ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ"

Transkript

1 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010

2 2 Analytická geometrie Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Analytická geometrie 3 Obsah Analytická geometrie... 8 Souřadnice... 8 Souřadnice Varianta A Souřadnice Varianta B Souřadnice Varianta C Vektory Vektory Varianta A Vektory Varianta B Vektory Varianta C Přímka Přímka Přímka Varianta A Přímka Varianta B Přímka Varianta C Polohové úlohy v rovině Polohové úlohy v rovině Varianta A... 36

4 4 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta B Polohové úlohy v rovině Varianta C Metrické úlohy v rovině Metrické úlohy v rovině Varianta A Metrické úlohy v rovině Varianta B Metrické úlohy v rovině Varianta C Přímka, rovina Přímka a rovina Varianta A Přímka a rovina Varianta B Přímka a rovina Varianta C Polohové úlohy v prostoru Polohové úlohy v prostoru Varianta A Polohové úlohy v prostoru Varianta B Polohové úlohy v prostoru Varianta C Metrické úlohy Metrické úlohy... 61

5 Analytická geometrie 5 Varianta A Metrické úlohy Varianta B Metrické úlohy Varianta C Kuželosečky a kulová plocha Kružnice Kružnice Varianta A Kružnice Varianta B Kružnice Varianta C Tečna kružnice Tečna kružnice Varianta A Tečna kružnice Varianta B Tečna kružnice Varianta C Parabola Parabola Varianta A Parabola Varianta B Parabola Varianta C... 90

6 6 Analytická geometrie Tečna paraboly Tečna paraboly Varianta A Tečna paraboly Varianta B Tečna paraboly Varianta C Elipsa Elipsa Varianta A Elipsa Varianta B Elipsa Varianta C Hyperbola Hyperbola Varianta A Hyperbola Varianta B Hyperbola Varianta C Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta A Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta B Elipsa, hyperbola, přímka, tečny

7 Analytická geometrie 7 Varianta C Kulová plocha Kulová plocha Varianta A Kulová plocha Varianta B Kulová plocha Varianta C

8 8 Analytická geometrie Analytická geometrie Souřadnice Soustava souřadnic na přímce Na libovolné přímce p zvolíme bod O a bod I tak, aby OI =1. Pak každému bodu X této přímky přiřadíme reálné číslo x = OX, pokud bod X leží na polopřímce OI, nebo číslo, pokud bod X leží na polopřímce opačné. Tuto přímku nazýváme ČÍSELNOU OSOU, bod se nazývá počátek soustavy souřadnic na přímce p. Soustava souřadnic v rovině Dvojice číselných os x, y v rovině, pro které platí obě osy jsou navzájem kolmé jejich průsečíku odpovídá na obou osách číslo 0, se nazývá KARTÉZSKÁ SOUSTAVA souřadnic v rovině a označuje se O xy. Bod O je počátek kartézské soustavy souřadnic, přímky x, y se nazývají souřadnicové osy. ; dvojice je uspořádaná souřadnice nelze zaměnit!

9 Analytická geometrie 9 Soustava souřadnic v prostoru Trojice číselných os x, y, z v prostoru takových, že každé dvě osy jsou navzájem kolmé všechny procházejí jedním bodem na všech osách je bodu O přiřazeno číslo 0, se nazývá kartézská soustava souřadnic O xyz. Bod nazýváme počátek, přímky x; y; z se nazývají souřadnicové osy. Roviny určené dvojicemi souřadnicových os se nazývají souřadnicové roviny. Pravotočivá soustava souřadnic:

10 10 Analytická geometrie Levotočivá soustava souřadnic: Vzdálenost bodů v rovině ; ; ; Podle Pythagorovy věty: Vzdálenost bodů v prostoru ; ; ; ; ;

11 Analytická geometrie 11 Střed úsečky dělí úsečku na 2 stejné části v rovině: ; v prostoru: ; ;

12 12 Analytická geometrie Souřadnice Varianta A Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB: 3; 6; 2 ; 1;2;8 Řešení: ; ; 1; 4; 3 ; ; Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1; 4; 3 Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost bodů C; D: 4; 2; 1 ; 1; 0; 3 Řešení: ) Vypočítejte vzdálenost bodů A, B: 2; 9 ; 2; 6 Řešení: 5 3.) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC a rozhodněte, zda je pravoúhlý. 1; 2; 3 ; 4; 2; 3 ; 1; 3; 5 Řešení: 5; 5; 38 trojúhelník není pravoúhlý (neplatí Pythagorova věta). 4.) Určete, který z bodů A; B; C má nejmenší vzdálenost od bodu K. 3; 1; 6 ; 4; 5; 10 ; 7; 1; 3 ; 0; 1; 3 Řešení: Bod A.

