BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Rybář Martin Paleta jetů

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rybář Martin Paleta jetů Ústav částicové a jaderné fyziky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jiří Dolejší, CSc. Studijní program: Obecná fyzika 27

2 Na tomto místě mohou být napsána případná poděkování(vedoucímu práce, konzultantovi, tomu, kdo půjčil software, literaturu, poskytl data apod.). Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze, 29. června 27 Martin Rybář 2

3 Obsah Úvod 5 Teoretický úvod 7. Kinematikahadronovýchsrážek Jetynapartonovéúrovni Kvarkyapartony Silnáinterakceajejívlastnosti Vznikjetů Fragmentace Účinnýprůřez Jetynačásticovéúrovni Definicejetu Kuželovýalgoritmus Problémykuželovéhoalgoritmu Strukturajetu Simulace 2 2. MonteCarlogenerátoryudálostí Pythia Strukturasimulačníhoprogramu Výsledky simulací 23 4 Srovnání simulací a experimentu 33 5 Závěr 34 Literatura 35 Příloha A 36 3

4 Název práce: Paleta jetů Autor: Rybář Martin Katedra(ústav): Ústav částicové a jaderné fyziky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jiří Dolejší, CSc. vedoucího: Jiri.Dolejsi@mff.cuni.cz Abstrakt: Práce ve své rešeršní části seznamuje s partonovým modelem a teorií silné interakce, jež jsou úzce spjaty s teorií vzniku jetů a jejich vlastnostmi. Součástí této práce jsou simulace proton-antiprotonových srážek, při kterých dochází ke vzniku částicových jetů a které jsou studovány na urychlovači Tevatron ve Fermilabu v USA. Máme tedy možnost srovnání experimentálních výsledků a teoretických předpokladů, na kterých jsou simulace založeny. Pro účel analýzy byl napsán program v prostředí ROOT, v němž se generuje srážka pomocí generátoru událostí Pythia. Pomocí tohoto programu byly nagenerovány jety z různých partonů o různých příčných energiích a porovnány jejich vlastnosti. Klíčová slova: jet, Pythia, hadron, parton, kvark, gluon Title: The Jet Palette Author: Rybář Martin Department: Institute of Particle and Nuclear Physics Supervisor: RNDr. Jiří Dolejší, CSc. Supervisor s address: Jiri.Dolejsi@mff.cuni.cz Abstract: This work in its recherche part presents a review of the quarkparton model and introduction to the theory of strong interaction that are closely connected with jet production and its features. Simulations of the proton-antiproton collision, which are realized at the particle accelerator Tevatron at the Fermi National Accelerator Laboratory in USA, where jets areproduced,makeupthemainpartofthiswork.sowehavethepossibility to compare experimental results with theoretical assumptions that are the nature of the simulations. My program for jet analysis was written in the programming environment ROOT and the collision is modeled by the event generator Pythia. By the using of this program, jets from various kinds of partons with different transverse energy were generated and their characteristics compared. Keywords: jet, Pythia, hadron, parton, quark, gluon 4

5 Úvod Při tvrdých a hluboce nepružných srážkách subatomárních částic, jako jsou protony a elektrony, na urychlovačích vzniká velké množství částic. Tyto částice však zpravidla nevyletují z místa srážky izotropně, ale jsou často kolimovány do úzkých svazků jetů. Ačkoliv jsou dnes jety měřeny výhradně na urychlovačích částic, byly poprvé pozorovány při detekci kosmického zářenívroce958. Jety vznikají hadronizací partonů o velké příčné hybnosti ze srážky, obsahují převážně hadrony, ale také jejich druhotné rozpadové produkty, více viz.2.3. Definovat jet není jednoduché, protože existuje více možných definic viz.3. a jejich optimalizace je předmětem četných studií. Parametry jetu jako jsou např. osa jetu, energie a její rozložení, částicové složení atd. měříme pomocí komplexních experimentálních zařízení. Takto zjištěné parametry nám poskytují informace o partonech, ze kterých jety vznikly a o procesu přeměny partonu na hadrony tzv. hadronizaci. Experimentální výsledky se pak používají pro prověřování platnosti teoretických představ, především kvantové chromodynamiky. Studia jetů se již začalo využívat při zkoumání relativistických srážek těžkých iontů, kdy vzniká komplikované prostředí jaderné hmoty a pravděpodobně tzv. kvark-gluonové plasma. Pokud partony prolétají a hadronizují v tomto prostředí, mohou vliv tohoto prostředí pocítit. V experimentech na urychlovači RHIC se ukazuje, že v případě dostatečně centrálních jaderných srážek dochází k vymizení jetu, který odpovídá partonu prolétajícímu skrze větší část kolizní zóny, a registrovány jsou pouze jety odpovídající partonu z jejího povrchu. Rozdílné parametry jetů vzniklých z partonů, které procházejí kvark-gluonovým plazmatem, a jetů vzniklých při hadronových srážkách nám dávají informace o tomto prostředí. Vprvníkapitoletétoprácesečtenářseznámísezákladnímipojmyzteorie jetů, v další kapitole je popsána simulační metoda a v poslední části jsou zobrazeny vygenerované jety z různých partonů při různých příčných hybnostech a porovnány jejich vlastnosti. V této práci se zabývám pouze jety vzniklými při hadronových srážkách. Znalosti výsledků simulací jsou předpokladem k přípravě nových expe- 5

6 rimentů(v dohledu je spuštění urychlovače LHC v roce 28) a posléze k vyhodnocování experimentálních dat. Při psaní této práce vzniknul problém kvůli neexistenci českých ekvivalentů slov při překladu z anglického jazyka. Doslovný překlad nevyjadřuje plnou podstatu popisovaných jevů, proto byla navržena následující terminologie: jet shape překládáme jako distribuční funkce energie v jetu a cone algoritmus byl nahrazen termínem kuželový algoritmus. 6

