BCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27
|
|
- Vítězslav Moravec
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27
2 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27
3 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód předem daný počet chyb. Následující konstrukci vymysleli Bose a Ray-Chaudhuri (1960) a nezávisle na nich Hocquenghem (1959). Jedná se tedy o Bose-Chaudhuri-Hocquenghemovy kódy, odtud zkratka. Alena Gollová, TIK 3/27
4 Binární Definice BCH kód délky n nad Zp (kde p n) s plánovanou vzdáleností d (d n) je cyklický kód s generujícími kořeny β b, β b+1, β b+2,..., β b+d 2, kde β je prvek řádu n v nějakém tělese GF (p k ), b 1. Poznámky Kořeny tvoří d 1 po sobě jdoucích mocnin prvku řádu n. Pokud b = 1, mluvíme o BCH kódu délky n nad Zp v užším smyslu. Jeho generující kořeny jsou β, β 2, β 3,..., β d 1, kde β je prvek řádu n v nějakém tělese GF (p k ). Alena Gollová, TIK 4/27
5 Binární Poznámky - pokračování Protože p n, těleso GF (p k ) s prvkem β řádu n existuje. Příklad Volba k = ϕ(n) zafunguje nad každým Zp. Nejmenší volba pro dané p je k = r(p) v grupě Z n. Cyklický Hammingův (7, 4)-kód má v tělese GF (8), T = Z2[x]/(x 3 +x +1) = {aα 2 +bα+c, a, b, c Z2, α 3 = α+1}, generující kořeny α, α 2 a α 4 = α 2 + α, přitom r(α) = 7. Jedná se o BCH kód s plánovanou vzdáleností d = 3. Alena Gollová, TIK 5/27
6 Binární Minimální vzdálenost BCH kódu Věta BCH kód K délky n nad Zp s plánovanou vzdáleností d má minimální Hammingovu vzdálenost kódu d H (K) d. Aneb: BCH kód s plánovanou vzdáleností d (tj. s d 1 kořeny) objevuje d 1 chyb a opravuje [ d 1 2 ] chyb. Důkaz Kontrolní matice H nad GF (p k ) má d 1 řádků. Lze dokázat, že libovolných d 1 sloupců v H je lineárně nezávislých. Determinant každé čtvercové podmatice řádu d 1 v matici H lze totiž převést na Vandermondův determinant pro mocniny prvku β. Jelikož β i β j pro 0 i j n 1 (neboť r(β) = n), je Vandermondův determinant nenulový. Alena Gollová, TIK 6/27
7 Minimální vzdálenost BCH kódu Binární Lemma Pro prvky a 1,..., a n v tělese T platí: a 1 a 2... a n det a1 2 a an 2 = (a i a j ).. i>j a1 n 1 a2 n 1... an n 1 Determinant se nazývá Vandermondův determinant řádu n pro prvky a 1,..., a n a je nenulový právě, když jsou tyto prvky různé. Alena Gollová, TIK 7/27
8 Binární Minimální vzdálenost BCH kódu Příklad Použijeme naše GF (8) = Z2[x]/(x 3 + x + 1) k vytvoření binárního BCH kódu K délky 7 opravujícího dvě chyby, tedy BCH kódu s plánovanou vzdáleností d = 5. Kód K má generující kořeny α, α 2, α 3 = α + 1, α 4 = α 2 + α. Kódové polynomy jsou polynomy nad Z2, stačí tedy požadovat kořeny α, α + 1. Generující polynom kódu bude: g(z) = m α (z)m α+1 (z) = (z 3 + z + 1)(z 3 + z 2 + 1) = z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 Jedná se o opakovaní kód délky 7 a skutečná d H (K) = 7. Kód opravuje dokonce tři chyby. Alena Gollová, TIK 8/27
9 Binární Otevřené problémy BCH kód s plánovanou vzdáleností d může mít minimální vzdálenost d H (K) > d. Je otevřeným problémem, jak určit skutečnou minimální vzdálenost BCH kódu. Neví se ani, jak poznat, pro které dvojice n a d (nad Zp) nastane rovnost d H (K) = d. Další otevřený problém je určení počtu informačních a kontrolních znaků pro. Tento problém je částečně vyřešen pro kódy délek n = p k 1. Alena Gollová, TIK 9/27