13 Analytická geometrie 13 Souřadnice Varianta B Sestrojte pravidelný šestiúhelník KLMNOP tak, aby střed kružnice byl v počátku O kartézské soustavy souřadnic, aby první vrchol byl bod K[4;0] a aby pro bod L [l 1 ; l 2 ] platilo l 2 >O. Určete souřadnice všech vrcholů šestiúhelníku. Řešení: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2; 2 3 ; 2; 2 3 ; 4; 0 ; 2; 2 3 ; 2; 2 3

14 14 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.)Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli ABCDEFGH; 0; 4; 0 ; 4; 4; 0 ; 4; 0; 0. Zapište souřadnice ostatních vrcholů krychle. Řešení: 0; 0; 0 ; 0; 4; 4 ; 4; 4; 4 ; 4; 0; 4 ; 0; 0; 4 2.) Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte kvádr ABCDEFGH; 2; 2; 0 ; 2; 4; 0 ; 1;4;0, jeho výška je 6. Určete souřadnice zbývajících vrcholů. Řešení: 1; 2; 0 ; 2; 2; 6 ; 2; 4; 6 ; 1; 4; 6 ; 1; 2; 6 3.) Určete obraz bodu K ve středové souměrnosti se středem S; 2; 5; 3 ; 4; 2; 1 Řešení: 0; 8; 7 4.) Vypočítejte délku těžnice t c trojúhelníku ABC. 5; 3 ; 3; 1 ; 2; 4 Řešení:

15 Analytická geometrie 15 Souřadnice Varianta C Určete číslo r tak, aby vzdálenost bodů 2 2;2;1 ; 2; 5; 1 byla Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 3 1 Příklady k procvičení: 1.) Na ose y určete bod Y tak, aby jeho vzdálenost od bodu 3; 5 byla 10. Řešení: 0; 6 ; 0; 4 2.) Na ose x najděte bod X tak, aby měl od bodu A dvakrát větší vzdálenost než od bodu B. 3;2;2 ; 2; 1; 2. Řešení: 1; 0 0 ; ;0;0 3.) V kartézské soustavě souřadnic O xyz zakreslete pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož výška je 6 a zapište souřadnice bodu V. 0; 4; 0 ; 4; 4; 0 ; 0; 0; 0 Řešení: 2; 2; 6 4.) Jsou dány body S 1 ; S 2. K libovolnému bodu A určete jeho obraz A 1 ve středové souměrnosti se středem S 1. Pak najděte obraz bodu A 1 ve středové souměrnosti se středem S 2 a tento obraz označte A 2. Určete vzdálenost bodů A; A 2. 5; 3; 2 ; 6; 1; 1 ; ; ; Řešení: 10 ; 6 ;4 ; 2; 8;

16 16 Analytická geometrie Vektory Orientovaná úsečka je úsečka AB, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A je počáteční bod, bod B je koncový bod orientované úsečky. Velikost orientované úsečky je vzdálenost bodů A, B. Nulová orientovaná úsečka má počáteční bod totožný s koncovým bodem. Její velikost je nula. Nenulový vektor je množina všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. Dva vektory ; mají stejný směr, jestliže a) polopřímky ; jsou rovnoběžné a obě leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC. b) přímky ; jsou totožné a průnikem polopřímek ; je opět polopřímka. Nulový vektor je množina všech nulových orientovaných úseček, značíme ho. Každou orientovanou úsečku, která představuje vektor, nazýváme umístěním vektoru.

17 Analytická geometrie 17 Souřadnice vektoru Je-li vektor určen orientovanou úsečkou, pak. ; ; ; ; ; ; Operace s vektory Součet vektorů ; ;

18 18 Analytická geometrie Pro každé dva vektory v rovině nebo prostoru platí: Pro každé tři vektory v rovině nebo prostoru platí: Sčítání vektorů ke komutativní a asociativní. Je-li, pak vektor je opačný k a značíme ho. Rozdíl vektorů ;