7 Kapitola Teoretický úvod. Kinematika hadronových srážek Ve fyzice vysokých energií je vhodné pro popis směru, kterým částice z místa srážky vylétá, zavést místo polárního úhlu θ, viz obr.., nové kinematické proměnné, rapiditu a pseudorapiditu. Jejich užití umožňuje velmi jednoduchý převod z jedné souřadné soustavy do druhé. Rapidita částice y je definována: y ( ) E+ 2 ln pz = ( ) +βcos θ E p z 2 ln, (.) βcosθ kde Ejeenergiečástice, p z hybnostčásticevesměrusvazkuaβrychlost částice.vevšechvztazíchjepoužitakonvence c=. Provedeme-li vysokoenergetickou limitu vztahu. β nebo m, definujeme pseudorapiditu η: y β η ( ) +cosθ 2 ln = ln[tan(θ/2)]. (.2) cosθ Obrázek.: Hadronová srážka 7

8 Obrázek.2: Závislost pseudorapidity na polárním úhlu Pseudorapidita závisí pouze na polárním úhlu a ne na energii částice a je lichávpolárnímúhlu θ=9,vizobr..2.vysokoenergetickéčásticeprodukované ve srážkách tedy často nepopisujeme polárním úhlem θ a azimutem φ, ale pseudorapiditou η a azimutem φ. Známe-litřikomponentyhybnosti p x, p y a p z,kdesměrosy zležíve směrusvazku,pakprocelkovouenergiiahybnost Ea p,příčnouenergii E T apříčnouhybnost p T platínásledujícívztahy: p = p 2 x+ p 2 y+ p 2 z, (.3) p T = p 2 x+ p 2 y, (.4) E = m 2 + p 2 x+ p 2 y+ p 2 z= m 2 + p 2, (.5) E T = Ecos θ. (.6) Pomocí výše uvedených vztahů můžeme dále spočíst polární úhel a azimut: θ=arctan p T p z, (.7) φ=arccos p x p T, (.8) pomocí nichž dále vypočteme užitím. a.2 rapiditu a pseudorapiditu. Mám-li srážku popsanou dle obr..3 vlevo v laboratorní soustavě, mohu přejít do těžišťové soustavy, viz obr..3 vpravo pomocí vztahu: y= y +tanh β CMS (.9) 8

9 y y y y Obrázek.3:CMSaLABsystém.2 Jety na partonové úrovni.2. Kvarky a partony V průběhu 6. let se fyzikové pokoušeli vysvětlit podstatu silné interakce a chování silně interagujících částic(hadronů) pomocí různých modelů. Tyto snahy vyústily v kvarkový model, podle kterého byly hadrony tvořeny z trojice kvarků a trojice antikvarků. Velkým úspěchem tohoto modelu bylo zavedení systematiky do tehdy velkého počtu částic a na jejím základě objevení několika dalších. Úspěšnost tohoto modelu vedla k intenzívním snahám nalézt jednotlivé kvarky experimentálně, nicméně ani na urychlovačích, ani v kosmickém záření nebyly žádné částice, které by svými vlastnostmi odpovídaly kvarkům, nalezeny. Až v roce 969 bylo na lineárním urychlovači SLAC ve Stanfordu v rozptylových experimentech elektronu na protonech potvrzeno, že se protony skutečně skládají z elementárnějších komponent. Při takovýchto hluboce nepružných rozptylech se nukleon nechoval jako kompaktní částice s rovnoměrným rozložením náboje, ale jako shluk bodových částic, které obsahují všechen elektrický náboj a energii. Tyto částice uvnitř protonů R. Feynman nazval partony. Přímému ztotožnění kvarků a partonů však bránil rozpor na jedné straně se při experimentech partony v nukleonech chovalyjakovolné,nadruhéstraněkvarkyjsoutaksilněvázány,žejenelze z nukleonů uvolnit. Vysvětlení tohoto rozporu zajistila až nová teorie silné interakce, které kvarky podléhají kvantová chromodynamika(dále v textu QCD z anglického Quantum Chromodynamics), viz kap V jednoduchém kvarkovém modelu je kvark částice ovlivněná všemi čtyřmi základními interakcemi. Jde o fermion s třetinovým nábojem v jednotkách e. Postupně bylo objeveno šest druhů kvarků, tzv. vůní. Kromě vůně se zavádí několik dalšíchkvantovýchčíselviztab.,kde I 3 jekomponentaizospinu, Spodivnost(strange), C půvab(charm), B krása(beauty nebo také bottomness) 9

10 Kvark Hmota[GeV/c 2 ] Spin Parita Náboj Dalšíkvantovéčíslo u,3 /2 + 2/3 I 3 =/2 d,6 /2 + -/3 I 3 =/2 s, /2 + -/3 S = c,3 /2 + 2/3 C= b 4,3 /2 + -/3 B = t 75 /2 + 2/3 T= Tabulka.: Kvarky[] a Tpravda(truthnebotakétopness).Každýkvarknesenavícjednuzetří barev(červená, zelená, modrá). Antikvarky mají kvantová čísla stejná co do velikosti, ale s opačným znaménkem[6]. Částice skládající se z kvarků nazýváme hadrony. Dělíme je na mezony složené z kvark-antikvarkového páru a na baryony složené ze tří kvarků. Tyto tzv. valenční kvarky určují kvantová čísla výsledných hadronů. Hadrony však obsahují ještě neurčitý počet virtuálních kvarků, antikvarků a gluonů a celá problematika je tak mnohem složitější na úplný popis hadronů i jejich interakcí aspiruje QCD..2.2 Silná interakce a její vlastnosti Silnáinterakcejefundamentálnísílapůsobícímezi barevně nabitýmičásticemi. Teorie pole pro silnou interakci je formulována na základě neabelovských(nekomutativních)kalibračníchsymetriís barevnou lokálnísymetrií SU(3) a je nazvána QCD[7]. Intermediální částicí silné interakce je nehmotný vektorový boson se spinem nazvaný gluon g, který narozdíl od fotonu(zprostředkovávajícího elektromagnetickou interakci v kvantové elektrodynamice),kterýmánulovýnáboj,nesenáboj barevný asilnáinterakce tak působí mezi kvarky, antikvarky i gluony. Symetrie interakce je pospána komplexní unitarní maticí 3x3, která je složena z 8 reálných a imaginárních prvků. Podmínka unitarity představuje devět rovnic a podmínka jedničkového determinantu jednu rovnici. Dostáváme osm volných parametrů, kterým odpovídá osm gluonů[9][8]. Síla silné interakce je charakterizována bezrozměrnou vazbovou konstantou α s.vazbovákonstantasilnéinterakcejeobdoboukonstantyjemnéstruktury α v elektromagnetické teorii. Při experimentálních měřeních bylo zjištěno,ževazbovákonstantazávisína Q 2.Tentofaktlzevprvnímpřiblížení (v tzv. leading logarithm aproximaci) vyjádřit pomocí vztahu: α s = g s 4π, (.) (.)

