Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008"

Transkript

1 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

2 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Lineární kombinace a maticový součin Co může představovat aritmetický vektor? Vlastnosti operací s aritmetickými vektory 2 Baze vektorového prostoru 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

3 Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Uspořádanou d-tici čísel ( x1 x 2. x d ) vektorem. Operace s aritmetickými vektory Sčítání Násobení číslem Lineární kombinace budeme nazývat aritmetickým Natétostraněsebudeještěpracovat.Přibudedefiniceoperací-zatímnajdeteprvnídvěvprezentaciomaticíchatřetí v prezentaci o geometrických vektorech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

4 Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Uspořádanou d-tici čísel ( x1 x 2. x d ) vektorem. Operace s aritmetickými vektory Sčítání Násobení číslem Lineární kombinace budeme nazývat aritmetickým Natétostraněsebudeještěpracovat.Přibudedefiniceoperací-zatímnajdeteprvnídvěvprezentaciomaticíchatřetí v prezentaci o geometrických vektorech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

5 Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Uspořádanou d-tici čísel ( x1 x 2. x d ) vektorem. Operace s aritmetickými vektory Sčítání Násobení číslem Lineární kombinace budeme nazývat aritmetickým Natétostraněsebudeještěpracovat.Přibudedefiniceoperací-zatímnajdeteprvnídvěvprezentaciomaticíchatřetí v prezentaci o geometrických vektorech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

6 Úvod Definice aritmetických vektorů a operací s nimi Uspořádanou d-tici čísel ( x1 x 2. x d ) vektorem. Operace s aritmetickými vektory Sčítání Násobení číslem Lineární kombinace budeme nazývat aritmetickým Natétostraněsebudeještěpracovat.Přibudedefiniceoperací-zatímnajdeteprvnídvěvprezentaciomaticíchatřetí v prezentaci o geometrických vektorech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

7 Úvod Lineární kombinace a maticový součin Lineární kombinaci aritmetických vektorů můžeme vyjádřit pomocí maticového součinu. Například = , obecně α 1 α 1 1+ α α n n= ( 1 2 ) α 2... n.. α n Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

8 Úvod Lineární kombinace a maticový součin Lineární kombinaci aritmetických vektorů můžeme vyjádřit pomocí maticového součinu. Například = , obecně α 1 α 1 1+ α α n n= ( 1 2 ) α 2... n.. α n Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

9 Úvod Co může představovat aritmetický vektor? Souřadnice geometrického vektoru. Data určená ke zpracování. Diskrétní aproximaci funkce nahrazením derivací diferencemi můžeme diferenciální rovnici převést na soustavu lineárních algebraických rovnic. Koeficienty mnohočlenu určitého stupně- místo s mnohočlenem ax 2 +bx+cmůžemepracovatsaritmetickýmvektorem(a b c) T. Na této straně se bude ještě pracovat. Především přibudou obrázky. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

10 Úvod Co může představovat aritmetický vektor? Souřadnice geometrického vektoru. Data určená ke zpracování. Diskrétní aproximaci funkce nahrazením derivací diferencemi můžeme diferenciální rovnici převést na soustavu lineárních algebraických rovnic. Koeficienty mnohočlenu určitého stupně- místo s mnohočlenem ax 2 +bx+cmůžemepracovatsaritmetickýmvektorem(a b c) T. Na této straně se bude ještě pracovat. Především přibudou obrázky. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

11 Úvod Co může představovat aritmetický vektor? Souřadnice geometrického vektoru. Data určená ke zpracování. Diskrétní aproximaci funkce nahrazením derivací diferencemi můžeme diferenciální rovnici převést na soustavu lineárních algebraických rovnic. Koeficienty mnohočlenu určitého stupně- místo s mnohočlenem ax 2 +bx+cmůžemepracovatsaritmetickýmvektorem(a b c) T. Na této straně se bude ještě pracovat. Především přibudou obrázky. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

12 Úvod Co může představovat aritmetický vektor? Souřadnice geometrického vektoru. Data určená ke zpracování. Diskrétní aproximaci funkce nahrazením derivací diferencemi můžeme diferenciální rovnici převést na soustavu lineárních algebraických rovnic. Koeficienty mnohočlenu určitého stupně- místo s mnohočlenem ax 2 +bx+cmůžemepracovatsaritmetickýmvektorem(a b c) T. Na této straně se bude ještě pracovat. Především přibudou obrázky. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

13 Úvod Vlastnosti operací s aritmetickými vektory Vlastnosti jsou obdobné jako pro geometrické vektory. Na této straně se bude pracovat- časem sem vlastnosti překopíruji. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

14 Baze vektorového prostoru 1Úvod 2 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Cojebaze Příklady 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

15 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

16 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

17 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

18 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

19 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

20 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

21 Baze vektorového prostoru Geometrické vektory a baze Připomeneme, jak jsme definovali bazi a souřadnice vektoru vzhledem kbaziprogeometrickévektoryvroviněa3dprostoru. Bazi geometrických vektorů v rovině tvoří libovolná dvojice nenulových vektorů u, v různých směrů. Souřadnicemi vektoru a vzhledem k této bazi jsou koeficienty v lineární kombinaci a=1.75 u 0.25 v azapisujemejedosloupcůjakoaritmetickývektor =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná- baze je tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

22 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

23 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

24 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

25 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

26 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

27 Baze vektorového prostoru Co je baze Chceme, analogicky jako pro geometrické vektory, definovat souřadnice aritmetického vektoruùvzhledem k bazi A={ 1,..., n}jakokoeficienty α 1,...,α n vlineárníkombinaci Ù= α α n n. Přirozeným požadavkem je, aby tyto koeficienty existovaly a aby byly vektoremùjednoznačně určeny. Tonásvedekdefinici:Množinuvektorů A={ 1, 2,..., n} nazvemebazívektorovéhoprostoru R d,pokud 1 KaždývektorÙ R d jemožnévyjádřitjakolineárníkombinaci vektorů množiny A. 2 TotovyjádřeníjevektoremÙ R d abazí Ajednoznačněurčené. Na následujících slajdech tyto podmínky vysvětlíme na příkladech. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

28 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

29 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

30 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

31 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jakolineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T, =( 3, 0, 2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napište dvě případně jedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

32 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

33 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

34 Baze vektorového prostoru Příklady 1 Kolikazpůsobyjemožnévyjádřitvektor =(0, 3, 13) T jako lineárníkombinacivektorů =(2, 1, 3) T,=( 3, 0,2) T, =(1, 2, 8) T?Je-litomožné,napištedvěpřípadnějedno toto vyjádření. 2 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(1, 2, 5). 3 Zaměňtev1.příkladuvektor zavektor =(0, 3, 7). Ve všech příkladech hledáme koeficienty x, y, z v lineární kombinaci =x + y+ z. V 1. příkladu upravíme tuto lineární kombinaci na soustavu 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 13. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

35 Baze vektorového prostoru Příklady Soustavamánekonečněmnohořešení-vektor jetedymožné vyjádřitnekonečněmnohazpůsobyjakolineárníkombinacivektorů,,.volbounapříklad x=0, x=1dostanemedvělineární kombinace: = , = ++. V 2. příkladu má soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+5z = 13. právě jedno řešení a příslušná, jediná, lineární kombinace je =3 +2. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

36 Baze vektorového prostoru Příklady Soustavamánekonečněmnohořešení-vektor jetedymožné vyjádřitnekonečněmnohazpůsobyjakolineárníkombinacivektorů,,.volbounapříklad x=0, x=1dostanemedvělineární kombinace: = , = ++. V 2. příkladu má soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+5z = 13. právě jedno řešení a příslušná, jediná, lineární kombinace je =3 +2. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

37 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

38 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

39 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

40 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

41 Baze vektorového prostoru Příklady Ve 3. příkladu soustava 2x 3y+ z = 0 x 2z = 3 3x+2y+8z = 7. nemářešeníavektor tedynenímožnévyjádřitjakolineární kombinacivektorů,,. Souvislosti s podmmínkami 1, 2 v definici baze: 1 V1.příkladunenísplněna2.podmínka. 2 V2.příkladujsouprovektor splněnyoběpodmínky,ale nevíme, jestli jsou splněny i pro ostatní vektory. 3 Ve3.příkladunenísplněna1.podmínka. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

42 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

43 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

44 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

45 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

46 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

47 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

48 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

49 Baze vektorového prostoru Příklady Ukážeme si na 1. příkladu jeden důsledek nesplnění 2. podmínky definicebaze.provektor jsmenašlidvělineárníkombinace: = , = ++. γ Jejich odečtením dostaneme = ( ++ ) apoúpravě Ó= Přičteme-litentovztahk Ù= α +β+ dostaneme Ù=(α 1) +(β 1)+(γ+ 1). 2 2 Podmínka2jetedybuďsplněnaprokaždývektorneboprožádný. A zároveň je 2. podmínka ekvivalenní s neexistencí lineární kombinace typuó= (vícevnásledujícíkapitole). Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

50 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 1Úvod 2 Baze vektorového prostoru 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Geometrický význam lineární(ne)závislosti 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

51 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

52 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

53 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

54 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

55 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

56 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Definice pojmů Lineání kombinaci α 1Ù1+ α 2Ù2+ +α nùn, vekteréjsouvšechnykoeficienty α 1, α 2,...,α n nulové,nazýváme triviání lineární kombinací asi proto, že z vlastností operací s aritmetickými vektory triviáně plyne, že je rovna nulovému vektoru. Lineárníkombinaci,vekteréjealespoňjedenzkoeficient nenulový, nazýváme netriviání lineání kombinací. Vektory 1, 2,..., nnazývámelineárnězávislými,pokudexistujejejich netriviání lineární kombinace, které je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, nazýváme vektory 1, 2,..., nlineárněnezávislými. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

57 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

58 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

59 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

60 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

61 Lineární(ne)závislostaritmetickýchvektorů Mezilineárnězávislýmivektoryjeněkterý navíc Ukážeme jeden důsledek lineární závislosti skupiny 5Ù5=Ó vektorů(pro zjednodušení to ukážeme pro skupinu pěti vektorů). Je-li například α 4 0,můžemez α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 4Ù4+ α vyjádřitù4 Ù4= 1 α 4 (α 1Ù1+ α 2Ù2+ α 3Ù3+ α 5Ù5). Platí: Jsou-li vektory lineárně závislé můžeme některý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních(ve skutečnosti každý u něhož je koeficient v netriviální lineární kombinaci rovné nulovému vektoru nenulový). (Tozhrubaznamená,že veskupiněvektorůjeněkterýnavíc.) Platí i opak: pokud je možné vyjádřit některý aritmetický vektor z množiny vektorů jako lineární kombinaci ostatních, je tato množina vektorů lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

62 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

63 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

64 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

65 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

66 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

67 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Z uvedeného(a z předchozího slajdu) plyne Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineární závislá. Obsahuje-li dva vektory stejného směru, je lineárně závislá. Obsahuje-li tři vektory ležící v jedné rovině, je lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

68 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Z uvedeného(a z předchozího slajdu) plyne Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineární závislá. Obsahuje-li dva vektory stejného směru, je lineárně závislá. Obsahuje-li tři vektory ležící v jedné rovině, je lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

69 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Z uvedeného(a z předchozího slajdu) plyne Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineární závislá. Obsahuje-li dva vektory stejného směru, je lineárně závislá. Obsahuje-li tři vektory ležící v jedné rovině, je lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

70 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Z uvedeného(a z předchozího slajdu) plyne Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineární závislá. Obsahuje-li dva vektory stejného směru, je lineárně závislá. Obsahuje-li tři vektory ležící v jedné rovině, je lineárně závislá. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

71 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Příklady skupin vektorů, které jsou lineárně nezávslé: jeden nenulový vektor, dva nenulové vektory různých směrů, tři nenulové vektory neležící ve společné rovině. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

72 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Příklady skupin vektorů, které jsou lineárně nezávslé: jeden nenulový vektor, dva nenulové vektory různých směrů, tři nenulové vektory neležící ve společné rovině. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

73 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů Geometrický význam lineární(ne)závislosti AritmetickévektoryzR 2,případně R 3,simůžemepředstavitjako souřadnice geometrických vektorů v rovině, případně v 3D prostoru. Abychom zjistili geometrický význam lineární závislosti a nezávislosti, je teba si uvědomit: Lineární kombinací(tj. násobkem) nulového vektoru je pouze nulový vektor. Lineárními kombinacemi(tj. násobkem) nenulového vektoru jsou všechny vektory stejného směru a nulový vektor. Lineárnímikombinacemidvounenulovýchvektorů a, brůzných směrůjsouvšechnyvektory,kteréležívroviněurčenévekt. a, b. Příklady skupin vektorů, které jsou lineárně nezávslé: jeden nenulový vektor, dva nenulové vektory různých směrů, tři nenulové vektory neležící ve společné rovině. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

74 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 1Úvod 2 Baze vektorového prostoru 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

75 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze Platí:každábazevektorovéhoprostoru R d máprávě dprvků. Říkáme,že djedimenzevektorovéhoprostoru R d. Dáleplatí:kověření,žemnožinaodvektorechzR d jebazí vektrovéhoprostoru R d,stačíověřitbuďjednuzpodmínek1,2 z definice baze nebo podmínku lineární nezávislosti. Přitom stačí, když je podmínka 2 splněna pro jeden vektor. Nazákladěvýšeuvedenéhoudělámezávěr,ževektory,, z příkladů ve 3. kapitole (Baze vektorového prostoru) tvoří bazi vektorového prostoru R 3. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

76 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze Platí:každábazevektorovéhoprostoru R d máprávě dprvků. Říkáme,že djedimenzevektorovéhoprostoru R d. Dáleplatí:kověření,žemnožinaodvektorechzR d jebazí vektrovéhoprostoru R d,stačíověřitbuďjednuzpodmínek1,2 z definice baze nebo podmínku lineární nezávislosti. Přitom stačí, když je podmínka 2 splněna pro jeden vektor. Nazákladěvýšeuvedenéhoudělámezávěr,ževektory,, z příkladů ve 3. kapitole (Baze vektorového prostoru) tvoří bazi vektorového prostoru R 3. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

77 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze Platí:každábazevektorovéhoprostoru R d máprávě dprvků. Říkáme,že djedimenzevektorovéhoprostoru R d. Dáleplatí:kověření,žemnožinaodvektorechzR d jebazí vektrovéhoprostoru R d,stačíověřitbuďjednuzpodmínek1,2 z definice baze nebo podmínku lineární nezávislosti. Přitom stačí, když je podmínka 2 splněna pro jeden vektor. Nazákladěvýšeuvedenéhoudělámezávěr,ževektory,, z příkladů ve 3. kapitole (Baze vektorového prostoru) tvoří bazi vektorového prostoru R 3. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

78 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 1Úvod 2 Baze vektorového prostoru 3 Lineární(ne)závislost aritmetických vektorů 4 Dimenze vektorového prostoru, ověření baze 5 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze 6 Podprostory 7 Matice přechodu Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34

79 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (

80 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (

81 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (

82 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (

83 Souřadnice vektoru vzhledem k bazi, kanonická baze Koeficienty α 1, α 2,..., α n,prokteréplatí Ù= α 1 1+ α α n n, budeme nazývat souřadnicemi vektoruùvzhledem k bazi A={ 1, 2,..., n}.souřadnicebudemepsátdosloupceabudeme používatznačení AÙ=(α 1, α 2,..., α n ) T.Množinuvektorů ) ) ) ) 1= ( , 2= ( , 3= ( ,..., d= (vektor imávi-témřádkujedničkuavostatníchnuly)budeme nazývatkanonickoubazíaznačit K={ 1, 2,..., d}.uvědomte si,ževektorù=(x 1, x 2,..., x d ) T jejejichlineárníkombinací Ù= x 1 1+ x x d d, (dosaďtedolineárníkombinacevektory iavypočtěteji,)ažesložky x 1, x 2,..., x d vektoru Ùjsou zároveň jeho souřadnicemi vzhledem ke kanonické bazi. Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března / 34 (

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

Základy analytické geometrie. I

Základy analytické geometrie. I Základy analytické geometrie. I Prostory vnořené do Em In: Eduard Čech (author): Základy analytické geometrie. I. (Czech). Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1951. pp. 50 67. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402523

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace Kapitola 8 Samoopravné kódy Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace šumu při přehrávání kompaktních

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

10. Afinní a euklidovský prostor

10. Afinní a euklidovský prostor 10. Afinní a euklidovský prostor Definice 10.1. Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která

Více

Splněno ANO/NE/hodnota

Splněno ANO/NE/hodnota část 1 - software pro přípravu interaktivních výukových hodin postavený na aktivní účasti žáků základní specifikace: autorský objektově orientovaný výukový software v českém jazyce s implementovanou galerií

Více

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA PROGRAM MAXIMA KORDEK, David, (CZ) Abstrakt. Co je to Open Source Software? Příklady některých nejpoužívanějších software tohoto typu. Výhody a nevýhody Open Source Software. Jak získat program Maxima.

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více