Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,

Transkript

1 Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé v V (G) existuje x V (T ) tž. v β(x), pro každé uv E(G) existuje x V (T ) tž. u, v β(x), a pro každé v V (G) indukuje {x V (T ) : v β(x)} souvislý podstrom T. Lemma 1. Je-li (T, β) stromový rozklad grafu G a je-li H souvislý podgraf G, pak {x V (T ) : V (H) β(x) } indukuje souvislý podstrom T H stromu T. Důkaz. Indukcí dle V (H). Pro V (H) = 1 platí z definice stromového rozkladu. Jestliže V (H) > 1, pak existuje v V (H) tž. H v je souvislý (např. libovolný list kostry H). Necht u je soused v v H. Z indukčního předpokladu je T H v souvislý podstrom T. Dle definice stromového rozkladu je T v souvislý podstrom. Navíc T H v T v, jelikož uv E(G), a proto existuje x V (T ) tž. u, v β(x). Proto T H = T H v T v je souvislý. Lemma 2. Je-li (T, β) stromový rozklad G a K je klika v G, pak existuje x V (T ) tž. K β(x). Důkaz. Indukcí dle velikosti K. Pro K 2 platí z definice stromového rozkladu. Necht K = {v 1,..., v k } pro nějaké k 3. Necht K 1 = {v 1,..., v k 1 } a K 2 = {v 2,..., v k }. Z indukčního předpokladu existují vrcholy x 1, x 2 V (T ) tž. K 1 β(x 1 ) a K 2 β(x 2 ). Necht x je poslední vrchol na cestě z x 1 do x 2 v T tž. v 1 β(x). Zjevně {v 2,..., v k 1 } β(x). Kdyby v k β(x), pak T neobsahuje žádný vrchol y splňující v 1, v k β(y), což je spor, jelikož v 1 v k E(G). Proto K β(x). 1

2 1 Stromová šířka Definice 2. Šířka stromového rozkladu (T, β) je max{ β(v) : v V (T )} 1. Stromová šířka tw(g) grafu G je nejmenší šířka jeho stromového rozkladu. Pozorování 3. Graf G má stromovou šířku nejvýše t právě tehdy, lze-li ho vyrobit pomocí ( t)-sum z grafů s nejvýše t + 1 vrcholy. Lemma 4. Je-li H minor G, pak tw(h) tw(g). Důkaz. Necht (T, β) je stromový rozklad G šířky t = tw(g). Necht ϕ je model H v G. Definujme β tak, že pro x V (T ) vrchol v V (H) patří do β (x) právě tehdy, když ϕ(v) β(x). Pak (T, β ) je stromový rozklad H šířky nejvýše t. Pozorování 5. tw(k n ) = n 1. Lemma 6. Pro graf G platí: tw(g) = 0, právě když E(G) =, tj. K 2 není minor G. tw(g) 1, právě když G je les, tj. K 3 není minor G. tw(g) 2, právě když K 4 není minor G. Důkaz. Stačí zkonstruovat stromové rozklady. Pro grafy bez minoru K 4 plyne z Lemma 4 z poznámek k 5-té přednášce. Definice 3. Bramble B v grafu G je množina neprázdných podmnožin V (G) taková, že pro libovolné X, Y B je podgraf G indukovaný X Y souvislý (a speciálně, každá X B indukuje souvislý podgraf). Řád bramble B je velikost nejmenší množiny Z V (G) takové, že X Z pro každé X B. Lemma 7. Necht (T, β) je stromový rozklad G a B je bramble v G. Pak existuje v V (T ) tž. β(v) protíná všechny množiny z B. Důkaz. Pro hranu uv E(T ) nadefinujme T u,v jako podstrom T uv obsahující v. Pro spor předpokládejme, že pro každé u V (T ) existuje X B disjunktní s β(u). Jelikož G[X] je souvislý, {x : β(x) X } indukuje souvislý podstrom T X stromu T dle Lemma 1. Existuje tedy soused v vrcholu u v T takový, že T X T u,v. Označme π(u) := v a X(u) := X. Jelikož T je strom, existuje uv E(T ) tž. π(u) = v a π(v) = u. Jelikož X(u) X(v) indukuje souvislý podgraf G, existují vrcholy w X(u) a z X(v) tž. w = z nebo wz E(G), a z definice stromového rozkladu existuje x V (T ) tž. w, z β(x). Ale stromy T X(u) T u,v a T X(v) T v,u jsou disjunktní, což je spor. 2