11 Obrázek.4: Základní vrcholy v QCD[3] kde β jekonstantaspočtenápánywilczekem,grossemandpolitzerem[24] a Λ je škálovací konstanta. Vidíme, že vazbová konstanta závisí na kvadrátu předanéhybnosti Q 2 vprocesu.zprůběhuvazbovékonstantyvyplývajídva velmi důležité výsledky, které objasňují zdánlivý rozpor uvedený v předchozí kapitole. asymptotickávolnost Provelká Q 2,cožodpovídávelkýmhybnostem při tvrdých srážkách, je vazbová konstanta tak malá, že můžeme k výpočtům v oblasti dostatečně velkých předaných impulsů přistupovat poruchově a použít aparát poruchové kvantové teorie pole Feynmanovydiagramyvizobr..4.Vlimitě Q 2 sekvarkychovají jako volné částice. barevnéuvěznění Promalá Q 2 (odpovídázákladnímustavupartonů v hadronech) roste vazbová konstanta nad všechny meze. Podle této teorie jsou barevně nabité kvarky a gluony uvězněny v bezbarvých hadronech. Toto uvěznění je důsledkem mnohonásobné výměny gluonů mezi barevně nabitými kvarky i gluony samotnými. Pro popis v této energetické oblasti nemůžeme použít poruchovou teorii a musímepoužítjinétechniky víceviz[]a[2].podrobnějšípopisqcd přesahuje rámec této práce, další prohloubení znalostí lze získat např. v[4]..2.3 Vznik jetů Při vysoce energetických hluboce nepružných hadronových srážkách viz obr.5 může dojít k procesu, při kterém vzniknou partony o velké příčné hybnosti pohybující se v opačných směrech. Tyto partony se po malou dobu pohybují prakticky volně(viz asymptotická volnost v kapitole.2.2). Z předchozíkapitolyvšakvíme,žedíky uvěznění neexistujívolnékvarkyaže s rostoucí vzdáleností síly mezi partony začnou prudce narůstat: zvětšuje se

12 Obrázek.5: Proton-antiprotonová srážka. Initial(ISR) resp. final(fsr) state radiation odpovídá vyzáření gluonu partony před vlastní interakcí resp. po interakci ale před fragmentací. Převzato z[5] energie gluonového pole mezi partony, ze které se nakonec produkují kvark antikvarkové páry, viz obr..6. Tomuto procesu se říká fragmentace nebo také hadronizace většina kinetické energie původního partonu se přeměňuje v klidovou energii(hmotnost) hadronů. Ve směru letu původních partonů tedy vznikají úzké kolimované svazky částic jety. Celková energie jetů a její rozložení kolem osy jetu odpovídá energii a druhu partonu, ze kterého vznikly..2.4 Fragmentace Proces fragmentace není v současné době ještě zcela popsatelný z prvních principůqcd amusímeseprotouchýlitkmodelům.existujídvahlavní modely, strunový a klastrový model. V této práci se omezíme jen na zevrubný popis strunového modelu, který je použit v generátoru Pythia využívaného při simulacích v této práci, viz kap Klastrový model spolu s podrobnějším popisem strunového modelu může čtenář nalézt v[7]. Dle[3][7] je strunový model založen na dynamice strun, které představují barevné pole mezi kvarky, antikvarky a gluony. Můžeme si představit, že partony jsou spojeny jakýmisi gluonovými trubicemi. Jakmile se partony od sebe vzdalují, zvětšuje se energie barevného pole a při dostatečně velkém napětí sestrunapřetrhneavytvořísekvark-antikvarkovýpár.tentoproces se opakuje i v nově vytvořených strunách dokud je dostatek energie pro vytvoření kvark-antikvarkového páru, viz obr..7. Tvoří se tedy bezbarvé hadrony, jejichž strukturu můžeme popsat jako skupinu kvarku a antikvarku 2

13 Obrázek.6: Jet na partonové úrovni. Převzato z[6] navzájem spojenou strunami délky přibližně fm(rozměr hadronů)..2.5 Účinný průřez Pravděpodobnost vzniku jetu je určená účinným průřezem. Teorie účinného průřezu pro jety je velice složitá, teoretické výpočty se provádějí pomocí poruchové QCD. Při srážce může vzniknout různý počet jetů a účinné průřezy pro jednotlivé počty se liší. Jako příklad uvádíme účinný průřez definovaný v prvním řádu poruchové teorie pro nejobvyklejší situaci, vznik dvou jetů [8]: d 3 σ de T dη dη 2= 8π xi fi(x i,q 2 )x j fj(x j,q 2 ) α2 s(q 2 ) M ij (η ) 2 ET 3 cosh 4 η, (.2) kde f a j(x 2,Q 2 )jepartonovádistribučnífunkce(pdf),kterápopisujehustotu pravděpodobnosti nalezení partonu j(j = q, q, g) se zlomkem hybnosti x a vstupujícíhohadronu a, M ij jsoumaticovéelementypro ij 2partony, viztabulkav[8]aqcdsubprocesyv[9].výšeuvedenýmvztahemdemonstrujeme důležitost měření učinného průřezu, neboť jeho přesná znalost je předpokladem k určení velikosti vazbové konstanty, ověřování úspěšnosti poruchové QCD a měření PDF, která popisuje strukuru hadronu, a v neposlední řadě pro hledání nových jevů. Experimentálně se účinný průřez měří prostýmpočítáním událostíurčitéhotypu,netriviálníjeovšemurčeníluminosity a efektivity triggeru. Závislost účinného průřezu na směru osy jetu (rapiditě) a příčné energii získaného na experimentu je na obr..8, L je integrální luminosita. x a = pparton p hadron 3

