X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)"

Transkript

1 .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí vztahů mezi souřadnicemi. V celé kapitole budeme předpokládat, že v rovině je pevně zvolena kartézská soustava souřadnic (0;, ). Nechť jsou dán v rovině bod A = [a 1, a ], B = [b 1, b ]. Vzdálenost AB bodů A, B je dána vzorcem AB = (b 1 a 1 ) + (b a ) 6.. Parametrické vjádření přímk v rovině. Zvolme na přímce dva různé bod A, B. Bod A, B určují na přímce nenulový vektor u = AB. Rovnici X = A + tu, kde t R, kde X je libovolný bod přímk, nazveme parametrickou rovnicí přímk, kde A je bod přímk, t je parametr a u je směrový vektor přímk (viz obr. 6.1). ]A u B Obr. 6.1 X = A + tu Je-li t 0, ), je bod X bodem polopřímk AB. Je-li t (, 0, je bod X bodem polopřímk opačné k polopřímce AB. Je-li t 0, 1, je bod X bodem úsečk AB. Je-li t = 1, je bod X středem úsečk AB. Nechť je dán v rovině bod A = [a 1, a ] a vektor u = (u 1, u ). Potom přímka, která prochází bodem A a má směrový vektor u, má toto parametrické vjádření v souřadnicích: = a 1 + tu 1 = a + tu, t R, X = [, ] je libovolným bodem přímk. Přímku určenou bodem A a směrovým vektorem u budeme značit p(a, u). 6.. Neparametrické vjádření přímk v rovině. Směrnicová rovnice přímk(viz obr. 6.) má tvar = k + q, k, q R (6.1) Koeficient k se nazývá směrnice přímk. Jeho geometrický význam je dán vztahem k = tg ϕ, kde ϕ je směrový úhel přímk, tj. úhel, který přímka svírá s kladnou poloosou. Koeficient q je úsek, který přímka vtíná na ose, tj. -ová souřadnice průsečíku přímk s osou. Je-li v rovnici (6.1) q = 0, přímka prochází počátkem, je-li k = 0, přímka je rovnoběžná s osou. Rovnicí (6.1) nelze vjádřit přímku rovnoběžnou s osou. Přímka rovnoběžná s osou má rovnici = c, c R. 5

2 ^ 54 Kapitola 6 Přímka určená bodem A = [a 1, a ] a směrnicí k, má rovnici a = k( a 1 ), k R (6.) P ϕ O = k + q q Obr. 6. Přímka určená dvěma různými bod A = [a 1, a ], B = [b 1, b ], kde a 1 b 1, má rovnici O_ ` a = b a b 1 a 1 ( a 1 ) (6.) Dostaneme ji z rovnice (6.), vjádříme-li k = tg ϕ z pravoúhlého trojúhelníku na obr. 6.. b a A b 1 a 1 B a 1 b 1 b a Obr. 6. Obr. 6.4 Přímka vtínající na osách, úsek p, q má rovnici p + q q O p = 1, p, q R, p q 0 (viz obr. (6.4)). Této rovnici se říká úseková rovnice přímk. Všechn dosud uvedené tvar rovnice přímk v rovině jsou speciálním případem lineární rovnice o dvou neznámých a tvaru a + b + c = 0, (a, b) (0, 0) Tato rovnice se nazývá obecná rovnice přímk Vzdálenost bodu od přímk. Nechť je v rovině dána přímka p rovnicí a + b + c = 0, kde (a, b) (0, 0) a bod M = [m 1, m ]. Potom vzdálenost bodu M od přímk p je v = am 1 + bm + c a + b (6.4)

