CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li, že 4 ab = 10. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 V papírnictví prodávají party kloboučky různých barev a velikostí. V jedné sadě je dvacet kloboučků tvaru pláště rovnostranného kužele. Kloboučky do sebe zapadají. Příslušný klobouček je vždy o 2 % nižší, než nejnižší klobouček, do nějž zapadne. Nejmenší klobouček v sadě má poloměr podstavy 61 mm. max. 3 body 2.1 Jakou výšku v má nejmenší z kloboučků? (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) 2.2 Jaký poloměr R má podstava největšího kloboučku v sadě? (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) 2 Maturita z matematiky 07

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Jsou dány různé body S, P a K, které neleží na jedné přímce. Dále je dána kružnice k se středem S, pro jejíž poloměr r platí: 0 < r < SP, taková, že K k. max. 2 body 3 Určete konstrukčně bod T v polorovině SPK tak, aby přímka TP byla tečnou kružnice k s bodem dotyku v bodě T. V záznamovém listu uveďte i celý postup řešení. V záznamovém listu obtáhněte vše propisovací tužkou. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Rubikova kostka 3 3 je tvořena 26 stejně velkými kostkami na obvodu, 8 v rozích (černé), 12 na společných hranách (šedivé) a 6 ve středech stěn (bílé). Uvnitř kostky, kde by měla být 27. kostka, je speciální pohybový mechanismus k ovládání hlavolamu. Mezi stěnami kostek je 1 mm široká mezera. Všechny kostky, z nichž je Rubikova kostka složena, mají dohromady povrch 563,16 cm 2. 4 Jaká je délka hrany celé Rubikovy kostky? 1 bod Maturita z matematiky 07 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[a, 2b], L[2a, 2b], M[1 a, b], a, b R. max. 2 body 5.1 Určete všechny hodnoty parametru b tak, aby bod T[3, 2] byl těžištěm trojúhelníka KLM. 5.2 Určete všechny hodnoty parametru a tak, aby úsečky KL a KM byly na sebe kolmé. 6 Kolik reálných kořenů má pro přístupné hodnoty neznámé x rovnice log 1 (x 2) log 1 (x + 6) = 2? bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána funkce f: y = 1 3x 7 4. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Funkce f je rostoucí. 7.2 Funkce f je lichá. 7.3 Graf funkce f je rovnoběžný s grafem funkce g procházející body A[ 1, 3], B[9, 3]. 7.4 Souřadnicové osy x a y a graf funkce f vymezují trojúhelník, jehož obsah je 4,5 jednotek čtverečných. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V rámci zábavy se spolužáky hrají čtyři kamarádi Ota, Petr, Jiří a Karel karty s balíčkem 32 karet, v němž se nachází 8 typů karet (čísla 7, 8, 9 a 10, spodek, svršek, král a eso) ve 4 barvách (srdce, kule, listy a žaludy). Během hry snímají z vrchu balíčku kartu, ukážou ji ostatním, vrátí do balíčku, balíček se zamíchá a snímá další ve hře. 2 body 8 Která z možností A E je nejblíže hodnotě pravděpodobnosti, že dva z nich sejmou srdcové eso a dva z nich sejmou jinou kartu? A) 55,5 % B) 50,5 % C) 50 % D) 5,5 % E) 0,55 % 4 Maturita z matematiky 07

5 2 body 9 Která z možností A E udává počet všech kořenů rovnice x 2 = 4 x pro x R? A) nekonečně mnoho B) tři C) dva D) jeden E) žádný max. 4 body 10 Přiřaďte každému číslu ( ) počet jeho přirozených dělitelů (A F) A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 F) 10 KONEC TESTU Maturita z matematiky 07 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li, že 4 ab = 10. Využijeme např. vzorce M 2 N 2 = (M + N)(M N) pro rozklad na součin a výraz dle něj rozložíme. ( a b a b) ( a b + a + b) = ( 2 b) (2 a) = 4 ab Protože víme, že 4 ab = 10, má výraz hodnotu 10. Řešení: 10 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 V papírnictví prodávají party kloboučky různých barev a velikostí. V jedné sadě je dvacet kloboučků tvaru pláště rovnostranného kužele. Kloboučky do sebe zapadají. Příslušný klobouček je vždy o 2 % nižší, než nejnižší klobouček, do nějž zapadne. Nejmenší klobouček v sadě má poloměr podstavy 61 mm. max. 3 body 2.1 Jakou výšku v má nejmenší z kloboučků? (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) Kloboučky mají tvar pláště rovnostranného kužele, ve kterém je strana s kužele rovna jeho průměru d. Nejmenší klobouček má průměr d = 2 r = 2 61 mm = 122 mm. Nyní použijeme Pythagorovu větu a vypočteme výšku v kužele. v = s 2 r 2 = (122 mm) 2 (61 mm) mm Nejmenší klobouček má výšku 106 mm. Řešení: 106 mm 6 Maturita z matematiky 07