3 Důsledek 8. Necht (T, β) je stromový rozklad G a B je bramble v G řádu k. Pak (T, β) má šířku alespoň k 1. Mřížka o rozměrech n n je graf s množinou vrcholů {(i, j) : 1 i, j n} tž. dva vrcholy (i 1, j 1 ) a (i 2, j 2 ) sousedí právě tehdy, když i 2 i 1 + j 2 j 1 = 1. Lemma 9. Mřížka o rozměrech n n má stromovou šířku alespoň n 1. Důkaz. Necht R i je i-tý řádek a S j je j-tý sloupec mřížky. Necht B = {R i S j : 1 i, j n}. Pak B je bramble řádu n. Důsledek 10. Existují grafy bez minoru K 5 s libovolně velkou stromovou šířkou. 2 Chordální grafy Definice 4. Graf G je chordální, jestliže neobsahuje žádný indukovaný cyklus délky alespoň 4. Vrchol v je simpliciální, jestliže jeho okolí indukuje kliku. Lemma 11 (Viz KG2). Graf je G chordální právě tehdy, jestliže každý jeho indukovaný podgraf obsahuje simpliciální vrchol. Důsledek 12. Graf G je chordální právě tehdy, když má stromový rozklad (T, β) takový, že β(x) je klika v G pro každé x V (T ). Důkaz. Dokazujeme indukcí dle počtu vrcholů G. Necht G je chordální a v je jeho simpliciální vrchol. Z indukce má G v stromový rozklad (T, β ) takový, že β (x) je klika v G v pro každé x V (T ). Okolí v v G je klika K, a dle Lemma 2 existuje z V (T ) takové, že K β (x). Necht T vznikne z T přidáním listu y sousedícího s z, a necht β je definováno jako β(x) = β (x) pro x V (T ) a β(y) = K {v}. Pak (T, β) je stromový rozklad G s požadovanými vlastnostmi. Opačné tvrzení viz domácí úkol. Důsledek 13. Graf G má stromovou šířku nejvýše t právě tehdy, když je podgrafem chordálního grafu klikovosti t

4 3 Bramble a minory Lemma 14. Je-li B bramble v grafu G, pak existuje cesta P v G protínající všechny prvky B. Důkaz. Cestu P konstruujeme tak, aby vždy existovala množina X B, která ji protíná v právě jednom vrcholu x (konstrukci zahájíme s triviální cestou skládající se z jednoho vrcholu obsaženého v nějaké z množin bramble). Jestliže existuje X B disjunktní s P, pak prodloužíme P nejkratší cestou z x do X uvnitř G[X X ]; výsledná cesta protíná X v právě jednom vrcholu, požadovaný invariant je tedy zachován. Takto cestu P prodlužujeme, dokud neprotne všechny množiny z B. Pozorování 15. Necht B je bramble v grafu G a B = B 1 B 2. Pak B 1 a B 2 jsou bramble v G a součet jejich řádů je větší nebo roven řádu bramble B. Lemma 16. Necht B je bramble řádu alespoň 2k 2 v grafu G a P G je cesta protínající všechny prvky B. Pak existuje množina A V (P ) velikosti 2k tž. pro každou k-prvkovou podmnožinu X A existuje v G k vrcholově disjunktních cest z X do A \ X. Důkaz. Rozložme P na vrcholově disjunktní podcesty P 1,..., P 2k následovně: necht pro i = 1,..., 2k je P i nejkratší počáteční úsek P V (P 1... P i 1 ) takový, že bramble B i B skládající se z množin z B \ (B 1... B i 1 ), které protnou P i, má řád k. To lze, jelikož dle pozorování 15 má bramble B \ (B 1... B i 1 ) řád alespoň (2k (i 1))k k. Necht A je množina obsahující právě jeden (libovolný) vrchol z P 1,..., P 2k. Kdyby pro nějakou k-prvkovou podmnožinu X A neexistovalo v G k vrcholově disjunktních cest z X do A \ X, pak by dle Mengerovy věty existovala množina S V (G) velikosti menší než k tž. v G S neexistuje žádná cesta z A\S do A\(X S). Jelikož X, A\X k a S < k, existují i, j {1,..., 2k} tž. P i i P j jsou disjunktní s S, X P i a (A\X) P j. Jelikož B i i B j mají řád k a S < k, existují B i B i a B j B j disjunktní s S. Pak ale podgraf P i P j G[B i B j ] je souvislý, disjunktní s S, a protíná jak X tak A \ X, což je spor. Proto mezi X a A \ X existuje k vrcholově disjunktních cest. Žebřík Z k je graf skládající se z cest u 1... u k a v 1... v k a hran u i v i pro i = 1,..., k. Lemma 17. Necht B je bramble v grafu G. Má-li B řád alespoň 2k 4, pak G obsahuje podrozdělení Z k. 4

