řazeny náhodně, bez vzájemné souvislosti, protože se jedná víceméně o komplexní příklady, není toho ani třeba. Pro jejich rozlišení je v obsahu vždy připojen v závorce komentář, co se v daném příkladě řeší. Každý příklad je zadán souřadnicemi, řešen co nejvíce obecně, tj. nezávisle na zvolené promítací metodě, a poté narýsován jako samostatný rys. U každého rysu je uveden jeho autor. Téměř všechny jsou zhotoveny v Mongeově projekci, až na pár vyjímek, které jsou uvedeny v obsahu. Rysy a obrázky jsou vytvořeny v programu DesignCAD. Ondřej Machů, Olomouc 007 Poděkování patří magistře Marii Škodové, které výše zmíněný seminář vedla a tyto příklady nám zadala. Ondřej Machů, Kristýna Prusenovská, Andrea Lukáčková

3 OBSAH: PŘÍKLAD... 4 (konstrukce krychle) PŘÍKLAD... 6 (konstrukce pravidelného osmistěnu) PŘÍKLAD (konstrukce rotační kuželové plochy) PŘÍKLAD (konstrukce pravidelného osmistěnu) PŘÍKLAD 5... (konstrukce ronostranného trojúhelníku) PŘÍKLAD (konstrukce rotační kuželové plochy) PŘÍKLAD (konstrukce pravidelného šestibokého jehlanu) PŘÍKLAD (konstrukce a technické osvětlení rotačního válce) PŘÍKLAD (konstrukce rovnoběžníkového řezu jehlanu) PŘÍKLAD 0... (konstrukce rovnostranného trojúhelníku) PŘÍKLAD... 4 (konstrukce a průsek rotačního anuloidu rovinou) PŘÍKLAD... 6 (konstrukce a průsek rotačního anuloidu rovinou) PŘÍKLAD (konstrukce plochy kulové) PŘÍKLAD (konstrukce plochy kulové - kótované promítání) PŘÍKLAD (konstrukce tečné roviny dvou kulových ploch) PŘÍKLAD (konstrukce dotykové rotační válcové plochy k ploše kulové) PŘÍKLAD (konstrukce rovnostranného kužele vepsaného do plochy kulové) PŘÍKLAD (konstrukce kruhové válcové plochy) PŘÍKLAD (konstrukce tečných rovin rotačního válce) PŘÍKLAD (konstrukce rotačního elipsoidu) PŘÍKLAD (řez rotačního elipsoidu rovinou) PŘÍKLAD (konstrukce rotačního paraboloidu) PŘÍKLAD (konstrukce rotačního dvojdílného hyperboloidu) PŘÍKLAD (zobrazení přímkové rotační plochy) PŘÍKLAD (konstrukce rotační válcové plochy)

4 PŘÍKLAD (konstrukce parabolického řezu rotačního jednodílného hyperboloidu) PŘÍKLAD (parabolický řez kužele - axonometrie) PŘÍKLAD (konstrukce příčky mimoběžek daným bodem středové promítání) PŘÍKLAD (průnik kosého kruhového kužele s kosým kruhovým válcem)

5 P Ř Í K L A D Zobrazte krychli jejíž jedna hrana a=4,5 leží na b=qr, Q[, ;, ;0], R[ 5 ;6, ;,3] a hrana s ní mimoběžná leží v rovině 3,,

6 P Ř Í K L A D Zobrazte pravidelný osmistěn s úhlopříčkou AC, A[ ; ;], C [ ;9 ;7], je-li jedna jeho hrana vycházející z bodu A rovnoběžná s půdorysnou

