X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)"

Transkript

1 .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí vztahů mezi souřadnicemi. V celé kapitole budeme předpokládat, že v rovině je pevně zvolena kartézská soustava souřadnic (0;, ). Nechť jsou dán v rovině bod A = [a 1, a ], B = [b 1, b ]. Vzdálenost AB bodů A, B je dána vzorcem AB = (b 1 a 1 ) + (b a ) 6.. Parametrické vjádření přímk v rovině. Zvolme na přímce dva různé bod A, B. Bod A, B určují na přímce nenulový vektor u = AB. Rovnici X = A + tu, kde t R, kde X je libovolný bod přímk, nazveme parametrickou rovnicí přímk, kde A je bod přímk, t je parametr a u je směrový vektor přímk (viz obr. 6.1). ]A u B Obr. 6.1 X = A + tu Je-li t 0, ), je bod X bodem polopřímk AB. Je-li t (, 0, je bod X bodem polopřímk opačné k polopřímce AB. Je-li t 0, 1, je bod X bodem úsečk AB. Je-li t = 1, je bod X středem úsečk AB. Nechť je dán v rovině bod A = [a 1, a ] a vektor u = (u 1, u ). Potom přímka, která prochází bodem A a má směrový vektor u, má toto parametrické vjádření v souřadnicích: = a 1 + tu 1 = a + tu, t R, X = [, ] je libovolným bodem přímk. Přímku určenou bodem A a směrovým vektorem u budeme značit p(a, u). 6.. Neparametrické vjádření přímk v rovině. Směrnicová rovnice přímk(viz obr. 6.) má tvar = k + q, k, q R (6.1) Koeficient k se nazývá směrnice přímk. Jeho geometrický význam je dán vztahem k = tg ϕ, kde ϕ je směrový úhel přímk, tj. úhel, který přímka svírá s kladnou poloosou. Koeficient q je úsek, který přímka vtíná na ose, tj. -ová souřadnice průsečíku přímk s osou. Je-li v rovnici (6.1) q = 0, přímka prochází počátkem, je-li k = 0, přímka je rovnoběžná s osou. Rovnicí (6.1) nelze vjádřit přímku rovnoběžnou s osou. Přímka rovnoběžná s osou má rovnici = c, c R. 5

2 ^ 54 Kapitola 6 Přímka určená bodem A = [a 1, a ] a směrnicí k, má rovnici a = k( a 1 ), k R (6.) P ϕ O = k + q q Obr. 6. Přímka určená dvěma různými bod A = [a 1, a ], B = [b 1, b ], kde a 1 b 1, má rovnici O_ ` a = b a b 1 a 1 ( a 1 ) (6.) Dostaneme ji z rovnice (6.), vjádříme-li k = tg ϕ z pravoúhlého trojúhelníku na obr. 6.. b a A b 1 a 1 B a 1 b 1 b a Obr. 6. Obr. 6.4 Přímka vtínající na osách, úsek p, q má rovnici p + q q O p = 1, p, q R, p q 0 (viz obr. (6.4)). Této rovnici se říká úseková rovnice přímk. Všechn dosud uvedené tvar rovnice přímk v rovině jsou speciálním případem lineární rovnice o dvou neznámých a tvaru a + b + c = 0, (a, b) (0, 0) Tato rovnice se nazývá obecná rovnice přímk Vzdálenost bodu od přímk. Nechť je v rovině dána přímka p rovnicí a + b + c = 0, kde (a, b) (0, 0) a bod M = [m 1, m ]. Potom vzdálenost bodu M od přímk p je v = am 1 + bm + c a + b (6.4)