19 Analytická geometrie 19 Násobení vektoru číslem Násobek nenulového vektoru reálným číslem je vektor, kde C je bod, pro který platí: a) b) je-li 0, leží bod C na polopřímce AB Je-li 0, leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce AB ; Platí: pro každé dva vektory, a každé, R 0 1 asociativnost násobení vektoru číslem distributivnost násobení součtu vektorů číslem distributivnost násobení vektoru součtem čísel Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů,, je vektor, kde,,. Lze vytvořit lineární kombinaci libovolného počtu vektorů. Lineární kombinace jednoho vektoru je jeho reálný násobek. Vektory se nazývají lineárně závislé právě tehdy, když lze jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Nejsou-li vektory lineárně závislé, nazývají se lineárně nezávislé. Skalární součin vektorů Velikost vektoru je velikost kterékoliv orientované úsečky, která je jeho umístěním. Platí:. Jednotkový vektor má velikost 1, nulový vektor má velikost 0. Pro každý vektor ; v rovině platí:. Pro každý vektor ; ; v prostoru platí:. Skalární součin dvou nenulových vektorů je reálné číslo, které je rovno součinu velikostí těchto vektorů a kosinu velikosti úhlu φ, který tyto vektory svírají.

20 20 Analytická geometrie Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ; ; ; v rovině: Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ; ; ; ; ; v prostoru: Vlastnosti skalárního součinu číslem vektorů komutativnost skalárního součinu vektorů asociativnost skalárního součinu vzhledem k násobení distributivnost skalárního součinu vzhledem ke sčítání Velikost úhlu dvou vektorů, lze určit použitím skalárního součinu: Vektorový součin Vektorový součin dvou vektorů,, které neleží v jedné přímce, je vektor, pro který platí: a) vektor je kolmý k oběma vektorům, b) vektor je orientován vůči vektorů, pravotočivě, tedy podle pravidla pravé ruky c), kde je úhel vektorů,.

21 Analytická geometrie 21 Vektorový součin dvou vektorů, které leží v jedné přímce, je nulový vektor. Vektorový součin ; ; 3; 2; 1 ; 2; 4; ; ; ; 20; 16 ~ 2; 5; 4 Užití vektorového součinu: 1. při určení vektoru kolmého ke dvěma daným vektorům 2. při výpočtu obsahu rovnoběžníku ABCD, popř. trojúhelníku ABC Obsah rovnoběžníku ABCD je Obsah trojúhelníku ABC je

22 22 Analytická geometrie Smíšený součin Smíšený součin vektorů,, v tomto pořadí je číslo, které vypočteme. Užití smíšeného součinu: Pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí:, kde ; ;. Objem trojbokého hranolu je roven polovině objemu rovnoběžnostěnu. Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu rovnoběžnostěnu. Objem čtyřstěnu je roven šestině objemu rovnoběžnostěnu.

23 Analytická geometrie 23 Vektory Varianta A Jsou dány body 3; 3 ; 5; 4 ; 7; 5. a) Rozhodněte, zda body A, B, C leží na přímce b) Určete číslo tak, aby bod 3; ležel na přímce AB. a) Leží-li body A, B, C na jedné přímce, musí platit, že. 4; 2 ; 2; 1 2 body A; B; C leží v jedné přímce b) Má-li bod D ležet na přímce AB, musí platit 2; 1 ; 6; 3 0 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: body A; B; C leží v jedné přímce b) 0 Příklady k procvičení: 1. Vektor 2; 10 zapište jako lineární kombinaci vektorů 1; 3 ; 2; 2. Řešení: 3 2.) Určete číslo tak, aby velikost vektoru 6; byla 10. Řešení: ) V trojúhelníku ABC označte vektory ;. Jako lineární kombinaci vektorů ; zapište následující vektory: a) b), kde je střed strany BC. Řešení: a) ; b) 4.) Je dán vektor 1;2;3. Určete tak, aby vektor 17; ; 3 byl kolmý k vektoru. Řešení: 4

24 24 Analytická geometrie Vektory Varianta B Je dán vektor 3; 1. Určete souřadnice vektoru, který svírá s vektorem úhel 60 a jehož velikost je Dosadíme do vztahu pro velikost vektoru ; 4 ; 2 3;2 Varianta A Varianta B Výsledek řešení: 0; 4 ; 2 3;2 Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Je dán vektor 3; 2. Určete tak, aby pro vektor 6; platilo 5. Řešení: 2; 6 2.)Určete vektor tak, aby platilo 4 5, kde 3; 6. Řešení: 8; 4 ; 8; 4 3.) Jsou dány body 4; 1 ; 6; 2. Určete souřadnice bodů B, C, D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl čtverec. Bod S je střed čtverce. Řešení: 7; 0 ; 8; 3 ; 5; 4