7 P Ř Í K L A D 3 Sestrojte rotační kuželovou plochu určenou směrem osy s=k L, povrchovou přímkou p= P Q a bodem plochy C. K [ 4,5 ;,5 ; 3 ], L[ 6 ; 4 ; 7 ], P [ 7 ; ; 7 ], Q[ 4 ; 7 ; ], C [,5 ; 4,5 ; 4 ].. : C s. R : R= p 3. : X : R X = C X 4. V : V = p 5. O : O=o, o s 6. k : k O,r= O R σ o p s V k R O X C ρ - 8 -

8 RYS č.3 KUŽELOVÁ PLOCHA o p P s L V n ρ R X C I σ h O k Q II σ h O x, P K k K s L V O C o O o R X I σ h II σ h k 0 Q R 0 p ρ p ONDŘEJ MACHŮ

9 P Ř Í K L A D 4 Zobrazte pravidelný osmistěn o středu S [0 ;6 ;7] se stěnou v 8 ; 7; 5, jestliže jedna jeho hrana svírá s průmětnou úhel, =30. =30-0 -

10 R Y S č.4 PRAVIDELNÝ OSMISTĚN k n β S E (S) s - ( O) O B E C C0 CS O B s - O 0 k s- 0 B0 p β ANDREA LUKÁČKOVÁ

11 P Ř Í K L A D 5 Nad stranou AB, A[ ;3 ; 8], B[ 4 ;9 ; 3], sestrojte rovnostranný trojúhelník tak, aby jeho vrchol C měl od bodů M a L, M [; ;8 ], L[5 ;6 ;0], stejné vzdálenosti. - -

12 P Ř Í K L A D 6 Zobrazte rotační kuželovou plochu na níž leží povrchová přímka a= AB, A[ 5; ;6], B[ ;0,5 ;], která prochází bodem D [ ;; 7,5], a která se dotýká roviny 4,5 ;5,5 ; 6,5.. V : V =a Každá tečná rovina obsahuje vrchol rotační kuželové plochy a každá povrchová přímka vrcholem prochází.. C : C a VC = VD Hledáme řídicí kružnici procházející bodem D. Řídicí kružnice je množina všech bodů plochy, které mají stejně velkou vzdálenost od vrcholu. 3. R : R=CD Bod R je bodem průsečnice roviny a roviny řídicí kružnice. 4. k : k V,r= VD k V rovině hledáme bod, pro který platí, že jeho vzdálenost od vrcholu je rovna velikosti úsečky VD. 5. t : t... tečna kružnice k vedená z bodu R s bodem dotyku E Průsečnice roviny a roviny řídicí kružnice je jednak tečnou řídicí kružnice, ale i tečnou kružnice k. 6. : = CDE Nyní již můžeme sestrojit rovinu, ve které bude ležet řídicí kružnice l. 7. l : l...kružnice opsaná CDE (řídící kružnice kuželové plochy) Kontrolou správnosti rýsování je, že o=vs, kde S je střed kružnice l. p o a γ B k V D l R C S E t ρ A -4-

13 R Y S č.6 ROTAČNÍ KUŽELOVÁ PLOCHA o l l* n ρ D t S* D* E* S A E C C* n γ E 0 t 0 V R 0 A R B R O x, [D] D C t (C) S E V 0 k 0 l [V] V (V) p γ o B ONDŘEJ MACHŮ

14 P Ř Í K L A D 7 Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan o vrcholu V [ ; 5 ; ] s podstavou v rovině souměrnosti o středu S a vrcholu A[ ; ;?]

15 P Ř Í K L A D 8 Zobrazte technické osvětlení rotačního válce určeného povrchovou přímkou a= AA', A[ 0,7 ;5,3 ;0,8], A' [,7 ;3,8 ; 3,4], aby podstavou procházející bodem A se opíral o a podstavou procházející bodem A' se opíral o

16 R Y S č.8 s TECHNICKÉ OSVĚTLENÍ ROTAČNÍHO VÁLCE a k 0 n β r 0 S 0 A' 0 k A' S α =r A x, k A' S p β A r a s KRISTÝNA PRUSENOVSKÁ

