68. ročník Matematické olympiády 2018/2019
|
|
- Kryštof Sedlák
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 68. ročník Matematické olympiády 2018/2019 Úlohy domácího kola kategorie P Úlohy P-I-1 a P-I-2 jsou praktické, vaším úkolem v nich je vytvořit a odladit efektivní program v jazyce Pascal, C nebo C++. Řešení těchto dvou úloh odevzdávejte ve formě zdrojového kódu přes webové rozhraní přístupné na stránce kde také naleznete další informace. Odevzdaná řešení budou automaticky vyhodnocena pomocí připravených vstupních dat a výsledky vyhodnocení se dozvíte krátce po odevzdání. Pokud váš program nezíská plný počet 10 bodů, můžete své řešení opravit a znovu odevzdat. Úlohy P-I-3 a P-I-4 jsou teoretické, za každou z nich lze získat až 10 bodů. Řešení úlohy P-I-3 musí obsahovat popis algoritmu, zdůvodnění jeho správnosti a odhad časové a paměťové složitosti. Nemusíte psát program, algoritmus stačí zapsat ve vhodném pseudokódu nebo dokonce jenom slovně, ale v tom případě dostatečně podrobně a srozumitelně. Hodnotí se nejen správnost, ale také efektivita zvoleného postupu řešení. Úloha P-I-4 je tvořena třemi samostatnými podúlohami. Část bodů dostanete, i když vyřešíte správně jenom některou z nich. Řešení obou teoretických úloh odevzdávejte ve formě souboru typu PDF přes výše uvedené webové rozhraní. Řešení všech úloh můžete odevzdávat do 15. listopadu Opravená řešení a seznam postupujících do krajského kola najdete na webových stránkách olympiády na adrese kde jsou také k dispozici další informace o kategorii P. 1
2 P-I-1 Bourání města Starosta Kocourkova si jednoho dne uvědomil, že kulturní úroveň města se zajisté zvýší, bude-li na každém rohu stát sud. Do takového útulného sudu, ideálně orientovaného na východ, se jistě brzy nastěhuje filosof libující si ve skrovném, leč klidném a každé ráno dobře osvětleném příbytku. Starostovo nařízení Každá křižovatka bude mít sud postavený k východu však bylo špatně vyslechnuto a k odpovědným radním se dostalo nařízení Každá křižovatka bude mít sudý počet východů. Poctiví radní se tedy rozhodli zbourat některé kocourkovské ulice tak, aby každá křižovatka sousedila se sudým počtem ulic. Než se do toho ale dali, radní se rozhodli vybrat některé důležité ulice s neobyčejnou kulturní hodnotou, které by se bourat neměly (shodou okolností jsou to zároveň ulice, ve kterých radní bydlí). Soutěžní úloha Je zadána síť ulic v Kocourkově sestávající z N křižovatek očíslovaných od 1 do N a s M obousměrnými ulicemi spojujícími některé dvojice křižovatek. Některé z ulic jsou důležité a nemůžou se zbořit. Ze zbylých ulic vyberte některé tak, aby po jejich zboření každá křižovatka sousedila se sudým počtem ulic. Speciálně křižovatka podmínku splňuje, i pokud po zboření vybraných ulic nesousedí s žádnou ulicí (jsme přeci v Kocourkově). Formát vstupu Program čte vstupní data ze standardního vstupu. První řádek obsahuje tři celá čísla N, M a K (1 N, 0 K M) oddělená mezerou. Každý z následujících řádků obsahuje dvě celá čísla od 1 do N udávající dvojici křižovatek, mezi kterými je ulice. Můžete předpokládat, že mezi každou dvojicí křižovatek vede nejvýše jedna ulice a že neexistují ulice s oběma konci na stejné křižovatce. Prvních K ulic je důležitých a nesmějí být zbourány. Formát výstupu Program vypíše na standardní výstup několik řádků. Na prvním řádku bude jedno celé číslo 0 L M K, počet nedůležitých ulic, které jste se rozhodli zbourat. Následuje L řádků, přičemž každý z nich obsahuje dvojici čísel od 1 do N udávajících ulici, kterou jste se rozhodli zbourat. Pořadí těchto dvou čísel se může lišit od pořadí, v jakém jsou zadána na vstupu. Každá ulice se ve výčtu objeví nejvýše jednou. Jestliže řešení neexistuje, vypište -1. Příklady Jiným správným řešením by bylo zbořit obě ulice sousedící s křižovatkou 3. 2