10 Binární Dimenze BCH kódu Situace Máme BCH kód K délky n nad Zp (v užším smyslu) s plánovanou vzdáleností d s generujícími kořeny β, β 2, β 3,..., β d 1, kde β je prvek řádu n v nějakém tělese T charakteristiky p. Chceme zjistit, kolik informačních a kolik kontrolních znaků má BCH kód K. Počet informačních znaků (aneb dimenze kódu K) se značí k, počet kontrolních znaků se značí m. V této části budeme značit těleso T jako GF (p s ). T = Zp[x]/q(x), kde q(x) je ireducibilní nad Zp stupně s, T = {a(α) Zp[x], st(a(α)) s 1, q(α) = 0}. Alena Gollová, TIK 10/27
11 Binární Dimenze BCH kódu Situace - pokračování Známe-li generující kořeny cyklického kódu, umíme z nich najít generující polynom g(z) a kontrolní matici H. K výpočtu dimenze kódu využijeme dvou známých vztahů: st(g(z)) = n k = m H nad Zp má n k = m (lineárně nezávislých) řádků Kontrolní matice H nad T má d 1 řádků obsahujících mocniny kořenů. Každý prvek z T (polynom stupně s 1) nahradíme sloupcem jeho koeficientů, vyškrtáme řádky, které jsou lineární kombinací ostatních, a získáme H nad Zp. Odtud počet kontrolních znaků m s(d 1), kde s je dáno volbou tělesa GF (p s ). Alena Gollová, TIK 11/27
12 Dimenze BCH kódu Binární Tvrzení Nechť K je BCH kód délky n nad Zp s plánovanou vzdáleností d, pak pro počet informačních znaků k = dim K platí odhad: k n s(d 1), kde s = r(p) v grupě Z n Poznámka Tento odhad může být poměrně hrubý. Kódové polynomy jsou celočíselné nad Zp, mají tudíž s kořenem c T také kořeny c p, c (p2), atd. Tudíž se může stát, že v BCH kódu nemusíme některé z kořenů β, β 2, β 3,..., β d 1 požadovat (budou tam automaticky). Kontrolní matice H nad T pak bude mít méně než d 1 řádků. Alena Gollová, TIK 12/27
13 Binární Binární Tvrzení Binární cyklický kód délky n, kde 2 n, s generujícími kořeny β, β 3, β 5,..., β 2t 1, kde β je prvek řádu n v nějakém GF (2 s ), je binární BCH kód s plánovanou vzdáleností d = 2t + 1. Každé sudé číslo je tvaru 2 j i, kde i je liché. Charakteristika tělesa je 2, tudíž stačí požadovat liché mocniny prvku β. Tvrzení Binární BCH kód s t kořeny (= t po sobě jdoucími lichými mocninami prvku β) opravuje aspoň t chyb. Alena Gollová, TIK 13/27
14 Binární Binární Tvrzení Binární BCH kód délky n s plánovanou vzdáleností d = 2t + 1 má odhad pro počet informačních znaků: k n s d 1 2 = n st, kde s = r(2) v grupě Z n To už je poměrně dobrý odhad počtu informačních znaků, někdy dokonce naprosto přesný (viz níže). Tvrzení Binární BCH kód délky n = 2 s 1 s plánovanou vzdáleností d = 2t + 1, kde d < 2 s ( x značí horní celou část z x), má právě k = n s d 1 2 = n st informačních znaků. Alena Gollová, TIK 14/27
15 Binární Binární Poznámka k důkazu Nechť β je primitivní prvek tělesa GF (2 s ). Lze dokázat, že minimální polynomy prvků β, β 3, β 5,..., β 2t 1 jsou navzájem různé a že mají stupeň s, pokud ovšem 2t 1 = d 2 < 2 s 2. Tudíž g(z) = t i=1 m β2i 1(z) má stupeň m = s t. Příklad Popište parametry binárních BCH kódů délky 31 = Pro d < = 10, aneb pro kódy opravující až čtyři chyby, bude cena za opravování každé chyby s = 5 kontrolních znaků. Např. kód opravující dvě chyby má informační poměr k : n = 21 : 31. Alena Gollová, TIK 15/27
16 Binární Primitivní Definice nad Zp délky n = p s 1 se nazývají primitivní BCH kódy. Za jejich kořeny totiž můžeme volit mocniny primitivního prvku v tělese GF (p s ). Poznámka Vždy lze zvolit ireducibilní polynom q(x) nad Zp stupně s tak, aby jeho kořen α byl primitivním prvkem tělesa T = Zp[x]/q(x) (jehož prvky zapisujeme jako polynomy stupně nejvýše s 1 v proměnné α). Provedeme-li tuto konstrukci tělesa GF (p s ), pak generující kořeny budou mocninami prvku α. Alena Gollová, TIK 16/27
17 Binární Primitivní Pokračování Primitivní s jediným generujícím kořenem α v tělese T : Generující polynom g(z) = m α (z) = q(z) Kontrolní matice H = ( α n 1 α n 2... α 1 ) nad T obsahuje všechny nenulové prvky tělesa T. Tudíž kontrolní matice H nad Zp má ve sloupcích všechny nenulové s-tice nad Zp. Poznámka Každé dva sloupce matice H nad Zp jsou lineárně nezávislé právě, když pracujeme nad Z2. Alena Gollová, TIK 17/27
18 Binární Primitivní binární Tvrzení Binární BCH kód délky n = 2 s 1 s jedním kořenem je cyklický Hammnigův kód o s kontrolních znacích (tedy perfektní kód pro jednonásobné opravy). Binární délky n = 2 s 1 zobecňují Hammingovy kódy. Mají-li t generujících kořenů (= t po sobě jdoucích lichých mocnin primitivního prvku), pak: opravují t chyb mají velmi dobrý informační poměr (malou redundanci) mají vypracované dekódovací metody, jak opravovat vícenásobné chyby pomocí kořenů jsou to jedny z nejlepších kódů pro délky do n. = 10 5 Alena Gollová, TIK 18/27
19 Binární Opravování jedné chyby nad Z2 K je binární BCH kód délky n s generujícím kořenem β v GF (2 s ). Bylo vysláno slovo v K a přijato slovo w = v + ē. Když w(β) 0, pak při přenosu došlo k chybě. Pokud došlo k jedné chybě, tak w(z) = v(z) + z i a w(β) = 0 + β i. Dosadíme tedy generující kořen: w(β) = syndromový polynom v β stupně nejvýše s 1 = s 1 Podíváme se do tabulky mocnin prvku β, pro jaké i je s 1 = β i (exponent i je určen jednoznačně, neboť r(β) = n a 0 i n 1). Tudíž chyba je v i-té mocnině, opravíme v(z) = w(z) z i. Alena Gollová, TIK 19/27
20 Binární Příklad Cyklický Hammingův (7, 4)-kód má generující kořen α v GF (8), T = Z2[x]/(x 3 +x +1) = {aα 2 +bα+c, a, b, c Z2, α 3 = α+1}. Opravíme přijaté slovo w = ( ). w(α) = α 5 + α 4 + α 2 + α + 1 = = α 2 + α = α 4, k výpočtu potřebujeme tabulku pro mocniny α v tělese T. Poslané slovo je v = ( ). Alena Gollová, TIK 20/27
21 Binární Opravování jedné chyby nad Zp Buď nyní p 3. K je BCH kód délky n nad Zp s generujícími kořeny β a β 2 v GF (p s ). Pokud došlo k jedné chybě, tak w(z) = v(z) + a z i pro v(z) K, a Zp. Potřebujeme zjistit a, i. Dosadíme tedy oba generující kořeny: w(β) = 1. syndromový polynom v β stupně nejvýše s 1 = s 1 w(β 2 ) = 2. syndromový polynom v β stupně nejvýše s 1 = s 2 Podíváme se do tabulek mocnin prvků β a β 2 a najdeme všechny možnosti, jak napsat syndromy ve tvaru s 1 = a 1 β i 1, s 2 = a 2 (β 2 ) i 2. Teorie zaručuje, že bude jediná možnost společná oběma kořenům. Tato možnost určuje chybový polynom e(z) = a z i, opravíme v(z) = w(z) a z i. Alena Gollová, TIK 21/27
22 Binární Příklad BCH kód nad Z3 délky 8 s generujícími kořeny i, i + 1 v GF (9), kde T = Z3[x]/(x 2 + 1) = {a i + b, a, b Z3, i 2 = 1}, objevuje tři chyby a jednu chybu opravuje. Jeho kořeny jsou ±i, ±i + 1, což jsou tyto mocniny primitivního prvku i + 1: (i + 1) 1 = i + 1, (i + 1) 2 = i, (i + 1) 3 = i + 1 a ještě (i + 1) 6 = i. Opravíme přijaté slovo w = ( ). w(i + 1) = 2(i + 1) 5 + (i + 1) 4 + (i + 1) 3 + (i + 1) + 2 = = = i + 1 = 1(i + 1) 1 = 2(i + 1) 5 w(i) = 2 i 5 + i 4 + i 3 + i + 2 = = 2 i = 2 i 1 = 2 i 5 = 1 i 3 = 1 i 7 K výpočtu potřebujeme tabulky mocnin prvků i + 1 a i v tělese T. Jediná společná možnost určuje chybový polynom e(z) = 2 z 5. Poslané slovo je v = ( ). Alena Gollová, TIK 22/27
23 Binární Opravování dvou chyb nad Z2 K je binární BCH kód délky n s generujícími kořeny β a β 3 v GF (2 s ), tudíž opravuje dvě chyby. Došlo-li ke dvěma chybám, tak w(z) = v(z) + z i + z j, kde i j. Dosadíme tedy oba generující kořeny a spočteme syndrom(y): w(β) = s 1 = β i + β j w(β 3 ) = s 3 = (β 3 ) i + (β 3 ) j = β 3i + β 3j Potřebujeme ze znalosti prvků s 1, s 3 T určit čísla i, j. Stačí určit β i, β j, neboť r(β) = n a 0 i, j n 1, takže čísla i, j jednoznačně dohledáme v tabulce pro mocniny prvku β. Alena Gollová, TIK 23/27
24 Binární Opravování dvou chyb nad Z2 - pokračování s1 3 = (β i + β j ) 3 = β 3i + β 2i β j + β i β 2j + β 3j = s 3 + β i β j s 1 β i β j = (s1 3 s 3) s1 1 Známe součet a součin obou prvků, pak tyto prvky jsou kořeny polynomu L(x) = x 2 x + = (x β i )(x β j ). Ze syndromů spočteme koeficienty: = s 1, = (s 3 1 s 3) s 1 1 Dosazováním prvků z tělesa T nalezneme kořeny L(x). (Pozn.: Vzorec na kořeny kvadrátu nad tělesem charakteristiky 2 nefunguje, protože tam (a + b) 2 = a 2 + b 2.) Polynom L(x) se nazývá lokátor chyb. Alena Gollová, TIK 24/27
25 Binární Opravování dvou chyb nad Z2 - pokračování V praxi nevíme dopředu, kolik je chyb v přijatém slově w. U binárního BCH kódu opravujícího dvě chyby postupujeme takto: Spočteme syndrom s T = H w T nad tělesem T dosazením kořenů: ( ) ( ) s T w(β) s1 = w(β 3 = ) Pokud s = (0 0), pak prohlásíme w za bezchybné. Pokud s = (s 1 s1 3), kde s 1 0, pak je ve w jedna chyba. Pokud s = (s 1 s 3 ), kde s 1 0 a s 3 s1 3, pak určíme lokátor L(x). Má-li L(x) dva různé kořeny, pak jsou ve w dvě chyby. Nemá-li L(x) dva kořeny, pak je ve w více chyb (v tomto případě chyby neopravíme). s 3 Alena Gollová, TIK 25/27
26 Binární Opravování více chyb nad Z2 K je binární BCH kód délky n s generujícími kořeny β, β 3,..., β 2t 1 v GF (2 s ), tudíž opravuje t chyb. Došlo-li k r t chybám, tak w(z) = v(z) + z i z ir. Spočteme syndrom s T = H w T nad tělesem T dosazením kořenů: s T = w(β) w(β 3 ) : w(β 2t 1 ) = r j=1 βi j r j=1 β3i j : r j=1 β(2t 1)i j = s 1 s 3 : s 2t 1 Hledáme prvky β i j, pro 1 j r, a známe součty jejich lichých mocnin. Pomocí Newtonových vzorců lze nalézt lokátor L r (x) stupně r, jehož kořeny jsou právě hledané prvky. Alena Gollová, TIK 26/27
27 Binární Opravování více chyb nad Z2 - pokračování Problémem je, že nevíme dopředu, kolik je chyb ve slově w. Musíme tedy počítat lokátory L r (x) postupně pro všechna 1 r t, dokud nenajdeme takový, který má r různých kořenů. Pokud takový lokátor nenajdeme, pak je ve slově w více než t chyb a opravovat ho nebudeme. (Popsali jsme částečné dekódování.) Alena Gollová, TIK 27/27
8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
Charakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
Cyklické kódy. Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23
Cyklické kódy 5. řednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23 Obsah 1 Cyklické kódy Generující olynom - kódování Kontrolní olynom - objevování chyb Alena Gollová, TIK Cyklické
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
[1] samoopravné kódy: terminologie, princip
[1] Úvod do kódování samoopravné kódy: terminologie, princip blokové lineární kódy Hammingův kód Samoopravné kódy, k čemu to je [2] Data jsou uložena (nebo posílána do linky) kodérem podle určitého pravidla
Hammingovy kódy. dekódování H.kódů. konstrukce. šifrování. Fanova rovina charakteristický vektor. princip generující a prověrková matice
Hammingovy kódy konstrukce Fanova rovina charakteristický vektor šifrování princip generující a prověrková matice dekódování H.kódů třída lineárních binárních kódů s A n, 3 n = délka kódu, d = distance
[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
Hammingův odhad. perfektní kódy. koule, objem koule perfektní kód. triviální, Hammingův, Golayův váhový polynom. výpočet. příklad
Hammingův odhad koule, objem koule perfektní kód perfektní kódy triviální, Hammingův, Golayův váhový polynom výpočet Hammingův kód H 3 Golayův kód G 23 obecně příklad ternární kód Tvrzení: Dán binární
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
[1] samoopravné kódy: terminologie, princip
[1] Úvod do kódování samoopravné kódy: terminologie, princip blokové lineární kódy Hammingův kód cyklické kódy a) kody, 18, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.
Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Samoopravné kódy, k čemu to je
Úvod do kódování samoopravné kódy: terminologie, princip blokové lineární kódy Hammingův kód cyklické kódy [1] Samoopravné kódy, k čemu to je BI-LIN, kody, 18, P. Olšák [2] Data jsou uložena (nebo posílána
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Pomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
1 Co jsou lineární kódy
1 Žádný záznam informace a žádný přenos dat není absolutně odolný vůči chybám. Někdy je riziko poškození zanedbatelné, v mnoha případech je však zaznamenaná a přenášená informace jištěna přidáním dat,
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Subexponenciální algoritmus pro diskrétní logaritmus
Subexponenciální algoritmus pro diskrétní logaritmus 22. a 23. přednáška z kryptografie Alena Gollová SEDL 1/33 Obsah 1 Využívaná fakta y-hladká čísla 2 3 Alena Gollová SEDL 2/33 y-hladká čísla Subexponenciální
[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Matematika IV 10. týden Kódování
Matematika IV 10. týden Kódování Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 26. 4. 2013 Obsah přednášky 1 (n, k) kódy 2 Polynomiální kódy 3 Lineární kódy Kde je dobré číst? připravovaná učebnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Kódování Obsah. Reedovy-Solomonovy kódy. Radim Farana Podklady pro výuku. Cyklické kódy.
.9.4 Kódování Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Cyklické kódy. Reedovy-Solomonovy kódy Reedovy-Solomonovy kódy Byly vytvořeny v roce 96 v Lincolnově laboratoři na Massachusetts Institute of echnology.
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Teorie informace a kódování (KMI/TIK)
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Bezpečnostní kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 13. listopadu 2012 Konzultace V pracovně 5.076. Každý čtvrtek 9.00 11.00. Emaily: lukas@havrlant.cz lukas.havrlant@upol.cz
Lineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
10. DETERMINANTY " # $!
10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
pochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Polynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí
Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Lineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Lineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita
Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
19. Druhý rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Úmluva. Všude P = C. Vpřednášce o vlastních vektorech jsme se seznámili s diagonalizovatelnými
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,