4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
|
|
|
- Božena Hrušková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
2 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet LU rozkladu 5. Řešení soustav pomocí LU rozkladu 6. Použití LU rozkladu
3 4. Trojúhelníkový rozklad p. 3/ Permutační matice DEFINICE 1 Matice P se nazývá permutační matice, je-li možno P získat z jednotkové matice I stejného typu postupnou výměnou řádků.
4 4. Trojúhelníkový rozklad p. 3/ Permutační matice DEFINICE 1 Matice P se nazývá permutační matice, je-li možno P získat z jednotkové matice I stejného typu postupnou výměnou řádků. Výměnu i-tého aj-tého řádku dané matice můžeme provést tak, že tuto matici vynásobíme zleva elementární permutační maticí P ij. Každou permutační matici P je možno zapsat ve tvaru P = P ik j k P i1 j 1 I = P ik j k P i1 j 1.
5 4. Trojúhelníkový rozklad p. 4/ Permutační matice PŘÍKLAD 1 I = [ ] r3 r 1 [ ] r2 r 1 [ ] = P, takže P můžeme zapsat ve tvaru P = P 12 P 13 I = P 12 P 13.
6 4. Trojúhelníkový rozklad p. 4/ Permutační matice PŘÍKLAD 1 I = [ ] r3 r 1 [ ] r2 r 1 [ ] = P, takže P můžeme zapsat ve tvaru P = P 12 P 13 I = P 12 P 13. LEMMA 1 Pro libovolnou permutační matici P platí P 1 = P
7 4.1 Permutační matice PŘÍKLAD 1 I = [ ] r3 r 1 [ ] r2 r 1 [ ] = P, takže P můžeme zapsat ve tvaru P = P 12 P 13 I = P 12 P 13. LEMMA 1 Pro libovolnou permutační matici P platí P 1 = P DŮKAZ: Zřejmě platí P ij = P ij. Pak zp 1 ij = P ij (viz Lemma 2 z přednášky Inverzní matice ) plyne PP = P ik j k P i1 j 1 (P ik j k P i1 j 1 ) = P ik j k P i1 j 1 P i 1 j 1 P i k j k = P ik j k P i1 j 1 P i1 j 1 P ik j k = P 1 i k j k P 1 i 1 j 1 P i1 j 1 P ik j k = I 4. Trojúhelníkový rozklad p. 4/20
8 4. Trojúhelníkový rozklad p. 5/ Permutační matice Elementární permutační maticep ij můžeme také použít k výměně i-tého aj-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticíp ij zprava.
9 4. Trojúhelníkový rozklad p. 5/ Permutační matice Elementární permutační maticep ij můžeme také použít k výměně i-tého aj-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticíp ij zprava. PŘÍKLAD 2 Například vynásobíme-li maticia = [a ij ] řádu 2 maticíp 12 zprava, dostaneme [ ][ a11 a AP 12 = a 21 a ] = [ a12 a 11 a 22 a 21 ] = [ s A 2,s A 1 ].
10 4. Trojúhelníkový rozklad p. 5/ Permutační matice Elementární permutační maticep ij můžeme také použít k výměně i-tého aj-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticíp ij zprava. PŘÍKLAD 2 Například vynásobíme-li maticia = [a ij ] řádu 2 maticíp 12 zprava, dostaneme [ ][ a11 a AP 12 = a 21 a ] = [ a12 a 11 a 22 a 21 ] = [ s A 2,s A 1 ]. K odvození obecného pravidla pro permutaci sloupců můžeme použít transponování.
11 4. Trojúhelníkový rozklad p. 6/ Trojúhelníkové matice DEFINICE 2 Čtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní) trojúhelníková matice, jestliže má nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkové matice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané horní trojúhelníkové matice U platíu ij = 0 pro i > j.
12 4. Trojúhelníkový rozklad p. 6/ Trojúhelníkové matice DEFINICE 2 Čtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní) trojúhelníková matice, jestliže má nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkové matice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané horní trojúhelníkové matice U platíu ij = 0 pro i > j. LEMMA 2 Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu.
13 4. Trojúhelníkový rozklad p. 6/ Trojúhelníkové matice DEFINICE 2 Čtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní) trojúhelníková matice, jestliže má nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkové matice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané horní trojúhelníkové matice U platíu ij = 0 pro i > j. LEMMA 2 Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu. DŮKAZ: Jsou-li například L = [l ij ] a M = [m ij ] dvě dolní trojúhelníkové matice ai < j, pak [LM] ij = l i1 m 1j + +l in m nj = l i1 0+ +l ii 0+0 m i+1j + +0 m nj = 0, takže LM je také dolní trojúhelníková matice.