3 V tomto případě žádnou ulici zbořit nesmíme. Křižovatka 1 sousedí s lichým počtem ulic, takže žádné řešení neexistuje V tomto případě je správným řešením zbořit 0 ulic, neboť všechny křižovatky již sousedí se sudým počtem ulic. Bodování Plných 10 bodů získá řešení, které efektivně vyřeší libovolný vstup s N a M Částečný počet bodů nicméně lze získat za vyřešení některých podúloh. Váš program bude spuštěn na deseti testovacích sadách a za každou správně vyřešenou dostanete 1 bod. Následující tabulka obsahuje seznam podmínek, které dané sady splňují. P-I-2 Bonbóny sady omezení 1 K = M a dále N 2 000, M K = M 3 K 1 a dále N, M 20 4 K 1 a dále N 2 000, M K 1 6 N, M 20 7 N 2 000, M , 9, 10 bez přidaných omezení Rodiče se rozhodli motivovat své líné děti Aničku a Honzíka ke sportování, konkrétně k jízdě na kole. Za každý úsek, který ujedou, jim dají bonbóny. Nicméně ne všechny úseky jsou stejně těžké a navíc se Anička a Honzík neshodnou na jejich obtížnosti; Anička raději jezdí po rovině, Honzík má rád úseky lesem, kde je stín, a tak dále. Proto za každý úsek mohou děti dostat různé počty bonbónů. Tato idea se celkem osvědčila, má ale jeden problém. Pokud na konci výletu mají Anička a Honzík různé počty bonbónů, navzájem si závidí a perou se. Rodiče se proto pokusili pozměnit odměny tak, aby při každém výletu začínajícím a končícím na stejném místě získali Anička a Honzík stejný počet bonbónů. Na vás je, abyste ověřili, zda se jim to podařilo. 3
4 Soutěžní úloha Je dána síť M jednosměrných cyklostezek, spojujících křižovatky číslované od 1 do N, a pro každou z nich víte, kolik bonbónů za její projetí dostane Anička a Honzík. Cyklostezky se protínají se pouze na křižovatkách a neexistuje žádná cyklostezka se stejným začátkem a koncem, ale mezi dvěma křižovatkami může vést i více cyklostezek. Uzavřený výlet je posloupnost navazujících cyklostezek začínající a končící na stejném místě; v rámci výletu je možné projet některou cyklostezku i vícekrát a Anička a Honzík v tomto případě dostanou bonbóny za každé její projetí. Rozhodněte, zda existuje uzavřený výlet, na němž Anička a Honzík dostanou celkově různé počty bonbónů, a případně nějaký takový vypište. Formát vstupu Program čte vstupní data ze standardního vstupu. První řádek obsahuje dvě celá čísla N a M (1 N, M ) oddělená mezerou, kde M udává počet cyklostezek a N počet křižovatek. Na každém z M následujících řádků jsou čtyři celá čísla z, d, a, h (1 z, d N, 1 a, h 1 000) oddělená mezerami. Tato čísla udávají, že z křižovatky číslo z na křižovatku číslo d vede cyklostezka, za jejíž projetí dostane Anička a bonbónů a Honzík h bonbónů. Trasy jsou číslované od 1 do M dle jejich pořadí na vstupu. Formát výstupu Jestliže existuje uzavřený výlet, na němž Anička a Honzík dostanou různé počty bonbónů, vypište libovolný takový výlet jako posloupnost čísel cyklostezek t 1,..., t n oddělených mezerami takových, že pro i = 1,..., n 1 cyklostezka číslo t i končí na křižovatce, na níž cyklostezka číslo t i+1 začíná, a cyklostezka číslo t n končí na křižovatce, na níž cyklostezka číslo t 1 začíná. Jinak vypište pouze číslo 0. Příklady Po projetí cyklostezek číslo 1 (z 1 do 2), 4 (z 2 do 4) a 5 (z 4 zpět do 1) má Anička 3 bonbóny a Honzík 4. Jsou i jiná správná řešení, například nebo Anička a Honzík mohou pouze kroužit po okruhu cyklostezek 1 2 3, vždy když se 4