3 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině Odchlka α dvou přímek v rovině. Jsou-li p: = k 1 + q 1, q : = k + q dvě přímk, pak jejich odchlka α je dána vzorcem tg α = k 1 k 1 + k 1 k, k 1 k 1, α = π, je-li k 1 k = 1. (6.5) Kvadratické útvar v rovině (kuželosečk) jsou analtick popsán kvadratickou rovnicí. Jsou to: kružnice, elipsa, hperbola, parabola. V této kapitole budeme analtick vjadřovat jen kuželosečk, jejichž os leží na osách kartézské soustav souřadnic, nebo jsou s nimi rovnoběžné Kružnice. Kružnice je množina bodů, které mají od daného bodu, zvaného střed kružnice, stejnou nenulovou vzdálenost zvanou poloměr kružnice. Kružnice se středem S = [ 0, 0 ] a s poloměrem r má rovnici Je-li střed S = [0, 0], kružnice má rovnici ( 0 ) + ( 0 ) = r, r R + (6.6) + = r, r R + (6.7) Tečna ke kružnici s rovnicí (6.6) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici ( 0 )( 1 0 ) + ( 0 )( 1 0 ) = r Je-li střed S = [0, 0], tj. v případě kružnice s rovnicí (6.7), má tečna rovnici = r 6.7. Elipsa. Elipsa je křivka (viz obr. 6.5), jejíž všechn bod mají konstantní součet vzdáleností od dvou různých pevně zvolených bodů. Tto bod se označují F 1, F a nazývají se ohniska elips. Součet vzdáleností F 1 M + F M, kde M je libovolný bod elips, se označuje a ; zřejmě a R +, a > F 1 F. Střed S úsečk F 1 F se nazývá střed elips. Přímka F 1 F se nazývá hlavní osa a kolmice k ní vedená bodem S se nazývá vedlejší osa elips. Průsečík A 1, A elips s hlavní osou a průsečík B 1, B s vedlejší osou se nazývají vrchol elips. Úsečk SA 1 a SA, pro jejichž velikosti platí vztah SA 1 = SA = a, se nazývají hlavní poloos a úsečk SB 1 a SB, jejichž velikost se značí b, se nazývají vedlejší poloos. Pro velikost hlavní a vedlejší poloos platí vztah a > b. (Hlavní, resp. vedlejší poloosou se často nazývá též číslo a, resp. číslo b.) Číslu e = SF 1 = SF se říká ecentricita (výstřednost). Velikost hlavní poloos a, velikost vedlejší poloos b a ecentricita e splňují rovnici e = a b Elipsa se středem S = [ 0, 0 ], s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b má rovnici Je-li střed S = [0, 0] (viz obr. 6.6 ), elipsa má rovnici ( 0 ) a + ( 0) b = 1, a > b > 0 (6.8) a + = 1, a > b > 0 (6.9) b

4 Sb c 56 Kapitola 6 F A b B 1 e a M F 1 A 1 [0, b] b a F e F 1 O = S [a, 0] B Poznámk: Obr. 6.5 Obr. 6.6 Z definice elips je zřejmé, že elipsa daná rovnicí (6.9) má hlavní osu totožnou s osou (ohniska leží na ose ). Je-li v rovnici a + b = 1, a = b, a, b R+, pak tato rovnice popisuje kružnici s poloměrem a a středem v počátku. Tečna k elipse s rovnicí (6.8) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici ( 0 )( 1 0 ) a + ( 0)( 1 0 ) b = 1 Je-li střed S = [0, 0], tj. v případě elips s rovnicí (6.9), má tečna rovnici 1 a + 1 b = Hperbola. Hperbola je křivka (viz obr. 6.7), jejíž všechn bod mají konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností od dvou různých pevně zvolených bodů. Tto bod se označují F 1, F a nazývají se ohniska hperbol. Absolutní hodnota rozdílu vzdáleností F 1 M F M, kde M je libovolný bod hperbol, se označuje a ; zřejmě a R +, a < F 1 F. Střed S úsečk F 1 F se nazývá střed hperbol. Přímka F 1 F se nazývá hlavní osa a kolmice k ní vedená středem S se nazývá vedlejší osa hperbol. Průsečík hperbol s její hlavní osou, bod A 1, A, se nazývají vrchol hperbol. Úsečk SA 1, SA jsou tzv. hlavní poloos; pro jejich délku platí vztah SA 1 = SA = a. (Často se hlavní poloosou nazývá též číslo a.) Vzdálenost e = SF 1 = SF se nazývá ecentricita (výstřednost) hperbol. Vedlejší poloos jsou úsečk SB 1, SB, kde bod B 1 a B jsou jediné bod na vedlejší ose hperbol, jejichž vzdálenost od bodů A 1 a A je rovna e. (I pod vedlejší poloosou se často rozumějí nejen úsečk SB 1, SB, ale i jejich velikost.) Velikost b vedlejší poloos splňuje rovnici e = a + b Jestliže a = b, hperbola se nazývá rovnoosá. Hperbola se středem S = [ 0, 0 ], s hlavní poloosou a, vedlejší poloosou b má rovnici Je-li střed S = [0, 0] (viz obr. 6.8 a), hperbola má rovnici ( 0 ) a ( 0) b = 1, a, b R + (6.10) a b = 1, a, b R+ (6.11)