14 4. Trojúhelníkový rozklad p. 7/ Trojúhelníkové matice VĚTA 1 Necht L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky. Pak L je regulární a L 1 je dolní trojúhelníková matice.
15 4. Trojúhelníkový rozklad p. 7/ Trojúhelníkové matice VĚTA 1 Necht L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky. Pak L je regulární a L 1 je dolní trojúhelníková matice. DŮKAZ: Je-li L dolní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále, pak existují matice elementárních operací T p = G ip j p (α p ) si p < j p, případně T p = M ip (l 1 i p i p ) tak, že pro matici T = T k T 1 platí T [ L I ] = [ I B ]. Tedy L je regulární. Porovnáním levých částí příslušných matic dostaneme TL = I. Odtud tedy platí L = T 1, odkud dle definice inverzní matice je LT = I at = L 1.
16 4. Trojúhelníkový rozklad p. 7/ Trojúhelníkové matice VĚTA 1 Necht L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky. Pak L je regulární a L 1 je dolní trojúhelníková matice. DŮKAZ: Je-li L dolní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále, pak existují matice elementárních operací T p = G ip j p (α p ) si p < j p, případně T p = M ip (l 1 i p i p ) tak, že pro matici T = T k T 1 platí T [ L I ] = [ I B ]. Tedy L je regulární. Porovnáním levých částí příslušných matic dostaneme TL = I. Odtud tedy platí L = T 1, odkud dle definice inverzní matice je LT = I at = L 1. Jelikož všechny matice T i jsou dolní trojúhelníkové, je také matice dolní trojúhelníková matice. L 1 = T = T k T 1
17 4. Trojúhelníkový rozklad p. 8/ Trojúhelníkový (LU) rozklad VĚTA 2 Necht A je regulární čtvercová matice. Pak existuje dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že Matice L, U jsou regulární. AP = LU.
18 4. Trojúhelníkový rozklad p. 8/ Trojúhelníkový (LU) rozklad VĚTA 2 Necht A je regulární čtvercová matice. Pak existuje dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že Matice L, U jsou regulární. AP = LU. DŮKAZ: Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n. Z regulárnosti matice A plyne, že existuje i 1 tak, žea 1i1 0. Takže Ā = AP 1i 1 má v levém horním rohu nenulový prvek ā 11 = a 1i1.
19 4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1,
20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1, kde A 1 = ā 11 ā ā 1n 0 a a 1 2n a 1 n2... a 1 nn
21 4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1, kde A 1 = ā 11 ā ā 1n 0 a a 1 2n = a 1 11 a a 1 1n 0 a a 1 2n a 1 n2... a 1 nn 0 a 1 n2... a 1 nn
22 4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1, kde A 1 = ā 11 ā ā 1n 0 a a 1 2n = a 1 11 a a 1 1n 0 a a 1 2n a 1 n2... a 1 nn 0 a 1 n2... a 1 nn a L 1 = G 1n ( ā n1 /ā 11 ) G 12 ( ā 21 /ā 11 ) je dolní trojúhelníková matice, nebot je vyjádřena jako součin dolních trojúhelníkových matic.
23 4. Trojúhelníkový rozklad p. 10/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování MaticeA 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže je A 1 také regulární a existuje i 2 2 tak, žea 1 2i 2 0. Matice Ā1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulový prvek ā 22 a stejný první sloupec jako maticea 1.
24 4. Trojúhelníkový rozklad p. 10/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování MaticeA 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže je A 1 také regulární a existuje i 2 2 tak, žea 1 2i 2 0. Matice Ā1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulový prvek ā 22 a stejný první sloupec jako maticea 1. Opakováním tohoto postupu dosáhneme toho, že LAP = U,
25 4. Trojúhelníkový rozklad p. 10/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování MaticeA 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže je A 1 také regulární a existuje i 2 2 tak, žea 1 2i 2 0. Matice Ā1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulový prvek ā 22 a stejný první sloupec jako maticea 1. Opakováním tohoto postupu dosáhneme toho, že LAP = U, kde a U = a n 1 11 a n a n 1 1n 0 a n a n 1 2n a n 1 nn = A n 1 P = P 1i1 P n 1in 1, L = Ln 1 L 1.
26 4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j.
27 4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j. Přenásobíme-li rovnici LAP = U zleva maticíl = L 1, dostaneme AP = LU.
28 4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j. Přenásobíme-li rovnici LAP = U zleva maticíl = L 1, dostaneme AP = LU. Matice L je regulární dolní trojúhelníková matice, nebot je inverzní k dolní trojúhelníkové matici L. Jelikož jsou matice A,P, L regulární, je také maticeu = LAP regulární.
