1 Seznámení s MATLABem - elementární funkce MATLABu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Seznámení s MATLABem - elementární funkce MATLABu"

Transkript

1 Cíl 1 Seznámení s MATLABem - elementární funkce MATLABu Osnova 1.1 MATLAB Hlavní kategorie MATLABských funkcí Aritmetické operátory a některé speciální znaky Základní elementární funkce MATLABu Výpočty funkčních hodnot Zápisy funkcí a operátorů Exponenciální funkce Trigonometrické funkce Převod radiánů na stupně, minuty a vteřiny...19 V této kapitole se dozvíte základní informace o matematickém programu MATLAB. Naučíte se používat některé operace a předdefinované funkce MATLABu k výpočtu funkčních hodnot. Napíšete si svůj první program, který při zadání hodnoty kosinu nějakého úhlu vypočítá a vypíše na monitor hodnotu tohoto úhlu ve stupních, minutách a vteřinách. Předpokládám, že víte, co je to určitý integrál, umíte ho vypočítat a znáte jeho geometrický význam. Dále předpokládám, že víte, co je polynom, a jak se počítá jeho funkční hodnota, že znáte mocniny s racionálním exponentem, že znáte a umíte počítat hodnoty funkcí logaritmických, exponenciálních a goniometrických. Také předpokládám, že umíte převádět radiány na stupně a naopak. Za samozřejmost považuji, že umíte psát libovolné znaky na klávesnici popř. přepnout mezi anglickou a českou klávesnicí. Kontaktní cvičení trvá přesně 100 minut. Vám by prostudování této kapitoly mělo trvat přibližně 10 minut. Pokud ale nemáte zažité výše uvedené potřebné znalosti, tak raději počítejte s tím, že budete potřebovat času více. Doporučuji se posilnit, tj. najíst se a napít, vyprázdnit, vypnout mobil, nachystat si tužku, papír, tato skripta, spustit MATLAB, (ve kterém máte otevřené pouze okno Command Window), vyhradit si asi 180 minut, popř. dát na dveře cedulku "NERUŠIT" a pustit se do práce. Nejprve budu stručně charakterizovat matematický program MATLAB a uvedu hlavní kategorie MATLABských funkcí. Protože tato část nepatří mezi základní učivo, tak stačí, když si přečtete pouze první odstavec, a pak můžete přeskočit na dalšího Průvodce studiem. 1.1 MATLAB MATLAB poskytuje svým uživatelům nejen mocné grafické a výpočetní nástroje, ale i rozsáhlé knihovny funkcí spolu s výkonným programovacím jazykem čtvrté generace. Knihovny jsou svým rozsahem využitelné prakticky ve všech oblastech lidské činnosti. Za nejsilnější stránku MATLABu je považováno mimořádně rychlé výpočetní jádro s optimálními algoritmy, které jsou prověřeny léty provozu na špičkových pracovištích po celém světě. MATLAB byl implementován na všech významnějších platformách. MATLAB dále nabízí podporu vícerozměrných polí a uživatelsky definovaných datových struktur, otevřený a rozšiřitelný systém, působivou D a D grafiku, množství aplikačních knihoven, objektové programování, interaktivní nástroje pro tvorbu grafického uživatelského rozhraní (GUI builder), rozšířenou podporu řídkých matic, pohodlnou práci se soubory různých formátů, integrované prostředí pro ladění programů (debugger), zvukový vstup a 1

2 výstup, animaci, výpočetní jádro pro programy psané ve Fortranu a jazyce C a rozsáhlou tištěnou i hypertextovou on-line dokumentaci. Struktury Jádrem programu jsou algoritmy pro operace s maticemi komplexních čísel. MATLAB umožňuje provádět všechny běžné operace jako násobení, inverze, determinant atd. a v nejjednodušší podobě je možno jej použít jako maticový kalkulátor, protože všechny tyto operace se zapisují téměř tak, jak byste je psali na papíře. Kromě datových typů jednodušších než tradiční matice podporuje MATLAB také typy složitější, jako jsou např. vícerozměrná pole reálných nebo komplexních čísel. Dalším datovým typem jsou tzv. pole buněk, tedy struktury podobné maticím, ve kterých ovšem každý prvek může být jiného typu. Podobně lze tvořit datové struktury, kde jsou prvky rozlišeny ne souřadnicemi, ale jménem, takže připomínají struktury známé z běžných programovacích jazyků. Skládáním těchto datových typů je pak možné vytvořit libovolně složité datové struktury. MATLAB ukládá všechna čísla v tzv. dvojité přesnosti, ovšem na přání uživatele je možné zvolit úspornější formu. Vektor reálných čísel může v MATLABu reprezentovat i polynom a operace s polynomy jsou v programu rovněž obsaženy. Vektory mohou také reprezentovat časové řady nebo signály a MATLAB obsahuje funkce pro jejich analýzu, jako hledání extrémů, výpočet střední hodnoty, směrodatné odchylky a korelačních koeficientů nebo rychlou Fourierovu transformaci. MATLAB také podporuje speciální formát uložení tzv. řídkých matic, které jsou rozměrem velké, ale obsahují většinu nulových prvků. MATLAB přidává možnost definovat k datovým strukturám funkce, které s nimi pracují. Tyto objekty obohacují výpočetní prostředí MATLABu o prostředky obecných programovacích jazyků a posouvají tak jeho možnosti na úroveň například C++. Spojení objektově orientovaného jazyka s ověřenou matematickou a grafickou silou vytváří z MATLABu bezkonkurenčně ucelený výpočetní systém. Grafika Grafika v MATLABu umožňuje snadné zobrazení a prezentaci získaných výsledků. Je možné vykreslit různé druhy grafů: dvourozměrné, třírozměrné, histogramy, apod. MATLAB také umožňuje otevřít více oken pro zobrazení grafů najednou nebo zobrazit více grafů v jednom okně. Pro pokročilé uživatele je určeno stínování třírozměrných grafů s určením zdroje dopadajícího světla, animace třírozměrných grafů, zobrazení kontur a mnoho dalších grafických funkcí. Většinu těchto efektů je možné docílit jedním nebo několika málo příkazy a jejich vykreslení je rychlé díky použitému algoritmu Z-buffer. Obrázky v grafických oknech MATLABu navíc nejsou statické každý již nakreslený objekt má přiřazen identifikátor, jehož prostřednictvím je možné měnit vlastnosti objektu a tím i jeho vzhled. Tento grafický systém, nazvaný Handle Graphics, umožňuje vytvořit v okně také ovládací prvky (tlačítka apod.) a vytvořit tak graficky ovládané uživatelské rozhraní. Samozřejmě je k dispozici nástroj pro vytvoření uživatelského rozhraní interaktivně, bez nutnosti programování. MATLAB dále podstatně rozšiřuje možnosti práce s trojrozměrnými objekty včetně nových technik násvitu, stínování a perspektivních zobrazení objektů. Vysoká kvalita zobrazení je zajištěna použitím 4-bitových barev. Otevřenost Vlastností, která patrně nejvíce přispěla k rozšíření MATLABu, je jeho otevřená architektura. MATLAB je úplný programovací jazyk, to znamená, že uživatelé v něm mohou vytvářet funkce šité na míru pro jejich aplikace. Tyto funkce se způsobem volání nijak neliší od vestavěných funkcí a jsou uloženy v souborech v čitelné formě. Dokonce většina funkcí s MATLABem dodávaných je takto vytvořena a opravdu vestavěné jsou jen funkce základní. To má dvě velké výhody: jazyk MATLABu je téměř neomezeně rozšiřitelný a kromě toho se uživatel může při psaní vlastních funkcí poučit z algoritmů s programem dodávaných. Navíc jsou takto koncipované funkce snadno přenosné mezi různými platformami, na kterých je MATLAB implementován. Kategorie MATLAB 6.1 (R1.1) z června 001 poskytuje 4 hlavních kategorií funkcí. Některé MATLABské funkce jsou obsaženy uvnitř interpreteru, zatímco jiné jsou ve formě m-souborů. M-soubory obsahují pouze pomocný text, jsou organizovány do 4 adresářů, z nichž každý obsahuje soubory sdružené s kategorií.

3 1.1.1 Hlavní kategorie MATLABských funkcí audio podpora zvuku datafun analýza dat a Fourierova transformace datatypes datové typy a struktury demos příklady a demonstrace elfun elementární matematické funkce elmat elementární matice a manipulace s maticemi funfun funkce pro práci s funkcemi a ODE řešení general funkce k obecnému použití graphd dvoudimenzionální (D) grafika graphd třídimenzionální (D) grafika graphics ovládání grafiky iofun soubory vstupu/výstupu lang konstrukce programovacího jazyka matfun maticové funkce numerická lineární algebra ops operátory a speciální znaky polyfun interpolace a polynomy sparfun řídké matice specfun speciální matematické funkce specgraph speciální grafy strfun znakové řetězce timefun čas a datum uitools nástroje grafického uživatelského rozhraní verctrl řízení verze winfun soubory rozhraní operačního systému Windows (DDE/ActiveX) V adresáři Matlab6p1\Toolbox\Matlab je uloženo 4 hlavních adresářů, ve kterých jsou jednotlivé příkazy a funkce programu MATLAB. Po spuštění například příkazu help audio, získáte všechny příkazy a funkce sdružené v adresáři audio. Abyste získali podrobný popis jednotlivého příkazu (například colormap), nebo funkce, pak spustíte příkaz help colormap. Jestliže chcete průvodce MATLABem, pak spustíte příkaz intro, a jestliže si chcete prohlédnout demonstrační příklady, pak zadáte příkaz demo. V nové verzi MATLABu Vám funguje příkaz help colormap a demo úplně stejně jako ve staré verzi MATLABu. Příkaz intro Vám však poskytne přehled o aktuálně nastavených proměnných a příkaz help audio je nefunkční. Co je stará a nová verze MATLABu je vysvětleno v úvodu k tomuto učebnímu textu Aritmetické operátory a některé speciální znaky + plus, unární plus minus, unární minus * násobení matic.* násobení polí; tj. prvků matic ^ umocnění matic.^ umocnění polí \ zpětné lomítko nebo dělení matic zleva / lomítko nebo dělení matic zprava.\ dělení polí zleva./ dělení polí zprava : dvojtečka ( ) kulaté závorky a indexování [ ] hranaté závorky

4 { } složené závorky a indexování. desetinná tečka, čárka, separátor ; středník % poznámka = přiřazení ' uvozovky atd. Nebudeme probírat všechny MATLABské příkazy a funkce, ale zaměříme se jen na ty nejzákladnější a ty, které souvisí s výukou předmětu Matematika I a II. Přitom text, který je psán v programu MATLAB a výstupy z tohoto programu, budou psány písmem Courier New, názvy m-souborů budou psány tučně a kurzívou. V následujících čtyřech tabulkách jsou základní předdefinované funkce trigonometrické, exponenciální, pro komplexní čísla a numerické. Pro Vás jsou povinné pouze ty funkce, které znáte z předmětů Matematika I a II Základní elementární funkce MATLABu Tab. 1.1: Trigonometrické funkce Funkce Název funkce Příkaz MATLABU Výstup MATLABU sin sinus sin() sinh hyperbolický sinus sinh() asin arkussinus asin(0.9) asinh argument hyperbolického sinu asinh(0.4) cos kosinus cos() cosh hyperbolický kosinus cosh() acos arkuskosinus acos(0.4) acosh argument hyperbolického kosinu acosh() tan tangens tan() tanh hyperbolický tangens tanh() atan arkustangens atan(4) 1.58 atan čtyř-kvadrantový arkustangens atan(1.1,1) 0.80 atanh argument hyperbolické tangenty atanh(0.7) sec sekans sec() sech hyperbolický sekans sech() asec arkussekans asec(5) asech argument hyperbolické sekanty asech(0.5) csc kosekans csc() csch hyperbolický kosekans csch() acsc arkuskosekans acsc(5) acsch argument hyperbolické kosekanty acsch(4) cot kotangens cot() coth hyperbolický kotangens coth() acot arkuskotangens acot() 0.18 acoth argument hyperbolické kotangenty acoth(7)

5 Tab. 1.: Exponenciální funkce Funkce Název funkce Příkaz MATLABU Výstup MATLABU exp exponenciální funkce exp(.7) log přirozený logaritmus log(9.8).84 log10 dekadický logaritmus log10(10) 1 log logaritmus o základu dvě log(16) 4 pow mocnina o základu dvě pow() 8 sqrt druhá odmocnina sqrt(16) 4 atd. Tab. 1.: Funkce pro komplexní čísla Funkce Název funkce Příkaz Výstup MATLABU MATLABU abs absolutní hodnota abs(-+i).6056 angle argument komplexního čísla (fázový úhel) angle(-+i).1588 complex sestrojí komplexní číslo z reálné a imaginární části complex(-,) i conj komplexně sdružené číslo conj(-+i) i imag imaginární část komplexního čísla imag(-+i) real reálná část komplexního čísla real(-+i) - atd. Tab. 1.4: Numerické funkce Funkce Název funkce Příkaz MATLABU Výstup MATLABU fix převede na celé číslo tak, že odřízne desetinnou část fix(-5.16) -5 floor zaokrouhlí dolů na nejbližší nižší celé číslo floor(-5.16) -6 ceil zaokrouhlí nahoru na nejbližší vyšší celé číslo ceil(-5.16) -5 round zaokrouhlí na celé číslo běžným způsobem round(-5.16) -5 mod modul (znaménko zbytku po celočíselném dělení) mod(7,-) -1 rem zbytek po celočíselném dělení rem(7,) 1 sign funkce signum (znaménko funkce) sign(-5.16) -1 A nyní Vám konečně ukáži jeden příklad a jeho řešení pomocí MATLABu, abyste si udělali alespoň maličkou představu o tom, co od MATLABu můžete očekávat a co se v něm budete učit. Motivační příklad Nalezněte obsah plochy, která je ohraničená grafem funkce f : y = x 5x + 6, osou y a úsečkou s krajními body AB, kde A = (0; 0) a B = (, 0). Výsledek znázorněte graficky. Řešení Nejprve je vhodné si načrtnout, jak vypadá plocha, jejíž obsah máte vypočítat. 5

6 Obr.1.1: Náčrtek k řešení motivačního příkladu Sice špatně, ale vidíte, že musíte vypočítat dva určité integrály, protože jinak byste získali rozdíl plochy ležící nad osou x a ležící pod osou x a ne skutečný obsah. Pro grafické znázornění by bylo dobré barevně vyznačit příslušnou plochu, přímo zapsat výsledek, popř. ještě popsat osy a úsečku AB. Výsledek v MATLABu by pak mohl vypadat například tak, jak vidíte na následujícím obrázku. Protože celý učební text, který právě čtete, je psán proporcionálním patkovým písmem Times New Roman a velikost je 1, tak i v MATLABu bylo použito totéž patkové písmo Times New Roman. Pokud Vás již nyní zajímá, jak lze takovýto obrázek v MATLABu vytvořit, tak si přečtěte text Pro zájemce, který je uveden pod obrázkem. V páté kapitole se začneme věnovat funkcím systematicky. Podobné grafy a výpočty pak začnete vytvářet sami. Nejprve bez popisů a později i s popisy. Ačkoliv MATLAB není program, který by byl speciálně určen k popisům grafů, tak v něm můžete cokoliv popsat tak, jak potřebujete a není pravda, že nelze v MATLABu psát českou diakritiku, řecká písmena, kursivní znaky, měnit velikost a font písma atd. Vše lze, ale samozřejmě jen tehdy, když se ví jak. Výsledek Obr.1.: Řešení motivačního příkladu 6

7 Nejprve byla naprogramována nová funkce mot.m. mot.m function[y]=mot(x); y=x.*x-5.*x+6; Pak byla vypočítána číselná hodnota hledaného plošného obsahu pomocí dvou určitých integrálů P=quad('mot',0,)-quad('mot',,) P = 4.8 Nakonec byl napsán příslušný m-soubor motivace.m, ve kterém byla bledě modrou barvou znázorněna příslušná plocha. motivace.m x1=0:0.01:; y1=x1.*x1-5.*x1+6; patch([x1 0],[y1 0],'c'); hold on; plot([-1,7],[0,0],'k'); plot([0,0],[-1,7],'b'); x=-1:0.01:7; y=x.*x-5.*x+6; plot(x,y,'b'); plot([0,],[0,0],'b'); axis square;box off; axis([ ]); title('\fontname{times new roman ce}obsah plochy'); text(0.75,6,'\fontname{times new roman ce}plocha měří přibližně'); text(1,05.5,'\fontname{times new roman ce}4,8 příslušných'); text(1,5,'\fontname{times new roman ce}plošných jednotek.'); text(6.75,0.5,'\fontname{times new roman ce}\itx'); text(0.5,6.75,'\fontname{times new roman ce}\ity'); text(0.5,-0.5,'\fontname{times new roman ce}a'); text(.5,-0.5,'\fontname{times new roman ce}b'); Jak již bylo řečeno výše, takovéto obrázky a výpočty budete za chvíli vytvářet sami a zanedlouho všem výše uvedeným příkazům porozumíte. Nejprve ale začneme tím, že si ukážeme, jak se v MATLABu počítají funkční hodnoty elementárních funkcí, tj. ukážeme si, jak používat MATLAB jako výpočetní prostředek, jako takovou kalkulačku Výpočty funkčních hodnot Příklad 1.1: Výpočet funkční hodnoty polynomu 7 4 Vypočítejte funkční hodnotu polynomu x + x + x 7 pro x =. Řešení a) Na str. -4 jsou uvedeny aritmetické operátory, které lze v MATLABu použít. Můžete tedy postupovat tak, jako na obyčejné kalkulačce a napsat do příkazového řádku MATLABu tj. do Command Window za symbol >> toto: ******+****+**-7 obdržíte výsledek: ans = 177 což budu dále zapisovat do jednoho řádku jako ans = 177 b) Můžete také použít symbol pro umocňování, který znáte z Excelu, tj. symbol ^ a napsat: 7

8 ^7+*^4+^-7 obdržíte stejný výsledek: ans = 177 c) Oba výše uvedené příkazy můžete také zadat takto:.*.*.*.*.*.*+.*.*.*.*+.*.*-7.^7+.*.^4+.^-7 protože nenásobíte matice, ale pole. d) Pokud byste potřebovali vypočítat funkční hodnotu nejen pro x =, ale pro mnohem více různých hodnot x, pak by byl tento postup velice nepraktický a pomalý. V tomto případě zadáte do MATLABu polynom obecně příkazem: p=[1,0,0,,0,,0,-7]; To znamená, že do hranaté závorky napíšete koeficienty daného polynomu od nejvyšší mocniny po nejnižší. Samozřejmě, že pokud některá mocnina chybí, tak je koeficient 0 a nesmíte ho zapomenout napsat. Výpočet pak provedete příkazem: polyval(p,) opět obdržíte výsledek: ans = 177 Funkční hodnotu například pro x = 5 byste pak získali příkazem: polyval(p,5) výsledek je ans = 8004 Výsledek 7 4 Funkční hodnota polynomu x + x + x 7 pro x = je 177. Tip 1.1: Klávesové zkratky Pokud píšete odbornou práci česky, tak je velice nepraktické přepínat neustále klávesnici českou na anglickou a obráceně pouze proto, abyste napsali hranaté závorky, nebo zpětné lomítko atd. V následující Tab. 1.5 jsou uvedeny klávesové zkratky, které se velice dobře pamatují a velice Vám usnadní práci. Navíc, ve specializované učebně výpočetní techniky P8 je implicitně nastavena klávesnice česká. Tab. 1.5: Klávesové zkratky Znak Název znaku Klávesová zkratka Kód \ zpětné lomítko pravé Alt + q levé Alt + 09 levé Alt + zavináč pravé Alt + v levé Alt levé Alt + 64 ~ velká tilda pravé Alt + + (pod 1) levé Alt levé Alt +16 ^ stříška pravé Alt + š (pod ) levé Alt levé Alt + 94 [ levá hranatá závorka pravé Alt + f levé Alt levé Alt + 91 ] pravá hranatá závorka pravé Alt + g levé Alt + 09 levé Alt + 9 { levá složená závorka pravé Alt + b levé Alt + 01 levé Alt +1 } pravá složená závorka pravé Alt + n levé Alt levé Alt +15 < menší než pravé Alt + < levé Alt levé Alt + 60 > větší než pravé Alt + > levé Alt + 06 levé Alt + 6 8

9 Jistě Vás nyní napadlo, zda by nešla podobným způsobem provést tabelace funkce například pro hodnoty x = 1,,, 0. Samozřejmě, že odpověď je ano, lze, například pomocí tzv. FOR cyklu, což si ukážeme ve druhé kapitole. Nyní, pro zvídavé studující, uvedu pouze příslušný m-soubor tabelace.m. tabelace.m p=[1,0,0,,0,,0,-7]; for i=1:0, x(i)=polyval(p,i); end; V indexované proměnné x jsou, po spuštění tohoto m-souboru, uloženy všechny vypočtené hodnoty. Chcete-li si na monitoru zobrazit například funkční hodnotu pro x =, tak do příkazové řádky MATLABu napište: tabelace; x() a obdržíte výsledek: ans = 441 Poznámka 1.1: Použití ovladače doskey V MATLABu funguje ovladač doskey, který si pamatuje Vámi napsaný příkaz a lze jej vyvolat kurzorovou šipkou (směr nahoru). Toho s výhodou používejte v případě, že jste udělali nějakou chybu a potřebujete ji opravit, nebo k obměně příkazu, nebo k opětovnému spuštění příkazu atd. Tip 1.: Ukončení příkazu čárkou a středníkem Pokud za příkazem v MATLABu není žádný znak (dosud jste tak psali téměř všechny příkazy), tak se výsledek příkazu vypíše na monitor. Pokud byste za příkazem napsali středník, tj. napsali: ******+****+**-7; tak se Vám výpočet provede, ale výsledek se na monitoru nezobrazí (pouze se uloží do proměnné ans). Pokud za příkazem napíšete čárku, tj. napíšete: ******+****+**-7, tak se výsledek na monitoru opět objeví. Tip 1.: Uložení výsledku do proměnné Pokud v MATLABu napíšte příkaz: y=******+****+**-7 tak se výsledek nejen zobrazí na monitoru, ale zároveň se uloží do proměnné y. Na monitoru uvidíte: y = 177 a po zadání příkazu: y se vám opět zobrazí: y = 177 Varování 1.1: Název proměnné Název proměnné může obsahovat až 1 znaků. Jsou povoleny POUZE tyto znaky: písmena anglické abecedy (a-z, A-Z), číslice (0-9) a podtržítko (_). Číslicí název začínat nesmí. MATLAB rozlišuje velká a malá písmena. 9

10 K zamyšlení Co se stane, když napíšete y=******+****+**-7; Řešení Výsledek se na monitoru nezobrazí, ale zůstane uložený v proměnné y a pokud napíšete příkaz: y tak se Vám na monitoru zobrazí: y = 177 Vyzkoušejte si to! Upozornění 1.1: Psaní mezer Pokud to nebude výslovně uvedeno, tak nevpisujte do příkazového řádku MATLABu mezery. Mezera ve většině příkazů slouží jako oddělovač a nejčastěji se píše místo čárky. Pokud napíšete například příkaz: *.1 tak ve staré verzi MATLABu obdržíte červené chybové hlášení:??? *.1 Error: Missing operator, comma, or semicolon. v nové verzi MATLABu pak červené chybové hlášení:?? *.1 Error: Unexpected MATLAB expression. pokud ale napíšete příkazy: p=[ ]; polyval(p,) tak obdržíte správný výsledek: 177 Vy budete mezeru používat většinou pouze u příkazu axis, ale to si povíme později. Upozornění 1.: Násobení matic a polí MATLAB rozlišuje násobení matic, pro které má znak * a násobení polí (také se říká násobení po prvcích resp. po složkách), pro které má znak.*. Obdobně rozlišuje / a./, ^ a.^ atd. Vy jste doposud pracovali s reálnými čísly, které můžete chápat jako matici typu 1 1 i jako pole délky 1. Nezáleželo tedy na tom, zda napíšete *, nebo.*, protože násobení matic typu 1 1 se provádí stejně jako násobení polí délky 1. Varování 1.: Nezaměňujte násobení matic a polí Při symbolických výpočtech, které budete později provádět NIKDY nesmíte psát.* (tečka hvězdička). Napíšete-li například příkaz: f=sym('x.*x+7') uvidíte na monitoru, ve staré verzi MATLABu, místo výsledku, červené chybové hlášení:??? Error using ==> sym/sym (charsym) x.*x+7 is not a valid symbolic expression. Error in ==> On line 9 ==> S = charsym(x); 10

11 V nové verzi MATLABu pak uvidíte:??? Error using ==> sym.sym>expressionref at 408 Error: 'expression' expected [line 1, col ] Error in ==> sym.sym>charref at 78 s = expressionref(x); Error in ==> sym.sym>tomupad at 147 S = charref(x); Error in ==> sym.sym>sym.sym at 10 S.s = tomupad(x,''); Co je stará a nová verze MATLABu bylo vysvětleno v úvodu k tomuto učebnímu textu. Napíšete-li příkaz: f=sym('x*x+7') uvidíte na monitoru výsledek: f = x*x+7 Při kreslení grafů naopak VŽDY musíte psát.* (tečka hvězdička). Napíšete-li například posloupnost příkazů: x=0:0.01:;y=x*x+7;plot(x,y,'b'); zobrazí se Vám, v obou verzích MATLABu, na monitoru, červené chybové hlášení??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Napíšete-li posloupnost příkazů: x=0:0.01:;y=x.*x+7;plot(x,y,'b'); otevře se Vám nové okno s obrázkem, kde uvidíte toto: Obr. 1.: Demonstrace správného použití operátoru.* Vyzkoušejte si to! Zápisy funkcí a operátorů Příklad 1.: Jednoduché odmocniny a mocniny Vypočítejte a = 1 7, 8 4 a =, a =. 7 Řešení Když se podíváte do Tab. 1. na str. 5, tak uvidíte předdefinované funkce MATLABu, které Vám úlohu pomohou vyřešit. Můžete postupovat například takto: 11

12 a) Do příkazové řádky MATLABu napište příkaz: a1=sqrt(7) na monitoru se zobrazí výsledek: a1 =.6458 b) Do příkazové řádky MATLABu napište příkaz: a=^8 na monitoru se zobrazí výsledek: a = 56 c) Protože čtvrtou odmocninu můžete napsat také jako mocninu s exponentem 1/4, tak do MATLABu napište příkaz: a=7^(1/4) na monitoru se zobrazí výsledek: a = Výsledek Hledané hodnoty jsou: a = 7,645 8, a = 8 56, a 4 = 7 1, = Upozornění 1.: Desetinná tečka MATLAB používá desetinnou tečku a ne desetinnou čárku. K zamyšlení Jakým jiným příkazem lze vypočítat a? Řešení Stačí zadat příkaz: a=pow(8) Příklad 1.: Algebraické výrazy s mocninami a odmocninami Vypočítejte funkční hodnotu následujících výrazů: z = +. Řešení Stačí do MATLABu zadat příkaz: z1=(^+5^4)^(1/) na monitoru se zobrazí výsledek: z1 = pak zadejte příkaz: z=(7^5+^)^(1/5) výsledek je: z = a nakonec zadejte příkaz: z=(^5+^4)^(1/7) výsledek je: z = = + 5 z ; z ; 5 5 = 7 + 1