3 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině Odchlka α dvou přímek v rovině. Jsou-li p: = k 1 + q 1, q : = k + q dvě přímk, pak jejich odchlka α je dána vzorcem tg α = k 1 k 1 + k 1 k, k 1 k 1, α = π, je-li k 1 k = 1. (6.5) Kvadratické útvar v rovině (kuželosečk) jsou analtick popsán kvadratickou rovnicí. Jsou to: kružnice, elipsa, hperbola, parabola. V této kapitole budeme analtick vjadřovat jen kuželosečk, jejichž os leží na osách kartézské soustav souřadnic, nebo jsou s nimi rovnoběžné Kružnice. Kružnice je množina bodů, které mají od daného bodu, zvaného střed kružnice, stejnou nenulovou vzdálenost zvanou poloměr kružnice. Kružnice se středem S = [ 0, 0 ] a s poloměrem r má rovnici Je-li střed S = [0, 0], kružnice má rovnici ( 0 ) + ( 0 ) = r, r R + (6.6) + = r, r R + (6.7) Tečna ke kružnici s rovnicí (6.6) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici ( 0 )( 1 0 ) + ( 0 )( 1 0 ) = r Je-li střed S = [0, 0], tj. v případě kružnice s rovnicí (6.7), má tečna rovnici = r 6.7. Elipsa. Elipsa je křivka (viz obr. 6.5), jejíž všechn bod mají konstantní součet vzdáleností od dvou různých pevně zvolených bodů. Tto bod se označují F 1, F a nazývají se ohniska elips. Součet vzdáleností F 1 M + F M, kde M je libovolný bod elips, se označuje a ; zřejmě a R +, a > F 1 F. Střed S úsečk F 1 F se nazývá střed elips. Přímka F 1 F se nazývá hlavní osa a kolmice k ní vedená bodem S se nazývá vedlejší osa elips. Průsečík A 1, A elips s hlavní osou a průsečík B 1, B s vedlejší osou se nazývají vrchol elips. Úsečk SA 1 a SA, pro jejichž velikosti platí vztah SA 1 = SA = a, se nazývají hlavní poloos a úsečk SB 1 a SB, jejichž velikost se značí b, se nazývají vedlejší poloos. Pro velikost hlavní a vedlejší poloos platí vztah a > b. (Hlavní, resp. vedlejší poloosou se často nazývá též číslo a, resp. číslo b.) Číslu e = SF 1 = SF se říká ecentricita (výstřednost). Velikost hlavní poloos a, velikost vedlejší poloos b a ecentricita e splňují rovnici e = a b Elipsa se středem S = [ 0, 0 ], s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b má rovnici Je-li střed S = [0, 0] (viz obr. 6.6 ), elipsa má rovnici ( 0 ) a + ( 0) b = 1, a > b > 0 (6.8) a + = 1, a > b > 0 (6.9) b

4 Sb c 56 Kapitola 6 F A b B 1 e a M F 1 A 1 [0, b] b a F e F 1 O = S [a, 0] B Poznámk: Obr. 6.5 Obr. 6.6 Z definice elips je zřejmé, že elipsa daná rovnicí (6.9) má hlavní osu totožnou s osou (ohniska leží na ose ). Je-li v rovnici a + b = 1, a = b, a, b R+, pak tato rovnice popisuje kružnici s poloměrem a a středem v počátku. Tečna k elipse s rovnicí (6.8) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici ( 0 )( 1 0 ) a + ( 0)( 1 0 ) b = 1 Je-li střed S = [0, 0], tj. v případě elips s rovnicí (6.9), má tečna rovnici 1 a + 1 b = Hperbola. Hperbola je křivka (viz obr. 6.7), jejíž všechn bod mají konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností od dvou různých pevně zvolených bodů. Tto bod se označují F 1, F a nazývají se ohniska hperbol. Absolutní hodnota rozdílu vzdáleností F 1 M F M, kde M je libovolný bod hperbol, se označuje a ; zřejmě a R +, a < F 1 F. Střed S úsečk F 1 F se nazývá střed hperbol. Přímka F 1 F se nazývá hlavní osa a kolmice k ní vedená středem S se nazývá vedlejší osa hperbol. Průsečík hperbol s její hlavní osou, bod A 1, A, se nazývají vrchol hperbol. Úsečk SA 1, SA jsou tzv. hlavní poloos; pro jejich délku platí vztah SA 1 = SA = a. (Často se hlavní poloosou nazývá též číslo a.) Vzdálenost e = SF 1 = SF se nazývá ecentricita (výstřednost) hperbol. Vedlejší poloos jsou úsečk SB 1, SB, kde bod B 1 a B jsou jediné bod na vedlejší ose hperbol, jejichž vzdálenost od bodů A 1 a A je rovna e. (I pod vedlejší poloosou se často rozumějí nejen úsečk SB 1, SB, ale i jejich velikost.) Velikost b vedlejší poloos splňuje rovnici e = a + b Jestliže a = b, hperbola se nazývá rovnoosá. Hperbola se středem S = [ 0, 0 ], s hlavní poloosou a, vedlejší poloosou b má rovnici Je-li střed S = [0, 0] (viz obr. 6.8 a), hperbola má rovnici ( 0 ) a ( 0) b = 1, a, b R + (6.10) a b = 1, a, b R+ (6.11)