5 e Œ Sd Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 57 B 1 F b A e B a A 1 F 1 M = b a b e F a F O=S 1 = b a Obr. 6.7 = b a b F 1 O=S a e = b a F Poznámk: Obr. 6.8 a Obr. 6.8 b Z definice hperbol je zřejmé, že hperbola daná rovnicí (6.11) má hlavní osu totožnou s osou (ohniska leží na ose ). Hperbola, která má střed S = [0, 0], hlavní osu totožnou s osou (ohniska leží na ose ), hlavní poloosu b, vedlejší poloosu a, má rovnici a + = 1 (viz obr. 6.8 b). b Tečna k hperbole s rovnicí (6.10) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici ( 0 )( 1 0 ) a ( 0)( 1 0 ) b = 1 Je-li střed S = [0, 0], tj. v případě hperbol s rovnicí (6.11), má tečna rovnici 1 a 1 b = 1. Asmptot hperbol jsou přímk, které procházejí jejím středem a svírají s její hlavní osou úhel α, kde tg α = ± b. Asmptot hperbol s rovnicí (6.10) mají rovnice a 0 = ± b a ( 0) a asmptot hperbol s rovnicí (6.11) mají rovnice = ± b a Parabola. Parabola je křivka (viz obr. 6.9), jejíž každý bod je stejně vzdálen od daného bodu F, zvaného ohnisko parabol, a od dané přímk d, zvané řídící přímka parabol. Je-li ted M libovolný

6 58 Kapitola 6 Pf g bod parabol a P je jeho pravoúhlý průmět na řídící přímku, platí rovnost F M = P M. Vzdálenost ohniska F od řídící přímk se nazývá parametr parabol a značí se p ; je ted p R +. (Někd se parametrem parabol rozumí číslo p a číslo p se nazývá poloparametrem parabol.) Kolmice k řídící přímce procházející ohniskem F se nazývá osa parabol a její průsečík s parabolou, bod V, se nazývá vrchol parabol. Pro vrchol V platí vztah V F = p. M [0, p] p V p F p [ p, 0] O F d d [0, p] Obr. 6.9 Obr Parabola s vrcholem V = [ 0, 0 ] a s ohniskem F = [ p + 0, 0 ] má rovnici ( 0 ) = p( 0 ), p R + (6.1) [ p ] Je-li vrchol V = [0, 0] a ohnisko F =, 0 (viz obr. 6.10), parabola má rovnici = p, p R + (6.1) Poznámka: Parabola s vrcholem v počátku a s ohniskem ležícím na záporné poloose, resp. na kladné poloose, resp. na záporné poloose má rovnici = p, resp. = p, resp. = p, p R +. Tečna k parabole s rovnicí (6.1) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici p( + 1 ) = 1 Tečnu k parabole s rovnicí (6.1) lze z této rovnice odvodit posunutím soustav souřadnic. Poznámk: Rovnice (6.6) až (6.11) se nazývají středové rovnice. Rovnice (6.1) a (6.1) se nazývají vrcholové rovnice. Rovnice (6.7), (6.9), (6.11), (6.1) se nazývají rovnice v základní poloze. Rovnice A + B + C + D + E = 0, kde A, B, C, D, E R a alespoň jedno z čísel A, B je nenulové, může vjadřovat některou z kuželoseček daných rovnicemi (6.6) až (6.1), pokud lze tuto rovnici algebraickými úpravami převést na některý z uvedených tvarů. Rovnice A + B + C + D + E + F = 0, kde A, B, C, D, E, F R, C 0 a alespoň jedno z čísel A, B je nenulové, může vjadřovat kuželosečku, která nemá os (pro parabolu osu) rovnoběžné ani totožné s osami souřadnic. Všetřování kuželoseček v této poloze není v osnovách střední škol.