7 2.2 Jaký poloměr R má podstava největšího kloboučku v sadě? (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) Hledáme poloměr R největšího kloboučku. Protože poloměry kloboučku se snižují o 2 %, tvoří tedy vždy 98 %, tj. 0,98 poloměru předchozího kloboučku, odvodíme, že poloměry kloboučku tvoří klesající geometrickou posloupnost s kvocientem 0,98 a prvním členem R. Poloměr r = 61 mm je dvacátým členem. Hledáme tedy první člen. a n = a 1 q n 1 r = R q 20 1 R = r R = 61 mm 90 mm q ,98 19 Největší klobouček má poloměr 90 mm. Vzhledem k tomu, že obvod podstavy by pak byl asi 565 mm, byl by ideální pro dospělého muže. Řešení: 90 mm VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Jsou dány různé body S, P a K, které neleží na jedné přímce. Dále je dána kružnice k se středem S, pro jejíž poloměr r platí: 0 < r < SP, taková, že K k. max. 2 body 3 Určete konstrukčně bod T v polorovině SPK tak, aby přímka TP byla tečnou kružnice k s bodem dotyku v bodě T. V záznamovém listu uveďte i celý postup řešení. V záznamovém listu obtáhněte vše propisovací tužkou. Maturita z matematiky 07 7

8 Tečna v bodě dotyku svírá pravý úhel s přímkou procházející bodem dotyku a středem, tedy trojúhelník STP je pravoúhlý. Všechny vrcholy takových pravoúhlých trojúhelníků, které mají přeponu SP, leží na tzv. Thaletově kružnici. Stačí tedy nad úsečkou SP sestrojit Thaletovu kružnici. Narýsujeme přímku SP (1.), střed S SP úsečky SP (2.), kružnici l (S SP, S SP P ) (3.) a průsečík kružnice l s kružnicí k je bod T (4.). Řešení: S AP, S AP je středem úsečky AP l, l = (S AP, r = AP ) T, T = l k T SPK VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Rubikova kostka 3 3 je tvořena 26 stejně velkými kostkami na obvodu, 8 v rozích (černé), 12 na společných hranách (šedivé) a 6 ve středech stěn (bílé). Uvnitř kostky, kde by měla být 27. kostka, je speciální pohybový mechanismus k ovládání hlavolamu. Mezi stěnami kostek je 1 mm široká mezera. Všechny kostky, z nichž je Rubikova kostka složena, mají dohromady povrch 563,16 cm 2. 4 Jaká je délka hrany celé Rubikovy kostky? 1 bod Povrch 26 kostek 563,16 cm 2 Povrch 1 kostky (563,16 cm 2 ): 26 = 21,66 cm 2 Hrana 1 kostky (21,66 cm 2 ) : 6 = 1,9 cm Hrana Rubikovy kostky 3 1,9 cm mm = 5,9 cm Rubikova kostka má délku hrany rovnu 5,9 cm. Řešení: 5,9 cm 8 Maturita z matematiky 07

9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[a, 2b], L[2a, 2b], M[1 a, b], a, b R. max. 2 body 5.1 Určete všechny hodnoty parametru b tak, aby bod T [3, 2] byl těžištěm trojúhelníka KLM. Těžiště trojúhelníka je aritmetickým průměrem jeho vrcholů, tj. T = K + L + M { a + 2a + 1 a = 3 2a + 1 = 9 2a = 8 a = b + 2b b = 2 3b = 6 b = 2 3 Řešení: b = Určete všechny hodnoty parametru a tak, aby úsečky KL a KM byly na sebe kolmé. Aby úsečky KL a KM byly na sebe kolmé, musí skalární součin vektorů KL = (2a a, 2b 2b) = (a, 0) a KM = (1 a a, b 2b) = (1 2a, 3b) být roven 0. a (1 2a) + 0 ( 3b) = 0 a (1 2a) = 0 a = 0 a = 1 2 Řešení: a = 0 a = Kolik reálných kořenů má pro přístupné hodnoty neznámé x rovnice log 1 (x 2) log 1 (x + 6) = 2? bod Pro x 4, + ) řešíme rovnici úpravou rozdílu logaritmů o stejném základu na logaritmus podílu log x x + 6 = 2. Dle definice logaritmu jej odstraníme. x 2 x + 6 = ( 1 3 ) 2 x 2 x + 6 = 9 x 2 = 9x = 8x x = 7 Pro x = 7 není rovnice definována. Rovnice tedy nemá žádný reálný kořen. Řešení: žádný Maturita z matematiky 07 9

10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána funkce f: y = 1 3x 7 4. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Funkce f je rostoucí. 7.2 Funkce f je lichá. 7.3 Graf funkce f je rovnoběžný s grafem funkce g procházející body A[ 1, 3], B[9, 3]. 7.4 Souřadnicové osy x a y a graf funkce f vymezují trojúhelník, jehož obsah je 4,5 jednotek čtverečných. 7.1 Upravíme předpis funkce do směrnicového tvaru y = kx + q. f: y = 1 3x 7 f: y = 4 3x + 7 f: y = 3x Protože směrnice k = 3, je funkce f klesající. 4 Tvrzení je nepravdivé. 7.2 Protože q = 11 4, funkce neprochází počátkem, nemůže být tedy lichá. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Určíme směrnici funkce g procházející body A[ 1, 3], B[9, 3]. Pro směrnici q g platí: q g = 3 3 = 6 9 ( 1) 10 = 3 = q 5 f Směrnice nejsou totožné, a proto grafy funkcí f a g nejsou rovnoběžné. Tvrzení je nepravdivé. ANO NE 7.4 Trojúhelník má vrcholy v počátku O a v průsečících grafu funkce f se souřadnicovými osami. P x [x, 0] 0 = 1 3x 7 4 = 3x 7 x = 11 P 4 3 x [ 11, 3 0] P y [0, y] y = y = y = 11 P 4 4 y [0; 11 4 ] S = P xo P y ( 11 O 3 ) ( 11 4 ) = = = Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, NE, NE, NE 10 Maturita z matematiky 07

11 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V rámci zábavy se spolužáky hrají čtyři kamarádi Ota, Petr, Jiří a Karel karty s balíčkem 32 karet, v němž se nachází 8 typů karet (čísla 7, 8, 9 a 10, spodek, svršek, král a eso) ve 4 barvách (srdce, kule, listy a žaludy). Během hry snímají z vrchu balíčku kartu, ukážou ji ostatním, vrátí do balíčku, balíček se zamíchá a snímá další ve hře. 2 body 8 Která z možností A E je nejblíže hodnotě pravděpodobnosti, že dva z nich sejmou srdcové eso a dva z nich sejmou jinou kartu? A) 55,5 % B) 50,5 % C) 50 % D) 5,5 % E) 0,55 % Pravděpodobnost, že si hráč sejme z vrchu balíčku srdcové eso je 1, pravděpodobnost, že to bude 32 jiná karta, je Protože netušíme, zda hráči, kteří sejmou jinou kartu než srdcové eso, byli Petr a Jiří, nebo Karel či Ota, musíme je vždy vybrat ze čtveřice, celkově jde o ( 4 2 ) = 6 možností. Celkovou pravděpodobnost tedy vypočteme takto: ( 4 2 ) = ,55 % Správná je možnost E. Řešení: E 2 body 9 Která z možností A E udává počet všech kořenů rovnice x 2 = 4 x pro x R? A) nekonečně mnoho B) tři C) dva D) jeden E) žádný Rovnici lze vyřešit geometricky, chápeme-li ji tak, že hledáme obraz čísla, které má od obrazů čísel 4 a 2 stejnou vzdálenost. Pak se jedná o obraz čísla 3. Rovnice má tedy jediný kořen. Rovnici lze řešit i algebraicky. Pro x (, 2) odstraníme absolutní hodnotu: 2 x = 4 x 2 = 4 x Pro x 2, 4) odstraníme absolutní hodnotu: x 2 = 4 x 2x = 6 x = 3 Pro x 4, + ) odstraníme absolutní hodnotu: x 2 = x 4 2 = 4 x I v tomto případě má rovnice jen jeden kořen. Správně je tedy možnost D. Řešení: D Maturita z matematiky 07 11

12 max. 4 body 10 Přiřaďte každému číslu ( ) počet jeho přirozených dělitelů (A F) A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 F) 10 Dělitelnost ověřujeme pomocí pravidel dělitelnosti a numericky D 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} Řešení: F 10.2 D 63 = {1, 3, 7, 9, 21, 63} Řešení: D 10.3 D 85 = {1, 5, 17, 85} Řešení: C 10.4 D 89 = {1, 89}, 89 je prvočíslo. Řešení: A KONEC TESTU 12 Maturita z matematiky 07

13 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod mm 2 body mm 1 bod 3 Řešení: max. 2 body S AP, S AP je středem úsečky AP l, l = (S AP, r = AP ) T, T = l k T SPK 4 5,9 cm 1 bod b = 2 1 bod 5.2 a = 0 a = bod Maturita z matematiky 07 13

14 6 žádný 1 bod 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 NE 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 NE 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 NE 7.4 NE 8 E 2 body 9 D 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b F 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b D 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b C 10.4 A 14 Maturita z matematiky 07

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 3 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod body bod 3 max. 2 body 4 1 bod bod bod Maturita z matematiky 07 15

16 6 1 bod 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 07