17 P Ř Í K L A D 9 Bodem M veďte rovinu tak, aby proťala jehlan o podstavě ABCD, A[ ;3 ; 0], B[ 3 ;5 ;0], C [ 4 ;9 ;0], D [3 ; ;0], a vrcholu V [6 ;6 ;0] v rovnoběžníku

18 P Ř Í K L A D 0 Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, A[ ;6 ; ], B[ ; ; 3], jehož třetí vrchol leží v rovině,8,7. - -

19 P Ř Í K L A D Sestrojte průsek rotačního anuloidu s osou kolmou k jdoucí bodem P [,5 ;7 ;0], která se dotýká přímky t =AT, A[,5 ;7 ;,3], T [,5 ;9, ; 5], v bodě T, a která prochází bodem B[ 5,5 ;0,5 ;,5], rovinou ;,5; 4. V obecném případě mohou nastat dvě Nechť řešení. je polorovina určená o,b ', pak pro bod T ' ovšem zřejmé, že v druhém případě by nešlo o anuloid,. : o Zvolíme rovinu procházející osou o, v tomto příkladě je volena tak aby.. B ' : otočením B do kolemosy o 3. t ' : otočením t do kolemosy o vzniklý otočením bodu T platí: T ' T '. Je nýbrž o melonoid a t by nebyla tečnou. 4. k : k O, r= OB' : t ' je tečna k v bodě T ' 5. c: c={x : X X,...anuloid určený osou o a kružnicí k } křivku jsou kružnice. Tyto roviny zároveň protínají rovinu v již body průseku. Rešíme planimetrickou úlohu. Máme sestrojit kružnici, která se dotýká přímky t ' v bodě T ', a procházející bodem B '. Průsek anuloidu rovinou je množina bodů, které leží v rovině a zároveň patří anuloidu. Obecně se jedná o čtvrtého stupně. Konstukce se provádí bodově. Vedeme roviny kolmé k ose anuloidu, jejichž průseky přímkách. Průsečíky těchto přímek s kružnicemi jsou o µ t' t Φ ρ k O T' T c B' B - 4 -

20 R Y S č. PRŮSEK ANULOIDU ROVINOU t' t o n ρ k T' T O B' B A P O x, B' p ρ k O T' P = A = o = t' µ T B t ONDŘEJ MACHŮ

21 P Ř Í K L A D K rotačnímu anuloidu se středem O[0 ;6,5 ;?] s osou kolmou k, jehož tvořící kružnice má střed S [ 3,5;6,5 ; 3] a poloměr r=,5, veďte v jeho bodě A[ ;5 ;?] tečnu, aby protínala přímku m=mn, M [ 3,5 ;0; 7], N [ ; ;7 ], a protněte jej rovinou m, t

22 P Ř Í K L A D 3 Sestrojte plochu kulovou, která prochází bodem A[ ; 3 ; ], dotýká se přímky q určené body MN, M [ 6 ; 4; 3], N [ ; 0; 9] a přímky t =QR, Q[ 3;9 ;9], R[ ;7 ;5], v bodě R

23 P Ř Í K L A D 4 Zobrazte plochu kulovou, která se dotýká koule o středu S [,5; 3 ;,5] a poloměru r=,5 v bodě T [,5; 4,5 ; z,5 ] a roviny určené spádovou přímkou s=pq, P [ ;9 ;0], Q[ 4,5; 9; 7]. Řešte v kótovaném promítání

24 P Ř Í K L A D 5 Bodem M veďte společnou tečnou rovinu k plochám kulovým o středu S [ 3,5,3] a poloměru r = a o středu S [,4,4] a poloměru r =

25 P Ř Í K L A D 6 K ploše kulové o středu S [0 ;5 ;4] a poloměru r=3,5 sestrojte rotační dotykovou plochu válcovou s osou rovnoběžnou s přímkou s=mn, M [ 4 ; 7 ;0], N [3 ;0 ;6]