5 Důkaz. Dle lemmat 14 a 16 existuje v G cesta P a množina A V (P ) velikosti 2k 2 taková, že pro každou k 2 -prvkovou podmnožinu X A existuje v G k 2 vrcholově disjunktních cest z X do A \ X. Necht P 1 je počáteční úsek P obsahující právě k 2 vrcholů z A, a P 2 = P \ V (P 1 ). Pak v G existuje k 2 vrcholově disjunktních cest Q 1,..., Q k 2 se začátky v P 1 a konci v P 2. Necht x 1,..., x k 2 a y 1,..., y k 2 jsou začátky a konce těchto cest na P 1 a P 2, uspořádané podle jejich pořadí na P 1 či P 2. BÚNO pro j = 1,..., k2 cesta Q j začíná v x j ; necht její konec je y ij. V posloupnosti i 1, i 2,..., i k 2 existuje rostoucí či klesající podposloupnost délky k, řekněme i j1,..., i jk pro nějaké j 1 <... < j k. Pak P 1, P 2 a cesty Q j1,..., Q jk tvoří podrozdělení Z k v G. 4 Erdős-Posova vlastnost Necht F je třída grafů. Říkáme, že F má Erdős-Pósovu vlastnost, jestliže existuje nějaká funkce f taková, že pro každý graf G a přirozené číslo k bud G obsahuje více než k vrcholově disjunktních podgrafů patřících do F, nebo existuje Z V (G) velikosti nejvýše f(k) tž. G Z neobsahuje žádný podgraf patřící do F. Lemma 18. Necht t je přirozené číslo. Má-li každý graf z F nevýše t vrcholů, pak F má Erdős-Pósovu vlastnost. Důkaz. Můžeme položit f(k) = tk. Necht G je libovolný graf a {F 1,..., F m } je maximální množina vrcholově disjunktních podgrafů G patřících do F. Pak každý podgraf G patřící do F protne Z = V (F 1... F m ), a je-li m k, pak Z f(k). Necht C je třída všech cyklů. Chceme ukázat, že C má Erdős-Pósovu vlastnost; tj. že bud G obsahuje více než k vrcholově disjunktních cyklů, nebo existuje množina Z nejvýše f(k) vrcholů taková, že G Z je les. Pozorování 19. Necht k 1 je přirozené číslo. Necht B je množina všech podgrafů grafu G, které indukují souvislý podgraf obsahující více než k/2 vrcholově disjunktních cyklů. Jestliže G neobsahuje více než k vrcholově disjunktních cyklů, pak B je bramble v G. Věta 20. Třída C všech cyklů má Erdős-Pósovu vlastnost. Důkaz. Necht I je multimnožina nezáporných přirozených čísel. Říkáme, že I je k-omezená, jestliže max I k/2 a I k. Nadefinujme f(0) = 0 a f(k) = 2(2k + 2) 4 + max{ i I f(i) : I k-omezená} pro k 1. Necht G je graf neobsahující více než k vrcholově disjunktních cyklů a B je bramble z pozorování 19. Kdyby B měla řád alespoň 2(2k + 2) 4, pak 5

6 dle lemma 17 G obsahuje podrozdělení Z 2k+2 a má tedy k + 1 vrcholově disjunktních cyklů, což je spor. Proto existuje množina Z 0 V (G) velikosti méně než 2(2k + 2) 4 protínající všechny prvky B. Jinak řečeno, žádná z komponent G Z 0 neobsahuje více než k/2 vrcholově disjunktních cyklů. Necht C 1,..., C m jsou komponenty G Z 0, a necht pro i = 1,..., m je k i k/2 maximální počet vrcholově disjunktních cyklů v G[C i ]. Z indukce existuje Z i C i velikosti nejvýše f(k i ) tž. G[C i ] Z i je les. Položme Z = Z 0 Z 1... Z m. Pak G Z je les. Navíc, jelikož G neobsahuje více než k vrcholově disjunktních cyklů, máme m i=1 k i k, a proto Z = Z 0 + m Z i 2(2k + 2) 4 + i=1 m f(k i ) f(k). i=1 5 Bramble a stromová šířka Separace grafu G je dvojice (A, B), kde A, B V (G), A B = V (G), a každá hrana G je obsažena bud v G[A] nebo v G[B] (tedy neexistuje hrana mezi A \ B a B \ A. Velikost separace (A, B) je A B. Lemma 21. Necht (T, β) je stromový rozklad grafu G a w V (T ). Necht (A, B) je separace velikosti k tž. β(w) A a β(w) nelze oddělit od A B odebráním méně než k vrcholů. Pak existuje stromový rozklad (T, β ) grafu G[B] tž. β (w) = A B, každý vrchol v V (T ) splňuje β (v) β(v) a každý list v V (T ) různý od w splňuje β (v) β(v). Důkaz. Dle Mengerovy věty existuje k disjunktních cest P 1,..., P k v G z β(w) do A B. Jelikož A B = k a β(w) A, tyto cesty jsou obsaženy v G[A]. Necht z i je konec cesty P i v A B. Nadefinujme β (v) = β(v) B pro listy v stromu T různé od w a β (v) = (β(v) B) {z i : V (P i ) β(v) } pro všechny další vrcholy v V (T ). Tvrdíme, že toto dává stromový rozklad G[B] splňující podmínky. Jediná netriviální k ověření je, že {x V (T ) : z i β (x)} indukuje souvislý podstrom pro každé z i A B. Nicméně {x V (T ) : V (P i ) β(x) } indukuje souvislý podstrom dle Lemma 1, a {x V (T ) : z i β (x)} se od něj liší pouze odebráním některých listů. 6