5 dostanou do bodu, v němž začali, mají stejný počet bonbónů (čtyřikrát tolik, kolikrát okruh objeli) Žádný výlet začínající a končící na stejném místě neexistuje, nehrozí tedy, že by na něm Anička a Honzík dostali různé počty bonbónů. Bodování Plných 10 bodů získá řešení, které efektivně vyřeší libovolný vstup s N, M Částečný počet bodů nicméně lze získat za vyřešení některých podúloh. Váš program bude spuštěn na deseti testovacích sadách a za každou správně vyřešenou dostanete 1 bod. Následující tabulka obsahuje seznam podmínek, které dané sady splňují. sady omezení 1,2,3 M, N 20 4 M a nejvýše 6 křižovatek sousedí s více než dvěma cyklostezkami 5 M a nejvýše 6 křižovatek sousedí s více než dvěma cyklostezkami 6 M, N a z každé křižovatky se po cyklostezkách dá dojet na libovolnou jinou křižovatku 7 M, N z každé křižovatky se po cyklostezkách dá dojet na libovolnou jinou křižovatku 9, 10 bez přidaných omezení P-I-3 Zahrádka Novákovi si v malebné vesničce za Prahou koupili malý rodinný domek s velkým pozemkem. Na pozemku však roste jen tráva, což jejich zemědělské ambice neukojilo, a proto se rozhodli vytvořit si trojúhelníkovou zahrádku. Jako první krok vyběhli na pozemek a vyznačili si n možných pozic vrcholů zahrádky. Nyní zbývá už jen vybrat vhodné tři vrcholy, záhonek zrýt, zasít, hnojit, kropit, vytrhat plevel, kropit, odehnat slimáky, vytrhat plevel, odehnat slimáky, zbavit se krtků, kropit,... a nakonec možná sklidit, pokud se urodí. Prostě čím větší zahrádka bude, tím víc s ní bude práce. Pan Novák by proto rád vybral takové tři vrcholy, aby trojúhelník jimi vyznačený měl co nejmenší obsah. Zjistil ale, že bodů vyznačili moc a že takový trojúhelník neumí najít. Pomůžete mu? 5
6 Soutěžní úloha Na vstupu dostanete n bodů v rovině v obecné poloze (tj. žádné tři neleží na přímce). Vaším cílem je najít tři z nich, které tvoří trojúhelník s nejmenším obsahem. Pokud existuje více řešení, vypište kterékoliv z nich. Ve svém řešení se nemusíte zabývat zaokrouhlovacími chybami můžete předpokládat, že výpočty probíhají s neomezenou přesností. Formát vstupu Na prvním řádku dostanete jedno přirozené číslo n, počet vyznačených vrcholů. Na každém z dalších n řádků dostanete dvě mezerou oddělená celá čísla x i a y i, souřadnice i-tého vyznačeného vrcholu. Formát výstupu Vypište řádek obsahující souřadnice tří vrcholů trojúhelníka s nejmenším obsahem. Souřadnice jednotlivých vrcholů oddělte středníky. Příklad ; 0 1; 1 0 V tomto případě mají všechny trojúhelníky stejný obsah, takže lze vypsat kteroukoli trojici ; 0 1; 2 0 Bodování Pokud váš algoritmus rychle a správně odpoví na vstupy s n 100, může získat až 4 body. Plných 10 bodů získá řešení, které rychle a správně odpoví na vstupy s n 1 000, tj. s časovou složitostí O(n 2 log n) nebo lepší. 6
7 P-I-4 Dva lupiči K této úloze se vztahuje studijní text uvedený na následujících stranách. Doporučujeme vám nejprve prostudovat studijní text a až potom se vrátit k samotným soutěžním úlohám. Dva lupiči rozdělují lup. Postupně věci (různých cen) vytahují z pytle a o každé z nich rozhodují, komu připadne. Chtějí, aby věci byly rozděleny co nejrovnoměrněji budou tedy minimalizovat sumu cen věcí na dražší hromádce. a) (2 body) Ukažte, že algoritmus, který dá všechny věci prvnímu lupiči, je 2-kompetitivní. b) (4 body) Nalezněte 3/2-kompetitivní algoritmus. c) (4 body) Ukažte, že žádný algoritmus nemůže být lepší než 3/2-kompetitivní. Studijní text V olympiádě se většinou zabýváme úlohami, v nichž dopředu známe celá vstupní data a na jejich základě produkujeme celý výstup. Snadno si ale lze představit situace, v nichž se vstupní data dozvídáme postupně a výstup musíme vyrábět průběžně, pouze s ohledem na část vstupů, které již známe. O takových problémech říkáme, že jsou on-line. Příklad: Externí paměť Počítač má pracovní paměť omezené velikosti vejde se do ní nejvýše k bloků dat a výrazně větší externí paměť, skládající se ze stejně velkých bloků identifikovaných přirozenými čísly. Je-li potřeba zpracovat nějaký blok dat, musí být nejprve nahrán do pracovní paměti. Jestliže je v tomto okamžiku pracovní paměť plná, musíme se rozhodnout, který z aktuálně nahraných bloků z ní vyhodíme (byl-li modifikován, zkopírujeme ho přitom zpět do externí paměti nemusíme se tedy při volbě vyhozeného bloku bát, že bychom o nějaká data přišli). Naše úloha je tedy následující: Na začátku je pracovní paměť prázdná. Postupně dostáváme čísla bloků z externí paměti, které je třeba zpracovat. Pokud daný blok už v pracovní paměti je, neděláme nic. Pokud v ní není, ale v pracovní paměti je méně než k nahraných bloků, zadaný blok bude nahrán na jedno z volných míst. Je-li pracovní paměť plná, vybereme, který z nahraných bloků vyhodíme, a zadaný blok bude nahrán na tímto uvolněné místo. Jelikož přesuny mezi externí a pracovní pamětí jsou pomalé, chceme volit vyhozené bloky tak, abychom minimalizovali počet nahrání bloků do pracovní paměti. Například, nechť k = 2 a postupně dostáváme požadavky Při prvních dvou požadavcích nic nerozhodujeme, do pracovní paměti se nahrají bloky 1 a 2. Při třetím požadavku se musíme rozhodnout, který z bloků v pracovní paměti vyhodíme třeba blok 2, takže poté budeme 7
8 v pracovní paměti mít bloky 1 a 3. Přijde-li nám nyní požadavek 1, nemusíme nic dělat a celkově tedy proběhnou 3 nahrání bloků do pracovní paměti. Kdyby nám ale místo toho přišel požadavek 2, pak musíme uvolnit místo v pracovní paměti a blok 2 znovu nahrát, celkově by tedy proběhly 4 nahrání bloků do pracovní paměti. Jak srovnávat a vyhodnocovat algoritmy řešící on-line problémy? Mohli bychom samozřejmě zjišťovat, jak kvalita jejich řešení závisí (v nejhorším případě) třeba na délce vstupu, to ale typicky není příliš informativní. Například, ve výše uvedeném příkladu pro vstup n nutně musíme provést n nahrání bloků, a to nezávisle na tom, jaký algoritmus pro výběr vyhozených bloků použijeme dokonce i kdybychom vstup znali celý předem, nemohli bychom dosáhnout lepšího výsledku. Jako zajímavější možnost se nabízí srovnávat náš on-line algoritmus na každém vstupu s optimálním algoritmem, který zná celý vstup dopředu. Nechť v je libovolný vstup (v diskutovaném příkladu je v posloupnost požadavků). Jakožto OPT(v) si označme hodnotu optimálního řešení pro vstup v. Jakožto ALG(v) si označme hodnotu řešení získaného uvažovaným on-line algoritmem, který vstup dostává postupně a výstup produkuje průběžně. Pokud pro nějaké číslo c platí, že ALG(v) c OPT(v) pro každý vstup v, říkáme, že uvažovaný algoritmus je c-kompetitivní. Příklad: Fronta a zásobník Uvažujme algoritmus Fronta, který má bloky v pracovní paměti setříděné v pořadí, v němž byly nahrány, a vždy vyhazuje nejstarší z nich. Nechť v = p 1, p 2,..., p n je libovolná posloupnost požadavků, na které optimální algoritmus nahrává blok do pracovní paměti pro i 1 -tý, i 2 -tý, až i m -tý z nich; tj. OPT(v) = m. Zjevně i 1 = 1, jelikož na začátku je pracovní paměť prázdná. Uvažujme úsek u mezi dvěma požadavky, pro něž optimální algoritmus nahrává blok, tedy u = p ij,..., p ij+1 1 pro nějaké j {1,..., m}. V rámci úseku u mohou být požadavky na pouze k různých bloků (těch, které má optimální algoritmus v pracovní paměti po vyřízení požadavku p ij ). Algoritmus Fronta proto na úseku u nahraje do pracovní paměti blok nejvýše k-krát (poté, co jednou nahraje blok číslo b, ho vyhodí až když nahraje k dalších různých bloků, což na úseku u nenastane). Stejnou úvahu můžeme použít na každém takovém úseku, proto algoritmus Fronta na vstupu v nahraje nejvýše k m bloků. Algoritmus Fronta je tedy k- kompetitivní. Oproti tomu uvažme algoritmus Zásobník, který vždy vyhazuje nejnovější načtený blok. Tento algoritmus na vstupu v = 1,..., k, k+1, k, k+ 1, k, k+1,..., k, k+1, kde úsek k, k+1 se opakuje n-krát, bude na střídačku vyhazovat a nahrávat bloky k a k + 1, celkem tedy nahraje 2n + k 1 bloků do pracovní paměti. Oproti tomu optimální algoritmus při prvním požadavku k + 1 vyhodí blok 1 a od té chvíle má bloky k i k + 1 v paměti, provede tedy celkem k+1 nahrání bloků. Poměr mezi počtem nahrání blo- 8
9 ků algoritmu Zásobník a optimálního algoritmu tedy může být libovolně velký. Naším cílem je samozřejmě získat pro zadaný problém algoritmus, který je c-kompetitivní pro co nejmenší možné c (oproti tomu se nebudeme příliš zabývat časovou a paměťovou složitostí těchto algoritmů, nemusíte ji tedy v řešeních vašich úloh určovat). Často se stane, že pro danou úlohu umíme dokonce ukázat, že lepší než c-kompetitivní algoritmus existovat nemůže. Příklad: Fronta je optimální Uvažujme libovolný algoritmus ALG pro diskutovaný problém správy pracovní paměti. Zkonstruujeme vstup v délky n následujícím způsobem: začneme požadavky 1,..., k. Poté se vždy podíváme na obsah pracovní paměti a budeme požadovat ten blok z {1,..., k + 1}, který v ní není. Algoritmus ALG tedy bude nahrávat blok při každém požadavku, celkem tedy bude nahrávat ALG(v) = n-krát. Oproti tomu optimální algoritmus se (po prvních k vynucených krocích), vždy když musí vyhodit blok z pracovní paměti, podívá na k 1 následujících požadavků a vyhodí nějaký blok, který se mezi nimi nevyskytuje. Tak si zajistí, že v k 1 následujících požadavcích nebude muset nahrávat nový blok do pracovní paměti. Celkem tedy nahraje OPT(v) k + (n k)/k (n + k 2 )/k bloků do paměti. Máme tedy ALG(v) OPT(v) n (n + k 2 )/k = k n + k2 k 2 ) n + k 2 = k (1 k2 n + k 2. Pro dostatečně dlouhý vstup (velké n) je tento poměr libovolně blízko k. Žádný algoritmus ALG tedy nemůže být c-kompetitivní pro c < k. Výše popsaný algoritmus Fronta tedy má nejlepší možný kompetitivní poměr. Mohli bychom namítnout, že možná není v pořádku konstruovat vstup průběžně tak, aby se na něm algoritmus ALG choval co nejhůře. Nicméně vzhledem k tomu, že algoritmus ALG je deterministický, bude na takto získaném vstupu fungovat vždy stejně čili takto obdržíme pevný vstup v, pro nějž ALG(v)/OPT(v) je blízko k. Pozorný čtenář si možná povšimne, že úvaha z předchozího odstavce nefunguje pro pravděpodobnostní algoritmy, které využívají náhodná čísla. Analýza chování pravděpodobnostních algoritmů je výrazně obtížnější, omezíme se proto pouze na deterministické algoritmy. Ve vašich řešeních tedy nesmíte používat generátor náhodných čísel. 9
68. ročník Matematické olympiády 2018/2019
68. ročník Matematické olympiády 2018/2019 Úlohy ústředního kola kategorie P 1. soutěžní den Na řešení úloh máte 4,5 hodiny čistého času. Řešení každé úlohy pište na samostatný list papíru. Při soutěži
68. ročník Matematické olympiády 2018/2019
68. ročník Matematické olympiády 2018/2019 Úlohy krajského kola kategorie P Krajské kolo 68. ročníku MO kategorie P se koná v úterý 22. 1. 2019 v dopoledních hodinách. Na řešení úloh máte 4 hodiny čistého
63. ročník Matematické olympiády 2013/2014
63. ročník Matematické olympiády 2013/2014 Úlohy ústředního kola kategorie P 2. soutěžní den Na řešení úloh máte 4,5 hodiny čistého času. Při soutěži je zakázáno používat jakékoliv pomůcky kromě psacích
66. ročník Matematické olympiády 2016/2017
66. ročník Matematické olympiády 2016/2017 Úlohy domácího kola kategorie P Úlohy P-I-1 a P-I-2 jsou praktické, vaším úkolem v nich je vytvořit a odladit efektivní program v jazyce Pascal, C nebo C++. Řešení
66. ročník Matematické olympiády 2016/2017
66. ročník Matematické olympiády 016/017 Úlohy krajského kola kategorie P Krajské kolo 66. ročníku MO kategorie P se koná v úterý 17. 1. 017 v dopoledních hodinách. Na řešení úloh máte 4 hodiny čistého