26 P Ř Í K L A D 7 Do kulové plochy o středu S [0 ;5 ;5] a poloměru r=4,5 vepište rovnostranný kužel tak, aby jeho podstava byla rovnoběžná s rovinou 7,5,

27 k V n ρ S O h x, h (k) O S (O) v V (S) σ =k ρ p (m) (V) PRUSENOVSKÁ KRISTÝNA,..006

28 P Ř Í K L A D 8 Sestrojte kruhovou plochu válcovou, která se dotýká roviny 5,0,8 a roviny a obsahuje dva body kruhového řezu A[ 0 ; 4 ; 3], B[ 3 ; ;,5]

29 P Ř Í K L A D 9 K rotačnímu válci s podstavou v rovině 5,4,7 o středu S [ 3; 3,5 ;?] a poloměru r=3 a výšce v=4 veďte tečné roviny rovnoběžné s osou x.. Konstrukce válce, kdy SS ' je jeho osou.. x ' : x ' x S ' x ' 3. R : R=x ' 4. t, v : tečny kružnice k= S, r=3 s body dotyku X, Y t v r=rs 5. t ', v' : dotykové přímky tečných rovin 6. = t, t ', = v, v'... tečné roviny válce α β S' x' x t' v' t X R ρ S k v Y

30 R Y S č.9 n ρ v' v Y x' R S' r S t' t X x, O Y S X r v' v r0 S' x' R X0 t t' S0 pρ t0 Y0 v 0 ONDŘEJ MACHŮ

31 P Ř Í K L A D 0 Sestrojte rotační elipsoid protáhlý s osou kolmou k o středu S [0 ; 4 ;5,5], který prochází body A[,7 ;5, ;], B[ 0,8 ;0,8 ;4]

32 P Ř Í K L A D Stanovte průsek rotačního elipsoidu zploštělého s osou kolmou k o středu S [0 ;5 ; 3] a poloosách a=4,, b=,7 s rovinou 4,3,

33 n ρ S X 3 α α α x, X S k k ρ p r 3 r r PRUSENOVSKÁ KRISTÝNA,..006

34 P Ř Í K L A D s Sestrojte rotační paraboloid s s osou kolmou k o vrcholu V[0 ;6 ;8], který se dotýká roviny LMN, L[7 ; 3 ;], M [0 ; 5; 9], N [5 ;;].. s : s... spádová přímka roviny, taková že: U =s o. rovina určená a osou paraboloidu o protíná plochu v parabole, jejíž vrchol je V, osa o a dotýká se přímky v bodě T Tuto konstrukci řešíme např. otočením roviny do polohy kolmé k nárysně, kdy se stane nárysně promítací rovinou. Konstrukci paraboly pak provádíme na základě její definice. s ο ρ U V T

35 R Y S č. PARABOLOID ρ n U M V T T 0 (s ρ ) ρ 0 s N L O x, N M s ρ L p ρ V = U ρ (s 0 ) ONDŘEJ MACHŮ

36 P Ř Í K L A D 3 Sestrojte rotační dvojdílný hyperboloid s osou kolmou k, který má ohnisko v bodě F [0 ;6 ;] a dotýká se rovin M, N, P a Q, R,U, M [ 4 ; 0; 0], N [ ;6 ;3], P [ 6 ; ;0], Q[6 ; ; ], R[ ;5 ; 4], U [0 ; ; 4]

37 P Ř Í K L A D 4 Zobrazte rotační plochu, která vznikne rotací přímky m=mn, M [ 3 ; 6; 0], N [3 ;6 ;8], okolo osy kolmé k procházející bodem P [0 ; 4 ;0]

38 P Ř Í K L A D 5 Sestrojte rotační válcovou plochu s osou v rovině ;,6 ;,4, která prochází bodem A[,7 ;,7 ; 0,6] a dotýká se roviny 5,5 ; 8,;

