ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ"

Transkript

1 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010

2 2 Analytická geometrie Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Analytická geometrie 3 Obsah Analytická geometrie... 8 Souřadnice... 8 Souřadnice Varianta A Souřadnice Varianta B Souřadnice Varianta C Vektory Vektory Varianta A Vektory Varianta B Vektory Varianta C Přímka Přímka Přímka Varianta A Přímka Varianta B Přímka Varianta C Polohové úlohy v rovině Polohové úlohy v rovině Varianta A... 36

4 4 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta B Polohové úlohy v rovině Varianta C Metrické úlohy v rovině Metrické úlohy v rovině Varianta A Metrické úlohy v rovině Varianta B Metrické úlohy v rovině Varianta C Přímka, rovina Přímka a rovina Varianta A Přímka a rovina Varianta B Přímka a rovina Varianta C Polohové úlohy v prostoru Polohové úlohy v prostoru Varianta A Polohové úlohy v prostoru Varianta B Polohové úlohy v prostoru Varianta C Metrické úlohy Metrické úlohy... 61

5 Analytická geometrie 5 Varianta A Metrické úlohy Varianta B Metrické úlohy Varianta C Kuželosečky a kulová plocha Kružnice Kružnice Varianta A Kružnice Varianta B Kružnice Varianta C Tečna kružnice Tečna kružnice Varianta A Tečna kružnice Varianta B Tečna kružnice Varianta C Parabola Parabola Varianta A Parabola Varianta B Parabola Varianta C... 90

6 6 Analytická geometrie Tečna paraboly Tečna paraboly Varianta A Tečna paraboly Varianta B Tečna paraboly Varianta C Elipsa Elipsa Varianta A Elipsa Varianta B Elipsa Varianta C Hyperbola Hyperbola Varianta A Hyperbola Varianta B Hyperbola Varianta C Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta A Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta B Elipsa, hyperbola, přímka, tečny

7 Analytická geometrie 7 Varianta C Kulová plocha Kulová plocha Varianta A Kulová plocha Varianta B Kulová plocha Varianta C

8 8 Analytická geometrie Analytická geometrie Souřadnice Soustava souřadnic na přímce Na libovolné přímce p zvolíme bod O a bod I tak, aby OI =1. Pak každému bodu X této přímky přiřadíme reálné číslo x = OX, pokud bod X leží na polopřímce OI, nebo číslo, pokud bod X leží na polopřímce opačné. Tuto přímku nazýváme ČÍSELNOU OSOU, bod se nazývá počátek soustavy souřadnic na přímce p. Soustava souřadnic v rovině Dvojice číselných os x, y v rovině, pro které platí obě osy jsou navzájem kolmé jejich průsečíku odpovídá na obou osách číslo 0, se nazývá KARTÉZSKÁ SOUSTAVA souřadnic v rovině a označuje se O xy. Bod O je počátek kartézské soustavy souřadnic, přímky x, y se nazývají souřadnicové osy. ; dvojice je uspořádaná souřadnice nelze zaměnit!

9 Analytická geometrie 9 Soustava souřadnic v prostoru Trojice číselných os x, y, z v prostoru takových, že každé dvě osy jsou navzájem kolmé všechny procházejí jedním bodem na všech osách je bodu O přiřazeno číslo 0, se nazývá kartézská soustava souřadnic O xyz. Bod nazýváme počátek, přímky x; y; z se nazývají souřadnicové osy. Roviny určené dvojicemi souřadnicových os se nazývají souřadnicové roviny. Pravotočivá soustava souřadnic:

10 10 Analytická geometrie Levotočivá soustava souřadnic: Vzdálenost bodů v rovině ; ; ; Podle Pythagorovy věty: Vzdálenost bodů v prostoru ; ; ; ; ;

11 Analytická geometrie 11 Střed úsečky dělí úsečku na 2 stejné části v rovině: ; v prostoru: ; ;

12 12 Analytická geometrie Souřadnice Varianta A Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB: 3; 6; 2 ; 1;2;8 Řešení: ; ; 1; 4; 3 ; ; Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1; 4; 3 Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost bodů C; D: 4; 2; 1 ; 1; 0; 3 Řešení: ) Vypočítejte vzdálenost bodů A, B: 2; 9 ; 2; 6 Řešení: 5 3.) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC a rozhodněte, zda je pravoúhlý. 1; 2; 3 ; 4; 2; 3 ; 1; 3; 5 Řešení: 5; 5; 38 trojúhelník není pravoúhlý (neplatí Pythagorova věta). 4.) Určete, který z bodů A; B; C má nejmenší vzdálenost od bodu K. 3; 1; 6 ; 4; 5; 10 ; 7; 1; 3 ; 0; 1; 3 Řešení: Bod A.