7 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 59 Vzájemnou polohu přímk a kuželosečk všetřujeme tak, že hledáme jejich společné bod řešením soustav jejich rovnic. Společné bod dvou kuželoseček hledáme řešením soustav jejich rovnic Řešené příklad. Ve všech následujících úlohách předpokládáme, že souřadnice bodů a vektorů jsou dán v kartézské soustavě souřadnic. 1. Vpočtěte výšku v a trojúhelníku ABC s vrchol A = [5, ], B = [1, 5], C = [, 1]. Řešení: Výšku v a vzorce (6.4) je vpočteme jako vzdálenost vrcholu A od přímk BC, jejíž rovnice podle 5 = 1 5 ( 1), tj. po úpravě = Pak podle vzorce (1.4) v a = = ( ) 5 = 5.. Napište rovnici přímk l tak, ab se souřadnými osami vtvořila trojúhelník o obsahu P = a procházela bodem A = [4, ]. Řešení: Je-li úseková rovnice přímk l, potom platí vztah P = pq = 6, p + q = 1 4 p q = 1. Druhou rovnici upravíme na tvar 4q p = pq, vpočteme z ní q = 1 (p + 6) a dosadíme do 4 první rovnice. Dostaneme kvadratickou rovnici p + 6p 4 = 0, z níž plne p 1, = 1 ± 1 + 8, a ted p 1 = 4, q 1 = nebo p =, q =. Úloze ted vhovují dvě přímk:. Určete průsečík M a odchlku přímek l 1 : 4 + = 1, tj = 0 ; l : + = 1, tj. + 6 = 0. a: 6 = 0, b: + = 0. Řešení: Souřadnice průsečíku M vhovují soustavě dvou lineárních rovnic 6 = 0, + = 0, z níž plne = 9, = 1, tj. M = [9, 1]. Odchlku α daných přímek určíme pomocí vzorce (6.5). Protože směrnice k a, k b jsou k a =, k b = 1, dostaneme tg α = k a k b 1 + k a k b = = 1, a ted α = přímek a, b

8 60 Kapitola 6 4. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A = [ 4, ] a má od počátku vzdálenost v = 5. Řešení: Ze zadání úloh plne, že hledanou přímku lze vjádřit rovnicí tvaru (6.1). Odtud a ze vzorce (6.4) pro vzdálenost přímk od bodu plne, že p, q musí splňovat rovnice 4k + q = 0, 5 = q k + 1. Z první rovnice dosadíme do druhé q = 4k + a po umocnění dostaneme kvadratickou rovnici 9k 4k + 16 = 0, která má jediné řešení k = Ted q = + = 5. Hledaná přímka má rovnici = 1 (4 + 5), neboli = 0. Poznámka. Všimneme-li si, že vzdálenost bodu A od počátku je rovna 5, potom můžeme okamžitě usoudit, že hledaná přímka musí být kolmá na přímku OA a musí mít ted podle vzorce (6.5) směrnici k = 4. Úsek q pak dostaneme dosazením souřadnic bodu A do rovnice = 4 + q. 5. Určete střed S a poloměr r kružnice Řešení: Rovnici převedeme na tvar (6.6) Odtud S = [1, ], r = 15. k : = 10. ( ) + ( + 6) = 10 ( ) + ( + 6) = 5 ( 1) + ( + ) 1 9 = 5 ( 1) + ( + ) = Určete rovnici kružnice k, která má střed v bodě S = [1, ] a dotýká se přímk p dané rovnicí 7 + = 0. Určete bod dotku. Řešení: Poloměr hledané kružnice je roven vzdálenosti bodu S od přímk p, takže podle vzorce (6.4) je r = 7 S + S = 10 = Kružnice k má ted rovnici ( 1) + ( ) =. Bod dotku T určíme třeba jako průsečík přímk p s přímkou l, která prochází bodem S a je kolmá na p. Ze vzorce (6.4) a podmínk kolmosti dvou přímek plne, že přímka l má rovnici = 1 ( 1), tj. po úpravě 7+0 = 0. Souřadnice bodu T ted získáme řešením soustav = 0, 7 + = 0. Této soustavě vhovují = 5, = 14 [ 5 a ted T = 5, 14 ]. 5 Poznámka: Souřadnice bodu T bchom mohli získat též řešením nelineární soustav rovnic: + 7 = 0, ( 1) + ( ) = Napište rovnice tečen kružnice = 0, které procházejí bodem P = [, 5]. Řešení: Rovnici kružnice uvedeme na tvar (6.6); dostaneme rovnici ( ) + ( 5) = 5