14 Obrázek.7: Strunový model fragmentace. Převzato z[7] dσ / dp T [pb / (GeV/c)] 3 2 DO Run II preliminary DO data, Cone R=.7 y <.5.5 < y < < y < 2.4 NLO (JETRAD) CTEQ6M max =.5 p T = µ R R sep =.3, µ F - -2 s=.96tev - = 43 pb L int p T [GeV/c] Obrázek.8: Závislost účinného průřezu na rapiditě a příčné hybnosti. Převzatoz[2] 4

15 Obrázek.9: Jet na částicové úrovni. Převzato z[6].3 Jety na částicové úrovni.3. Definice jetu Jetem na částicové úrovni rozumíme jet po fragmentaci viz obr..9. Na této úrovni již máme částice, které můžeme detekovat v detektorech, ať už v dráhových detektorech nebo kalorimetrech(hadronových a elektromagnetických). V těchto detektorech se rozvijí hadronová resp. elektromagnetická sprška jet na detektorové úrovni. Všechny algoritmy hledající jety uvedené v[]definujíenergii E,příčnouenergii E T aosujetuvprostorupseudorapidity η jet resp.azimutu φ jet pomocíčásticvjetuobsaženýchjako: E jet E Tjet η jet φ jet = E i, (.3) i jet = E Ti, (.4) i jet = E Ti η i /E Tjet, (.5) i jet = E Ti φ i /E Tjet, (.6) i jet kde sumace probíhá přes všechny částice v jetu a veličiny indexované i jsou parametry jednotlivých částic. Dále definujeme v prostoru azimutu a pseudorapidity Lorentzovsky invariantní úhel(poloměr) mezi dvěma objekty vztahem: R ij = (η i η j ) 2 +(φ i φ j ) 2. (.7) 5

16 .3.2 Kuželový algoritmus Úkolem jetových algoritmů je, máme-li seznam částic produkovaných ve srážce,rozhodnout,kteréčásticedojetupatříadlevztahů.4.6určit parametry jetu. Existuje několik typů algoritmů, mezi nejpoužívanější patří k T akuželovýalgoritmus,kterýmsevtétoprácibudemedálepodrobněji zabývat a jehož modifikaci používáme pro program, jenž je také úkolem této bakalářské práce, viz kapitola 2.3. Výše zmíněné základní typy algoritmů bývají pro lepší výsledky modifikovány a každý experiment používá svou vlastní variantu. Kuželový algoritmus, jak název napovídá, je založen na iteraci kužele opoloměru R,kdečásticeuvnitřtvoříhledanýjet.Částicejsoudojetu seskupoványpodlenásledujícíchkroků 2 viz[]:. Částice prochází segmentovaným kalorimetrem o velikostech buněk δ δ vúhlech η φ. 2. Každou buňku kalorimetru, která má energii větší než zvolený práh E,označímejakozdrojovoubuňku. 3.Jetjepakdefinovánjakosoučetvšechbuněkuvnitřúhlu Rodzdrojové buňky podle rovnic Pokud osa jetu nesouhlasí se zdrojovou buňkou, je krok 3 opakován stím,žesezdrojovábuňkanahradínynějšímsměremjetu.totose provádí, dokud není nalezen stabilní jet. 5. Nyní máme seznam jetů, pro každou zdrojovou buňku jeden. Některé jsou duplicitní, ty jsou odstraněny. 6.Některéjetysemohoupřekrývat.Pokudmánějakýjetvícenež5% své energie uvnitř jiného jetu o vyšší energii, pak jsou oba jety spojeny a všechny buňky méně energetického jetu se přidají do více energetického jetu. Směr a energie jetu se opět přepočítá dle rovnic Díkytétoproceduřemůžemítjetenergiiivevětšímúhluodosyjetu nežje R. 7.Každýjet,kterýmáméněnež5%energiespolečnésvíceenergetickým jetemseodnějoddělíakaždábuňkajepouzečástíjetu,kterýjekní nejblíže. 2 TentoalgoritmusjepoužitnaexperimentuD 6

17 Obrázek.: Infrared safety.3.3 Problémy kuželového algoritmu Kuželový algoritmus má dva problémy, které jsou popsány níže[2]. není stabilní vůči přidání měkkého partonu(otázka tzv. infrared safety) Naobr...vlevojsoudvajety,kterésepřekrývají,avšak energie v oblasti překryvu je nulová, a proto výše popsaná procedura prospojovaníjetynespojí.naobr...vpravojepakdopředešlésituace přidán do oblasti překryvu další nízko energetický parton, jehož energiejevětšínež E.Dostávámetedytřetíjeta%jehoenergie je v překryvu s krajními jety, tudíž spojovací procedura všechny tři jetyspojí.výsledkemjetedynamístotříjetůpouzejeden. není stabilní vůči vyzáření dalšího partonu rovnoběžně se směrem již existujícího(tzv. collinear safety) Tento problém může vzniknout dvěma způsoby: a) Viz obr.. vlevo. Energie jednoho partonu se rozděluje mezi více buněk a nevzniká žádná zdrojová buňka. Na obr.. vpravo již problém není, protože energie je rozložena v menším prostoru do jedné buňky. b) Druhý způsob je znázorněn na obr..2. V tomto případě všechny partony tvoří zdrojové buňky. Vlevo vidíme centrální parton, jehoženergiejevětšíneženergiedvoukrajníchavznikátakjeden jet obsahující všechny tři. Pokud však zdrojovou buňku centrálního partonu rozdělíme na dvě, viz obr..2 vpravo, nejvyšší energiibudemítjednazezdrojovýchbuněkkrajníchpartonůajetak možné, že při použití výše uvedeného algoritmu vzniknou jety dva. Výše zmíněné problémy se dají vyřešit modifikací kuželového algoritmu, podrobněji např. v[2]. 7