5 e Œ Sd Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 57 B 1 F b A e B a A 1 F 1 M = b a b e F a F O=S 1 = b a Obr. 6.7 = b a b F 1 O=S a e = b a F Poznámk: Obr. 6.8 a Obr. 6.8 b Z definice hperbol je zřejmé, že hperbola daná rovnicí (6.11) má hlavní osu totožnou s osou (ohniska leží na ose ). Hperbola, která má střed S = [0, 0], hlavní osu totožnou s osou (ohniska leží na ose ), hlavní poloosu b, vedlejší poloosu a, má rovnici a + = 1 (viz obr. 6.8 b). b Tečna k hperbole s rovnicí (6.10) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici ( 0 )( 1 0 ) a ( 0)( 1 0 ) b = 1 Je-li střed S = [0, 0], tj. v případě hperbol s rovnicí (6.11), má tečna rovnici 1 a 1 b = 1. Asmptot hperbol jsou přímk, které procházejí jejím středem a svírají s její hlavní osou úhel α, kde tg α = ± b. Asmptot hperbol s rovnicí (6.10) mají rovnice a 0 = ± b a ( 0) a asmptot hperbol s rovnicí (6.11) mají rovnice = ± b a Parabola. Parabola je křivka (viz obr. 6.9), jejíž každý bod je stejně vzdálen od daného bodu F, zvaného ohnisko parabol, a od dané přímk d, zvané řídící přímka parabol. Je-li ted M libovolný

6 58 Kapitola 6 Pf g bod parabol a P je jeho pravoúhlý průmět na řídící přímku, platí rovnost F M = P M. Vzdálenost ohniska F od řídící přímk se nazývá parametr parabol a značí se p ; je ted p R +. (Někd se parametrem parabol rozumí číslo p a číslo p se nazývá poloparametrem parabol.) Kolmice k řídící přímce procházející ohniskem F se nazývá osa parabol a její průsečík s parabolou, bod V, se nazývá vrchol parabol. Pro vrchol V platí vztah V F = p. M [0, p] p V p F p [ p, 0] O F d d [0, p] Obr. 6.9 Obr Parabola s vrcholem V = [ 0, 0 ] a s ohniskem F = [ p + 0, 0 ] má rovnici ( 0 ) = p( 0 ), p R + (6.1) [ p ] Je-li vrchol V = [0, 0] a ohnisko F =, 0 (viz obr. 6.10), parabola má rovnici = p, p R + (6.1) Poznámka: Parabola s vrcholem v počátku a s ohniskem ležícím na záporné poloose, resp. na kladné poloose, resp. na záporné poloose má rovnici = p, resp. = p, resp. = p, p R +. Tečna k parabole s rovnicí (6.1) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici p( + 1 ) = 1 Tečnu k parabole s rovnicí (6.1) lze z této rovnice odvodit posunutím soustav souřadnic. Poznámk: Rovnice (6.6) až (6.11) se nazývají středové rovnice. Rovnice (6.1) a (6.1) se nazývají vrcholové rovnice. Rovnice (6.7), (6.9), (6.11), (6.1) se nazývají rovnice v základní poloze. Rovnice A + B + C + D + E = 0, kde A, B, C, D, E R a alespoň jedno z čísel A, B je nenulové, může vjadřovat některou z kuželoseček daných rovnicemi (6.6) až (6.1), pokud lze tuto rovnici algebraickými úpravami převést na některý z uvedených tvarů. Rovnice A + B + C + D + E + F = 0, kde A, B, C, D, E, F R, C 0 a alespoň jedno z čísel A, B je nenulové, může vjadřovat kuželosečku, která nemá os (pro parabolu osu) rovnoběžné ani totožné s osami souřadnic. Všetřování kuželoseček v této poloze není v osnovách střední škol.

7 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 59 Vzájemnou polohu přímk a kuželosečk všetřujeme tak, že hledáme jejich společné bod řešením soustav jejich rovnic. Společné bod dvou kuželoseček hledáme řešením soustav jejich rovnic Řešené příklad. Ve všech následujících úlohách předpokládáme, že souřadnice bodů a vektorů jsou dán v kartézské soustavě souřadnic. 1. Vpočtěte výšku v a trojúhelníku ABC s vrchol A = [5, ], B = [1, 5], C = [, 1]. Řešení: Výšku v a vzorce (6.4) je vpočteme jako vzdálenost vrcholu A od přímk BC, jejíž rovnice podle 5 = 1 5 ( 1), tj. po úpravě = Pak podle vzorce (1.4) v a = = ( ) 5 = 5.. Napište rovnici přímk l tak, ab se souřadnými osami vtvořila trojúhelník o obsahu P = a procházela bodem A = [4, ]. Řešení: Je-li úseková rovnice přímk l, potom platí vztah P = pq = 6, p + q = 1 4 p q = 1. Druhou rovnici upravíme na tvar 4q p = pq, vpočteme z ní q = 1 (p + 6) a dosadíme do 4 první rovnice. Dostaneme kvadratickou rovnici p + 6p 4 = 0, z níž plne p 1, = 1 ± 1 + 8, a ted p 1 = 4, q 1 = nebo p =, q =. Úloze ted vhovují dvě přímk:. Určete průsečík M a odchlku přímek l 1 : 4 + = 1, tj = 0 ; l : + = 1, tj. + 6 = 0. a: 6 = 0, b: + = 0. Řešení: Souřadnice průsečíku M vhovují soustavě dvou lineárních rovnic 6 = 0, + = 0, z níž plne = 9, = 1, tj. M = [9, 1]. Odchlku α daných přímek určíme pomocí vzorce (6.5). Protože směrnice k a, k b jsou k a =, k b = 1, dostaneme tg α = k a k b 1 + k a k b = = 1, a ted α = přímek a, b

8 60 Kapitola 6 4. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A = [ 4, ] a má od počátku vzdálenost v = 5. Řešení: Ze zadání úloh plne, že hledanou přímku lze vjádřit rovnicí tvaru (6.1). Odtud a ze vzorce (6.4) pro vzdálenost přímk od bodu plne, že p, q musí splňovat rovnice 4k + q = 0, 5 = q k + 1. Z první rovnice dosadíme do druhé q = 4k + a po umocnění dostaneme kvadratickou rovnici 9k 4k + 16 = 0, která má jediné řešení k = Ted q = + = 5. Hledaná přímka má rovnici = 1 (4 + 5), neboli = 0. Poznámka. Všimneme-li si, že vzdálenost bodu A od počátku je rovna 5, potom můžeme okamžitě usoudit, že hledaná přímka musí být kolmá na přímku OA a musí mít ted podle vzorce (6.5) směrnici k = 4. Úsek q pak dostaneme dosazením souřadnic bodu A do rovnice = 4 + q. 5. Určete střed S a poloměr r kružnice Řešení: Rovnici převedeme na tvar (6.6) Odtud S = [1, ], r = 15. k : = 10. ( ) + ( + 6) = 10 ( ) + ( + 6) = 5 ( 1) + ( + ) 1 9 = 5 ( 1) + ( + ) = Určete rovnici kružnice k, která má střed v bodě S = [1, ] a dotýká se přímk p dané rovnicí 7 + = 0. Určete bod dotku. Řešení: Poloměr hledané kružnice je roven vzdálenosti bodu S od přímk p, takže podle vzorce (6.4) je r = 7 S + S = 10 = Kružnice k má ted rovnici ( 1) + ( ) =. Bod dotku T určíme třeba jako průsečík přímk p s přímkou l, která prochází bodem S a je kolmá na p. Ze vzorce (6.4) a podmínk kolmosti dvou přímek plne, že přímka l má rovnici = 1 ( 1), tj. po úpravě 7+0 = 0. Souřadnice bodu T ted získáme řešením soustav = 0, 7 + = 0. Této soustavě vhovují = 5, = 14 [ 5 a ted T = 5, 14 ]. 5 Poznámka: Souřadnice bodu T bchom mohli získat též řešením nelineární soustav rovnic: + 7 = 0, ( 1) + ( ) = Napište rovnice tečen kružnice = 0, které procházejí bodem P = [, 5]. Řešení: Rovnici kružnice uvedeme na tvar (6.6); dostaneme rovnici ( ) + ( 5) = 5

9 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 61 a ted střed kružnice S = [, 5] a poloměr r = 5. Snadno je vidět, že žádná tečna t nemůže být rovnoběžná s osou, a proto má rovnici tvaru = k + q. Protože vzdálenost středu S od tečn je rovna r = 5, z podmínk P t a ze vzorce (6.4) plne, že platí rovnice k + 5 q = 0, 5 = k 5 + q k + 1. Z první rovnice dosadíme q = k + 5 do druhé rovnice a po umocnění a úpravě dostaneme rovnici 0k = 5, z níž plne k 1, = ± 1, a ted q 1 = 6, q = 4. Úloha má ted dvě řešení t 1 : = + 6, tj. + 1 = 0; t : = + 4, tj. + 8 = 0. Poznámka: Tuto úlohu jsme mohli řešit též tak, že bchom nejprve našli bod dotku T = [ 0, 0 ], jehož souřadnice vhovují soustavě rovnic ( 0 ) + ( 0 5) = 5, ( )( 0 ) + (5 5)( 0 5) = 5. (První rovnice vjadřuje, že bod T je bodem dané kružnice, druhá, že bod P je bodem tečn kružnice.) Z druhé rovnice okamžitě plne 0 = 1, tj. 0 =, což po dosazení do první rovnice dává rovnici ( 0 5) = 4, z níž plne 01 = 7, 0 =. Bod P = [, 5], T 1 = [, 7] určují podle (6.) tečnu t 1 a bod P, T = [, ] určují tečnu t. 8. Určete střed S a poloos a, b elips Řešení: Rovnici převedeme na tvar (6.8): Výsledek: S = = 0. ( + ) + 4( ) = 1 (, + 1 ( + 4 ) ) = 9, ( + 1 ) 9 [ 1, ], a =, b =. + ( ) 9. Napište rovnici elips se středem v počátku, která má jedno ohnisko v bodě F 1 = [4, 0] a prochází bodem M = [, 1]. Řešení: Protože e = OF 1, je e = 4. Bod M je bodem elips, proto do rovnice (6.9) dosadíme souřadnice bodu M. Dále použijeme vztah e = a b, kde e = 4 ; odtud a = 16 + b a dostaneme rovnici 9 4 = b + 1 b = 1, tj. po úpravě b4 + 6b 16 = 0. Odtud b = (druhé řešení b = 8 nevhovuje) a a = 18. Elipsa se zadanými vlastnostmi má ted rovnici 18 + = = 0.

