Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Transkript

1 nad obecným tělesem a lineární kombinace Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG : 1/20

2 nad obecným tělesem Co je definice? Co je hypotéza? Co je (matematická) věta? Lemma? Tvrzení? Co je důkaz? Více např. v textech 1 J. Velebil, Velmi jemný úvod do matematické logiky 2 E. Cheng, How to write proofs Jiří Velebil: A7B01LAG : 2/20

3 nad obecným tělesem Neformálně (nad R) je kolekce jakýchkoli objektů (těm budeme říkat vektory), které mezi sebou můžeme sčítat a každý z nich můžeme vynásobit skalárem (v našem případě prvkem R). Sčítání vektorů a násobení skalárem se musí řídit jistými zákonitostmi. Příklady 1 Vektory v rovině (fyzikální, případně geometrická intuice). 2 Reálné polynomy (značení: R[x]). 3 n-tice reálných čísel (značení: R n, n 0). a 4 Komplexní čísla (značení: C). 5 Řada dalších příkladů... a Důležité: Prvky R n budeme psát jako n-tice do sloupců. Jiří Velebil: A7B01LAG : 3/20

4 nad obecným tělesem Příklad (orientované úsečky v rovině) Dvě operace: C Z A B O O Y X sčítání: OC = OA + OB násobení skalárem: OY = 2 OX, OZ = 2 OX Sčítání orientovaných úseček a násobení orientované úsečky reálným skalárem splňují jisté axiomy. Jiří Velebil: A7B01LAG : 4/20

5 nad obecným tělesem Definice (lineární prostor) (nad R) je množina L spolu se dvěma funkcemi pro které platí následující: 1 Vlastnosti sčítání: + : L L L, : R L L 1 Existuje o L tak, že pro vš. x L platí: x + o = o + x = x (existence nulového vektoru). 2 Pro vš. x, y, z L platí: ( x + y) + z = x + ( y + z) (asociativita sčítání vektorů). 3 Pro vš. x, y L platí: x + y = y + x (komutativita sčítání vektorů). 4 Pro vš. x L existuje právě jeden y L tak, že x + y = o (existence opačného vektoru). Jiří Velebil: A7B01LAG : 5/20

6 nad obecným tělesem Definice (lineární prostor), pokrač. 2 Vlastnosti násobení skalárem: 1 Pro vš. x L platí: 1 x = x (násobení jednotkovým skalárem). 2 Pro vš. a, b R a vš. x L platí: a (b x) = (a b) x (asociativita násobení skalárem). 3 Distributivní zákony: 1 Pro vš. a, b R a vš. x L platí: (a + b) x = a x + b x (distributivita součtu skalárů). 2 Pro vš. a R a vš. x, y L platí: a ( x + y) = a x + a y (distributivita součtu vektorů). Poznámka Axiomy tří typů: chování operace +, chování operace a vzájemný vztah obou operací. Jiří Velebil: A7B01LAG : 6/20

7 nad obecným tělesem Jednoduché důsledky definice At L je lineární prostor. Potom: 1 Nulový vektor je jednoznačně určen. 2 Pro vš. x L platí: 0 x = o. 3 Opačný vektor k x L je vektor ( 1) x. 4 Pro vš. a R platí: a o = o. Důkaz. 1 At existují o 1, o 2 tak, že pro vš. x L platí: x + o 1 = o 1 + x = x a x + o 2 = o 2 + x = x. Pak o 1 = o 1 + o 2 = o 2. 2 Pro vš. x L platí: x = 1 x = (1 + 0) x = 1 x + 0 x = x + 0 x. Tudíž 0 x musí být nulový vektor. Jiří Velebil: A7B01LAG : 7/20

8 nad obecným tělesem Důkaz (pokrač.) 3 Platí: x + ( 1) x = 1 x + ( 1) x = (1 1) x = 0 x = o. 4 Platí: a o = a (0 o) = (a 0) o = 0 o = o. Velmi důležitý důsledek definice At L je lineární prostor, a R, x L. Pak a x = o právě tehdy, když a = 0 nebo x = o. Důkaz. Díky předchozímu stačí dokázat pouze implikaci zleva doprava. At a x = o a a 0. Potom existuje a 1. Tudíž o = a 1 o = a 1 (a x) = (a 1 a) x = 1 x = x. Povšimněme si, čeho využívá předchozí tvrzení: Pro vš. a R platí: a 1 existuje, jakmile a 0. Jiří Velebil: A7B01LAG : 8/20

9 nad obecným tělesem Další příklady a protipříklady 1 L = (0, + ). Operace sčítání vektorů: x y := x y. Násobení skalárem: α x := x α. Pak L je lineární prostor. 2 L je jakákoli jednoprvková množina. Pak L (spolu s evidentními operacemi) je lineární prostor. Říkáme mu triviální lineární prostor. Nutně: L = { o}. ( ) 3 a L = R 2. Operace: + b ( ) a α := b ( ) ( ) c a + d :=, d b + c ( ) αa. Nejde o lineární prostor. αb Jiří Velebil: A7B01LAG : 9/20

10 nad obecným tělesem Role reálných skalárů Lze R nahradit jiným číselným oborem? Se skaláry je třeba umět následující: rozumné sčítání, násobení. Abstraktní pojem: skaláry musí tvořit strukturu F, které se říká těleso. To vede k pojmu lineární prostor nad tělesem F. Více koncem této přednášky. Jiří Velebil: A7B01LAG : 10/20

11 nad obecným tělesem Jaký nejobecnější výpočet lze v lineárním prostoru vykonat? 1 Například můžeme sečíst čtyři vektory: x + y + z + w. Díky asociativitě sčítání nemusíme psát závorky. 2 Například můžeme násobek vektoru opět vynásobit: b (a x). Díky axiomům jde opět o násobek (b a) x. 3 Obecněji, můžeme sčítat konečně mnoho násobků vektorů. To znamená: je-li dán konečný seznam vektorů ( x 1,..., x n ) a konečný seznam skalárů a (a 1,..., a n ), lze utvořit lineární kombinaci a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n značenou i n a i x i nebo a i x i i=1 i {1,...,n} a Těmto skalárům říkáme koeficienty lineární kombinace. Jiří Velebil: A7B01LAG : 11/20

12 nad obecným tělesem Definice Seznam (také: skupina) vektorů je bud prázdná posloupnost () nebo konečná posloupnost ( x 1,..., x n ). Pozor: je rozdíl mezi seznamem a množinou ( x 1, x 2, x 3 ) ( x 3, x 2, x 1 ) vs. { x 1, x 2, x 3 } = { x 3, x 2, x 1 } ( x 1, x 1, x 2 ) ( x 1, x 2 ) vs. { x 1, x 1, x 2 } = { x 1, x 2 } Definice (lineární kombinace konečného seznamu vektorů) Pro seznam vektorů tvaru 1 () definujeme o jako jeho (jedinou možnou) lineární kombinaci (s prázdným seznamem koeficientů). n 2 ( x 1,..., x n ) je vektor a i x i jeho lineární kombinace (se i=1 seznamem koeficientů (a 1,..., a n )). Jiří Velebil: A7B01LAG : 12/20

13 nad obecným tělesem Pro seznam (a 1 ) v R 2 a 1 Příklad (geometrický význam lineární kombinace) a seznam (2.5) reálných čísel je lineární kombinace. a a 1 Všechny možné lineární kombinace vektoru a 1 vytvářejí v R 2 přímku procházející počátkem (se směrem a 1 ). Jiří Velebil: A7B01LAG : 13/20

14 nad obecným tělesem Příklad (geometrický význam lineární kombinace) Pro seznam (a 1, a 2 ) v R 3 a 2 a 1 a seznam (2.1, 1.3) reálných čísel je 1.3 a a a 2 a 2 a a 1 Všechny možné lineární kombinace seznamu (a 1, a 2 ) vytvářejí v R 3 rovinu procházející počátkem (se směrem (a 1, a 2 )). Jiří Velebil: A7B01LAG : 14/20

15 nad obecným tělesem Zobecnění předchozího (zatím jen slogan) seznamu (a 1,..., a k ) v R n vytvářejí rovný kus prostoru R n. Tento rovný kus prostoru R n prochází počátkem a má směr (a 1,..., a k )). Příští přednáška: těmto rovným kusům v R n budeme říkat lineární podprostory R n. Pochopitelně, v příští přednášce budeme pracovat daleko abstraktněji než v R n. Slogan je reklamní heslo! Na přednášce budeme zmiňovat řadu sloganů. Slogany mají sloužit k intuitivnímu pochopení. Slogany v žádném případě nemohou nahradit přesná znění definic, vět, atd. Jiří Velebil: A7B01LAG : 15/20

16 nad obecným tělesem Příklad (lineární kombinace a soustavy rovnic) Existují reálné koeficienty x, y tak, že v R 2 platí rovnost ( ) ( ) ( ) x + y =? Dva pohledy na tento problém: 1 Hledáme reálná x, y tak, že platí 2x 2y = 12 3x + 3y = 6 To znamená: koeficienty lineární kombinace jsou řešením jisté soustavy lineárních rovnic. Jiří Velebil: A7B01LAG : 16/20

17 nad obecným tělesem Příklad (lineární kombinace a soustavy rovnic, pokrač.) 2 Pro zadané vektory ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 12 6 hledáme natažení červených vektorů tak, aby modrý vektor byl úhlopříčkou čtyřúhelníka: Jiří Velebil: A7B01LAG : 17/20

18 nad obecným tělesem Zobecnění předchozího (zatím jen slogan) Hledáme-li pro pevný seznam (a 1,..., a s ) a pevný vektor b v R r reálné koeficienty x 1,..., x s tak, aby platila rovnost x 1 a x s a s = b pak lze na tuto úlohu pohĺıžet dvěma způsoby: 1 Řešíme soustavu r lineárních rovnic o s neznámých. 2 Hledáme natažení vektorů a 1,..., a s pomocí skalárů x 1,..., x s tak, aby vektor b tvořil úhlopříčku rovnoběžnostěnu. Příští přednášky: druhý pohled na tuto úlohu nám dovoĺı vybudovat elegantní metodu řešení (Gaussovu eliminaci). Pochopitelně, opět budeme pracovat daleko abstraktněji než v R n. Jiří Velebil: A7B01LAG : 18/20

19 nad obecným tělesem Definice (těleso) Množině F spolu se dvěma operacemi sčítání + : F F F, násobení : F F F, říkáme těleso, pokud jsou splněny následující podmínky: 1 Axiomy pro sčítání: sčítání je komutativní, asociativní a má neutrální prvek 0. Každý prvek má opačný prvek vzhledem ke sčítání. 2 Axiomy pro násobení: násobení je komutativní, asociativní a má neutrální prvek 1. 3 Distributivní zákon: platí a (b + c) = a b + a c. 4 Test invertibility: a 0 právě tehdy, když existuje a 1. Jiří Velebil: A7B01LAG : 19/20

20 nad obecným tělesem Příklady těles 1 Reálná čísla R, racionální čísla Q, komplexní čísla C, jsou tělesa (spolu s obvyklými operacemi sčítání a násobení). 2 Celá čísla Z (spolu s obvyklými operacemi sčítání a násobení) netvoří těleso. 3 Konec semestru: Z 2 (počítání modulo 2) je těleso. 4 Obecněji: Z p (počítání modulo prvočíslo p) je těleso. Využití: šifrování, kódování. Více předmět A7B01MCS (2. ročník). L nad tělesem F definujeme stejně a jako nad R. Všechny poznatky z dnešní přednášky lze dokázat nad obecným tělesem F. Od příště budeme pracovat nad obecným tělesem. a Tj v definici ze začátku přednášky nahrad te všude písmeno R písmenem F. Jiří Velebil: A7B01LAG : 20/20