18 Obrázek.: Collinear safety a).3.4 Struktura jetu Obrázek.2: Collinear safety b) Distribuční funkce energie v jetu je v současnosti jeden z nejběžnějších způsobů jak popsat strukturu jetu[]. Distribuční funkce energie v jetu byla původně vytvořena pro kuželový algoritmus, ale používá se i pro jiné typy algoritmů. K jejímu určení je třeba znát osu jetu. Integrální distribuční funkce energievjetuψ(r;r)jedefinována: Ψ(r;R)= i E Ti Θ(r R ijet ) i E Ti Θ(R R ijet ), (.8) kde sumace probíhá přes všechny částice ve srážce nebo pouze přes částice příslušící danému jetu a Θ(x) je Heavisideova funkce definovaná: Θ(x)= {, x <, x. (.9) Zvýšeuvedenéhovyplývá,žeΨjepodílpříčnéenergiejetuvkuželiopoloměru racelkovépříčnéenergiijetu(vkuželyopoloměru R),vizobr..3. Jde o monotónně rostoucí funkci s r, pro kterou zjevně platí: Ψ(R;R)=. (.2) Dále se často používá diferenciální distribuční funkce energie v jetu, který 8

19 Obrázek.3: Distribuční funkce energie v jetu jedefinovánv[3]jako: nebovlimitěpro r : ρ(r;r)= i E Ti Θ( r r R i ), (.2) r i E Ti Θ(R R ijet ) ρ(r;r)= dψ(r;r). (.22) dr Z výše uvedeného vyplývá, že ρdr je relativní příspěvek k energii od mezikuželí o poloměru r. Rozložení příčné energie kolem osy jetu můžeme také charakterizovat pomocí radiálního momentu, který je definován v[5] jako: R = i E Ti R i E Tjet. (.23) Ze vztahů.8,.22 a.23 je vidět analogie mezi funkcemi, které popisují tvar jetu, a funkcemi v teorii pravděpodobnosti. Integrální distribuční funkce energie v jetu je analogií k distribuční funkci daného pravěpodobnostního rozdělení, diferenciální distribuční funkce energie v jetu je analogií k funkci charakterizující pravděpodobnostní rozdělení a radiální moment analogií k prvnímu momentu v teorii pravděpodobnosti. 9

20 Kapitola 2 Simulace 2. Monte Carlo generátory událostí Často se stává, že určitý pro nás zajímavý fyzikální proces nebyl ještě experimentálně pozorován, experimentální data nejsou dostupná, chceme optimalizovat parametry nového detektoru nebo chceme vybrat vhodnou strategii pro analýzu reálných dat. V takovýchto případech je velmi vhodné použít simulací pomocí generátorů událostí metodou Monte Carlo. Simulace metodou Monte Carlo probíhá tak, že reálný systém nahradíme modelem se stejnými pravděpodobnostními charakteristikami a chování reálného systému mnohonásobně simulujeme na zkonstruovaném modelu. Zpracování výsledků simulace je principiálně stejné jako v reálném experimentu a výstup generátoru by měl dávat stejné výsledky, včetně fluktuací, jako skutečný experiment. Abychom dosáhli velké přesnosti potřebujeme obvykle velké množství opakování. Je to tedy stochastická metoda využívající náhodná resp. pseudonáhodná čísla, více např. v[2]. 2.2 Pythia Pythia je jeden z programů založený na principu popsaném v kap. 2.. V současnosti je to jeden z nejpoužívanějších simulačních programu vysoce energetických srážek. Obsahuje teorii a modely velkého množství fyzikálních aspektů jako jsou pružné a nepružné srážky, modely fragmentace, partonové distribuční funkce, rozpadové kanály a mnohé další, z nichž některé přesahují rámec standardního modelu. Záměrem generátorů, jako je Pythia, není dát přesnou odpověď na všechny problémy spojené se současnou fyzikou, ale jejich účelem je rozložit celý problém na menší celky, které mohou byt řešeny dostatečně přesně[22]. Tomu odpovídá i její konstrukce a ovládání, kdy je program rozdělen do velkého počtu nezávisle na sobě fungujících bloků. Po- 2

21 pis rozsáhlých možností nastavení a obsaženou fyziku lze nalézt v manuálu [9]. 2.3 Struktura simulačního programu Simulační program byl vytvořen v objektově orientovaném prostředí pro analýzudatroot[23],kterýjezaložennamodernímjazycec/c++aobsahujeinterfacepropythii popsanévkap.2.2.samotnýprogramjerozdělen do tří hlavních částí: generování událostí v Pythii V této části probíhá pomocí interfacu k Pythii inicializace parametrů a generace srážek. Nastavuje se energie a počet srážek, druh srážejících částic, požadované subprocesy, minimální a maximální příčná hybnost, více viz příloha A. Jelikož Pythia vrací jako kinematické proměnné složky hybnosti a celkovou energii,jeznichvtétočástidlevztahůuvedenýchvkapitole.spočtena příčná energie, azimut a pseudorapidita. Získaná data se předávají pomocí datové struktury TTree, viz[23], další části programu. analýza nagenerovaných událostí jety Nejdůležitější část programu. Předaná data se analyzují modifikovaným kuželovým algoritmem na jety. Částice jsou do jetů seskupovány dle následujících kroků.. Podrobíme Pythií nagenerované částice jisté selekci. Jelikož chceme porovnávat jety vzniklé z různých partonů, musíme pro konstrukci jetu brát v úvahu jen částice vzniklé fragmentací z daného partonu.vseznamučásticzpythiejsouovšemičástice,kterésejiž rozpadly na další produkty a energii bychom započítávali vícekrát. 2.Každoučástici,kterámáenergiivětšínežzvolenýpráh E,označímejakozdrojovoubuňku. E jsmevolilijakovpřípaděexperimentud GeV. 3. Zdrojové buňky seřadíme sestupně podle velikosti příčné energie. 4.Jetjepakdefinovánjakosoučetvšechčásticuvnitřúhlu Rod zdrojové buňky podle rovnic.4.6. Velikost poloměru kužele jsmepoužili R= Pokud osa jetu nesouhlasí se zdrojovou částicí, je krok 3 opakován s tím, že se zdrojová částice nahradí nynějším směrem jetu. Toto použitáverze6.32 2

22 se provádí, dokud existuje částice ze srážky, která by se mohla přidat. 6. Aktualizujeme seznam zdrojových buněk odstraněním těch, které leží uvnitř právě vytvořeného jetu, tj. uvnitř úhlu R. 7. Jelikož již známe osu jetu, můžeme dle vztahu.9 určit distribuční funkci energie v jetu a dle.23 spočíst radiální moment. Procedury pro spojování a rozdělování jetů nejsou v programu obsaženy. analýza jetů Jety získané v předchozí části je třeba analyzovat, k tomu využívám některé třídy programu ROOT jako jsou grafy(tgraph) a histogramy(thf,th2f). Pro porovnaní jetů o různých energiích, vykreslujeme jen ty, které se nacházejí v požadované části energetického spektra příčné energie. Vždy byl generován velký počet srážek, proto lze vykreslovat histogram radiálních momentů, histogram celkových a příčných energií. Jelikož jet obsahuje desítky částic, je výsledná distribuční funkce energie v jetu dosti nespojitá. Tento problém odstraníme zprůměrováním velkého počtu distribučních funkcí energie v jetu. Získáme tak distribuční funkci energie v jetu pro daný parton a příčnou energii jetu. 22

23 Kapitola 3 Výsledky simulací Hlavním úkolem této práce je nasimulovat jety z různých partonů o různých příčných hybnostech. Simulovány byly proton-antiprotonové srážky o těžišťovéenergii E CMS =96GeV,cožjeproces,kterýsestudujenaurychlovači Tevatron ve Fermiho národní urychlovací laboratoři(fnal). Generoval jsemjetyzkvarku u,bazgluonuprodvěčástispektrapříčnéenergiejetůa toprooblast5-geva5-55gev. Aby byl vytvořen jet z kvarku požadované vůně nebo gluonu, využil jsem v Pythii procesu, kdy ve srážce vzniká Higgsův boson H a intermediální bosonslabéinterakce W +.Higgsůvbossonodanéhmotnosti,jejížmodifikací mohu ovlivňovat energii jetu, nechám rozpadat jen v jednom rozpadovém kanálu na kvark antikvarkový pár požadované vůně nebo na dva gluony. Boson W + serozpadánamion µamionovéneutrino ν µ.využívámtedy proces: p+ p H W + + H W + µ+ν µ. q+ qnebo g+ g Pro konstrukci jetu uvažujeme jen nerozpadlé částice vzniklé fragmentací z požadovaného partonu nebo částice vzniklé rozpadem takto fragmentovaných částic. Účinnýprůřezprovznikjetuovelképříčnéhybnostijevelicemalý,viz obr..8. Tento fakt je demonstrován na obrázku 3., kde je vykreslen početjetů,kterévzniklypřisrážkáchvzávislostinapříčnéenergii. Abychom nemuseli generovat velmi vysoký počet srážek, nastavil jsem požadavek na minimální a maximální příčnou energii již v Pythii. Pro demonstraci rozložení energie částic v prostoru pseudorapidity a azimutu ve výše definovaných energetických oblastech a pro ukázku funkce jeto- DleexperimetuD jsouuvažoványjentyjety,jejichžpříčnáenergiejevětšínež8gev 23

24 Obrázek 3.: Četnost energií jetů h3 Entries 47 Mean x Mean y 3.93 RMS x 5.2 RMS y h3 Entries 3 Mean x Mean y RMS x RMS y Obrázek 3.2: Závislost energie na pseudorapiditě a azimutu pro vznik jetu v energetické oblasti 5- GeV. Obrázek 3.3: Závislost energie na pseudorapiditě a azimutu pro vznik jetu v energetické oblasti 5-5 GeV. 24

25 h4 Entries 3 Mean x.29 Mean y.865 RMS x.775 RMS y h4 Entries 32 Mean x Mean y 2.46 RMS x.538 RMS y Obrázek 3.4: Celková energie nalezených jetů v energetické oblasti 5- GeV. Obrázek 3.5: Celková energie nalezených jetů v energetické oblasti v 5-5 GeV h2 Entries 3 Mean x.263 Mean y 2. RMS x.796 RMS y h2 Entries 32 Mean x -.54 Mean y 2.5 RMS x.538 RMS y Obrázek 3.6: Příčná energie nalezených jetů v energetické oblasti 5- GeV. Obrázek 3.7: Příčná energie nalezených jetů v energetické oblasti v 5-5 GeV. véhoalgoritmujsemvykreslilgrafynaobr Naobrázcích3.2a3.3je zobrazeno, do jakého směru je deponována energie jedné ilustrativní srážky. Výsledekjejíanalýzyjezachycennaobr.3.3až3.7,kdejsouvykreslenycelkové a příčné energie jetů nalezených jetovým algoritmem. Na grafech pro oba energetické výseky je vidět dvojice jetů, které jsou vůči sobě posunuty vazimutu θoúhel π,cožznamená,ževprostorujsouorientoványproti sobě. To odpovídá minimální příčné hybnosti Higgsova bosonu. Abychom mohli vytvořit histogram radiálních momentů a dostatečně hladkou distribučnífunkcienergievjetu,muselibychomvygenerovatvětší počet srážek. Z důvodu časové náročnosti bylo zvoleno srážek na jeden běh programu. Výsledky těchto simulací jsou zobrazeny na obrázcích Z histogramů radiálních momentů nebo tabulky 3. je patrné, že 25