25 Analytická geometrie 25 4.) Jsou dány body 3; 1 ; 1; 3. Určete bod C tak, aby platilo: a) bod C leží na ose x a 90 b) bod C leží na ose y a 90 Řešení: a) 0; 0 ; 2; 0 ; b) 0; 5

26 26 Analytická geometrie Vektory Varianta C Jsou dány body 1; 2; 3 ; 4; 5; 6 ; 4; 3; 2. a) Dokažte, že body A, B, C tvoří trojúhelník. b) Určete reálná čísla,,, tak, aby body 0; ; ; ; ; 6 ležely na přímce AB. a) Body A, B, C tvoří trojúhelník, jestliže vektor není násobkem vektoru. 5; 3; 3 ; 3; 1; 1. Vektor není násobkem vektoru, proto body A, B, C tvoří trojúhelník. b) musí být násobek vektoru, 5; 3; 3 ; 1; 2; 3, musí být násobek vektoru, 1; 2; 3 1 4, 6 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:, ; 4, 6 Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány vektory 2; 3; 4 ; 2; ; 0. Určete hodnotu parametru tak, aby platilo 4 6. Řešení: 1, 2.) Na ose určete bod V tak, aby objem čtyřstěnu ABCDV, kde 2; 3; 1, 1; 0; 3, 3; 1; 1 byl 14. Řešení: 0; 0; 7, 0; 0; 17

27 Analytická geometrie 27 3.) Na ose y určete bod C tak, aby obsah trojúhelníku ABC byl 10. 2; 1; 0, 2; 2; 3. Řešení: 0; ;0, 0; ,0 4.) Je dán vektor 3; 2. Určete tak, aby pro vektor ; 2 platilo 3 5. Řešení: 12, 6

28 28 Analytická geometrie Přímka Přímka je dána dvěma různými body A, B. Vektor se nazývá směrový vektor přímky AB. Přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, lze ji totiž určit pomocí nekonečného počtu dvojic bodů. 1.) Parametrická rovnice přímky Parametrická rovnice přímky AB je rovnice, Proměnná se nazývá parametr. Každé hodnotě parametru odpovídá jeden bod přímky AB. Je-li z množiny všech nezáporných čísel, jde o vyjádření polopřímky AB, je-li 0; 1, jde o vyjádření úsečky AB, je-li z množiny všech nekladných čísel, jde o polopřímku opačnou k polopřímce AB. Mějme v rovině body ; ; ; a vektor ;. Rovnici přímky ; lze rozepsat do soustavy rovnic s parametrem : ;

29 Analytická geometrie 29 2.) Obecná rovnice přímky Obecná rovnice přímky má tvar 0, kde,, a alespoň jedna z konstant, je nenulová. ; je normálový vektor = je kolmý na směrový vektor přímky skalární součin a je nula , kde

30 30 Analytická geometrie 3.) Směrnicový tvar rovnice přímky Rovnice se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo je směrnice přímky., Směrnice přímky je rovna, kde je odchylka přímky od kladné poloosy. Přímka rovnoběžná s osou nemá žádnou směrnici, směrnicový tvar neexistuje. Přímka se směrovým vektorem ; má směrnici. Přímka kolmá na přímku má směrnici. Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou, nebo jsou obě různoběžné s osou a mají stejnou směrnici. 4.) Úsekový tvar rovnice přímky Získáme z obecné rovnice přímky tak, že ji vydělíme číslem 0. souřadnic. 1, 0, kde ; 0 ; ; jsou průsečíky s osami soustavy

31 Analytická geometrie 31 Přímka Je dána přímka. Sestavte její parametrické rovnice, obecnou rovnici, zapište ji ve směrnicovém a úsekovém tvaru, pokud existují. a) Přímka je daná bodem 5; 3 a směrovým vektorem 2; 1. b) Přímka je daná bodem 3; 0 a normálovým vektorem 3; 2. Řešení: a) parametrické rovnice: ; obecná rovnice: normálový vektor 1; 2 2 0, pro výpočet dosadíme za a souřadnice bodu A směrnicový tvar:, pro výpočet dosadíme do rovnice bod A úsekový tvar: průsečík s osou : 1; 0 s osou y: 0; 1, b) parametrické rovnice: 2; ; 3 ; obecná rovnice: 3 2 0, po dosazení bodu B směrnicový tvar:, po dosazení bodu B úsekový tvar: 1