29 4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/ Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j. Přenásobíme-li rovnici LAP = U zleva maticíl = L 1, dostaneme AP = LU. Matice L je regulární dolní trojúhelníková matice, nebot je inverzní k dolní trojúhelníkové matici L. Jelikož jsou matice A,P, L regulární, je také maticeu = LAP regulární. Vyjádření matice ve tvaru součinu AP = LU se nazývá LU rozklad podle počátečních písmen anglických slov Lower (dolní) a Upper (horní). Matice L, U a P nejsou určeny jednoznačně.
30 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně:
31 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ]
32 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším.
33 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším. Nesmíme vyměňovat řádky
34 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším. Nesmíme vyměňovat řádky Pokud to je nutné, můžeme vyměnit sloupce a tyto výměny budeme zaznamenávat stejnými úpravami jednotkové matice t.j. I P, kde P je hledaná permutační matice.
35 4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/ Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším. Nesmíme vyměňovat řádky Pokud to je nutné, můžeme vyměnit sloupce a tyto výměny budeme zaznamenávat stejnými úpravami jednotkové matice t.j. I P, kde P je hledaná permutační matice. 2. Vypočteme L = L 1 úpravou [ L I ] [ ] I L. K této úpravě opět nesmíme použít elementární řádkové operace popsané v 1.
36 4. Trojúhelníkový rozklad p. 13/ Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Úprava [ A I ] [ U L ] : [ ] [ ] A I = s 3 s 1 [ ] r 2 = [ U L ] [ ] [ r 1 ] =
37 4.4 Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Úprava [ A I ] [ U L ] : [ ] [ ] A I = s 3 s 1 [ ] r 2 = [ U L ] Sledování výměn sloupců: [ ] I = s 3 s 1 [ [ ] [ ] = P 2+r 1 ] 4. Trojúhelníkový rozklad p. 13/20 =
38 4. Trojúhelníkový rozklad p. 14/ Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Pokračování VýpočetL = L 1 úpravou [ L I ] [ ] I L : [ ] [ ] [ L I = r r = [ I L ] ] r =
39 4.4 Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Pokračování VýpočetL = L 1 úpravou [ L I ] [ ] I L : [ ] [ ] [ L I = r r = [ I L ] ] r [ ] L = , U = 0 3 2, P = Přímým výpočtem si můžeme ověřit, že platí AP = LU. [ = ] 4. Trojúhelníkový rozklad p. 14/20.
40 4. Trojúhelníkový rozklad p. 15/ Výpočet LU rozkladu Uvedený postup výpočtu LU rozkladu je spíše vhodný pro ruční výpočet. Pro počítačové nalezení LU rozkladu bychom využili následujících poznatků.
41 4. Trojúhelníkový rozklad p. 15/ Výpočet LU rozkladu Uvedený postup výpočtu LU rozkladu je spíše vhodný pro ruční výpočet. Pro počítačové nalezení LU rozkladu bychom využili následujících poznatků. Předpokládejme, že provádíme úpravu [ A I ] [ U L ] a máme upraveno k 1 sloupců. Pak A k 1 = a k 1 1,k. a k 1 k,k a k 1 k+1,k. a k 1 n,k
42 4.4 Výpočet LU rozkladu Uvedený postup výpočtu LU rozkladu je spíše vhodný pro ruční výpočet. Pro počítačové nalezení LU rozkladu bychom využili následujících poznatků. Předpokládejme, že provádíme úpravu [ A I ] [ U L ] a máme upraveno k 1 sloupců. Pak A k 1 = a k 1 1,k. a k 1 k,k a k 1 k+1,k. a k 1 n,k L k a k 1,k. a k k,k 0. 0, L k = l k+1,k l n,k kde l i,k = a k 1 i,k /ak 1 k,k,i = k +1,...,n. 4. Trojúhelníkový rozklad p. 15/20
43 4. Trojúhelníkový rozklad p. 16/ Výpočet LU rozkladu Po n 1 úpravách obdržíme U = LA, kde L = L n 1 L 1. Pro hledanou matici L ovšem platí L = L 1 = L 1 1 L 1 n 1.
44 4. Trojúhelníkový rozklad p. 16/ Výpočet LU rozkladu Po n 1 úpravách obdržíme U = LA, kde L = L n 1 L 1. Pro hledanou matici L ovšem platí L = L 1 1 = L 1 L 1 n 1. Pak se dá snadno dokázat, že L 1 k = l k+1,k a L = l k, l k+1,1...l k+1,k l n,k l n1... l n,k l n,k+1...1
45 4. Trojúhelníkový rozklad p. 16/ Výpočet LU rozkladu Po n 1 úpravách obdržíme U = LA, kde L = L n 1 L 1. Pro hledanou matici L ovšem platí L = L 1 1 = L 1 L 1 n 1. Pak se dá snadno dokázat, že L 1 k = l k+1,k a L = l k, l k+1,1...l k+1,k l n,k l n1... l n,k l n,k Případné výměny sloupců se budou opět zaznamenávat do I čímž obdržíme permutační matici P.