13 Analytická geometrie 13 Souřadnice Varianta B Sestrojte pravidelný šestiúhelník KLMNOP tak, aby střed kružnice byl v počátku O kartézské soustavy souřadnic, aby první vrchol byl bod K[4;0] a aby pro bod L [l 1 ; l 2 ] platilo l 2 >O. Určete souřadnice všech vrcholů šestiúhelníku. Řešení: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2; 2 3 ; 2; 2 3 ; 4; 0 ; 2; 2 3 ; 2; 2 3

14 14 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.)Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli ABCDEFGH; 0; 4; 0 ; 4; 4; 0 ; 4; 0; 0. Zapište souřadnice ostatních vrcholů krychle. Řešení: 0; 0; 0 ; 0; 4; 4 ; 4; 4; 4 ; 4; 0; 4 ; 0; 0; 4 2.) Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte kvádr ABCDEFGH; 2; 2; 0 ; 2; 4; 0 ; 1;4;0, jeho výška je 6. Určete souřadnice zbývajících vrcholů. Řešení: 1; 2; 0 ; 2; 2; 6 ; 2; 4; 6 ; 1; 4; 6 ; 1; 2; 6 3.) Určete obraz bodu K ve středové souměrnosti se středem S; 2; 5; 3 ; 4; 2; 1 Řešení: 0; 8; 7 4.) Vypočítejte délku těžnice t c trojúhelníku ABC. 5; 3 ; 3; 1 ; 2; 4 Řešení:

15 Analytická geometrie 15 Souřadnice Varianta C Určete číslo r tak, aby vzdálenost bodů 2 2;2;1 ; 2; 5; 1 byla Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 3 1 Příklady k procvičení: 1.) Na ose y určete bod Y tak, aby jeho vzdálenost od bodu 3; 5 byla 10. Řešení: 0; 6 ; 0; 4 2.) Na ose x najděte bod X tak, aby měl od bodu A dvakrát větší vzdálenost než od bodu B. 3;2;2 ; 2; 1; 2. Řešení: 1; 0 0 ; ;0;0 3.) V kartézské soustavě souřadnic O xyz zakreslete pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož výška je 6 a zapište souřadnice bodu V. 0; 4; 0 ; 4; 4; 0 ; 0; 0; 0 Řešení: 2; 2; 6 4.) Jsou dány body S 1 ; S 2. K libovolnému bodu A určete jeho obraz A 1 ve středové souměrnosti se středem S 1. Pak najděte obraz bodu A 1 ve středové souměrnosti se středem S 2 a tento obraz označte A 2. Určete vzdálenost bodů A; A 2. 5; 3; 2 ; 6; 1; 1 ; ; ; Řešení: 10 ; 6 ;4 ; 2; 8;

16 16 Analytická geometrie Vektory Orientovaná úsečka je úsečka AB, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A je počáteční bod, bod B je koncový bod orientované úsečky. Velikost orientované úsečky je vzdálenost bodů A, B. Nulová orientovaná úsečka má počáteční bod totožný s koncovým bodem. Její velikost je nula. Nenulový vektor je množina všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. Dva vektory ; mají stejný směr, jestliže a) polopřímky ; jsou rovnoběžné a obě leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC. b) přímky ; jsou totožné a průnikem polopřímek ; je opět polopřímka. Nulový vektor je množina všech nulových orientovaných úseček, značíme ho. Každou orientovanou úsečku, která představuje vektor, nazýváme umístěním vektoru.