32 32 Analytická geometrie Přímka Varianta A Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 4; 3 a je rovnoběžná s přímkou : Každá rovnoběžná přímka s přímkou má stejný normálový vektor jako přímka 5; 2 : 5 2 0, dosadíme bod K Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 6; 5 a je kolmá na přímku : Řešení: : ) Body 2; 4 ; 4; 6 určují přímku. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází středem úsečky KL a je kolmá na přímku AB, 1; 2 ; 4; 3. Řešení: Jsou dány dva body 2; 5 ; 4; 1. Napište rovnici osy úsečky MN; polopřímky MN; polopřímky NM. Řešení: Osa: 1 0; polopřímka MN: 2 ; 5 ; 0; Polopřímka : 4 ; 1 ; 0;. 4.) Jsou dány body 2; 4 ; 3; 2. Napište obecnou rovnici kolmice k úsečce AB v bodě A. Řešení:

33 Analytická geometrie 33 Přímka Varianta B Body 4; 1 ; 4; 2 ; 2; 4 jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice průsečíku os jeho stran. 4; 1,5 ; 0; 1 : 1,5 0 3; 3 ; 2; 2 : 0 3; 1,5 ; 2; 3 :2 3 1,5 0 Z první osy plyne pro průsečík, že jeho y-ová souřadnice je 1,5; z druhé osy, že x-ová souřadnice je 1,5 1,5; 1,5. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1,5; 1,5 Příklady k procvičení: 1.) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 4; 2 a je kolmá k přímce : Řešení: : 4 ; 2 2 ; ; : ) Určete souřadnici bodu ; 10 tak, aby bod A ležel na přímce KL, kde 3; 5 ; 1; 1. Řešení: 2. 3.) Body 4; 1 ; 4; 2 ; 2; 4 jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Napište obecné rovnice přímek, na nichž leží těžnice trojúhelníku JKLM a určete souřadnice těžiště. Řešení: :2 9 0; : 2 8 0; : ; ; 4.) Je dána polopřímka 2 3 ;3 ;. Určete souřadnice počátečního bodu A dané polopřímky. Určete tak, aby bod 1; ležel na dané polopřímce. Řešení: ; ; 2.

34 34 Analytická geometrie Přímka Varianta C Určete hodnotu parametru tak, aby přímka procházela počátkem soustavy souřadnic. Má-li přímka procházet počátkem soustavy souřadnic, musí bod 0; 0 vyhovovat rovnici přímky. Dosadíme proto do rovnice přímky za, nulu a dostaneme:2 1 0., 1; Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1; Příklady k procvičení: 1.) Je dán trojúhelník EFG, 1; 4 ; 3; 2 ; 4; 6. Určete v parametrickém tvaru rovnici přímky, na které leží střední příčka rovnoběžná s FG. Řešení: ) Je dán trojúhelník KLM, 0; 0 ; 4; 2 ; 6; 0. Vypočítejte souřadnice těžiště T. Řešení: ;. 3.) Osy, a přímka AB, kde 2; 9 ; 4; 3, určují trojúhelník. Vypočítejte jeho obsah. Řešení: 4.) Určete reálné číslo tak, aby bod K ležel na přímce MN, je-li: 1; 2 ; 3; 3 ; ; 0,5. Řešení: 1.

35 Analytická geometrie 35 Polohové úlohy v rovině Vzájemnou polohu dvou přímek lze vyšetřit dvěma způsoby: 1.) řešíme soustavu složenou z obou rovnic, o vzájemné poloze rozhodne počet řešení 1 řešení různoběžné, 1 průsečík 0 řešení rovnoběžné různé řešení totožné 2.) určíme směrové (normálové) vektory obou přímek Přímky, jsou rovnoběžné, jestliže:, kde 0 ;, \0. Dvě přímky, a, jsou totožné, jsou-li rovnoběžné a leží-li bod Q na přímce. Přímky, jsou k sobě kolmé, jsou-li jejich směrové (normálové) vektory navzájem kolmé, tj. platí-li 0; 0.

36 36 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta A Vyšetřete vzájemnou polohu přímek KL a MN, znáte-li souřadnice bodů, kterými dané přímky procházejí; 1; 2 ; 1; 1 ; 1; 1 ; 2; 3. 0; 3 ; 3; 0 : 1 0 1; 2 ; 2; 1 : Přímky jsou různoběžné, protože Průsečík má x-ovou souřadnici 1 (plyne z rovnice přímky KL), y-ovou souřadnici dopočítáme z rovnice přímky MN 1; 3. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Přímky jsou různoběžné; 1; 3 Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek, ; 1 2 ;2 3 ; ; 1 2 ; 7 3 ;. Řešení: Rovnoběžné různé 2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek,. 1 2 ;2 3 ; ; 17 4 ; 6 2 ; Řešení: Různoběžné; 1; 2 3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek,. 1 2 ;2 3 ; ; 5 4 ; 4 6 ;. Řešení: totožné 4.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek,. :2 1 0; : Řešení: Různoběžné, 2; 3

37 Analytická geometrie 37 Polohové úlohy v rovině Varianta B Určete hodnotu parametru tak, aby přímka 11 0 procházela průsečíkem přímek :2 6 0; : po sečtení obou rovnic dostaneme: ; 2. Nyní bod X dosadíme do rovnice přímky s parametrem Varianta A Výsledek řešení: 3 Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu úseček. 1 ; 2 ; 0; 1 ; 1 2 ;2 ; 2; 1. Řešení: 2.) Průsečíkem přímek 2 ; 3 ; ; 1 ;2 ; veďte kolmici k přímce 2 4 ;8 3 ;. Řešení: ) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany ležely na přímkách :2 1 0; :8 11 0; : Řešení: 2; 3 ; 2; 5 ; 1; 3 4.) Je dána úsečka KL, kde 2; 1 ; 1; 2. Určete hodnotu parametru tak, aby úsečka AB protínala úsečku KL v jejím středu. Souřadnice bodů A, B jsou 2; ; 2; 6. Řešení: 6

38 38 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta C Zjistěte, zda bod 4; 1 je vnitřním bodem trojúhelníku ABC, 5; 1 ; 2; 4 ; 7; 3. Má-li bod K ležet uvnitř trojúhelníku ABC, musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkou AB jako bod C, ve stejné polorovině s hraniční přímkou BC jako bod A a ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC jako bod B. Přímka AB má rovnici , polorovina s bodem C má rovnici Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, bod K proto leží ve stejné polorovině jako bod C. Přímka AC má rovnici 3 2 0, polorovina s bodem B má rovnici Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, proto bod K leží ve stejné polorovině jako bod B. Přímka BC má rovnici , polorovina s bodem A má vyjádření Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí. Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC. Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány body 3; 5 ; 1; 2 a vektor 2; 3. Napište analytické vyjádření poloroviny, je-li ;. Řešení:

39 Analytická geometrie 39 2.) Určete reálné číslo tak, aby přímka s parametrickým vyjádřením 5 6 ; 2 ; procházela průsečíkem přímek 1 3 ; 1 2 ; ; 2 ;1 2 ;. Řešení: 5 3.) Určete hodnoty parametrů, tak, aby přímky, byly totožné. 1 ;2 ; ; ;5 ;. Řešení: 2; 1 4.) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby bod 4; 3 ležel v polorovině 2. Řešení: 11; 0

40 40 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Patří sem úlohy, ve kterých je použito měření vzdálenosti bodů, velikosti úhlů apod. Vzdálenost bodu od přímky Postup vidíme z obrázku: 1.) bodem X vedeme kolmici k přímce 2.) najdeme průsečík P kolmice vedené bodem X a přímky 3.) Určíme vzdálenost ; : 0. Pak kolmice má rovnici: ;. Hledáme průsečík ; přímek,. 0 0 ;, kde je vypočítaná hodnota parametru. Pak Jestliže dosadíme za, dostaneme:

41 Analytická geometrie 41 Odchylka dvou přímek Odchylka přímek, je ta velikost úhlu, která leží v intervalu 0;. Odchylku přímek určíme pomocí úhlu směrových vektorů (případně normálových vektorů).

42 42 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Varianta A Na přímce : určete bod P tak, aby jeho vzdálenost od přímky : byla 3. Má-li bod P ležet na přímce, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky 2 3 ;. Dosadíme do vzorce pro vzdálenost: 3 Po úpravě dostaneme: Řešíme rovnici s absolutní hodnotou: Dostáváme řešení: 11 a 15 35; 11 ; 43; 15. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 35; 11 ; 43; 15 Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek : a : Řešení: 0,6 2.) Na přímce : 2 0 najděte bod A tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný se základnou BC, kde 6; 4 ; 2; 2. Řešení: ; 3.) Na ose najděte bod P, který má od bodu 6; 3 vzdálenost 7. Řešení: ;0 ; ; 0. 4.) Vypočítejte obvod trojúhelníku KLM, kde 2; 4 ; 3; 3 ; 3; 1. Řešení:

43 Analytická geometrie 43 Metrické úlohy v rovině Varianta B Vypočítejte odchylku přímek : ; : Určíme normálové vektory obou přímek: 7; 1 ; 1; 7 Úhel přímek vypočteme dosazením do vzorce: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány dvě přímky : 4 0; : Určete hodnotu parametru tak, aby přímky svíraly úhel 90. Řešení: 2 2.) Vypočítejte odchylku přímek 2 ;1 3 ; ; 4 2 ;5 ;. Řešení: 45 3.) Vypočítejte odchylku přímek : 2 1 0; : Řešení: 90 4.) Vypočítejte odchylku přímek : 3 4 0; : 6 0. Řešení:

44 44 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Varianta C Body 5; 3 ; 3; 4 ; 3; 5 jsou středy stran trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice vrcholů,,. Na přímce, spojující středy dvou stran, leží střední příčka v trojúhelníku, proto má tato přímka stejný směrový (normálový) vektor jako přímka, na které leží třetí strana. 2; 7 7; 2 Přímka KM má tedy rovnici: ; 8 1; 1 Přímka LM má tedy rovnici: ; 1 1; 6 Přímka KL má tedy rovnici: Řešíme vzájemnou polohu těchto přímek jako soustavy rovnic. ; 1; 2 ; ; 11; 4 ; ; 5; 12. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1; 2 ; 11; 4 ; 5; 12 Příklady k procvičení: 1.) Určete bod R tak, aby trojúhelník PQR byl pravoúhlý a rovnoramenný s přeponou PQ, kde 2; 10 ; 4; 6. Řešení: 9; 5 ; 7; 1 2.) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, jestliže 0; 3 ; 2; 5. Řešení: 4; 2 ; 4; 4 ; 6; 4 ; 2; 6. 3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů čtverce KLMN, je-li 1; 3 ; 2; 1. Řešení: 6; 2 ; 3; 6 ; 2; 4 ; 5; 0. 4.) V rovnoramenném trojúhelníku EFG se základnou EF, 3; 4 ; 1; 6 leží vrchol G na přímce Určete souřadnice vrcholu G. Řešení: 2; 1

45 Analytická geometrie 45 Přímka, rovina 1.) Parametrická rovnice roviny Rovina je dána třemi body, které neleží v jedné přímce. Proto lze sestavit dva vektory ; ležící v této rovině. Rovinu značíme malými písmeny řecké abecedy. Rovinu, která je dána bodem A a směrovými vektory ;, zapisujeme,,. Rovnice ;, se nazývá parametrická rovnice roviny ABC. Můžeme opět rozepsat:, 2.) Obecná rovnice roviny Užívá se častěji než parametrická. Rovinu určíme bodem P a vektorem, který je k ní kolmý. Tento vektor se nazývá normálový. Bod X leží v rovině právě tehdy, jestliže vektor je kolmý k vektoru 0. Bod X má souřadnice ; ;, bod P má souřadnice ; ; a normálový vektor má souřadnice ; ;.Pak můžeme psát: 0 Po úpravě dostaneme 0

46 46 Analytická geometrie Označíme výraz a máme obecnou rovnici roviny: 0 Poznámka: známe-li dva směrové vektory roviny, normálový vektor určíme jako vektorový součin těchto dvou vektorů. 3.) Úsekový tvar rovnice roviny Rovina určená body ; 0; 0 ; 0; ; 0 ; 0; 0; má rovnici 0

47 Analytická geometrie 47 Přímka a rovina Varianta A Jsou dány body 2; 3; 1 ; 4; 3; 2. Rozhodněte, zda body 0; 4; 2 ; 2 3;3; 3 leží na přímce KL, a určete, tak, aby bod ; 2 ; ležel na přímce KL. Napíšeme rovnice přímky KL: 2; 0; ; 3; 1 ;. Dosadíme postupně souřadnice bodů, do rovnice přímky KL bod A neleží na přímce KL. Totéž provedeme s bodem B: Prostřední rovnice platí vždy, z první i třetí rovnice plyne, že 3 1, proto bod B leží na přímce KL. Do rovnice přímky KL nyní dosadíme souřadnice bodu C: Z prostřední rovnice určíme, že ; dosadíme do první rovnice a po dosazení do třetí rovnice zjistíme, že. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: bod A neleží na přímce KL; bod B leží na přímce KL; ;

48 48 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Je dána přímka 1 2 ;2 3 ;1 ;. Rozhodněte, zda body 5; 8; 3 ; 3; 1; 0 leží na přímce a určete, tak, aby bod 9; ; ležel na přímce. Řešení: ; ; 10; 3 2.) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka 2; 1 ; 4 ; protíná souřadnicové roviny. Řešení: 2; 0; 4 ; 2; 1; 0 ; neexistuje 3.) Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem 0; 4; 5 a je rovnoběžná s přímkou 2 ;1 ;3 5 ;. Řešení: ; 4 ; 5 5 ; 4.) Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem 2; 4; 1 a je rovnoběžná s osou. Řešení: 2; 4; 1 ;

49 Analytická geometrie 49 Přímka a rovina Varianta B Dokažte, že body 2; 1; 6 ; 0; 1; 6 ; 1;2;0 určují rovinu a napište její parametrické rovnice, určete její obecnou rovnici a vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina KLM protíná souřadnicové osy. 3 body určují rovinu, pokud neleží v jedné přímce, čili vektor 2; 2; 12 ; 3; 1; 6 body určují rovinu ;, 24; 24; 8 3; 3; Průsečíky se souřadnicovými osami mají vždy dvě souřadnice nulové 1; 0; 0 ; 0; 1; 0 ; 0; 0; 3 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: body určují rovinu; ; 1; 0; 0 ; 0; 1; 0 ; 0; 0; 3 Příklady k procvičení: 1.) Je dána rovina 1 ;2 3 ;5 ;,. Vypočítejte průsečíky roviny se souřadnicovými osami. Řešení: 2; 0; 0 ; 0; 4; 0 ; 0; 0; 4 2.) Zjistěte, zda body 3; 2; 1 ; 1; 3; 1 ; 2; 1; 3 ; 1; 2; 2 leží v jedné rovině. Řešení: neleží

50 50 Analytická geometrie 3.) V soustavě souřadnic v prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, že 0; 0; 0 ; 4; 0; 0 ; 4; 4; 0 ; 2; 2; 6. Napište parametrické vyjádření roviny BCV. Řešení: ; 4 2 ; 6 ;, 4.) Jsou dány body 2; 9; 7 ; 4; 3; 5 ; 6; 5; 1. Napište parametrické vyjádření těžnice trojúhelníku KLM, která prochází bodem K. Řešení: 2 ; 9 5 ; 7 9 ; 0; 1

51 Analytická geometrie 51 Přímka a rovina Varianta C Dokažte, že přímky 1 ;2 ;3 2 ; ; ; 1 ; 1 2 ; určují rovinu a napište její obecnou rovnici. Přímky určují rovinu, pokud bod jedné přímky neleží na přímce druhé, což ověříme dosazením bodu 1; 2; 3 z přímky do rovnic přímky bod neleží na přímce přímky určují rovinu. Vypíšeme si směrový vektor přímky : 1; 1; 2 a určíme vektor daná body v obou přímkách 0 1;1 2;1 3 1; 1; 2. Vektorový součin těchto směrových vektorů určí normálový vektor hledané roviny 0; 4; 2 0; 2; 1. Proto rovnice hledané roviny je 2 0,kde člen vypočítáme dosazením některého bodu kterékoliv ze zadaných přímek do této rovnice Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Dokažte, že přímka 1 ;2 2 ;0 ; a bod 1; 0; 3 určují rovinu a napište její obecnou rovnici. Řešení: ) Je dána rovina ;2 3 2 ;1 4,. Napište její obecnou rovnici. Řešení: ) Napište obecnou rovnici roviny, ve které leží body 2; 3; 0 ; 1;2;2 a rovina je kolmá k rovině : Řešení: : ) Kolmicemi sestrojenými z bodu 2;2;8 na roviny : ; : proložte rovinu. Určete její obecnou rovnici. Řešení: :

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: Název sady DUM: Název a adresa školy: Registrační číslo projektu: Číslo a název šablony: Obor vzdělávání: Tématická oblast ŠVP: Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura:

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky. otázka. Řešení logaritmických rovnic Řešte rovnici s neznámou x R:. log(x 2 +) log(x+) = 2 2. log 2 2 x + 2 log 2 x = 0. log x + log x =.

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více