10 6 Kapitola Určete odchlku asmptot hperbol 6 8 = 0. Řešení: Nejprve danou rovnici uvedeme na tvar (6.10): ( 1) ( + 1) ( 1) = = 6, 6 a = 6, b = 1 =. ( + 1) 1 = 1, Protože směrnice asmptot hperbol jsou ± b a, jedna asmptota má směrnici k 1 = má směrnici k =. Jejich odchlka α je podle vzorce (6.5) dána vztahem tg α = =, a druhá a ted α = Najděte rovnici hperbol procházející bodem A = [1, ], mají-li její asmptot rovnice = ± 1. Řešení: Protože střed hperbol je totožný s průsečíkem jejích asmptot, hledaná hperbola má střed v počátku a má ted rovnici tvaru (6.11) a její asmptot mají směrnici ± b. Ze zadání a úloh proto plne, že a, b splňují rovnice 1 a ( ) b b = 1, a = 1. Z druhé rovnice dosadíme a = b do první rovnice a postupně dostaneme: Odtud b = (je b > 0 ) a a = 6. Hledaná hperbola má ted rovnici 144 4b 7 b = 1, 6 b 7 b = 1, b = = Hperbola má střed S = [ 15, 0], jedno ohnisko v počátku a na ose vtíná tětivu délk. Najděte rovnici přímk, na níž leží tětiva. Řešení: Protože střed a jedno ohnisko hperbol leží na ose, jednou osou hperbol je osa a druhá osa je rovnoběžná s osou. Odtud plne, že hperbola má rovnici tvaru ( + 15) a b = 1 a že tětiva, kterou hperbola vtíná na ose, je kolmá k ose a je půlena ohniskem ležícím v počátku soustav souřadnic. Hperbola proto prochází bodem A = [0, 16], což znamená, že musí platit rovnice (0 + 15) a 16 b = 1, tj. 5 a 56 b = 1. Protože z poloh ohniska a středu plne pro ecentricitu e = 15, musí platit rovnice 15 = a +b. Zbývá ted vřešit soustavu rovnic a + b = 5, 5 a 56 b = 1.

11 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6 Dosadíme-li z první z těchto rovnic b = 5 a do druhé rovnice, dostaneme postupně 5 a 56 5 a = 1, a4 706a + 5 = 0, a = 5 ± 5 5 = 78 ± 7. Odtud plne a = 81, neboť musí být b = 5 a > 0, a dále b = 144. Hledaná rovnice je ( + 15) = Určete souřadnice vrcholu, parametr, souřadnice ohniska, osu a řídící přímku parabol Řešení: Rovnici převedeme na tvar (6.1): = 0. ( ) = ( 6). Odtud ihned plne: vrchol parabol V = [6, ], parametr p = 1, ohnisko F = [ 11, ]. Dále odtud vplývá, že osou parabol je přímka = a řídící přímkou přímka = 6, 5. Konečně odtud plne, že osu parabola protíná v bodě [4, 0] a osu v bodech [0, ± ]. 14. Určete q tak, ab přímka = 4 + q bla tečnou parabol Určete bod dotku. = +. Řešení: Souřadnice bodu dotku vhovují rovnici přímk i rovnici parabol, tj. rovnicím z nichž vloučením dostaneme rovnici = 4 + q, = +, 4 + q = +, tj q = 0. Protože přímka = 4 + q má být tečnou, tato kvadratická rovnice musí mít jediné řešení, tj. její diskriminant D = 6 4 (q ) musí být nulový. Musí ted být q = 1. Je-li tato podmínka splněna, kvadratická rovnice má řešení =, jemuž přísluší = 0. Přímka = se ted dotýká parabol v bodě T = [, 0]. 15. Určete vzdálenost d dvou rovnoběžek t, p, kde t je tečna parabol = 64 a p má rovnici = 0. Řešení: Přímka p má směrnici k p = 4 a ted tečna s ní rovnoběžná má rovnici = 4 + q. Úsek q určíme stejným postupem jako v předešlém příkladě; dostaneme q = 1, takže tečna má rovnici = 0. Vzdálenost d tečn a přímk p určíme jako vzdálenost libovolně zvoleného bodu X tečn od přímk p ; můžeme např. zvolit X = [ 9, 0] a podle vzorce (6.4) dostaneme d = = = Neřešené příklad. 1. Je dán trojúhelník ABC s vrchol A = [4, 6], B = [ 4, 0], C = [ 1, 4].

12 64 Kapitola 6 Najděte rovnice všech jeho stran. [ = 0 ; = 0 ; = 0] Najděte rovnici těžnice jdoucí vrcholem C. [7 + = 0] Najděte rovnici výšk spuštěné z vrcholu A. [ = 0] [ π ]. Určete odchlku přímek = 0, + 1 = Určete rovnici přímk, která prochází bodem A = [ 5, ] a je kolmá na přímku 4 + = 0. [ + 4 = 0] 4. Určete souřadnice středu S a poloměr r kružnice dané rovnicí = 0. [S = [; ], r = 5] 5. Napište rovnici kružnice, která prochází bodem K = [, 0] a dotýká [ se přímk = v bodě ( T = [1, ]. 7 ) ( + 4 ) ] = Určete rovnici tečn kružnice + = 65, která je kolmá k přímce + 9 = 0. [ + ± 1 5 = 0 ] 7. Určete středovou rovnici elips, která prochází bodem A = [ 4; ], má ohnisko F = [4; 0] [ ] a střed S = [0; 0] = 1 8. Je dána elipsa = 0. Určete souřadnice jejího středu, délk poloos a ecentricitu. [S = [, ] ; a = 5, b = ; e = 1] 9. Určete průsečík elips = 0 s přímkou + = 0. [ [ P 1 = [0, 1], P = 4 5, 1 ]] Určete střed, ohniska, délk poloos a rovnice asmptot hperbol = 0. [S = [, 0] ; a =, b = 1 ; F 1, = [ ± 5, 0] ; ± + = 0] 11. Napište rovnici tečn parabol = 0 rovnoběžné s přímkou = 0. [ = 0]

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 0 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 006 MAACZMZ06DT MATEMATIKA didaktický test Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 10 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište do

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: I. Obor Ekonomické lyceum 78-42-M/002 1. Práce s obhajobou z ekonomiky nebo společenských věd: Témata pro práci s obhajobou budou žáci zpracovávat

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé. 1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.

Více

Princip a vlastnosti promítání. Konstruktivní geometrie a technické kresleni - L

Princip a vlastnosti promítání. Konstruktivní geometrie a technické kresleni - L Vlastnosti promítání Úkolem konstruktivní geometrie je zobrazení trojrozměrných předmětů ve dvojrozměrné rovině. Vlastnosti promítání Úkolem konstruktivní geometrie je zobrazení trojrozměrných předmětů

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208 4.. Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 4, 48 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového a nemá ekvivalent v klasických učebnicích. Cílem hodiny je uspořádat v hlavách

Více

Někdy je výhodné nerozlišovat mezi odrazem a lomem tím způsobem, že budeme pokládat odraz za lom s relativním indexem lomu n = 1.

Někdy je výhodné nerozlišovat mezi odrazem a lomem tím způsobem, že budeme pokládat odraz za lom s relativním indexem lomu n = 1. nauka o optickém zobrazování pracuje s pojmem světelného paprsku úzký svazek světla, který by vycházel z malého osvětleného otvoru v limitním případě, kdy by se jeho příčný rozměr blížil k nule a stejně

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice.

x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice. 1. Lineární rovnice, lineární rovnice s parametrem, soustavy lineárních rovnic Základní typy algebraických rovnic. Vysvětlete význam zkoušky. Princip řešení rovnic s parametrem, diskuse řešení, přípustnost

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více