61. ročník Matematické olympiády 2011/2012
61. ročník Matematické olympiády 2011/2012 Úlohy ústředního kola kategorie P 1. soutěžní den Na řešení úloh máte 4,5 hodiny čistého času. Řešení každé úlohy pište na samostatný list papíru. Při soutěži
68. ročník Matematické olympiády 2018/2019
68. ročník Matematické olympiády 2018/2019 Řešení úloh krajského kola kategorie P P-II-1 Tulipány Budeme řešit o něco obecnější úlohu: dovolíme si předepsat, zda má na n-té pozici být tulipán, a pokud
66. ročník Matematické olympiády 2016/2017
66. ročník Matematické olympiády 2016/2017 Úlohy ústředního kola kategorie P 1. soutěžní den Na řešení úloh máte 4,5 hodiny čistého času. Řešení každé úlohy pište na samostatný list papíru. Při soutěži
63. ročník Matematické olympiády 2013/2014
6. ročník Matematické olympiády / Úlohy domácího kola kategorie P Úlohy P-I- a P-I- jsou praktické, vaším úkolem v nich je vytvořit a odladit efektivní program v jazyce Pascal, C nebo C++. Řešení těchto
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
6. ROČNÍK ŠKOLNÍ SOUTĚŽE V PROGRAMOVÁNÍ 2013
6. ROČNÍK ŠKOLNÍ SOUTĚŽE V PROGRAMOVÁNÍ 2013 Pořadí úloh si určujete sami, u každé úlohy je uvedeno její bodové hodnocení. Můžete řešit různé úlohy v různých programovacích jazycích. Každou hotovou úlohu
Cílem seminární práce je aplikace teoretických znalostí z přednášky na konkrétní úlohy. Podstatu algoritmu totiž
Zadání příkladů pro semestrální práci 9 Cílem seminární práce je aplikace teoretických znalostí z přednášky na konkrétní úlohy. Podstatu algoritmu totiž člověk nejlépe pochopí až pokud jej sám implementuje,
59. ročník Matematické olympiády 2009/2010
59. ročník Matematické olympiády 2009/2010 Úlohy ústředního kola kategorie P 1. soutěžní den Na řešení úloh máte 4,5 hodiny čistého času. Řešení každé úlohy pište na samostatný list papíru. Při soutěži
67. ročník Matematické olympiády 2017/2018
67. ročník Matematické olympiády 2017/2018 Úlohy domácího kola kategorie P Úlohy P-I-1 a P-I-2 jsou praktické, vaším úkolem v nich je vytvořit a odladit efektivní program v jazyce Pascal, C nebo C++. Řešení
63. ročník Matematické olympiády 2013/2014
6. ročník Matematické olympiády / Úlohy krajského kola kategorie P Krajské kolo 6. ročníku MO kategorie P se koná v úterý.. v dopoledních hodinách. Na řešení úloh máte hodiny čistého času. V krajském kole
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
67. ročník Matematické olympiády 2017/2018
67. ročník Matematické olympiády 2017/2018 Úlohy ústředního kola kategorie P 2. soutěžní den Na řešení úloh máte 4,5 hodiny čistého času. Při soutěži je zakázáno používat jakékoliv pomůcky kromě psacích
Korespondenční Seminář z Programování
Korespondenční Seminář z Programování SOUTĚŽ KASIOPEA 27. ročník Zadání úloh Březen 2015 V tomto textu naleznete zadání úloh online soutěže Kasiopea 2015, která probíhá o víkendu 22. 23. března. Veškeré
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Zadání soutěžních úloh
Zadání soutěžních úloh Kategorie žáci Soutěž v programování 25. ročník Krajské kolo 2010/2011 15. až 16. dubna 2011 Úlohy můžete řešit v libovolném pořadí a samozřejmě je nemusíte vyřešit všechny. Za každou
Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A
Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy
68. ročník Matematické olympiády 2018/2019
68. ročník Matematické olympiády 2018/2019 Řešení úloh ústředního kola kategorie P 2. soutěžní den P-III-4 Výlet Abychom našli požadovaný výlet délky 4, stačí najít dvě hvězdy a a b, které mají dva společné
H {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
Metody síťové analýzy
Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický
Klauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura
Informatika navazující magisterské studium Přijímací zkouška z informatiky 2018 varianta A
Informatika navazující magisterské studium Přijímací zkouška z informatiky 2018 varianta A Každá úloha je hodnocena maximálně 25 body. Všechny své odpovědi zdůvodněte! 1. Postavte na stůl do řady vedle
Geometrické vyhledávání
mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či
Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
59. ročník Matematické olympiády 2009/2010
59. ročník Matematické olympiády 2009/2010 Úlohy krajského kola kategorie P Krajskékolo59.ročníkuMOkategoriePsekonávúterý12.1.2010vdopoledních hodinách.nařešeníúlohmáte4hodinyčistéhočasu.vkrajskémkolemo-pseneřeší
Úlohy krajského kola kategorie C
67. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C 1. Najděte nejmenší přirozené číslo končící čtyřčíslím 2018, které je násobkem čísla 2017. 2. Pro celá čísla x, y, z platí x 2 + y z =
8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík)
8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík) Když s geometrickými problémy pořádně nezametete, ony vám to vrátí! Ale když užzametat,takurčitěnepodkoberecamístosmetákupoužijtepřímku.vtéto přednášce nás
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
Zadání soutěžních úloh
19. až 21. dubna 2018 Krajské kolo 2017/2018 Úlohy můžete řešit v libovolném pořadí a samozřejmě je nemusíte vyřešit všechny. Za každou úlohu můžete dostat maximálně 10 bodů, z nichž je většinou 9 bodů
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
Prohledávání do šířky = algoritmus vlny
Prohledávání do šířky = algoritmus vlny - souběžně zkoušet všechny možné varianty pokračování výpočtu, dokud nenajdeme řešení úlohy průchod stromem všech možných cest výpočtu do šířky, po vrstvách (v každé
63. ročník Matematické olympiády 2013/2014
6. ročník Matematické olympiády 0/0 Úlohy ústředního kola kategorie P. soutěžní den Na řešení úloh máte, hodiny čistého času. Řešení každé úlohy pište na samostatný list papíru. Při soutěži je zakázáno
Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
8. MČR v řešení sudoku, Brno, Přehled úloh
. MČR v řešení sudoku, Brno,.-..0 Přehled úloh Na mistrovství se budou řešit zde uvedené typy úloh. V úlohách ve tvaru čtverce n n rozděleného na n oblastí platí standardní pravidla sudoku, tj. je potřeba
Složitost Filip Hlásek
Složitost Filip Hlásek Abstrakt. Příspěvek popisuje dva základní koncepty teoretické informatiky, Turingovy stroje a složitost. Kromě definic důležitých pojmů uvádí také několik souvisejících tvrzení,
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Algoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických
Copyright 2013 Martin Kaňka;
Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Hlavním cílem aplikace Cubix je výpočet a procvičení výpočtu objemu a povrchu těles složených z kostek. Existují tři obtížnosti úkolů
Zadání soutěžních úloh
16. až 18. dubna 2015 Krajské kolo 2014/2015 Úlohy můžete řešit v libovolném pořadí a samozřejmě je nemusíte vyřešit všechny. Za každou úlohu můžete dostat maximálně 10 bodů, z nichž je většinou 9 bodů
1. lekce. do souboru main.c uložíme následující kód a pomocí F9 ho zkompilujeme a spustíme:
1. lekce 1. Minimální program do souboru main.c uložíme následující kód a pomocí F9 ho zkompilujeme a spustíme: #include #include int main() { printf("hello world!\n"); return 0; 2.
8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.
Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
1. jarní série Termín odeslání: 4. února 2019
Váhy 1. jarní série Termín odeslání: 4. února 2019 Vážením na rovnoramenných vahách zjistíme, která strana je těžší, resp. že jsou obě stejně těžké. Na misky vah můžeme dávat i více než jeden předmět.
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald
Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
59. ročník Matematické olympiády 2009/2010
59. ročník Matematické olympiády 2009/2010 Úlohy domácího kola kategorie P ÚlohyP-I-1aP-I-2jsoupraktickyzaměřenéavašímúkolemvnichjevytvořit a odladit efektivní program v jazyce Pascal, C nebo C++. Řešení
1. lekce. do souboru main.c uložíme následující kód a pomocí F9 ho zkompilujeme a spustíme:
1. lekce 1. Minimální program do souboru main.c uložíme následující kód a pomocí F9 ho zkompilujeme a spustíme: #include #include int main() { printf("hello world!\n"); return 0; 2.
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Pravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21.11. 2006 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Borůvkův algoritmus
Úloha - rozpoznávání číslic
Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Výběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2014, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a,
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
Operační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů
4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
Matematický KLOKAN 2006 kategorie Junior
Matematický KLOKAN 006 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 7 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ. 1.07/1.5.00/34.0637 Šablona III/2 Název VY_32_INOVACE_39_Algoritmizace_teorie Název školy Základní škola a Střední
PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
Úlohy krajského kola kategorie C
65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie. Najděte nejmenší možnou hodnotu výrazu x xy + y, ve kterém x a y jsou libovolná celá nezáporná čísla.. Určete, kolika způsoby lze všechny
Zadání druhého zápočtového projektu Základy algoritmizace, 2005
Zadání druhého zápočtového projektu Základy algoritmizace, 2005 Jiří Dvorský 2 května 2006 Obecné pokyny Celkem je k dispozici 8 zadání příkladů Každý student obdrží jedno zadání Vzhledem k tomu, že odpadly
BCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27
7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Dijkstrův algoritmus
Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované
B3B33ALP - Algoritmy a programování - Zkouška z předmětu B3B33ALP. Marek Boháč bohacm11
333LP - lgoritmy a programování - Zkouška z předmětu 333LP Jméno Příjmení Už. jméno Marek oháč bohacm11 Zkouškový test Otázka 1 Jaká je hodnota proměnné count po vykonání následujícího kódu: data=[4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8]
Zadání soutěžních úloh
14. až 16. dubna 2016 Krajské kolo 2015/2016 Úlohy můžete řešit v libovolném pořadí a samozřejmě je nemusíte vyřešit všechny. Za každou úlohu můžete dostat maximálně 10 bodů, z nichž je většinou 9 bodů
B3B33ALP - Algoritmy a programování - Zkouška z předmětu B3B33ALP. Marek Boháč bohacm11
Jméno Příjmení Už. jméno Marek oháč bohacm11 Zkouškový test Otázka 1 Jaká je hodnota proměnné count po vykonání následujícího kódu: data=[4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8] count=0 for i in range(1,len(data)):
Exponenciální modely hromadné obsluhy
Exponenciální modely hromadné obsluhy Systém s čekáním a neohraničeným zdrojem požadavků Na základě předchozích informací je potřeba probrat, jaké informace jsou dostupné v počtu pravděpodobnosti řešícím
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní graf má stromovou šířku nejvýše k, a je-li tomu tak, také vrátí příslušný stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu,
Zadání soutěžních úloh
Zadání soutěžních úloh Kategorie žáci Soutěž v programování 24. ročník Krajské kolo 2009/2010 15. až 17. dubna 2010 Úlohy můžete řešit v libovolném pořadí a samozřejmě je nemusíte vyřešit všechny. Za každou
Hammingovy kódy. dekódování H.kódů. konstrukce. šifrování. Fanova rovina charakteristický vektor. princip generující a prověrková matice
Hammingovy kódy konstrukce Fanova rovina charakteristický vektor šifrování princip generující a prověrková matice dekódování H.kódů třída lineárních binárních kódů s A n, 3 n = délka kódu, d = distance
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
vysvětlení pravidel + rozdělení žáků do skupinek (cca 5 minut)
Didaktika matematiky s praxí II. PhDr. Eva Bomerová Cíl hodiny: Procvičení násobení a dělení z paměti hravou formou - Lovení matematických bobříků Před začátkem vyučovací hodiny si upravíme třídu tak,
5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
Úlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,
I. kolo kategorie Z7
68. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Na každé ze tří kartiček je napsána jedna číslice různá od nuly (na různých kartičkách nejsou nutně různé číslice). Víme, že jakékoli trojmístné
[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016
Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016 zadáno 1.-4. 3. 2016, odevzdat do 8.-11. 3. 2016 1. Zjistěte, které z následujících funkcí definovaných pro n N jsou v relaci Θ(), a vzniklé třídy co nejlépe
S1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE
Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak
Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu
Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující