Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost

Transkript

1 Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není známo, zda je můžeme efektivně řešit (otevřený problém) pokud ale řešení úlohy známe, můžeme efektivně ověřit jeho správnost jedná se obvykle o grafové a kombinatorické úlohy, které se často objevují v praxi. 1

2 Rozhodovací problém Rozhodovací problém P : instance problému, odpověď ANO či NE Ekvivalentně - jazyk L : vstupní slovo w, w L nebo w L 2

3 Polynomiální časová složitost Co je to efektivní algoritmus? každý s polynomiální časovou složitostí ( d O n ).. d je libovolná konstanta Co v případě polynomiálního času s vysokým stupněm polynomu? 100 n Trvá-li vykonání jedné instukce.. 1 μs instrukcí.. doba delší než je stáří vesmíru 3

4 Polynomiální časová složitost 1. Praxe: Časová složitost známých polynomiálních algoritmů je obvykle nízkého stupně n, n, n, n 2. Robustní pojem: Výpočetní modely lze vzájemně simulovat v polynomiálním čase (RAM a Turingův stroj). 4

5 Polynomiální vs. exponenciální čas Velikost vstupu Složitost n 2 n 3 n 5 n s s s s s s.0001 s.0004 s.0009 s.0016 s.0025 s.0036 s.001 s.008 s.027 s.064 s.125 s.216 s.1 s 3.2 s 24.3 s 1.7 min 5.2 min 13 min n 2 n s 1 s 17.9 min 12.7 dní 35.7 let.059 s 58 min 6.5 let 3855 století 2x10 8 století 366 století 1.3x10 13 století 5

6 Třída P Množina jazyků (rozhodovacích problémů) L P existuje deterministický Turingův stroj, který rozhoduje L v polynomiálním čase Příklad: Vstup: Ohodnocený graf G a reálné číslo c Otázka: Existuje v G kostra s cenou c? Je ve třídě P. 6

7 Problém obchodního cestujícího Praha Paříž 46 Vídeň 48 Otázka: Existuje trasa s cenou c? Počet všech tras: 1/ 2 V 1 pro V 3 ( )( )! 7

8 Problém batohu Lze vybrat předměty tak, aby jejich celková hmotnost odpovídala nosnosti batohu? nosnost 12 kg 6 kg 5kg 4 kg 5kg 3kg Počet možných výběrů předmětů: n 2 8

9 Problém SAT SAT = satisfability (splnitelnost) Vstup: Výroková formule v konjunktivně normální formě. Φ ( x, x x ) = ( x x x ) ( x x ) ( x x ) 1 2, Otázka: Je formule splnitelná? Φ( 1,1,1 ) = 1 9

10 Logický obvod 1? AND OR OR OR OR OR x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 počet různých vstupních n-tic: n 2 10

11 Třída NP NP = Nondeterministic polynomial time Definice č.1: L NP existuje nedeterministický TS, který rozhoduje L v polynomiálním čase Definice č.2: L NP existuje verifikační algoritmus s polynomiální časovou složitostí p takový, že A( x, y) x L y : y p( x ) A( x, y) = true y se nazývá ověření 11

12 Nedeterministický Turingův stroj V dané konfiguraci je možné aplikovat více instrukcí. např.: q, a) ( q, a, ) a q, a) ( q, b, ) ( 0 0 R ( 0 1 L Výpočet se větví výpočetní strom Vstupní slovo u je přijato, pokud existuje výpočetní větev, která skončí v přijímacím stavu. Doba výpočtu pro u: t(u) = počet kroků nejdelší výpočetní větve Nedeterministický Turingův stroj lze simulovat deterministicky průchodem výpočetního stromu do šířky. 12

13 P vs. NP P =? NP hlavní otevřená otázka v teoretické informace Očekávaný výsledek: P NP Odměna vypsaná za vyřešení: USD (Clay Mathematics Institute, Cambridge) 13

14 P vs. NP P w L w L w L 14

15 NP-úplné problémy S. Cook, 1971 v NP existuje problém, pomocí kterého je možné vyřešit všechny ostatní NP SAT R. Karp, 1972 cca 20 dalších problémů patří do elitního klubu NP NPC 15

16 Polynomiální převeditelnost Problém (jazyk) X je polynomiálně převeditelný na problém (jazyk) Y právě tehdy, když existuje polynomiální algoritmus (deterministický TS) A takový, že x : x X A( x) Y Algoritmus pro X x Transformace A(x) A Algoritmus pro Y ANO NE Označení: X P Y 16

17 NP-úplnost Problém Y je NP-úplný jestliže 1. Y NP 2. pro každé X NP platí X P Y Pokud problém NP-těžký. Y splňuje druhou podmínku, říkáme, že je 17

18 Problém ETERNITY Omezení: čtvercové díly nemůžeme otáčet 18

19 Zakódování instance ETERNITY instanci problému chceme reprezentovat pomocí slova nad konečnou abecedou ( K, m, n, O) Σ = { 0,1, B} ( ) K posloupnost čtveřic tvaru b H, bl, bd, b m n rozměry čtvercové mřížky O posloupnost 2 m + 2n barev (okraje) R Čísla kódujeme binárně, znak B slouží jako oddělovač. 19

20 ETERNITY je NP-úplný Podle definice potřebujeme dokázat: 1. ETERNITY je v NP 2. Každý problém v NP je na ETERNITY polynomiálně převeditelný (tj., že je ETERNITY NP-těžký) Nechť M je libovolný nedeterministický TS s polynomiální časovou složitostí p, rozhodující jazyk L. Cíl: ukázat, že L P ETERNITY Pro vstup w stroje M navrhneme mřížku a čtverce tak, aby složení bylo možné pouze tehdy, pokud existuje přijímací výpočet. 20

21 ETERNITY je NP-úplný Řádky kódují konfigurace stroje M horní okraj je počáteční konfigurace dolní okraj je koncová konfigurace q0, a1) a a n ( 2 p( n) (, ) q A p( n) barvy: Γ Q, { } Q Γ 21

22 ETERNITY je NP-úplný Typy čtverců: x x x, x Γ q, q Q kopírování symbolu z horního řádku (q,x) q x (q,x) q x (q,x) ( q, x ) provedení instrukce s posunem hlavy R, L a N x q (q,x) x (q,x) q zaznamenání posunu hlavy R a L do příslušného políčka 22

23 ETERNITY je NP-úplný ( q,a) b c b 0 ( q 0,a) b c b q 1 q 1 b ( q 1,b) c b b ( q 1,b) c b b ( q 3, a) c b b ( q 3, a) b q 3 q c b a 3 b ( 1 q0, a) ( q, b, R) ( q1, b) ( q3, a, N) ( q,c) 1 ( 1 q3, a) ( q, a, R) ( q A, ) 23

24 SAT je NP-úplný 1. SAT je v NP Φ ( ) ( ) ( ) ( ) x1, x2, x3 = x1 x3 x2 x2 x1 x2 x existuje ověřovací algoritmus 3 2. SAT je NP-těžký P je tranzitivní: X P Y Y P Z X P Z tzn., stačí dokázat ETERNITY P SAT 24

25 SAT je NP-úplný Instanci problému ETERNITY chceme transformovat na výrokovou formuli, která bude splnitelná právě tehdy, když je možné ETERNITY složit. x, Boolovské proměnné i, j k je k -tý čtverec na pozici ( i, j)? Musí být splněny tyto podmínky: 1. Alespoň 1 čtverec na ( i, j) : 2. Ne víc než 1 čtverec na ( i, j) : 3. Návaznost čtverců v řádcích: 4. Návaznost čtverců ve sloupcích: 5. Podmínky pro obvod: x 1, j, k i, j ( k x i, j, k ) i, j k k ( x i, j, k xi, j k ) i, j k, k ( x i, j, k xi, j+ 1 k ) ( x ),, i, j k, k x i, j, k i+ 1, j, k x n, j, k x i,1, k x i, n, k 25

26 Shrnutí NPC třída všech NP -úplných problémů P NP NPC je-li P NP Pokud by existovat polynomiální algoritmus pro jeden z NP-úplných problémů, bylo by možné řešit všechny NP-úplné problémy v polynomiálním čase. Seznam významných NP-úplných problémů: 26