KGG/STG Statistika pro geografy

Transkript

1 KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015

2 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním souborem 2 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení 3 Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru

3 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Opakování základních pojmů jak lze odhadnout z výběrového souboru charakteristiky souboru základního základní soubor výběrový soubor

4 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Náhodný výběr Definice Náhodným výběrem rozumíme výběr, ve kterém má každý prvek základního souboru stejnou šanci být vybrán. Prostorová specifikace: stratifikovaný - z každého okresu jeden prvek systematický - seřadit a každá pátá obec prostý náhodný

5 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Grafické znázornění náhodných výběrů Obrázek: Systematický, náhodný a stratifikovaný náhodný výběr

6 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Statistiky = funkce odvozené z náhodného výběru výběrový aritmetický průměr x = 1 n výběrová směrodatná odchylka n 1 s = n 1 n x i i=1 i=1 (x i x) 2

7 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Základní x výběrový soubor Tabulka: Označení charakteristik základního a výběrového souboru Základní soubor Výběrový soubor rozsah N n i-tý prvek a i x i střední hodnota µ x směrodatná odchylka σ s rozptyl σ 2 s 2

8 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Bodový a intervalový odhad bodový odhad - realizací tohoto odhadu získáme pro hledanou charakteristiku základního souboru konkrétní číslo intervalový odhad - realizací tohoto odhadu získáme pro hledanou charakteristiku základního souboru interval hodnot, který s předem danou pravděpodobností bude pokrývat hledanou charakteristiku

9 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení slouží k odhadu parametrů základního souboru, ze kterého daný náhodný výběr pochází realizací tohoto odhadu získáme pro konkrétní charakteristiku určitou hodnotu pro různé náhodné výběry ze stejného základního souboru se bodový odhad téže charakteristiky zpravidla liší

10 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení střední hodnoty Definice Bodovým odhadem střední hodnoty ˆµ základního souboru rozumíme aritmetický průměr daného náhodného výběru, tj. ˆµ = x = 1 n n x i. i=1 bodový odhad střední hodnoty základního souboru ztotožňujeme z výběrovým průměrem

11 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení směrodatné odchylky Definice směrodatné odchylky ˆσ základního souboru určujeme pomocí kvadrátů odchylek jednotlivých prvků od výběrového průměru, tj. ˆσ = 1 n 1 n i=1 (v případě, že rozsah výběru n 2). (x i x) 2

12 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení směrodatné odchylky bodový odhad směrodatné odchylky základního souboru ztotožňujeme z výběrovou směrodatnou odchylkou pozor: v popisné statistice jsme počítali hodnotu směrodatné odchylky jinak (odlišíme čárkou): s = 1 n n i=1 (x i x) 2

13 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení Stupně volnosti udávají, jaký je potřeba minimální počet nezávislých výběrů k tomu, abychom dostali výslednou statistiku kvůli položení rovnosti mezi bodový odhad a výběrovou charakteristiku ztrácíme jeden nezávislý výběr - proto n 1 například pokud průměr vypočtený ze tří měření je 5 a první dvě měření budou 4 a 5, poslední měření již není nezávislé, nebot se musí rovnat 6

14 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení vždy platí ˆσ > s 1 ˆσ s = n 1 n i=1 (x i x) 2 = 1 n n i=1 (x i x) 2 1 n 1 n i=1 (x i x) 2 1 n = n i=1 (x i x) 2 neboli 1 n 1 1 n n ˆσ = s n 1 n = n 1

15 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení 1. konzistentnost odhadu označuje trend zmenšování se rozdílu mezi skutečnou a odhadnutou hodnotou charakteristiky s rostoucím rozsahem výběru; tj. s rostoucím rozsahem výběru se realizace odhadu dané charakteristiky přibližuje hodnotě dané charakteristiky základního souboru (s pravděpodobností 1) 2. nestrannost odhadu při opakovaných výběrech kolísá odhad kolem teoretické hodnoty symetricky na obě strany

16 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení 3. vydatnost odhadu rozptyl odhadů při opakovaných výběrech je malý 4. rezistence odhadu odlehlé hodnoty vzniklé chybou měření, či špatným zápisem, nemají velký vliv na hodnotu odhadu

17 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení Výběrové rozdělení pravděpodobnostní rozdělení hodnot, které statistika nabývá ve všech možných výběrech z daného základního souboru následující statistiky jsou definovány jako vážené - z důvodu různých rozsahů výběrů

18 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení Statistiky výběrového rozdělení 1 Vážený průměr výběrových průměrů µ x = (n 1 x 1 + n 2 x n r 1 x r 1 + n r x r )/r = 1 n r i=1 n i x i 2 Vážený průměr výběrových rozptylů s 2 = (n 1 1)s (n 2 1)s (n r 1)s 2 r n 1 + n n r r = r i=1 (n i 1)s 2 i n r kde n = n n r a r je počet výběrů.,