17 Analytická geometrie 17 Souřadnice vektoru Je-li vektor určen orientovanou úsečkou, pak. ; ; ; ; ; ; Operace s vektory Součet vektorů ; ;

18 18 Analytická geometrie Pro každé dva vektory v rovině nebo prostoru platí: Pro každé tři vektory v rovině nebo prostoru platí: Sčítání vektorů ke komutativní a asociativní. Je-li, pak vektor je opačný k a značíme ho. Rozdíl vektorů ;

19 Analytická geometrie 19 Násobení vektoru číslem Násobek nenulového vektoru reálným číslem je vektor, kde C je bod, pro který platí: a) b) je-li 0, leží bod C na polopřímce AB Je-li 0, leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce AB ; Platí: pro každé dva vektory, a každé, R 0 1 asociativnost násobení vektoru číslem distributivnost násobení součtu vektorů číslem distributivnost násobení vektoru součtem čísel Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů,, je vektor, kde,,. Lze vytvořit lineární kombinaci libovolného počtu vektorů. Lineární kombinace jednoho vektoru je jeho reálný násobek. Vektory se nazývají lineárně závislé právě tehdy, když lze jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Nejsou-li vektory lineárně závislé, nazývají se lineárně nezávislé. Skalární součin vektorů Velikost vektoru je velikost kterékoliv orientované úsečky, která je jeho umístěním. Platí:. Jednotkový vektor má velikost 1, nulový vektor má velikost 0. Pro každý vektor ; v rovině platí:. Pro každý vektor ; ; v prostoru platí:. Skalární součin dvou nenulových vektorů je reálné číslo, které je rovno součinu velikostí těchto vektorů a kosinu velikosti úhlu φ, který tyto vektory svírají.

20 20 Analytická geometrie Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ; ; ; v rovině: Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ; ; ; ; ; v prostoru: Vlastnosti skalárního součinu číslem vektorů komutativnost skalárního součinu vektorů asociativnost skalárního součinu vzhledem k násobení distributivnost skalárního součinu vzhledem ke sčítání Velikost úhlu dvou vektorů, lze určit použitím skalárního součinu: Vektorový součin Vektorový součin dvou vektorů,, které neleží v jedné přímce, je vektor, pro který platí: a) vektor je kolmý k oběma vektorům, b) vektor je orientován vůči vektorů, pravotočivě, tedy podle pravidla pravé ruky c), kde je úhel vektorů,.

21 Analytická geometrie 21 Vektorový součin dvou vektorů, které leží v jedné přímce, je nulový vektor. Vektorový součin ; ; 3; 2; 1 ; 2; 4; ; ; ; 20; 16 ~ 2; 5; 4 Užití vektorového součinu: 1. při určení vektoru kolmého ke dvěma daným vektorům 2. při výpočtu obsahu rovnoběžníku ABCD, popř. trojúhelníku ABC Obsah rovnoběžníku ABCD je Obsah trojúhelníku ABC je

22 22 Analytická geometrie Smíšený součin Smíšený součin vektorů,, v tomto pořadí je číslo, které vypočteme. Užití smíšeného součinu: Pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí:, kde ; ;. Objem trojbokého hranolu je roven polovině objemu rovnoběžnostěnu. Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu rovnoběžnostěnu. Objem čtyřstěnu je roven šestině objemu rovnoběžnostěnu.

23 Analytická geometrie 23 Vektory Varianta A Jsou dány body 3; 3 ; 5; 4 ; 7; 5. a) Rozhodněte, zda body A, B, C leží na přímce b) Určete číslo tak, aby bod 3; ležel na přímce AB. a) Leží-li body A, B, C na jedné přímce, musí platit, že. 4; 2 ; 2; 1 2 body A; B; C leží v jedné přímce b) Má-li bod D ležet na přímce AB, musí platit 2; 1 ; 6; 3 0 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: body A; B; C leží v jedné přímce b) 0 Příklady k procvičení: 1. Vektor 2; 10 zapište jako lineární kombinaci vektorů 1; 3 ; 2; 2. Řešení: 3 2.) Určete číslo tak, aby velikost vektoru 6; byla 10. Řešení: ) V trojúhelníku ABC označte vektory ;. Jako lineární kombinaci vektorů ; zapište následující vektory: a) b), kde je střed strany BC. Řešení: a) ; b) 4.) Je dán vektor 1;2;3. Určete tak, aby vektor 17; ; 3 byl kolmý k vektoru. Řešení: 4

24 24 Analytická geometrie Vektory Varianta B Je dán vektor 3; 1. Určete souřadnice vektoru, který svírá s vektorem úhel 60 a jehož velikost je Dosadíme do vztahu pro velikost vektoru ; 4 ; 2 3;2 Varianta A Varianta B Výsledek řešení: 0; 4 ; 2 3;2 Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Je dán vektor 3; 2. Určete tak, aby pro vektor 6; platilo 5. Řešení: 2; 6 2.)Určete vektor tak, aby platilo 4 5, kde 3; 6. Řešení: 8; 4 ; 8; 4 3.) Jsou dány body 4; 1 ; 6; 2. Určete souřadnice bodů B, C, D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl čtverec. Bod S je střed čtverce. Řešení: 7; 0 ; 8; 3 ; 5; 4