46 4. Trojúhelníkový rozklad p. 17/ Výpočet LU rozkladu S použitím výše uvedených poznatků můžeme navrhnout algoritmus pro přímé nalezení LU rozkladu matice A:
47 4. Trojúhelníkový rozklad p. 17/ Výpočet LU rozkladu S použitím výše uvedených poznatků můžeme navrhnout algoritmus pro přímé nalezení LU rozkladu matice A: Algoritmus U = A, L = I fork = 1 to n 1 do for i = k +1 to n do l i,k = u i,k /u k,k u i,k:n = u i,k:n l i,k u k,k:n end for end for
48 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P.
49 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme
50 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme 1. Lz = b tzv. dopřednou substitucí
51 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme 1. Lz = b tzv. dopřednou substitucí 2. Uy = z tzv. zpětnou substitucí
52 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme 1. Lz = b tzv. dopřednou substitucí 2. Uy = z tzv. zpětnou substitucí 3. Px = y permutací složek řešení. 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/20
53 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1
54 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = z z 2 = z z 3 = 1
55 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. z 1 = z z 2 = z z 3 = 1
56 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = z z 2 = z z 3 = 1 odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavuuy = z, tedy 2y 1 y 2 = 1 3y 2 2y 3 = 3 4y 3 = 6
57 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/ Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = z z 2 = z z 3 = 1 odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavuuy = z, tedy Odtudy 1 = 3 2,y 2 = 2,y 3 = y 1 y 2 = 1 3y 2 2y 3 = 3 4y 3 = 6
58 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = z z 2 = z z 3 = 1 odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavuuy = z, tedy Odtudy 1 = 3 2,y 2 = 2,y 3 = y 1 y 2 = 1 3y 2 2y 3 = 3 4y 3 = 6 Konečně určíme x řešením Px = y nebo zx = Py, takže x 1 = 3 2,x 2 = 2,x 3 = Trojúhelníkový rozklad p. 19/20
59 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/ Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic
60 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/ Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3
61 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/ Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3 LU rozklad je velmi efektivní nástroj pro řešení soustav s více pravými stranami (pro různé pravé strany stačí pouze řešit dopřednou a zpětnou substituci)
62 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/ Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3 LU rozklad je velmi efektivní nástroj pro řešení soustav s více pravými stranami (pro různé pravé strany stačí pouze řešit dopřednou a zpětnou substituci) LU rozkladu je možné využít i k nalezení inverzní matice nebot A = LU P A 1 = PU 1 L 1
63 4.6 Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3 LU rozklad je velmi efektivní nástroj pro řešení soustav s více pravými stranami (pro různé pravé strany stačí pouze řešit dopřednou a zpětnou substituci) LU rozkladu je možné využít i k nalezení inverzní matice nebot A = LU P A 1 = PU 1 L 1 LU rozklad je taktéž velmi důležitý teoretický nástroj 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/20
[1] LU rozklad A = L U
![[1] LU rozklad A = L U](/thumbs/62/48401420.jpg "[1] LU rozklad A = L U")
[1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
Co je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Cvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
![[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici](/thumbs/94/118721039.jpg "[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici")
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn
Inversní matice 1 Definice Nechť je čtvercová matice řádu n Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticí k matici, jestliže platí B=E n =B, kdee n jeodpovídajícíjednotkovámatice 2 Tvrzení Inversní
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Cvičení 5 - Inverzní matice
Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,
Numerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Numerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
4. LU rozklad a jeho numerická analýza
4 LU rozklad a jeho numerická analýza Petr Tichý 24 října 2012 1 Úvod Nechť A je regulární matice Řešíme Ax = b LU rozklad (Gaussova eliminace) je jeden z nejdůležitějších nástrojů pro problém řešení soustav
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi
2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí
Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
Transformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
Lineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
stránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22
6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
0 0 a 2,n. JACOBIOVA ITERAČNÍ METODA. Ax = b (D + L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b. (i) + T J
6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/ ITERAČNÍ METODY PRO ŘEŠENÍ SYSTÉMŮ LINEÁRNÍCH ROVNIC Budeme se zabývat řešením soustavy lineárních rovnic
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky
Univerzitní licence MATLABu. Pište mail na: se žádostí o nejnovější licenci MATLABu.
Univerzitní licence MATLABu Pište mail na: operator@service.zcu.cz se žádostí o nejnovější licenci MATLABu. * násobení maticové K = L = 1 2 5 6 3 4 7 8 Příklad: M = K * L N = L * K (2,2) = (2,2) * (2,2)
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Úlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Numerické metody lineární algebry
Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10
1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Numerická matematika Banka řešených příkladů
Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6
Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný