S1P Příklady 01. Náhodné jevy

Transkript

1 S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře mezi šedesátým a sedmdesátým rokem svého života? O náhodných jevech A a B jsou známy následující skutečnosti: (1) Pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden z jevů A a B, je 3/4. (2) Pravděpodobnost, že oba jevy A a B nastanou současně, je 1/4. (3) Pravděpodobnost, že nenastane jev A, je 2/3. Určete pravděpodobnosti obou jevů A a B. Jaká je pravděpodobnost, že nastane jev A a přitom nenastane jev B? V zásobníku je 15 matic a 20 šroubů, přičemž 10 součástek (z toho 7 šroubů) je rezavých. Náhodné naráz vybereme dvě součástky. Označme jev A: obě součástky jsou šrouby, jev B: alespoň jedna součástka je rezavá. Slovné popište jevy a stanovte jejich pravděpodobnosti. Student dělá zkoušky ze 2 předmětů. Předpokládejme existenci vhodného jevového prostoru. Označme Ai jev: student složí i-tou zkoušku. Pomocí jevů A1 a A2 vyjádřete následující jevy: 1. Student složí alespoň 1 zkoušku 2. Student složí obě zkoušky 3. nesloží žádnou 4. nesloží alespoň jednu 5. nesloží právě jednu

2 Klasická pravděpodobnost Jaká je pravděpodobnost, že při hodu šesti hracími kostkami a) padnou vzájemně různá čísla, b) padnou pouze lichá čísla? Házíte dvěma kostkami. S jakou pravděpodobností a) padne na kostkách stejné číslo? b) bude součet na kostkách roven 6? c) bude součet lichý? d) bude součin lichý? Házíte třemi kostkami. S jakou pravděpodobností a) padne na kostkách stejné číslo? b) bude součet na kostkách roven 2? c) bude součet na kostkách roven 6? d) bude součet lichý? e) bude součin lichý? Házíte 10x jednou (ideální) kostkou. Určete pravděpodobnost a) padnutí právě tří 6 v 10 hodech b) padnutí právě tří 6 v 10 hodech za sebou c) padnutí právě tří 6 v 10 hodech každá samostatně d) padnutí právě tří 6 v 10 hodech dvě šestky za sebou a třetí samostatně prvně padne dvojice šestek a pak samostatně prvně padne samostatně a pak dvojice šestek Generátor čísel generuje číslice {0,1,,9} se stejnou pravděpodobností. Necháte vygenerovat 7 číslic. Spočtěte pravděpodobnost, že a) budete mít samé 5 b) všech 7 číslic bude stejné číslo c) budou různé číslice d) obsahuje právě jednu 5 e) obsahuje právě dvě 5 vedle sebe f) obsahuje právě dvě 5 g) obsahuje právě dvě stejné číslice h) obsahuje právě dvě dvojice stejný číslic Necháte vygenerovat 9 číslic. Spočtěte pravděpodobnost, že obsahuje právě jednu trojici a dvě dvojice stejný číslic. 10 lidí vybírá (s vracením) z krabice čísla 0 až 99. Určete pravděpodobnost, že: a) všichni si vyberou stejné číslo; b) alespoň dva si vyberou stejné číslo; c) alespoň dva vyberou čísla, jejichž rozdíl je menší než 5.

3 Na šachovnici se náhodně rozmístí osm věží. Jaká je pravděpodobnost, že žádná z věží neohrožuje žádnou z ostatních (tj. žádné dvě věže neleží ve stejné řadě či sloupci)? Vybíráte 6 čísel (s vracením) z krabice obsahující čísla 0 až 9. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny vybrané čísla jsou stejné; b) alespoň dvě čísla jsou stejné; c) vybrané čísla obsahují právě 2 a 3 stejná čísla (např ) Na zámku s číselným kódem (číslice 0 9) obsahující 5. číslic bylo náhodně zvoleno číslo. Spočtěte pravděpodobnost, že a) všechny číslice jsou stejné b) číslo se skládá pouze ze dvou různých číslic c) číslo se skládá pouze z číslic 1,3,7 a stejné číslice nejsou vedle sebe d) součet všech 5-ti číslic je roven 3. Snažíme se potmě otevřít dveře svého bytu. V kapse máme deset klíčů, z toho právě jeden je od bytu. Náhodně tedy vybíráme a zkoušíme jeden klíč po druhém. Narazíme-li na klíč, který není od bytu, přendáme jej do druhé kapsy, čímž zajistíme, že žádný klíč nebude vybírán a zkoušen opakovaně. a) Jaká je pravděpodobnost, že nám správný klíč padne do ruky při k - tém pokusu? b) Jaká je pravděpodobnost, že nám správný klíč padne do ruky nejpozději při k - tém pokusu? V klobouku máte 5 černých (č) a 7 bílých (b) králíků. Náhodně bez vracení vytáhnete 4 králíky. S jakou pravděpodobností a) vytáhnete králíky barvy b, č, b, b (bez ohledu na pořadí) b) vytáhnete králíky barvy b, č, b, b v tomto pořadí. c) vytáhnete alespoň dva černé králíky. V koši je 6 bílých a 7 černých koulí. Náhodným způsobem vyberete 5 koulí. Určete pravděpodobnost, že z 5-ti vybraných koulích budou právě 3 černé, když je: a) vybíráte bez vracení b) vybíráte s vracením. Všechny vybrané koule budou stejné barvy, když je: a) vybíráte bez vracení b) vybíráte s vracením. V osudí je N koulí, z toho M černých a N M bílých. Koule postupně ve zcela náhodném pořadí vytahujeme z osudí, přičemž je nevracíme zpět. a) Jaká je pravděpodobnost, že k - tá vytažená koule je černá? b) Jaká je pravděpodobnost, že černou kouli vytáhneme poprvé při k - tém tahu? c) Jaká je pravděpodobnost, že černou kouli vytáhneme nejpozději při k - tém tahu? d) Jaká je pravděpodobnost, že po n tazích bude vytaženo právě k černých koulí? e) Je-li celkový počet koulí v osudí hodně veliký, lze pravděpodobnosti z úloh b), c) a d) vyjádřit jako funkci poměru p = M N. Najděte taková vyjádření.

4 V osudí je N koulí, z toho M černých a N M bílých. Náhodně vytáhneme jednu kouli, poté ji vrátíme zpět a koule v osudí důkladně promícháme. Opět vytáhneme kouli, vrátíme ji zpět, koule v osudí promícháme atd. V principu lze výběr koule nesčíslněkrát opakovat. a) Jaká je pravděpodobnost, že při k - tém tahu vytáhneme černou kouli? b) Jaká je pravděpodobnost, že černou kouli vytáhneme poprvé při k - tém tahu? c) Jaká je pravděpodobnost, že černou kouli vytáhneme nejpozději při k - tém tahu? d) Jaká je pravděpodobnost, že v n tazích bude černá koule vytažena právě k - krát? Z balíčku mariášových karet vytáhneme postupně osm karet; nevracíme je přitom zpět. Jaká je pravděpodobnost, že právě tři vytažené karty mají červenou barvu? Na plese je tombola, kde je 100 cen. Celkem se prodává 1000 lístků do tomboly. Koupíte si 10 lístků. S jakou pravděpodobností vyhrajete nějakou cenu? Jaká je pravděpodobnost, že ve skupině n lidí se najdou alespoň dva, kteří mají narozeniny ve stejný den? (Předpokládáme, že rok má 365 dní a že porodnost se v průběhu roku nemění.) Speciálně určete tuto pravděpodobnost pro n = 23 a pro n = 56.

5 Geometrická pravděpodobnost Adam a Eva se domluvili, že se sejdou mezi 15 a 16 hodinou. Pravděpodobnost jejich příchodu mezi 15 a 16 hodinou je stejná. a) určete pravděpodobnost, že se setkají, pokud každý čeká 10 minut; b) určete pravděpodobnost, že přijdou ve stejný čas; c) určete pravděpodobnost, že se setkají, pokud Adam čeká 20 min a Eva 5 min; d) kolik minut by na sebe museli čekat (oba stejně), aby pravděpodobnost, že se setkají, byla 0,75. Dva kolegové Libor a Josef přichází do kanceláře mezi 8.00 a (nezávisle na sobě a se stejnou pstí v každém okamžiku v tomto časovém intervalu). Libor se v kanceláři zdrží půl hodiny, Josef 1 hodinu. Určete pravděpodobnost, že Libor přijde do kanceláře později než Josef ale odejde dříve. (25 bodů) Dvě osoby se domluvily, že se setkají na smluveném místě. Každá přijde nezávisle na druhé v náhodný okamžik mezi 19 a 20 hodinou, počká 20 minut a když se nesetkají, odejde. Vypočtěte pravděpodobnost, a) že se setkají, b) že přijdou zároveň. Určitým místem projíždí autobusy městské hromadné dopravy, a to střídavě v patnácti- a dvacetiminutových intervalech. Přijdeme-li v náhodném časovém okamžiku na zastávku, jaká je pravděpodobnost, že budeme na nejbližší spoj čekat nejvýše deset minut? V pětiposchoďovém domě je výškový rozdíl mezi jednotlivými patry šest metrů, mezi přízemím a prvním patrem osm metrů. Pro poruchu zůstane výtah někde stát. Výška dveří výtahu je 1,8 metru. Jaká je pravděpodobnost, že v okamžiku zastavení bude z výtahu vidět jen stěnu šachty? (Předpokládáme, že jde o starý typ výtahu, jehož dveře jsou celé prosklené a vnitřní dveře neexistují, případně o výtah typu páter noster, tj. bez dveří). Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou čísel vybraných zcela náhodně (a nezávisle na sobě) z intervalu (0,1) je větší než 1/2 a současně menší než 3/2? Na železniční trati se provádí opravy a vlaky mohou jezdit jen po jedné koleji. Dva vlaky jedoucí v opačném směru mohou tímto úsekem projet v průběhu 30minut v kteroukoli dobu se stejnou pstí. Určete pst, že jeden vlak nebude muset čekat na druhý, potřebuje-li první vlak na projetí celého úseku 5 minut a druhý vlak 3minuty. (25 bodů)

6 Podmíněná pravděpodobnost Hodíte současně dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že a) na obou kostkách padly čísla menší než 4; b) alespoň na jedné kostce padlo číslo menší než 4; c) součet na kostkách je 7, když víte, že na kostkách padly různá čísla; d) součet na kostkách je 7, když víte, že alespoň jedné padlo liché číslo; e) součet je sudý, když víte, že součin je lichý; f) součin je lichý, když víte, že součet je sudý. Stroj vyrobí zmetek s pravděpodobností 0,07. Výrobek 1. jakosti projde kontrolou s pravděpodobností 0,97 a zmetek s pravděpodobností 0,12. Spočtěte: a) s jakou pravděpodobností náhodně vybraný výrobek projde kontrolou? b) s jakou pravděpodobností výrobek za kontrolou bude 1. jakosti? Ve skladu jsou výrobky od 3 závodů umístěných podle závodu ve třech různých policích. Od prvního závodu je 200 výrobků a mezi nimi je 6 zmetků, od druhého závodu je 50 výrobků a mezi nimi jsou 2 zmetky a od třetího závodu je 20 výrobků a mezi nimi je jeden zmetek. Ze skladu náhodně vybereme polici (každá z polic má stejnou šanci býti vybrána) s výrobky daného závodu a z ní náhodně vybereme 1 výrobek. (a) Jaká je pravděpodobnost, že vybraný výrobek je zmetek? (b) Jestliže náhodně vybraný výrobek je zmetek, jaká je pravděpodobnost, že pochází od prvního závodu? 3 závody vyrábí stejný výrobek. Při výrobě vznikne výrobek 1. jakosti nebo zmetek. 1. závod vyrobí zmetek s pravděpodobností 0.05, 2. závod vyrobí zmetek s pravděpodobností 0.1, 3. závod vyrobí zmetek s pravděpodobností závod vyrobí 3x více výrobků než 3. závod, 2.závod vyrobí 1/2 výrobků co 3. závod. Výrobky od všech tří závodů jsou dodávány do společného obchodu. Náhodně v obchodě vyberete jeden výrobek. Spočtěte: a) S jakou pravděpodobností bude tento náhodně vybraný výrobek 1. jakosti? b) Vybrali jste zmetek. S jakou pravděpodobností bude tento zmetek od 3. závodu? c) Pokud ve všech závodech provedou kontrolu jakosti, která propustí 90% výrobků 1. jakosti a 15% zmetků, s jakou pravděpodobností nyní vyberete v obchodě výrobek 1. jakosti? Ve skladu jsou výrobky ve dvou bednách. V jedné je 10 výrobků a z toho jsou 2 vadné. Ve druhé je 13 výrobků a z toho jsou 3 vadné. Z první bedny náhodně vyberete jeden výrobek a dáte ho do druhé bedny. Pak z druhé bedny vyberete náhodně jeden výrobek. a) Jaká je pravděpodobnost, že vybraný výrobek z druhé bedny je vadný? b) Jestliže náhodně vybraný výrobek je vadný, jaká je pravděpodobnost, že pochází z první bedny? c) Kdy je větší pravděpodobnost vytažení vadného výrobku: 1) když náhodně vyberu výrobek z první, dám do druhé a pak z ní tahám výrobek 2) když náhodně vyberu výrobek z druhé, dám do první a pak z ní tahám výrobek.