7 Lemma 22. Necht B je bramble v grafu G taková, že neexistuje bramble B B řádu alespoň k. Pak existuje stromový rozklad (T, β) grafu G takový, že každý vrchol v V (T ) splňující β(v) k je list T a existuje X B disjunktní s β(v). Důkaz. Tvrzení dokážeme indukcí dle 2 V (G) B, předpokládejme proto, že platí pro všechny bramble s víc než B prvky. Necht Z V (G) je nejmenší množina protínající všechny prvky B; jelikož řád B je menší než k, máme Z < k. Tvrzení platí triviálně, jestliže V (G) = Z (T lze zvolit jako jednovrcholový strom), proto předpokládejme, že V (G) Z. Uvažme libovolnou komponentu C grafu G Z. Ukážeme, že platí následující tvrzení: ( ) Bud G má stromový rozklad splňující podmínky lemmatu, nebo graf G[Z C] má stromový rozklad (T C, β C ) s vrcholem v C takovým, že β C (v C ) = Z a každý vrchol v V (T C ) splňující β C (v) k je list T C a existuje X B disjunktní s β C (v). Toto tvrzení zjevně implikuje tvrzení lemmatu: Necht C 1,..., C m jsou komponenty G Z. Jako T označme strom vzniklý z T C1,..., T Cm zidentifikováním vrcholů v C1,..., v Cm, a pro každé v V (T ) patřící do stromu T Ci definujme β(v) = β Ci (v). Pak (T, β) je stromový rozklad G splňující požadované podmínky. Zbývá tedy dokázat platnost tvrzení ( ). Jestliže existuje X B tž. G[X C] není souvislý graf, pak necht T C je strom se dvěma vrcholy v C a w C, β(v C ) = Z a β(w C ) = Z C, kde Z je množina vrcholů Z, které mají souseda v C; zjevně X je disjunktní s β(w C ), a proto tento stromový rozklad splňuje podmínky ( ). Necht tedy G[X C] je souvislý graf pro každé X B, a B = B {C} je tedy bramble. Dle indukčního předpokladu existuje stromový rozklad (T C, β ) grafu G takový, že každý vrchol v V (T C ) splňující β (v) k je list T C a existuje X B disjunktní s β (v). Můžeme předpokládat, že tento rozklad nesplňuje podmínky lemmatu a existuje tedy list v C stromu T C takový, že β (v C ) k a β (v C ) protíná všechny prvky B; máme tedy β (v C ) C. Povšimněme si, že β (v C ) nelze oddělit od Z odebráním méně než Z vrcholů jelikož B má řád Z, existuje X B disjunktní s odebranými vrcholy, G[X] je souvislý graf, a X protíná jak Z tak β (v C ). Můžeme tedy aplikovat Lemma 21 s w = v C, A = V (G) \ C a B = Z C. Tím dostaneme z (T C, β ) rozklad (T C, β C ) splňující podmínku ( ): každý vrchol v V (T C ) splňující β C (v) k je list T C (jelikož β (v) β C (v) ), a proto β C (v) β (v). Navíc dle volby (T C, β ) existuje X B disjunktní s β (v) a tedy i s β C (v) a nemůže být X = C, jelikož β C (v) Z C a β C (v) k > Z. 7

8 Aplikujeme-li předchozí lemma s B =, dostáváme následující. Důsledek 23. Jestliže G nemá žádnou brambli řádu k, pak existuje stromový rozklad G šířky nejvýše k 2. 8