26 R parton 5 GeV 5 55GeV ISRaFSR bezisrafsr ISRaFSR bezisrafsr u,9,,9,4 b,2,5,9,4 g,24,8,2,5 Tabulka 3.: Střední radiální momenty se zvětšující se příčnou energií se zmenšuje střední hodnota radiálního momentu(maximumhistogramuseposunujek)ajetyjsouužší.tutéžproblematiku popisuje distribuční funkce energie v jetu, kde je přímo vidět jak je energie rozložena kolem osy jetu. Vidíme, že s rostoucí příčnou energií je rozloženáblížekosejetu,vizobr.3.2,3.2a3.22.zgrafůnaobrázcích 3.23,3.24atabulky3.jerovněžpatrné,ženejširšíjsoupřistejnéenergii gluonové jety a naopak nejužší jsou ty jety, které vznikly fragmentací u-kvarku.zenergetickéčástispektra5 GeVlzeříci,že u-jetjeužší než b-jet.voblasti5 55GeVnemámezdůvodumenšíhopočtujetů takovou statistiku. Kvarkové jety jsou zde již natolik úzké, že se v rámci chyby shodují, jsou však znatelně užší než jety gluonové. Z tvaru závislosti distribuční funkce energie v jetu, kdy směrnice křivky jepro r=,7skoronulová,tj.energiejižnerostesevzdálenostíodosy,je vprvnímpřiblíženívidětkorektnostdefinicejetuopoloměru R=,7. Pozoroval jsem také, jaký vliv má na tvar jetu zapnutí/vypnutí initial (ISR)afinalstateradiation(FSR),vizkapitola.2.3obr..5,kdyjedovoleno vyzaření gluonu před samotnou interakcí nebo po ní, avšak před fragmentací. Při zapnutí těchto procesů by se měly jety rozšířit, což je patrno zgrafůnaobrázcích 3.25,3.26a

27 N 3 h Entries 43 Mean.899 RMS.248 N 4 h Entries 296 Mean.79 RMS radiální moment radiální moment Obrázek 3.8: Histogram radiálního momentu pro u-jet s příčnou energií 5 GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR Obrázek 3.9: Distribuční funkce energie v u-jetu s příčnou energií 5 GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR. N 3 h Entries 4 Mean.977 RMS.23 N 45 4 h Entries 353 Mean.499 RMS radiální moment radiální moment Obrázek 3.: Histogram radiálního momentu pro b-jet s příčnou energií 5 GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR. 27

28 Obrázek 3.: Distribuční funkce energie v b-jetu s příčnou energií 5 GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR. N 25 h Entries 369 Mean.2377 RMS.285 N 3 h Entries 39 Mean.772 RMS radiální moment radiální moment Obrázek 3.2: Histogram radiálního momentu gluonového jetu s příčnou energií5 GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR Obrázek 3.3: Distribuční funkce energie v gluonovém jetu s příčnou energií 5 GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR. 28

29 N h Entries 58 Mean.922 RMS.9734 N 3 h Entries 59 Mean.4287 RMS radiální moment radiální moment Obrázek 3.4: Histogram radiálního momentu pro u-jet s příčnou energií 5 55GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR Obrázek 3.5: Distribuční funkce energie v u-jetu s příčnou energií 5 55GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR. N 4 h Entries 6 Mean.943 RMS.8368 N 3 h Entries 52 Mean.3783 RMS radiální moment radiální moment Obrázek 3.6: Histogram radiálního momentu pro b-jet s příčnou energií 5 55GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR. 29

30 Obrázek 3.7: Distribuční funkce energie v b-jetu s příčnou energií 5 55GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR. N 8 h Entries 45 Mean.244 RMS.7 N 8 h Entries 53 Mean.4724 RMS radiální moment radiální moment Obrázek 3.8: Histogram radiálního momentu gluonového jetu s příčnou energií5 55GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR Obrázek 3.9: Distribuční funkce energie v gluonovém jetu s příčnou energií 5 55GeV.VlevosISRaFSR,vpravobezISRaFSR. 3

31 u jet 5-GeV.6 b jet 5-GeV.4 u jet 5-55GeV.4 b jet 5-55GeV Obrázek 3.2: Srovnání distribuční funkce energie v u-jetu spříčnouenergií5 55a5 GeV. Obrázek 3.2: Srovnání distribuční funkce energie v b-jetu spříčnouenergií5 55a5 GeV g jet 5-GeV g jet 5-55GeV.6.4 u jet b jet g jet Obrázek 3.22: Srovnání distribuční funkce energie v gluonovém jetuspříčnouenergií5 55a 5 GeV. Obrázek 3.23: Srovnání distribučnífunkceenergievu,bagluonovémjetuspříčnouenergií5 GeV. 3

32 u jet b jet g jet.6.4 u jet 5-GeV bez ISR a FSR u jet 5-GeV s ISR a FSR Obrázek 3.24: Srovnání distribučnífunkceenergievu,bagluonovém jetu s příčnou energií 5 55GeV. Obrázek 3.25: Srovnání distribuční funkce energie v u-jetu s příčnou energií 5 GeV sisrafsrabezisrafsr b jet 5-GeV bez ISR a FSR.6 u jet 5-GeV bez ISR a FSR.4 b jet 5-GeV s ISR a FSR.4 u jet 5-GeV s ISR a FSR Obrázek 3.26: Srovnání distribuční funkce energie v b-jetu s příčnou energií 5 GeV sisrafsrabezisrafsr Obrázek 3.27: Srovnání distribuční funkce energie v gluonovém jetuspříčnouenergií5 GeV sisrafsrabezisrafsr 32

33 Kapitola 4 Srovnání simulací a experimentu Simulace výše byly porovnány s experimentálními výsledky získanými na experimentu CDF ve Fermilabu[26]. Jelikož je v experimentálních datech použitpoloměrjetu R=,jetatohodnotauplatněnaiprosimulaci.Na obrázku 4. jsou vynesena experimentálně získaná data popisující distribuční funkcienergievjetuprojetyopříčnéenergii45,75,gevasimulací získanádistribučnífunkceenergievjetupropříčnouenergiiu-jetu voblasti 5 GeVspovolenýmISRaFSR.Zgrafuvidímedobroushodusimulace a experimentálních výsledků, zvláště pro příčnou energii jetu 75 a GeV. Experiment Simulace Obrázek 4.: Srovnání experimentální a nasimulované distribuční energie v jetu Přepodkládám,ževreálnýchsrážkáchvznikápřevážnávětšinajetůfragmentacílehkých kvarků u a d, jejichž distribuční fuknce energie v jetu jsou velmi podobné 33