39 P Ř Í K L A D 6 Rotační jednodílný hyperboloid s osou kolmou k o středu S [0 ;5 ;5] a poloosách a=,8, b=,3 protněte rovinou procházející body A[,8 ;3,9 ;?], B[ 0,5;8,3 ;?] ležícími na jeho povrchu v parabole

40 P Ř Í K L A D 7 Rotační kužel, jehož podstava leží v, má střed v bodě S [ 3; 4 ;0], poloměr r=4 a jeho výška je v=0, protněte rovinou vedenou přímkou určenou body KL, K [ 3 ;0 ;], L[0 ;0 ;3]. Řešte v axonometrii určené axonometrickým trojúhelníkem 0,,

41 R Y S č.7 PARABOLICKÝ ŘEZ KUŽELE z a k m a L a Z V a O K a m a Y S a X y k a x ρ p t a KRISTÝNA PRUSENOVSKÁ

42 P Ř Í K L A D 8 Bodem M [ ; ; 0] veďte příčku mimoběžek a= N a U a, b=n b U b, N a [ 4;0 ;], U a [5 ;0 ;5 ], N b [ ;0 ;9], U b [ ;0 ;6]. Řešte ve středovém promítání se středem v bodě S [0 ;5 ;4] a za průmětnu volte nárysnu.. : = am Bodem M proložíme přímku c, která prochází U a a pomocí směrové přímky c ' najdeme její stopník N c. Body N a N c určují stopu takto získané roviny n.. X : X =b Přímkou b vedeme rovinu, a určíme její průsečnici s rovinou, r=. 3. q : q= XM Příčka q je určena body XM. Její průsečík s přímkou a označme Y. Bod X=r b

43 R Y S č.8 PŘÍČKA MIMOBĚŽEK N b =N b s uσ s b s n s ρ k d r s S c' X s q s Y s b b U =U s c s a a U =U s as ρ us n s σ a a N =N s M M c s b M= U O x, a b a N U N S ONDŘEJ MACHŮ

44 P Ř Í K L A D 9 Zobrazte průnik kosého kruhového kužele s podstavou v o středu O[6 ;9 ;0] a poloměru r=4 a s vrcholem v bodě V [,5 ;0 ;9,5 ] s kosým kruhovým válcem s podstavou v o středu S [,5 ;6,5; 0], poloměru r=3 a středem druhé podstavy v bodě S ' [5,5 ;3,5 ;9]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Pravoúhlá axonometrie. tělesa

Pravoúhlá axonometrie. tělesa Pravoúhlá axonometrie tělesa V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou vodorovnou a zelenou svislou čáru). Tyto osy v axonometrii vůbec nevyužijeme a zbytečně by se nám zde pletly. Stejně tak můžeme vypnout

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha. 18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny Mongeovo zobrazení Konstrukce stop roviny Způsoby určení roviny Způsoby určení roviny při provádění konstrukcí v Mongeově zobrazení je výhodné pracovat s rovinami, které náme určeny pomocí stop; Způsoby

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Deskriptivní geometrie BA03

Deskriptivní geometrie BA03 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie BA03 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 Určeno pro studenty studijních

Více

Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles

Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles ZS 2008 1 / 39 KG - L (MZLU v Brně) Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat.

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat. Šroubové plochy Šroubová plocha Φ(k) vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý, resp. pravotočivý je i plocha Φ levotočivá, resp. pravotočivá.

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Vybrané kapitoly z Mongeova promítání

Vybrané kapitoly z Mongeova promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 2. ročník prezenční studium Obor: Učitelství matematiky Učitelství českého jazyka Vybrané kapitoly z Mongeova promítání

Více

Mat2 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků základních škol. Matematické semináře pro 9.