7 Ve dvou oddělených krabicích má 10 bílých a 10 černých koulí. K dispozici máme ještě jednu symetrickou minci a jednu urnu. Házíme desetkrát mincí. Když padne rub (líc) vložíme do urny 1 bílou (1 černou) kouli. Takto naplněná urna je zkoumána pomocí pokusu, který spočívá v tom, že z urny jsou postupně taženy 2 koule s vracením zpět. a) Jaká je pst jevu, že 1. koule je bílá a 2.koule je černá? b) Víme-li, že byly vytaženy 2 bílě koule, jaká je pst, že v urně byly pouze bílě koule? Z osudí, které obsahuje 5 bílých a 5 černých koulí byly vytaženy 3 koule. Z nich byla náhodné vybrána jedna koule. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodné vybraná koule je černá. b) Náhodné vybraná koule je bílá. Jaká je v tomto případě pravděpodobnost, že byly původně vytaženy bílé koule?

8 Nezávislost Máte 52 karet eso, 2,,10, kluk, dáma král.. Hodnota obrázkových karet je 10. Eso je za 1. bod. Náhodně vyberete jednu kartu. Uvažujme následující náhodné jevy: A - hodnota vybrané karty je 6 až 10 bodů B - karta je křížová C - hodnota karty je liché číslo Určete závislost čí nezávislost náhodných jevů A, B, C. Nechť je základní prostor Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9} a náhodné jevy A,B,C jsou: A={1,2,3}, B={3, 4, 5}, C={1,5,6}. Jsou tyto jevy skupinově nezávislé? Pro základní prostor Ω={1,2,3,4} najděte náhodné jevy A, B, C, tak aby jevy A, B, C byly po dvojicích nezávislé, ale trojice A, B, C byla závislá. Pro základní prostor Ω={1,2,3,4,5,6,7,8} najděte náhodné jevy A, B, C, tak aby jevy A, B, C byly skupinově nezávislé. V urně jsou 4 lístky označené 000,110, 101, 011. Ai náhodně vytažený lístek má na i-těm místě 1. Zjistěte, zda jsou jevy skupinově nezávislé.

9 Spolehlivost soustav Spočtěte spolehlivost systému: zadána je pravděpodobnost poruchy Spočtěte spolehlivost systému: zadána je pravděpodobnost poruchy Spočtěte spolehlivost systému: zadána je pravděpodobnost poruchy Spočtěte spolehlivost systému: zadána je pravděpodobnost poruchy