25 Analytická geometrie 25 4.) Jsou dány body 3; 1 ; 1; 3. Určete bod C tak, aby platilo: a) bod C leží na ose x a 90 b) bod C leží na ose y a 90 Řešení: a) 0; 0 ; 2; 0 ; b) 0; 5

26 26 Analytická geometrie Vektory Varianta C Jsou dány body 1; 2; 3 ; 4; 5; 6 ; 4; 3; 2. a) Dokažte, že body A, B, C tvoří trojúhelník. b) Určete reálná čísla,,, tak, aby body 0; ; ; ; ; 6 ležely na přímce AB. a) Body A, B, C tvoří trojúhelník, jestliže vektor není násobkem vektoru. 5; 3; 3 ; 3; 1; 1. Vektor není násobkem vektoru, proto body A, B, C tvoří trojúhelník. b) musí být násobek vektoru, 5; 3; 3 ; 1; 2; 3, musí být násobek vektoru, 1; 2; 3 1 4, 6 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:, ; 4, 6 Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány vektory 2; 3; 4 ; 2; ; 0. Určete hodnotu parametru tak, aby platilo 4 6. Řešení: 1, 2.) Na ose určete bod V tak, aby objem čtyřstěnu ABCDV, kde 2; 3; 1, 1; 0; 3, 3; 1; 1 byl 14. Řešení: 0; 0; 7, 0; 0; 17

27 Analytická geometrie 27 3.) Na ose y určete bod C tak, aby obsah trojúhelníku ABC byl 10. 2; 1; 0, 2; 2; 3. Řešení: 0; ;0, 0; ,0 4.) Je dán vektor 3; 2. Určete tak, aby pro vektor ; 2 platilo 3 5. Řešení: 12, 6

28 28 Analytická geometrie Přímka Přímka je dána dvěma různými body A, B. Vektor se nazývá směrový vektor přímky AB. Přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, lze ji totiž určit pomocí nekonečného počtu dvojic bodů. 1.) Parametrická rovnice přímky Parametrická rovnice přímky AB je rovnice, Proměnná se nazývá parametr. Každé hodnotě parametru odpovídá jeden bod přímky AB. Je-li z množiny všech nezáporných čísel, jde o vyjádření polopřímky AB, je-li 0; 1, jde o vyjádření úsečky AB, je-li z množiny všech nekladných čísel, jde o polopřímku opačnou k polopřímce AB. Mějme v rovině body ; ; ; a vektor ;. Rovnici přímky ; lze rozepsat do soustavy rovnic s parametrem : ;

29 Analytická geometrie 29 2.) Obecná rovnice přímky Obecná rovnice přímky má tvar 0, kde,, a alespoň jedna z konstant, je nenulová. ; je normálový vektor = je kolmý na směrový vektor přímky skalární součin a je nula , kde

30 30 Analytická geometrie 3.) Směrnicový tvar rovnice přímky Rovnice se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo je směrnice přímky., Směrnice přímky je rovna, kde je odchylka přímky od kladné poloosy. Přímka rovnoběžná s osou nemá žádnou směrnici, směrnicový tvar neexistuje. Přímka se směrovým vektorem ; má směrnici. Přímka kolmá na přímku má směrnici. Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou, nebo jsou obě různoběžné s osou a mají stejnou směrnici. 4.) Úsekový tvar rovnice přímky Získáme z obecné rovnice přímky tak, že ji vydělíme číslem 0. souřadnic. 1, 0, kde ; 0 ; ; jsou průsečíky s osami soustavy

31 Analytická geometrie 31 Přímka Je dána přímka. Sestavte její parametrické rovnice, obecnou rovnici, zapište ji ve směrnicovém a úsekovém tvaru, pokud existují. a) Přímka je daná bodem 5; 3 a směrovým vektorem 2; 1. b) Přímka je daná bodem 3; 0 a normálovým vektorem 3; 2. Řešení: a) parametrické rovnice: ; obecná rovnice: normálový vektor 1; 2 2 0, pro výpočet dosadíme za a souřadnice bodu A směrnicový tvar:, pro výpočet dosadíme do rovnice bod A úsekový tvar: průsečík s osou : 1; 0 s osou y: 0; 1, b) parametrické rovnice: 2; ; 3 ; obecná rovnice: 3 2 0, po dosazení bodu B směrnicový tvar:, po dosazení bodu B úsekový tvar: 1

32 32 Analytická geometrie Přímka Varianta A Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 4; 3 a je rovnoběžná s přímkou : Každá rovnoběžná přímka s přímkou má stejný normálový vektor jako přímka 5; 2 : 5 2 0, dosadíme bod K Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 6; 5 a je kolmá na přímku : Řešení: : ) Body 2; 4 ; 4; 6 určují přímku. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází středem úsečky KL a je kolmá na přímku AB, 1; 2 ; 4; 3. Řešení: Jsou dány dva body 2; 5 ; 4; 1. Napište rovnici osy úsečky MN; polopřímky MN; polopřímky NM. Řešení: Osa: 1 0; polopřímka MN: 2 ; 5 ; 0; Polopřímka : 4 ; 1 ; 0;. 4.) Jsou dány body 2; 4 ; 3; 2. Napište obecnou rovnici kolmice k úsečce AB v bodě A. Řešení:

33 Analytická geometrie 33 Přímka Varianta B Body 4; 1 ; 4; 2 ; 2; 4 jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice průsečíku os jeho stran. 4; 1,5 ; 0; 1 : 1,5 0 3; 3 ; 2; 2 : 0 3; 1,5 ; 2; 3 :2 3 1,5 0 Z první osy plyne pro průsečík, že jeho y-ová souřadnice je 1,5; z druhé osy, že x-ová souřadnice je 1,5 1,5; 1,5. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1,5; 1,5 Příklady k procvičení: 1.) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 4; 2 a je kolmá k přímce : Řešení: : 4 ; 2 2 ; ; : ) Určete souřadnici bodu ; 10 tak, aby bod A ležel na přímce KL, kde 3; 5 ; 1; 1. Řešení: 2. 3.) Body 4; 1 ; 4; 2 ; 2; 4 jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Napište obecné rovnice přímek, na nichž leží těžnice trojúhelníku JKLM a určete souřadnice těžiště. Řešení: :2 9 0; : 2 8 0; : ; ; 4.) Je dána polopřímka 2 3 ;3 ;. Určete souřadnice počátečního bodu A dané polopřímky. Určete tak, aby bod 1; ležel na dané polopřímce. Řešení: ; ; 2.

34 34 Analytická geometrie Přímka Varianta C Určete hodnotu parametru tak, aby přímka procházela počátkem soustavy souřadnic. Má-li přímka procházet počátkem soustavy souřadnic, musí bod 0; 0 vyhovovat rovnici přímky. Dosadíme proto do rovnice přímky za, nulu a dostaneme:2 1 0., 1; Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1; Příklady k procvičení: 1.) Je dán trojúhelník EFG, 1; 4 ; 3; 2 ; 4; 6. Určete v parametrickém tvaru rovnici přímky, na které leží střední příčka rovnoběžná s FG. Řešení: ) Je dán trojúhelník KLM, 0; 0 ; 4; 2 ; 6; 0. Vypočítejte souřadnice těžiště T. Řešení: ;. 3.) Osy, a přímka AB, kde 2; 9 ; 4; 3, určují trojúhelník. Vypočítejte jeho obsah. Řešení: 4.) Určete reálné číslo tak, aby bod K ležel na přímce MN, je-li: 1; 2 ; 3; 3 ; ; 0,5. Řešení: 1.

35 Analytická geometrie 35 Polohové úlohy v rovině Vzájemnou polohu dvou přímek lze vyšetřit dvěma způsoby: 1.) řešíme soustavu složenou z obou rovnic, o vzájemné poloze rozhodne počet řešení 1 řešení různoběžné, 1 průsečík 0 řešení rovnoběžné různé řešení totožné 2.) určíme směrové (normálové) vektory obou přímek Přímky, jsou rovnoběžné, jestliže:, kde 0 ;, \0. Dvě přímky, a, jsou totožné, jsou-li rovnoběžné a leží-li bod Q na přímce. Přímky, jsou k sobě kolmé, jsou-li jejich směrové (normálové) vektory navzájem kolmé, tj. platí-li 0; 0.

36 36 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta A Vyšetřete vzájemnou polohu přímek KL a MN, znáte-li souřadnice bodů, kterými dané přímky procházejí; 1; 2 ; 1; 1 ; 1; 1 ; 2; 3. 0; 3 ; 3; 0 : 1 0 1; 2 ; 2; 1 : Přímky jsou různoběžné, protože Průsečík má x-ovou souřadnici 1 (plyne z rovnice přímky KL), y-ovou souřadnici dopočítáme z rovnice přímky MN 1; 3. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Přímky jsou různoběžné; 1; 3 Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek, ; 1 2 ;2 3 ; ; 1 2 ; 7 3 ;. Řešení: Rovnoběžné různé 2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek,. 1 2 ;2 3 ; ; 17 4 ; 6 2 ; Řešení: Různoběžné; 1; 2 3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek,. 1 2 ;2 3 ; ; 5 4 ; 4 6 ;. Řešení: totožné 4.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek,. :2 1 0; : Řešení: Různoběžné, 2; 3

37 Analytická geometrie 37 Polohové úlohy v rovině Varianta B Určete hodnotu parametru tak, aby přímka 11 0 procházela průsečíkem přímek :2 6 0; : po sečtení obou rovnic dostaneme: ; 2. Nyní bod X dosadíme do rovnice přímky s parametrem Varianta A Výsledek řešení: 3 Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu úseček. 1 ; 2 ; 0; 1 ; 1 2 ;2 ; 2; 1. Řešení: 2.) Průsečíkem přímek 2 ; 3 ; ; 1 ;2 ; veďte kolmici k přímce 2 4 ;8 3 ;. Řešení: ) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany ležely na přímkách :2 1 0; :8 11 0; : Řešení: 2; 3 ; 2; 5 ; 1; 3 4.) Je dána úsečka KL, kde 2; 1 ; 1; 2. Určete hodnotu parametru tak, aby úsečka AB protínala úsečku KL v jejím středu. Souřadnice bodů A, B jsou 2; ; 2; 6. Řešení: 6

38 38 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta C Zjistěte, zda bod 4; 1 je vnitřním bodem trojúhelníku ABC, 5; 1 ; 2; 4 ; 7; 3. Má-li bod K ležet uvnitř trojúhelníku ABC, musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkou AB jako bod C, ve stejné polorovině s hraniční přímkou BC jako bod A a ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC jako bod B. Přímka AB má rovnici , polorovina s bodem C má rovnici Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, bod K proto leží ve stejné polorovině jako bod C. Přímka AC má rovnici 3 2 0, polorovina s bodem B má rovnici Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, proto bod K leží ve stejné polorovině jako bod B. Přímka BC má rovnici , polorovina s bodem A má vyjádření Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí. Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC. Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány body 3; 5 ; 1; 2 a vektor 2; 3. Napište analytické vyjádření poloroviny, je-li ;. Řešení:

39 Analytická geometrie 39 2.) Určete reálné číslo tak, aby přímka s parametrickým vyjádřením 5 6 ; 2 ; procházela průsečíkem přímek 1 3 ; 1 2 ; ; 2 ;1 2 ;. Řešení: 5 3.) Určete hodnoty parametrů, tak, aby přímky, byly totožné. 1 ;2 ; ; ;5 ;. Řešení: 2; 1 4.) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby bod 4; 3 ležel v polorovině 2. Řešení: 11; 0

40 40 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Patří sem úlohy, ve kterých je použito měření vzdálenosti bodů, velikosti úhlů apod. Vzdálenost bodu od přímky Postup vidíme z obrázku: 1.) bodem X vedeme kolmici k přímce 2.) najdeme průsečík P kolmice vedené bodem X a přímky 3.) Určíme vzdálenost ; : 0. Pak kolmice má rovnici: ;. Hledáme průsečík ; přímek,. 0 0 ;, kde je vypočítaná hodnota parametru. Pak Jestliže dosadíme za, dostaneme:

41 Analytická geometrie 41 Odchylka dvou přímek Odchylka přímek, je ta velikost úhlu, která leží v intervalu 0;. Odchylku přímek určíme pomocí úhlu směrových vektorů (případně normálových vektorů).

42 42 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Varianta A Na přímce : určete bod P tak, aby jeho vzdálenost od přímky : byla 3. Má-li bod P ležet na přímce, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky 2 3 ;. Dosadíme do vzorce pro vzdálenost: 3 Po úpravě dostaneme: Řešíme rovnici s absolutní hodnotou: Dostáváme řešení: 11 a 15 35; 11 ; 43; 15. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 35; 11 ; 43; 15 Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek : a : Řešení: 0,6 2.) Na přímce : 2 0 najděte bod A tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný se základnou BC, kde 6; 4 ; 2; 2. Řešení: ; 3.) Na ose najděte bod P, který má od bodu 6; 3 vzdálenost 7. Řešení: ;0 ; ; 0. 4.) Vypočítejte obvod trojúhelníku KLM, kde 2; 4 ; 3; 3 ; 3; 1. Řešení:

43 Analytická geometrie 43 Metrické úlohy v rovině Varianta B Vypočítejte odchylku přímek : ; : Určíme normálové vektory obou přímek: 7; 1 ; 1; 7 Úhel přímek vypočteme dosazením do vzorce: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány dvě přímky : 4 0; : Určete hodnotu parametru tak, aby přímky svíraly úhel 90. Řešení: 2 2.) Vypočítejte odchylku přímek 2 ;1 3 ; ; 4 2 ;5 ;. Řešení: 45 3.) Vypočítejte odchylku přímek : 2 1 0; : Řešení: 90 4.) Vypočítejte odchylku přímek : 3 4 0; : 6 0. Řešení:

44 44 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Varianta C Body 5; 3 ; 3; 4 ; 3; 5 jsou středy stran trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice vrcholů,,. Na přímce, spojující středy dvou stran, leží střední příčka v trojúhelníku, proto má tato přímka stejný směrový (normálový) vektor jako přímka, na které leží třetí strana. 2; 7 7; 2 Přímka KM má tedy rovnici: ; 8 1; 1 Přímka LM má tedy rovnici: ; 1 1; 6 Přímka KL má tedy rovnici: Řešíme vzájemnou polohu těchto přímek jako soustavy rovnic. ; 1; 2 ; ; 11; 4 ; ; 5; 12. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1; 2 ; 11; 4 ; 5; 12 Příklady k procvičení: 1.) Určete bod R tak, aby trojúhelník PQR byl pravoúhlý a rovnoramenný s přeponou PQ, kde 2; 10 ; 4; 6. Řešení: 9; 5 ; 7; 1 2.) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, jestliže 0; 3 ; 2; 5. Řešení: 4; 2 ; 4; 4 ; 6; 4 ; 2; 6. 3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů čtverce KLMN, je-li 1; 3 ; 2; 1. Řešení: 6; 2 ; 3; 6 ; 2; 4 ; 5; 0. 4.) V rovnoramenném trojúhelníku EFG se základnou EF, 3; 4 ; 1; 6 leží vrchol G na přímce Určete souřadnice vrcholu G. Řešení: 2; 1

45 Analytická geometrie 45 Přímka, rovina 1.) Parametrická rovnice roviny Rovina je dána třemi body, které neleží v jedné přímce. Proto lze sestavit dva vektory ; ležící v této rovině. Rovinu značíme malými písmeny řecké abecedy. Rovinu, která je dána bodem A a směrovými vektory ;, zapisujeme,,. Rovnice ;, se nazývá parametrická rovnice roviny ABC. Můžeme opět rozepsat:, 2.) Obecná rovnice roviny Užívá se častěji než parametrická. Rovinu určíme bodem P a vektorem, který je k ní kolmý. Tento vektor se nazývá normálový. Bod X leží v rovině právě tehdy, jestliže vektor je kolmý k vektoru 0. Bod X má souřadnice ; ;, bod P má souřadnice ; ; a normálový vektor má souřadnice ; ;.Pak můžeme psát: 0 Po úpravě dostaneme 0

46 46 Analytická geometrie Označíme výraz a máme obecnou rovnici roviny: 0 Poznámka: známe-li dva směrové vektory roviny, normálový vektor určíme jako vektorový součin těchto dvou vektorů. 3.) Úsekový tvar rovnice roviny Rovina určená body ; 0; 0 ; 0; ; 0 ; 0; 0; má rovnici 0

47 Analytická geometrie 47 Přímka a rovina Varianta A Jsou dány body 2; 3; 1 ; 4; 3; 2. Rozhodněte, zda body 0; 4; 2 ; 2 3;3; 3 leží na přímce KL, a určete, tak, aby bod ; 2 ; ležel na přímce KL. Napíšeme rovnice přímky KL: 2; 0; ; 3; 1 ;. Dosadíme postupně souřadnice bodů, do rovnice přímky KL bod A neleží na přímce KL. Totéž provedeme s bodem B: Prostřední rovnice platí vždy, z první i třetí rovnice plyne, že 3 1, proto bod B leží na přímce KL. Do rovnice přímky KL nyní dosadíme souřadnice bodu C: Z prostřední rovnice určíme, že ; dosadíme do první rovnice a po dosazení do třetí rovnice zjistíme, že. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: bod A neleží na přímce KL; bod B leží na přímce KL; ;

48 48 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Je dána přímka 1 2 ;2 3 ;1 ;. Rozhodněte, zda body 5; 8; 3 ; 3; 1; 0 leží na přímce a určete, tak, aby bod 9; ; ležel na přímce. Řešení: ; ; 10; 3 2.) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka 2; 1 ; 4 ; protíná souřadnicové roviny. Řešení: 2; 0; 4 ; 2; 1; 0 ; neexistuje 3.) Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem 0; 4; 5 a je rovnoběžná s přímkou 2 ;1 ;3 5 ;. Řešení: ; 4 ; 5 5 ; 4.) Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem 2; 4; 1 a je rovnoběžná s osou. Řešení: 2; 4; 1 ;

49 Analytická geometrie 49 Přímka a rovina Varianta B Dokažte, že body 2; 1; 6 ; 0; 1; 6 ; 1;2;0 určují rovinu a napište její parametrické rovnice, určete její obecnou rovnici a vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina KLM protíná souřadnicové osy. 3 body určují rovinu, pokud neleží v jedné přímce, čili vektor 2; 2; 12 ; 3; 1; 6 body určují rovinu ;, 24; 24; 8 3; 3; Průsečíky se souřadnicovými osami mají vždy dvě souřadnice nulové 1; 0; 0 ; 0; 1; 0 ; 0; 0; 3 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: body určují rovinu; ; 1; 0; 0 ; 0; 1; 0 ; 0; 0; 3 Příklady k procvičení: 1.) Je dána rovina 1 ;2 3 ;5 ;,. Vypočítejte průsečíky roviny se souřadnicovými osami. Řešení: 2; 0; 0 ; 0; 4; 0 ; 0; 0; 4 2.) Zjistěte, zda body 3; 2; 1 ; 1; 3; 1 ; 2; 1; 3 ; 1; 2; 2 leží v jedné rovině. Řešení: neleží

50 50 Analytická geometrie 3.) V soustavě souřadnic v prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, že 0; 0; 0 ; 4; 0; 0 ; 4; 4; 0 ; 2; 2; 6. Napište parametrické vyjádření roviny BCV. Řešení: ; 4 2 ; 6 ;, 4.) Jsou dány body 2; 9; 7 ; 4; 3; 5 ; 6; 5; 1. Napište parametrické vyjádření těžnice trojúhelníku KLM, která prochází bodem K. Řešení: 2 ; 9 5 ; 7 9 ; 0; 1

51 Analytická geometrie 51 Přímka a rovina Varianta C Dokažte, že přímky 1 ;2 ;3 2 ; ; ; 1 ; 1 2 ; určují rovinu a napište její obecnou rovnici. Přímky určují rovinu, pokud bod jedné přímky neleží na přímce druhé, což ověříme dosazením bodu 1; 2; 3 z přímky do rovnic přímky bod neleží na přímce přímky určují rovinu. Vypíšeme si směrový vektor přímky : 1; 1; 2 a určíme vektor daná body v obou přímkách 0 1;1 2;1 3 1; 1; 2. Vektorový součin těchto směrových vektorů určí normálový vektor hledané roviny 0; 4; 2 0; 2; 1. Proto rovnice hledané roviny je 2 0,kde člen vypočítáme dosazením některého bodu kterékoliv ze zadaných přímek do této rovnice Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Dokažte, že přímka 1 ;2 2 ;0 ; a bod 1; 0; 3 určují rovinu a napište její obecnou rovnici. Řešení: ) Je dána rovina ;2 3 2 ;1 4,. Napište její obecnou rovnici. Řešení: ) Napište obecnou rovnici roviny, ve které leží body 2; 3; 0 ; 1;2;2 a rovina je kolmá k rovině : Řešení: : ) Kolmicemi sestrojenými z bodu 2;2;8 na roviny : ; : proložte rovinu. Určete její obecnou rovnici. Řešení: :

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Analytická geometrie ( lekce)

Analytická geometrie ( lekce) Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011 Vektory Vektorový součin Vektorový

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrav se na státní matritní zkošk z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 8. tematický okrh: ANALYTICKÁ GEOMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online příprav

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více