13 Výsledek Funkční hodnoty jsou: z = ,586 ; 5 5 z = 7 + 7,000 7 ; 7 5 z 4 = + 1, K zamyšlení Jakým jiným příkazem lze vypočítat z 1? Řešení Můžete napsat příkaz: z1=(.^+5.^4).^(1/) a obdržíte shodný výsledek: z1 = Tip 1.4: Tabulka hodnot Pokud byste měli obdobných příkladů vypočítat mnohem více, nebo dokonce vygenerovat celou tabulku, tak můžete postupovat mnohem elegantněji a efektivněji. Struktura všech výrazů je vlastně takováto: a b x + a pak stále stejný příkaz z=(x.^b+y.^c).^(1/a). Například: a=;b=;c=4;x=;y=5;z1=(x.^b+y.^c).^(1/a) výsledek je: z1 = y c. Stačí tedy zadat hodnoty proměnných a, b, c, x a y Zadání všech hodnot a, b, c, x a y lze provést pomocí matice, která bude mít tolik řádků, kolik hodnot z budete chtít vypočítat a sloupců bude mít 5, protože vždy zadáváte 5 hodnot. Výsledky můžete zobrazit na monitor a zároveň uložit pomocí cyklu do indexovaných proměnných. Použití jednoduchého cyklu si ukážeme v příštím cvičení. Jednoduchý program, tzv. m-soubor, který by vyřešil předchozí úlohu a vypočítal 10 hodnot z by mohl vypadat například takto: tabulka.m m=[,,4,,5;5,5,,7,;7,5,4,,;,,5,4,5;5,5,5,5,5;4,4,4,4,4;,,,,;,,4,4,5;4,4,5,6,6;5,5,6,,]; for i=1:10, z(i)=(m(i,4)^m(i,)+m(i,5)^m(i,))^(1/m(i,1)); end; V příkazovém řádku MATLABu pak stačí napsat: tabulka; z a obdržíte výsledek: z = Upozornění 1.4: Lichá odmocnina ze záporného čísla V matematice je definována lichá odmocnina ze záporného čísla pomocí inverzní funkce k funkci lichá mocnina, která je definována pro libovolné reálné číslo a 8 =, 5 4 = atd. V MATLABu pokud zadáte: (-8)^(1/) tak obdržíte výsledek ans = i pokud ale zadáte příkaz:

14 -8^(1/) tak obdržíte správný výsledek: ans = - protože tento příkaz je identický (při výpočtu) s příkazem: -(8^(1/)) vypočítá tedy třetí odmocninu z 8 a pak změní znaménko na mínus, chceme-li vypočítat 5 4 =, tak stačí zadat příkaz: -(4^(1/5)) a obdržíte správný výsledek: - Příklad 1.4: Výrazy obsahující logaritmy Vypočítejte funkční hodnoty následujících výrazů: b 1 = lg 4, 589; b = ln 4, 875 ; b = log 5,457 ; b log, = 1 Řešení Dekadický logaritmus se počítá pomocí předdefinované funkce log10, a proto stačí napsat příkaz: b1=log10(4.589) a obdržíte výsledek: b1 = Přirozený logaritmus se počítá pomocí předdefinované funkce log, a proto stačí napsat příkaz: b=log(4.875) a obdržíte výsledek: b = Protože platí matematický vztah například takto: b=log(.457)/log(5) a dostanete výsledek: b = napíšete-li příkaz: b4=log(.564)/log(1/) dostanete výsledek: b4 = ln a log b a =, tak lze zbývající dvě hodnoty vypočítat ln b Výsledek Funkční hodnoty jsou tyto: b 1 = log 4,589 1,90 7 ; b = ln 4,875 1,584 1; b = log 5,457 0,770 7 ; b 4 = log 1,564 1, Upozornění 1.5: Dekadický a přirozený logaritmus Nepleťte si v MATLABu symboly pro jednotlivé logaritmy. V matematice je přirozený logaritmus ln v MATLABu log. Dekadický logaritmus je v matematice lg (na některých 14

15 školách se ještě používá log), v MATLABu je log10. V matematice je binární (logaritmus o základu ) lb, v MATLABu je log. Symbol ln MATLAB nezná. Pokud se Vám nelíbí, jak je nutné zadávat příkaz pro výpočet například b = log 5, 457, tak si v MATLABu můžete vytvořit vlastní funkci, do které zadáte například nejprve hodnotu proměnné x a pak základ z a výsledkem bude logaritmus o základu z. Jak se to udělá? Napíšete například níže uvedený m-soubor logz.m a pak stačí zadat příkaz: b=logz(.457,5) a obdržíte výsledek: b = logz.m function[y]=logz(x,z); y=log(x)./log(z); Exponenciální funkce Příklad 1.5: Výrazy obsahující exponenciální funkci o základu e 8 4 Vypočítejte funkční hodnoty následujících výrazů: c 1 = ; c = e + e ; c e Řešení Stačí zadat příkaz: c1=/exp() a obdržíte výsledek: c1 = po zadání příkazu: c=exp(8)+exp(1/4) obdržíte výsledek: c =.98e+00 což je semilogaritmický tvar,98 10 desetinného čísla 98, a nakonec po zadání příkazu: c=exp(+1/7) obdržíte výsledek: c =.1700 Výsledek = e Funkční hodnoty jsou: c 1 = 0,149 4 ; c e e 98, = +, c = e, e Poznámka 1.: Zobrazení dalších desetinných míst Pokud byste potřebovali číslo c na více desetinných míst, tak stačí zadat například příkaz: c=numstr(c,10) a dostanete výsledek: c = Můžete pak psát, že c 98,

16 Výše uvedený příkaz numstr není jediná možnost, jak můžete vypočítané číslo zobrazit v jiném formátu. Jestliže si zadáte příkaz: help format tak získáte přehled o všech možnostech ve Vaší verzi MATLABu. Zadáte-li například příkaz: format long, c tak se Vám číslo c zobrazí ve stejném semilogaritmickém tvaru, jako bez zadání příkazu format, ale vypíše se Vám, v obou verzích MATLABu, 15 desetinných míst: c = e+00 což je, = 98, Trigonometrické funkce Příklad 1.6: Hodnoty goniometrických a cyklometrických funkcí Vypočítejte u 1 = cos, u = arcsin 0, 584, u = sin 7. Řešení První dvě hodnoty vypočítáte snadno. Zadejte nejprve příkaz: u1=cos() a obdržíte výsledek: u1 = po zadání příkazu: u=asin(0.584) obdržíte výsledek: u = 0.66 Ve třetím případě musíte nejprve 7 stupňů převést na radiány, protože MATLAB implicitně počítá pouze s radiány. Protože 180..π radiánů, 7 x radiánů, 7 tak x = π v radiánech a stačí tedy napsat příkaz: 180 u=sin(7*pi/180) a obdržíte výsledek: u = Výsledek Funkční hodnoty jsou tyto: u 1 = cos 0,990 0 ; u = arcsin 0,584 0,6 6 ; u = sin 7 0, Varování 1.: Funkční hodnoty arkuskotangens 1 Z matematiky znáte funkci f : y = arccot x jako inverzní funkci k funkci 1 1 D ( f ) = H ( f ) = ( 0; π) a H ( f ) = D( f ) = R acot(0) tak se ve staré verzi MATLABu objeví hlášení: 16 f : y = cot x, kde. Jestliže ale v MATLABu zadáte příkaz: Warning: Divide by zero. In C:\MATLAB6p1\toolbox\matlab\elfun\acot.m at line 8 ans =

17 zatímco v nové verzi MATLABu získáte správný výsledek: ans = π π víme totiž, že arccot 0 = 1,570 8, protože cot = 0. Pokud zadáte příkaz: h=acot(-5) tak v obou verzích MATLABu získáte výsledek: h = což ale víme, že je chybně, protože D ( f ) = H ( f ) = ( 0; π) kontrolu, tj. zadáte příkaz: cot(h) tak opět v obou verzích MATLABu získáte výsledek: ans = -5. Jestliže si uděláte jakoby Jak je to možné? Pokud se pokusíte v MATLABu vykreslit funkci y = arccot x pomocí příkazu acot(x), tak v obou verzích MATLABu dostanete nesmysl, který je na Obr. 1.4, protože to není vůbec graf funkce (pro x = 0 máte více funkčních hodnot). V novém MATLABu se neobjeví žádné hlášení, takže studující, kteří tuto funkci neznají si myslí, že mají správný graf. Ve starém obdržíte hlášení: Obr. 1.4: První pokus o graf funkce arkuskotangens Warning: Divide by zero. In C:\MATLAB6p1\toolbox\matlab\elfun\acot.m at line 8 In C:\MATLAB6p1\work\pokus1.m at line 5 ale protože toto hlášení je černé a MATLAB něco kreslí, tak studující, kteří tuto funkci neznají, mají tendenci chybu ignorovat a opět si chybně myslí, že mají správný graf. Chyba upozorňuje pouze na dělení nulou a bohužel, ani po jejím odstranění, nedostanete správný graf. Takový graf by vypadal tak, jak je zobrazen na Obr

18 Obr. 1.5: Druhý pokus o graf funkce arkuskotangens Správný graf je až na následujícím obrázku: Vidíte tedy, že hodnota ( 5) graf vypadá takto: Obr. 1.6: Graf funkce arkuskotangens arccot musí být téměř. A jak je to s funkcí kotangens? Její 18

19 Obr. 1.7: Graf funkce kotangens Vidíte tedy, že funkční hodnota cot(h ), kde h 0,197 4 je přibližně 5, ale správnou funkční hodnotu arccot ( 5) musíte vypočítat pomocí příkazu: acot(-5)+pi a konečně obdržíte správný výsledek: ans =.944 Pokud by vás zajímalo, jak se výše uvedené grafy nakreslí, tak si prostudujte m-soubory ark1.m, ark.m, ark.m a ark4.m. Pokud byste si chtěli vytvořit vlastní funkci, která bude počítat i kreslit správně funkci arccot x, tak si stačí napsat níže uvedený m-soubor arccot.m, a pak stačí zadat příkaz: h=arccot(-5) a obdržíte výsledek: h =.944 arccot.m function[y]=arccot(x) if x >= 0, if x == 0, y=pi/; else y=acot(x); end; else y=acot(x)+pi; end; Převod radiánů na stupně, minuty a vteřiny Příklad 1.7: Převod radiánů na stupně, minuty a vteřiny Víme, že ϕ = x ϕ 0; π v radiánech a ve stupních, minutách a vteřinách, cos, jaký je úhel ( ) jestliže x je postupně ; 0,45 8; 0,687 4? 19

20 Řešení Nejprve zadejte do MATLABu první hodnotu x, tj. napište příkaz: x=-sqrt()/ zobrazí se Vám: x = pak vypočítejte úhel z v radiánech, tj. napište příkaz: z=acos(x) získáte výsledek: z =.6180 který je samozřejmě v radiánech. Protože 180..π radiánů, x., radiánů,,618 0 tak x 180 ve stupních. Když zadáte příkaz: π y=180*z/pi nebo: y=180*acos(x)/pi tak dostanete výsledek: y = který je již ve stupních. Podobně zadejte příkaz: x=0.458 zobrazí se Vám: x = po zadání příkazu: z=acos(x) dostanete: z = 1.5 což je v radiánech. Po zadání příkazu: z=180*z/pi dostanete: z = ve stupních, ale výsledek je nutné ještě převést na minuty a vteřiny. Protože minut, 0,770 9 x minut, tak 0,770 9 x 60 minut. Když zadáte příkaz: *60 dostanete : ans = minut, ale tím jste se dopustili dosti velké nepřesnosti, protože jste použili pouze čtyři 0

1 Seznámení s MATLABem - elementární funkce MATLABu

1 Seznámení s MATLABem - elementární funkce MATLABu 1 Seznámení s MATLABem - elementární funkce MATLABu Osnova: 1.1 MATLAB...1 1.1.1 Hlavní kategorie MATLABovských funkcí... 1.1. Aritmetické operátory a některé speciální znaky... 1.1. Základní elementární

Více

Programování v jazyku LOGO - úvod

Programování v jazyku LOGO - úvod Programování v jazyku LOGO - úvod Programovací jazyk LOGO je určen pro výuku algoritmizace především pro děti školou povinné. Programovací jazyk pracuje v grafickém prostředí, přičemž jednou z jeho podstatných

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Základní vzorce a funkce v tabulkovém procesoru

Základní vzorce a funkce v tabulkovém procesoru Základní vzorce a funkce v tabulkovém procesoru Na tabulkovém programu je asi nejzajímavější práce se vzorci a funkcemi. Když jednou nastavíte, jak se mají dané údaje zpracovávat (některé buňky sečíst,

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Výrazy Operátory Výrazy Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Operace, operátory Unární jeden operand, operátor se zapisuje ve většině případů před operand, v některých případech

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1.1.3 Práce s kalkulátorem

1.1.3 Práce s kalkulátorem .. Práce s kalkulátorem Výrazy zadáváme do kalkulačky pokud možno vcelku, pozor na závorky a čísla ve jmenovateli u zlomků. Př. : Spočti na kalkulačce s maximální možnou přesností a bez zapisování mezivýsledků:

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Řídicí struktury, standardní metody Problematika načítání pomocí Scanner Některé poznámky k příkazům Psaní kódu programu Metody třídy Math Obalové třídy primitivních datových

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MODELOVÁNÍ MATLABEM

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MODELOVÁNÍ MATLABEM SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MODELOVÁNÍ MATLABEM Jméno: Petr Thür Os. číslo: A04236 E-mail: petr.thur@post.cz Zadání: 8-D Datum vypracování: 7. 5. 2005 Zadání: Sestavte program (funkční M-soubor) pro vykreslení

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

1.1 Struktura programu v Pascalu Vstup a výstup Operátory a některé matematické funkce 5

1.1 Struktura programu v Pascalu Vstup a výstup Operátory a některé matematické funkce 5 Obsah Obsah 1 Programovací jazyk Pascal 1 1.1 Struktura programu v Pascalu.................... 1 2 Proměnné 2 2.1 Vstup a výstup............................ 3 3 Operátory a některé matematické funkce 5

Více

ZÁPOČTOVÁ PRÁCE z UIR

ZÁPOČTOVÁ PRÁCE z UIR ZÁPOČTOVÁ PRÁCE z UIR Jméno a příjmení: Jan Tichava Osobní číslo: Studijní skupina: pondělí, 4 5 Obor: INIB INF E-mail: jtichava@students.zcu.cz Datum odevzdání: 1.5.2006 Zadání Označení zadání: 2004KT01

Více

Stručný návod k programu Octave

Stručný návod k programu Octave Stručný návod k programu Octave Octave je interaktivní program vhodný pro technické výpočty. Je nápadně podobný programu MATLAB, na rozdíl od něho je zcela zadarmo. Jeho domovská vebová stránka je http://www.octave.org/,

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec StatSoft Vzorce Jistě se Vám již stalo, že data, která máte přímo k dispozici, sama o sobě nestačí potřebujete je nějak upravit, vypočítat z nich nějaké další proměnné, provést nějaké transformace, Jinak

Více

KAPITOLA 3 - ZPRACOVÁNÍ TEXTU

KAPITOLA 3 - ZPRACOVÁNÍ TEXTU KAPITOLA 3 - ZPRACOVÁNÍ TEXTU KLÍČOVÉ POJMY textové editory formát textu tabulka grafické objekty odrážky a číslování odstavec CÍLE KAPITOLY Pracovat s textovými dokumenty a ukládat je v souborech různého

Více

Sada 1 - Základy programování

Sada 1 - Základy programování S třední škola stavební Jihlava Sada 1 - Základy programování 04. Datové typy, operace, logické operátory Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Základní nastavení systému Windows 7

Základní nastavení systému Windows 7 Základní nastavení systému Windows 7 Ing. Miroslava Trusková 2012 1 Dobrý den, vítejte v lekci Systémová nastavení. Dnes si vysvětlíme, jak si přizpůsobit nastavení počítače tak, aby vyhovoval Vašim požadavkům.

Více

Základy programování: Algoritmizace v systému MATLAB

Základy programování: Algoritmizace v systému MATLAB Základy programování: Algoritmizace v systému MATLAB Magda Francová magda.francova@ujep.cz CN 463 23. února 2010 Úvodní hodina Podmínky pro zápočet 80% účast na hodinách (můžete 3x chybět). Úvodní hodina

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 19. září 2011 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Doporučená literatura web: http://marian.fsik.cvut.cz/zapg

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4. ..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání Čtvrtek 3. listopadu Makra v Excelu Obecná definice makra: Podle definice je makro strukturovanou definicí jedné nebo několika akcí, které chceme, aby MS Excel vykonal jako odezvu na nějakou námi definovanou

Více

POKYNY PRO TYPOGRAFICKOU ÚPRAVU TEXTU

POKYNY PRO TYPOGRAFICKOU ÚPRAVU TEXTU POKYNY PRO TYPOGRAICKOU ÚPRAVU TEXTU Většina typografických pravidel vychází z aktuálních pravidel českého pravopisu, která je nutno dodržovat. Uvozovky. V českých textech je třeba sázet české, tzn. typografické

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

MS EXCEL_vybrané matematické funkce

MS EXCEL_vybrané matematické funkce MS EXCEL_vybrané matematické funkce Vybrané základní matematické funkce ABS absolutní hodnota čísla CELÁ.ČÁST - zaokrouhlení čísla na nejbližší menší celé číslo EXP - vrátí e umocněné na hodnotu argumentu

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Ovládání Open Office.org Calc Ukládání dokumentu : Levým tlačítkem myši kliknete v menu na Soubor a pak na Uložit jako.

Ovládání Open Office.org Calc Ukládání dokumentu : Levým tlačítkem myši kliknete v menu na Soubor a pak na Uložit jako. Ukládání dokumentu : Levým tlačítkem myši kliknete v menu na Soubor a pak na Uložit jako. Otevře se tabulka, v které si najdete místo adresář, pomocí malé šedočerné šipky (jako na obrázku), do kterého

Více

Microsoft Office. Excel vlastní formát buněk

Microsoft Office. Excel vlastní formát buněk Microsoft Office Excel vlastní formát buněk Karel Dvořák 2011 Formát buněk Běžné formáty buněk vybíráme v seznamu formátů ve skupině Číslo. V některých případech potřebujeme formát v trochu jiné podobě,

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 2 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Microsoft Office Excel 2003

Microsoft Office Excel 2003 Microsoft Office Excel 2003 Školení učitelů na základní škole Meteorologická Maturitní projekt SSPŠ 2013/2014 Vojtěch Dušek 4.B 1 Obsah 1 Obsah... 2 2 Seznam obrázků... 3 3 Základy programu Excel... 4

Více

FORMÁTOVÁNÍ 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FORMÁTOVÁNÍ 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika Autor: Mgr. Dana Kaprálová FORMÁTOVÁNÍ 2 Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1 24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE AUTOR DOKUMENTU: MGR. MARTINA SUKOVÁ DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 UČIVO: STUDIJNÍ OBOR: PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

František Hudek. květen ročník

František Hudek. květen ročník VY_32_INOVACE_FH15_WIN Jméno autora výukového materiálu Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Ročník, pro který je VM určen Vzdělávací oblast, obor, okruh, téma Anotace František Hudek květen 2013

Více

Pro označení disku se používají písmena velké abecedy, za nimiž následuje dvojtečka.

Pro označení disku se používají písmena velké abecedy, za nimiž následuje dvojtečka. 1 Disky, adresáře (složky) a soubory Disky Pro označení disku se používají písmena velké abecedy, za nimiž následuje dvojtečka. A:, B: C:, D:, E:, F: až Z: - označení disketových mechanik - ostatní disky

Více

Úvod do práce s Matlabem

Úvod do práce s Matlabem Úvod do práce s Matlabem 1 Reálná čísla 1.1 Zadávání čísel Reálná čísla zadáváme s desetinnou tečkou (.), čísla lze také zadávat v exponenciálním tvaru například číslo 0.000014 zadáme takto 1.4e-5, číslo

Více

Excel Matematické operátory. Excel předdefinované funkce

Excel Matematické operátory. Excel předdefinované funkce Excel Matematické operátory a) Sčítání + příklad =A1+A2 sečte obsah buněk A1 a A2 b) Odčítání - příklad =A1-A2 odečte hodnotu buňky A2 od hodnoty buňky A1 c) Násobení * příklad =A1*A2 vynásobí obsah buněk

Více

Operátory pro maticové operace (operace s celými maticemi) * násobení maticové Pro čísla platí: 2*2

Operátory pro maticové operace (operace s celými maticemi) * násobení maticové Pro čísla platí: 2*2 * násobení maticové Pro čísla platí: Pro matice - násobení inverzní maticí inv inverzní matice A -1 k dané matici A je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 21. září 2009 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Organizace předmětu Přednášky 1. 5. Základní

Více

Mgr. et Mgr. Jan Petrov, LL.M. Ph.D. BYZNYS A PRÁVO

Mgr. et Mgr. Jan Petrov, LL.M. Ph.D. BYZNYS A PRÁVO BYZNYS A PRÁVO Byznys a právo OBSAH ZÁKLADNÍ FUNKCE EXCELU... 2 FUNKCE ODMOCNINA A ZAOKROULIT... 4 FORMÁT A OBSAH BUNĚK... 5 RELATIVNÍ ODKAZY... 9 ABSOLUTNÍ ODKAZY... 11 Byznys a právo ZÁKLADNÍ FUNKCE

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií VY_32_INOVACE_33_05 Škola Střední průmyslová škola Zlín Název projektu, reg. č. Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávací oblast Vzdělávání v informačních a komunikačních

Více

PHP tutoriál (základy PHP snadno a rychle)

PHP tutoriál (základy PHP snadno a rychle) PHP tutoriál (základy PHP snadno a rychle) Druhá, vylepšená offline verze. Připravil Štěpán Mátl, http://khamos.wz.cz Chceš se naučit základy PHP? V tom případě si prostuduj tento rychlý průvodce. Nejdříve

Více

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST MAIPD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATLAB Úvod. Úvod do Matlabu. Miloslav Čapek

MATLAB Úvod. Úvod do Matlabu. Miloslav Čapek MATLAB Úvod Úvod do Matlabu Miloslav Čapek Proč se na FELu učit Matlab? Matlab je světový standard pro výuku v technických oborech využívá ho více než 3500 univerzit licence vlastní tisíce velkých firem

Více

Nový způsob práce s průběžnou klasifikací lze nastavit pouze tehdy, je-li průběžná klasifikace v evidenčním pololetí a školním roce prázdná.

Nový způsob práce s průběžnou klasifikací lze nastavit pouze tehdy, je-li průběžná klasifikace v evidenčním pololetí a školním roce prázdná. Průběžná klasifikace Nová verze modulu Klasifikace žáků přináší novinky především v práci s průběžnou klasifikací. Pro zadání průběžné klasifikace ve třídě doposud existovaly 3 funkce Průběžná klasifikace,

Více

Základní nastavení textového editoru Word 8.0 (Microsoft Office 97)

Základní nastavení textového editoru Word 8.0 (Microsoft Office 97) Základní nastavení textového editoru Word 8.0 (Microsoft Office 97) V následujícím textu jsou zapsány nabídky, příslušné podnabídky a záložky, které je nutné volit a hodnoty nastavení, které je třeba nastavit.

Více

9.3.2010 Program převod z desítkové na dvojkovou soustavu: /* Prevod desitkove na binarni */ #include

9.3.2010 Program převod z desítkové na dvojkovou soustavu: /* Prevod desitkove na binarni */ #include <stdio.h> 9.3.2010 Program převod z desítkové na dvojkovou soustavu: /* Prevod desitkove na binarni */ #include int main(void) { int dcislo, kolikbcislic = 0, mezivysledek = 0, i; int vysledek[1000]; printf("zadejte

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Základy HTML. Autor: Palito

Základy HTML. Autor: Palito Základy HTML Autor: Palito Zobrazení zdrojového kódu Zobrazení zdrojového kódu Každá stránka je na disku nebo na serveru uložena ve formě zdrojového kódu. Ten kód je psaný v jazyce HTML. Když si chcete

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

MAXScript výukový kurz

MAXScript výukový kurz MAXScript výukový kurz Díl čtvrtý jazyk MAXScript, část I. Jan Melichar, březen 2008 Jan Melichar (aka JME) strana 1 OBSAH ÚVOD... 4 ZÁKLADNÍ PŘÍKAZY... 5 OPERÁTORY... 6 PROMĚNNÉ... 6 POLE... 7 ZÁVĚREM...

Více

Vzorce. Suma. Tvorba vzorce napsáním. Tvorba vzorců průvodcem

Vzorce. Suma. Tvorba vzorce napsáním. Tvorba vzorců průvodcem Vzorce Vzorce v Excelu lze zadávat dvěma způsoby. Buď známe přesný zápis vzorce a přímo ho do buňky napíšeme, nebo použijeme takzvaného průvodce při tvorbě vzorce (zejména u složitějších funkcí). Tvorba

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

ALGORITMIZACE A PROGRAMOVÁNÍ

ALGORITMIZACE A PROGRAMOVÁNÍ Metodický list č. 1 Algoritmus a jeho implementace počítačovým programem Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení pojmů algoritmus a programová implementace algoritmu. Dále je cílem seznámení

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Formátové specifikace formátovací řetězce

Formátové specifikace formátovací řetězce 27.2.2007 Formátové specifikace formátovací řetězce - je to posloupnost podle které překladač pozná jaký formát má výstup mít - posloupnosti začínají znakem % a určující formát vstupu/výstupu - pokud chcete

Více

SC2040. Vědecká kalkulačka s 240 funkcemi a 10místným, dvouřádkovým LCD displejem

SC2040. Vědecká kalkulačka s 240 funkcemi a 10místným, dvouřádkovým LCD displejem SC2040 BEZPEČNOSTNÍ POKYNY Definice upozornění Poznámka: Všechny definice jsou obecné a nejsou specifické ve vztahu k produktu. Nebezpečí: Upozorňuje na situace které pokud k nim dojde mohou mít za následek

Více

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech 7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech Studijní cíl Tento studijní blok má za cíl pokračovat v základních prvcích jazyka Java. Konkrétně bude věnována pozornost formátovanému výstupu,

Více

1. Otevřete dokument, který chcete číst. 2. Na kartě Zobrazení klikněte ve skupině Zobrazení dokumentů na položku Čtení na celé obrazovce.

1. Otevřete dokument, který chcete číst. 2. Na kartě Zobrazení klikněte ve skupině Zobrazení dokumentů na položku Čtení na celé obrazovce. 2. lekce Čtení dokumentů 1. Otevřete dokument, který chcete číst. 2. Na kartě Zobrazení klikněte ve skupině Zobrazení dokumentů na položku Čtení na celé obrazovce. 3. Přecházení mezi stránkami v dokumentu:

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

FORTANNS. havlicekv@fzp.czu.cz 22. února 2010

FORTANNS. havlicekv@fzp.czu.cz 22. února 2010 FORTANNS manuál Vojtěch Havlíček havlicekv@fzp.czu.cz 22. února 2010 1 Úvod Program FORTANNS je software určený k modelování časových řad. Kód programu má 1800 řádek a je napsán v programovacím jazyku

Více

Word textový editor. Tlačítko Office základní příkazy pro práci se souborem. Karta Domů schránka. písmo. vyjmout. vložit kopírovat.

Word textový editor. Tlačítko Office základní příkazy pro práci se souborem. Karta Domů schránka. písmo. vyjmout. vložit kopírovat. Word textový editor Tlačítko Office základní příkazy pro práci se souborem Karta Domů schránka vyjmout vložit kopírovat kopírovat formát písmo velikost písma volba písma barva písma tučné podtržené zvýraznění

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Fyzikální laboratoř. Kamil Mudruňka. Gymnázium, Pardubice, Dašická /8

Fyzikální laboratoř. Kamil Mudruňka. Gymnázium, Pardubice, Dašická /8 Středoškolská technika 2015 Setkání a prezentace prací středoškolských studentů na ČVUT Fyzikální laboratoř Kamil Mudruňka Gymnázium, Pardubice, Dašická 1083 1/8 O projektu Cílem projektu bylo vytvořit

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem 1) Otevření datového souboru Program Statistika.cz otevíráme z ikony Start, nabídka Programy, podnabídka Statistika Cz 6. Ze dvou nabídnutých možností vybereme

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

Návod k použití pro. Elektronický kalkulátor. Model: SEC-183 SEC-184 SEC-102

Návod k použití pro. Elektronický kalkulátor. Model: SEC-183 SEC-184 SEC-102 Návod k použití pro Elektronický kalkulátor Model: SEC-183 SEC-184 SEC-102 Před zapnutím a použitím kalkulátoru se prosím seznamte s návodem a to i v případě že jste již obeznámeni s používáním kalkulátoru

Více