Mat2 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků základních škol. Matematické semináře pro 9. škola: číslo projektu: název projektu: Základní škola Ivana Olbrachta, Semily CZ.1.07/1.4.00/21.0439 Inovace pro kvalitní výuku Název šablony: číslo šablony: 1 poř.č. označení oblast dle RVP okruh dle

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Modely zborcených ploch

Modely zborcených ploch Modely zborcených ploch Modely geometrických těles jsou vhodným názorným doplňkem pro zvyšování prostorové představivosti. U zborcených ploch, což jsou plochy přímkové, pak mohou být modely obzvláště jednouché.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

BA03 Deskriptivní geometrie

BA03 Deskriptivní geometrie BA03 Deskriptivní geometrie Mgr. Jan Šafařík přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 letní semestr 2013-2014 Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Kontakt: Ústav matematiky a deskriptivní

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Klasické třídy ploch

Klasické třídy ploch Klasické třídy ploch Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Klasické třídy ploch klasické plochy jsou často generovány kinematicky, a to pohybem tvořicí křivky takto např. vznikají

Více

Plochy stavebně-inženýrské praxe

Plochy stavebně-inženýrské praxe Plochy stavebně-inženýrské praxe 2. Rotační plochy In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 8 31. Persistent

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

Povrch a objem těles

Povrch a objem těles Povrch a objem těles ) Kvádr: a.b.c S =.(ab+bc+ac) ) Krychle: a S = 6.a ) Válec: π r.v S = π r.(r+v) Obecně: S podstavy. výška S =. S podstavy + S pláště Vypočtěte objem a povrch kvádru, jehož tělesová

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Rotace Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický

Více

Princip a vlastnosti promítání. Konstruktivní geometrie a technické kresleni - L

Princip a vlastnosti promítání. Konstruktivní geometrie a technické kresleni - L Vlastnosti promítání Úkolem konstruktivní geometrie je zobrazení trojrozměrných předmětů ve dvojrozměrné rovině. Vlastnosti promítání Úkolem konstruktivní geometrie je zobrazení trojrozměrných předmětů

Více

Smysl otáčení. Aplikace. Pravotočivá

Smysl otáčení. Aplikace. Pravotočivá Šroubovice Definice Šroubovice je křivka generovaná bodem A, který se otáčí kolem dané přímky o a zároveň se posouvá podél této přímky, oboje rovnoměrnou rychlostí. Pohyb bodu A šroubový pohyb Přímka o

Více

Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci Katedra algebry a geometrie ZÁKLADY DG VE 4-ROZMĚRNÉM PROSTORU

Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci Katedra algebry a geometrie ZÁKLADY DG VE 4-ROZMĚRNÉM PROSTORU Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci Katedra algebry a geometrie ZÁKLADY DG VE -ROZMĚRNÉM PROSTORU Diplomová práce Vedoucí diplomové práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2007

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Konstruktivní fotogrammetrie

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Konstruktivní fotogrammetrie Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Konstruktivní fotogrammetrie Vypracoval: Barbora Mrázová Třída: 8.M Školní rok: 2014/2015 Seminář: Deskriptivní geometrie Zadavatel:

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

8. Stereometrie 1 bod

8. Stereometrie 1 bod 8. Stereometrie 1 bod 8.1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného válce je 4 : π b) : π c) : π d) : π e) 4 : π. 8.. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY INTERAKTIVNÍ ÚLOHY MONGEOVA PROMÍTÁNÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Petra Konjatová Učitelství pro 2. stupeň ZŠ,

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 1 Kontrukční úlohy Výsledkem tzv.