19 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení Vlastnosti parametrů 1. v případě náhodného výběru z normálního rozdělení s parametry µ a σ platí, že rozdělení výběrových průměrů je také normální s parametry µ x = µ σ x = σ/ n 2. směrodatná odchylka rozdělení výběrových průměrů σ x (také používáme název směrodatná chyba odhadu průměru) je menší než směrodatná odchylka základního souboru a to tím menší, čím je větší rozsah výběru

20 parametrů základního souboru Výběrové rozdělení Vlastnosti parametrů 3. pro rozsah výběru jdoucí do nekonečna se výběrové rozdělení průměrů dokonce blíží normálnímu rozdělení bez ohledu na tvar původního rozdělení

21 Úvod, pojmy Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru realizací tohoto odhadu získáme pro konkrétní charakteristiku interval hodnot, v němž se zadanou pravděpodobností leží odhadovaný neznámý parametr liší se podle rozsahu výběru záleží na tom, které parametry známe a které nikoliv

22 Kvalita odhadu Úvod, pojmy Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru Přesnost odhadu je dána násobkem směrodatné chyby odhadu (tj. poloviční šířkou intervalu spolehlivosti). Spolehlivost odhadu je určena pravděpodobností, se kterou je možné určitý odhad považovat za správný.

23 Interval spolehlivosti Úvod, pojmy Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru Princip konstrukce pro střední hodnotu: středem intervalu spolehlivosti je bodový odhad dané charakteristiky (tj. výběrový průměr) na obě strany od výběrového průměru ve vzdálenosti určené násobkem směrodatné chyby odhadu - hranice intervalu spolehlivosti označení: nalevo dolní hranice (q 1 ), napravo horní hranice (q 2 ) rozdíl horní a dolní hranice určuje šířku intervalu spolehlivosti polovina šířky je mírou přesnosti odhadu

24 Základní pojmy Úvod, pojmy Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru míra spolehlivosti odhadu (1 α) (pravděpodobnost, že se skutečný parametr základního souboru nachází uvnitř intervalu) riziko α - pravděpodobnost, že skutečný parametr není pokryt intervalem spolehlivosti Tabulka: Nejčastěji používané intervaly spolehlivosti Násobky s Spolehlivost Riziko 1,960 0,95 0,05 2,576 0,99 0,01 3,291 0,999 0,001

25 Charakteristiky Úvod, pojmy Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru výběry s velkým rozsahem jsou přesnější výběry s rozsahem nad 30 - jejich výběrové rozdělení lze považovat za normální navíc lze ve vzorci pro intervalový odhad dosadit místo σ 2 výběrový rozptyl s 2 platí P(q 1 µ q 2 ) = 1 α rozdělení na případy v závislosti na tom, zda známe rozptyl σ 2, nebo nikoliv

26 Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru Odhad parametru µ při známém rozptylu σ 2 pro hranice intervalu spolehlivosti platí: q 1 = x z 1 α 2 q 2 = x + z 1 α 2 σ n, σ n, přičemž z 1 α 2 je příslušný kvantil normovaného normálního rozdělení intervalový odhad lze přepsat do tvaru: x z 1 α 2 σ σ n µ x + z 1 α n 2

27 Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru Odhad parametru µ při neznámém rozptylu σ 2 nutnost nahradit hodnotu jistého kvantilu normovaného normálního rozdělení kvantilem Studentova t rozdělení pro ν = n 1 stupňů volnosti x t 1 α 2 (n 1) s n µ x + t 1 α 2 (n 1) s n

28 Přípustná chyba Úvod, pojmy Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru = z 1 α 2 σ n S tímto novým označením tak můžeme přepsat obecný tvar intervalového odhadu do podoby: x µ x +

29 Odhad parametru σ 2 Úvod, pojmy Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru obecně bude mít intervalový odhad parametru σ 2 tvar: P(q 1 σ 2 q 2 ) = 1 α omezení se na variantu, kdy neznáme parametr µ výsledný interval má tvar (n 1)s 2 χ 2 α 2 (n 1) σ2 (n 1)s2 χ 2 1 α 2 (n 1)

30 Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru Určení rozsahu n náhodného výběru situace: potřebujeme předem vědět, jak velký soubor vybrat (předem si zvolit přesnost intervalového odhadu) úpravou vzorce přípustné chyby dostáváme vztah n ( σ z1 α 2 ) 2, kde za n zvolíme nejmenší přirozené číslo vyhovující této podmínce

31 Přesnost a spolehlivost odhadu Interval spolehlivosti Odhad parametru µ Odhad parametru σ 2 Určení rozsahu n náhodného výběru Děkuji za pozornost...