9 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 61 a ted střed kružnice S = [, 5] a poloměr r = 5. Snadno je vidět, že žádná tečna t nemůže být rovnoběžná s osou, a proto má rovnici tvaru = k + q. Protože vzdálenost středu S od tečn je rovna r = 5, z podmínk P t a ze vzorce (6.4) plne, že platí rovnice k + 5 q = 0, 5 = k 5 + q k + 1. Z první rovnice dosadíme q = k + 5 do druhé rovnice a po umocnění a úpravě dostaneme rovnici 0k = 5, z níž plne k 1, = ± 1, a ted q 1 = 6, q = 4. Úloha má ted dvě řešení t 1 : = + 6, tj. + 1 = 0; t : = + 4, tj. + 8 = 0. Poznámka: Tuto úlohu jsme mohli řešit též tak, že bchom nejprve našli bod dotku T = [ 0, 0 ], jehož souřadnice vhovují soustavě rovnic ( 0 ) + ( 0 5) = 5, ( )( 0 ) + (5 5)( 0 5) = 5. (První rovnice vjadřuje, že bod T je bodem dané kružnice, druhá, že bod P je bodem tečn kružnice.) Z druhé rovnice okamžitě plne 0 = 1, tj. 0 =, což po dosazení do první rovnice dává rovnici ( 0 5) = 4, z níž plne 01 = 7, 0 =. Bod P = [, 5], T 1 = [, 7] určují podle (6.) tečnu t 1 a bod P, T = [, ] určují tečnu t. 8. Určete střed S a poloos a, b elips Řešení: Rovnici převedeme na tvar (6.8): Výsledek: S = = 0. ( + ) + 4( ) = 1 (, + 1 ( + 4 ) ) = 9, ( + 1 ) 9 [ 1, ], a =, b =. + ( ) 9. Napište rovnici elips se středem v počátku, která má jedno ohnisko v bodě F 1 = [4, 0] a prochází bodem M = [, 1]. Řešení: Protože e = OF 1, je e = 4. Bod M je bodem elips, proto do rovnice (6.9) dosadíme souřadnice bodu M. Dále použijeme vztah e = a b, kde e = 4 ; odtud a = 16 + b a dostaneme rovnici 9 4 = b + 1 b = 1, tj. po úpravě b4 + 6b 16 = 0. Odtud b = (druhé řešení b = 8 nevhovuje) a a = 18. Elipsa se zadanými vlastnostmi má ted rovnici 18 + = = 0.

10 6 Kapitola Určete odchlku asmptot hperbol 6 8 = 0. Řešení: Nejprve danou rovnici uvedeme na tvar (6.10): ( 1) ( + 1) ( 1) = = 6, 6 a = 6, b = 1 =. ( + 1) 1 = 1, Protože směrnice asmptot hperbol jsou ± b a, jedna asmptota má směrnici k 1 = má směrnici k =. Jejich odchlka α je podle vzorce (6.5) dána vztahem tg α = =, a druhá a ted α = Najděte rovnici hperbol procházející bodem A = [1, ], mají-li její asmptot rovnice = ± 1. Řešení: Protože střed hperbol je totožný s průsečíkem jejích asmptot, hledaná hperbola má střed v počátku a má ted rovnici tvaru (6.11) a její asmptot mají směrnici ± b. Ze zadání a úloh proto plne, že a, b splňují rovnice 1 a ( ) b b = 1, a = 1. Z druhé rovnice dosadíme a = b do první rovnice a postupně dostaneme: Odtud b = (je b > 0 ) a a = 6. Hledaná hperbola má ted rovnici 144 4b 7 b = 1, 6 b 7 b = 1, b = = Hperbola má střed S = [ 15, 0], jedno ohnisko v počátku a na ose vtíná tětivu délk. Najděte rovnici přímk, na níž leží tětiva. Řešení: Protože střed a jedno ohnisko hperbol leží na ose, jednou osou hperbol je osa a druhá osa je rovnoběžná s osou. Odtud plne, že hperbola má rovnici tvaru ( + 15) a b = 1 a že tětiva, kterou hperbola vtíná na ose, je kolmá k ose a je půlena ohniskem ležícím v počátku soustav souřadnic. Hperbola proto prochází bodem A = [0, 16], což znamená, že musí platit rovnice (0 + 15) a 16 b = 1, tj. 5 a 56 b = 1. Protože z poloh ohniska a středu plne pro ecentricitu e = 15, musí platit rovnice 15 = a +b. Zbývá ted vřešit soustavu rovnic a + b = 5, 5 a 56 b = 1.

11 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6 Dosadíme-li z první z těchto rovnic b = 5 a do druhé rovnice, dostaneme postupně 5 a 56 5 a = 1, a4 706a + 5 = 0, a = 5 ± 5 5 = 78 ± 7. Odtud plne a = 81, neboť musí být b = 5 a > 0, a dále b = 144. Hledaná rovnice je ( + 15) = Určete souřadnice vrcholu, parametr, souřadnice ohniska, osu a řídící přímku parabol Řešení: Rovnici převedeme na tvar (6.1): = 0. ( ) = ( 6). Odtud ihned plne: vrchol parabol V = [6, ], parametr p = 1, ohnisko F = [ 11, ]. Dále odtud vplývá, že osou parabol je přímka = a řídící přímkou přímka = 6, 5. Konečně odtud plne, že osu parabola protíná v bodě [4, 0] a osu v bodech [0, ± ]. 14. Určete q tak, ab přímka = 4 + q bla tečnou parabol Určete bod dotku. = +. Řešení: Souřadnice bodu dotku vhovují rovnici přímk i rovnici parabol, tj. rovnicím z nichž vloučením dostaneme rovnici = 4 + q, = +, 4 + q = +, tj q = 0. Protože přímka = 4 + q má být tečnou, tato kvadratická rovnice musí mít jediné řešení, tj. její diskriminant D = 6 4 (q ) musí být nulový. Musí ted být q = 1. Je-li tato podmínka splněna, kvadratická rovnice má řešení =, jemuž přísluší = 0. Přímka = se ted dotýká parabol v bodě T = [, 0]. 15. Určete vzdálenost d dvou rovnoběžek t, p, kde t je tečna parabol = 64 a p má rovnici = 0. Řešení: Přímka p má směrnici k p = 4 a ted tečna s ní rovnoběžná má rovnici = 4 + q. Úsek q určíme stejným postupem jako v předešlém příkladě; dostaneme q = 1, takže tečna má rovnici = 0. Vzdálenost d tečn a přímk p určíme jako vzdálenost libovolně zvoleného bodu X tečn od přímk p ; můžeme např. zvolit X = [ 9, 0] a podle vzorce (6.4) dostaneme d = = = Neřešené příklad. 1. Je dán trojúhelník ABC s vrchol A = [4, 6], B = [ 4, 0], C = [ 1, 4].

12 64 Kapitola 6 Najděte rovnice všech jeho stran. [ = 0 ; = 0 ; = 0] Najděte rovnici těžnice jdoucí vrcholem C. [7 + = 0] Najděte rovnici výšk spuštěné z vrcholu A. [ = 0] [ π ]. Určete odchlku přímek = 0, + 1 = Určete rovnici přímk, která prochází bodem A = [ 5, ] a je kolmá na přímku 4 + = 0. [ + 4 = 0] 4. Určete souřadnice středu S a poloměr r kružnice dané rovnicí = 0. [S = [; ], r = 5] 5. Napište rovnici kružnice, která prochází bodem K = [, 0] a dotýká [ se přímk = v bodě ( T = [1, ]. 7 ) ( + 4 ) ] = Určete rovnici tečn kružnice + = 65, která je kolmá k přímce + 9 = 0. [ + ± 1 5 = 0 ] 7. Určete středovou rovnici elips, která prochází bodem A = [ 4; ], má ohnisko F = [4; 0] [ ] a střed S = [0; 0] = 1 8. Je dána elipsa = 0. Určete souřadnice jejího středu, délk poloos a ecentricitu. [S = [, ] ; a = 5, b = ; e = 1] 9. Určete průsečík elips = 0 s přímkou + = 0. [ [ P 1 = [0, 1], P = 4 5, 1 ]] Určete střed, ohniska, délk poloos a rovnice asmptot hperbol = 0. [S = [, 0] ; a =, b = 1 ; F 1, = [ ± 5, 0] ; ± + = 0] 11. Napište rovnici tečn parabol = 0 rovnoběžné s přímkou = 0. [ = 0]

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Hyperbola. Předpoklady: 7507, 7512

Hyperbola. Předpoklady: 7507, 7512 7.5.6 Hperbola Předpoklad: 7507, 75 Pedagogická poznámka: Na první pohled se nezdá, že b hodina bla příliš zaplněná, ale kreslení obrázků studentům (spíše studentkám) docela trvá. Je dobré vsvětlit, že

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

Parametrický popis křivek

Parametrický popis křivek Parametrický popis křivek Jan Suchomel Smíchovská střední průmslová škola Maturitní práce 013/014 Garant: Mgr. Zbšek Nechanický Konzultanti: RNDr. Alena Rbáková a RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D. Obsah 1

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

3. Analytická geometrie

3. Analytická geometrie 3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro

Více

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice 7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Kartografické projekce

Kartografické projekce GYMNÁZIUM CHRISTIANA DOPPLERA Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce z deskriptivní geometrie Kartografické projekce Vypracoval: Nguyen, Viet Bach, 4.C Školní rok: 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více