34 Kapitola 5 Závěr V první části této práce jsou představeny jety vznikající ve srážkách vysokoenergetických částic. V druhé, stěžejní, části této práce se zabýváme simulacemiproton-antiprotonovýchsrážekstěžišťovouenergií E CMS =96GeV pomocí programu Pythia a jejich následnou analýzou pomocí algoritmu pro rekonstrukci jetů, založeném na modifikovaném kuželovém algoritmu, viz kapitola 2.3. Porovnali jsme charakteristiky jetů(distribuční funkci energie v jetu a první radiální moment) vzniklých z různých partonů(kvarku u,b a gluonu) s různými příčnými energiemi a povoleným/zakázaným ISR a FSR. Získali jsme následující výsledky: Nejširší jsou jety vzniklé fragmentací gluonu, nejužší naopak ty, jež vznikají z u-kvarku, viz obrázky 3.23 a Srostoucípříčnouenergiíjetujeenergierozloženáblížekosejetu,jet jetedyužší,vizobrázky3.2,3.2a3.22. DlepředpokladusejetypřizapnutíISRaFSRrozšíří,vizobrázky3.25, 3.26a3.27. Distribuční funkce energie u-jetu v energetické oblasti 5- GeV získanásimulacíbylaporovnánasdatyzexperimentucdfatytose dobře shodují, jak ukazuje obr.4.. Tato zjištění odpovídají experimentálním a teoretickým výsledkům uvedenýmv[5]. Pro další zlepšení funkce algoritmu by bylo vhodné dále použít procedury na rozdělování a spojování jetů, viz kap Další vylepšení by mělo spočívat v tom, aby byl algoritmus ošetřen vůči problémům popsaným v kapitole.3.3(tj. infrared a collinear safety). 34

35 Literatura [] M. H. Seymour, Jet Phenomenology, 997, hep-ph/977349v3 [2]G.C.Blazey,J.R.Dittman,S.D.Ellis,V.D.Elvira,K.Frame,S. Grinstein, R. Hirosky, R. Piegaina, H. Schellman, R. Snihur, V. Sorin, D. Zeppenfeld, Run II Jet Physics, 2, hep-ex/52 [3] M. Spousta, Jet Profiles, 25, spousta/thesis.pdf [4] J. Terrón, Jet Shapes in Photoproduction and Deep Inelastic Scattering at HERA, 998, [5]A.T.PierceB.R.Webber,ComparisionsofNewJetClusteringAlgorithms for Hadron-Hadron Collision, 998, hep-ph/987532v [6]V.Šimak,Quarks- asweseethem,českévysokéučenítechnické, 27, ISBN [7] J. Hořejší, Historie standartního modelu mikrosvěta, horejsi/popular/smodel.ps [8] Wikipedia-Gluon, [9] astrofyzika/interakce/silná interakce [] P. Nason, Introduction to QCD, 997, IRN [] ParticleDataGroup,ParticlePhysicsBooklet,22, [2] G. Sterman, QCD and Jets, 24, hep-ph/423v [3] J. Dolejší, O. Kotrbová, Standardní model, dolejsi/textbook/particle textbook CZ.htm 35

36 [4] J. Chýla, Quarks, partons and Quantum Chromodynamics, www-hep2.fzu.cz/theory/notes/text.pdf [5] L. SawyerJet, Jet Physics at the Tevatron, 25, acta/vol36/pdf/v36p47.pdf [6] N. Varelas, Lectures on Jet Physics, cteq/schools/summer/varelas/cteq s v2.pdf [7] B. R. Webber, Fragmentation and Hadronization, hep-ph/992292v, 999 [8] N. Glover, Jets at Hadron Colliders, cteq/schools/summer/jets/glover.ps [9] Törbjorn Sjöstran, Pythia 6.4: Physics and Manual, torbjorn/pythia.html [2] D experiment, Inclusive Jet Cross Section and Dijet Cross Section, 2, [2] Computational Science Education Projec, Introduction to Monte Carlo Methods, sci/compscience/csep/csep.p [22] Törbjorn Sjöstran, Monte Carlo Generators for the LHC, [23] ROOT dokumentace, [24] D. Gross, D. Politzer F. Wilczek, prizes/physics/laureates/24/public.html [25] D experiment, Pythia decay table, decaytable.txt [26]K., T., Streets, Jet Shapes at D and CDF, 36

37 Příloha A Použité nastavení parametrů v Pythii: Energiesrážkyvtěžišti:E CMS =96GeV Početsrážek: N= Požadaveknaminimálnípříčnouenergii:SetCKIN(3,p Tmin ): Propříčnouenergiijetu5 GeV:p Tmin =5GeV/c. Propříčnouenergiijetu5 55GeV:p Tmin =5GeV/c. Vypnutí ISR/FSR pomocí SetMSTP(6,)/SetMSTP(7,) Plně uživatelská volba procesů, které budou probíhat: SetMSEL(). Proces p+ p W + + H:SetMSUB(26,). Nastavení hmotnosti Higgsova bosonu: SetPMAS(25,,m) Propříčnouenergiijetu5 GeV:m=5GeV/c 2. Propříčnouenergiijetu5 55GeV:m=5GeV/c 2. Vypnutí všech rozpadových kanálů Higgsova bosonu mimo rozpadu na požadovaný partonový pár: SetMDME(x,,y) Vypnuto(y=)pro x= Zapnuto(y = ) pro x odpovídajícího požadovanému partonu, vizidckódv[25]. Produkce určitého partonu: SetMSTP(7,x), kde x označuje kód KS částice v tabulce 3 v[9]. Další požadavky na částice(vznik fragmentací z požadovaného partonu, nerozpadlost) obsaženy přímo v algoritmu. Dále nastaveno: SetMSTP(42,), SetMSTP(82,4), SetPARP(82,2.2), SetMSTJ(22,2), SetMSTJ(,3), SetPARJ(54,-.7), SetPARJ(55,-.6). Podrobný popis v[9]. 37

38 Poloměrjetu: R=prosrovnánísexperimentálnímydaty,jinak R=,7. 38