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Středoškolská odborná činnost 2005/2006

Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Středoškolská odborná činnost 2005/2006 12. tvorba učebních pomůcek, didaktická technologie DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Autoři: Martin Hlaváč, Michal Křen SPŠ, Kollárova 617, 686 01 Uherské Hradiště, 3. ročník

Více

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II 5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II Předpoklady: 5103 tejně jako minule začneme opakováním pravidel. Pravidla uvádíme od nejvíce a nejsnáze používaných k méně a hůře použitelným. Útvary

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

LINEÁRNÍ PERSPEKTIVA

LINEÁRNÍ PERSPEKTIVA LINEÁRNÍ PERSPEKTIVA Lineární perspektiva je významnou aplikací středového promítání. V technické praxi se používá především k zobrazování objektů větších rozměrů, napodobuje tak lidské vidění. Ze středu

Více

Menší stavby (zejména obytné domy) se z většinou zastřešují pomocí rovin, mluvíme pak o. nebo zborcených ploch.

Menší stavby (zejména obytné domy) se z většinou zastřešují pomocí rovin, mluvíme pak o. nebo zborcených ploch. TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH Menší stavby (zejména obytné domy) se z většinou zastřešují pomocí rovin, mluvíme pak o tzv. střešních rovinách. Velké stavby se často zastřešují pomocí

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Yulianna Tolkunova. Geometrie stínu. Katedra didaktiky matematiky

Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Yulianna Tolkunova. Geometrie stínu. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Yulianna Tolkunova Geometrie stínu Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Studijní

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

TECHNICKÉ OSVĚTLENÍ. Jan Šafařík

TECHNICKÉ OSVĚTLENÍ. Jan Šafařík Vysoké učení technické Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE TECHNICKÉ OSVĚTLENÍ Jan Šafařík BRNO 2006 Tento studijní materiál byl zpracován v rámci projektu Multimediální podpora

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Animované modely šroubových ploch

Animované modely šroubových ploch Animované modely šroubových ploch Jaroslav Bušek Abstrakt V příspěvku jsou prezentovány animované prostorové modely přímkových a cyklických šroubových ploch, které byly vytvořeny jako didaktické pomůcky

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Tříúběžníková perspektiva Vypracoval: Adam Protivanský Třída: 8.M Školní rok: 2012/2013 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlášení Prohlašuji,

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku METODICKÝ LIST DA39 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná Astaloš Dušan Matematika šestý

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ V Úžlabině 320, Praha 10 Sbírka úloh z technického kreslení pracovní listy I. Praha 2011 Ing. Gabriela Uhlíková Sbírka úloh z technického kreslení Tato sbírka

Více

ŠROUBOVÉ A ZÁVITOVÉ SPOJE

ŠROUBOVÉ A ZÁVITOVÉ SPOJE ŠROUBOVÉ A ZÁVITOVÉ SPOJE Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006 MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 005-006 Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Průniky rotačních ploch

Průniky rotačních ploch Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Průniky rotačních ploch Vypracoval: Vojtěch Trnka Třída: 8. M Školní rok: 2012/2013 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Mongeova projekce - řezy hranatých těles

Mongeova projekce - řezy hranatých těles Mongeova projekce - řezy hranatých těles KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Mongeova projekce - řezy hranatých těles 1 / 73 Obsah 1 Zobrazení těles v základní poloze 2 Řez hranolu rovinou Osová afinita Sestrojení

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Zrcadlení v lineární perspektivě

Zrcadlení v lineární perspektivě Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Zrcadlení v lineární perspektivě Vypracoval: Lukáš Rehberger Třída: 8. M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji,

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Osvětlení sada - 1. bod A =[4,3,0]. b) Sestrojte vržený stín okna na π=(x,y), je-li A stínem bodu A=[0,11,6] na π.

Osvětlení sada - 1. bod A =[4,3,0]. b) Sestrojte vržený stín okna na π=(x,y), je-li A stínem bodu A=[0,11,6] na π. Osvětlení sada - 1 Osvětlení okna a vrat - zadání úloh 1-6 1. KP (ω=150 o, q=3/4) A4 na šířku O(14,9) a) V rovině y=11 sestrojte okno složené z 8 čtverců a půlkruhu (viz náčrtek na obr. 1) a bod A =[6,-8,0].

Více