13. Lineární programování
|
|
- Jakub Černý
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI 13. Lineární programování Formulace Prostor řešení a simplexová metoda Celočíselné lineární programování
2 Terminologie Programování : čti programování výrobní linky Lineární : čti při omezujících podmínkách a optimalizačním kritériu vyjádřených lineárními výrazy (také kvadratické, hyperbolické programování) Dynamické programování : programování výpočtu kombinatorického problému 2
3 Formulace Dána reálná čísla a a mn, b 1... b m, c 1... c n Nalezněte reálná x 1, x 2,..., x n tak, aby c 1 x 1 + c 2 x c n x n max. c T x max. za podmínky a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 Ax b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1 0, x 2 0,..., x n 0 x 0 3
4 Příklady Výrobní problémy nechť a ij je spotřeba materiálu i pro výrobek j nechť b i jsou dostupné zdroje materiálu i nechť c j je zisk z výroby jednotkového množství výrobku j maximalizace zisku z využití daných zdrojů Směšovací problémy minimalizace nákladů na dosažení stanoveného cíle 4
5 Příklad Moret & Shapiro x výroba světlého piva, hl y výroba tmavého piva, hl 21x + 31y max. 2x + 3y 25 4x + y 32 2x + 9y 54 x 0, y 0 Pivovar vaří světlé a tmavé pivo. Na 1hl světlého piva je potřebí 2 jednotky sladu, 4 jednotky chmele a 2 jednotky kvasnic. Na 1hl tmavého piva jsou potřebí 3 jednotky sladu, 1 jednotka chmele a 9 jednotek kvasnic. Zisk z prodeje světlého a tmavého piva je v poměru 21:31. Je k dispozici 25 jednotek sladu, 32 jednotek chmele a 54 jednotek kvasnic. Jaký má být výrobní program pro maximální zisk? 5
6 Lineární programování a kombinatorické problémy x A, b, c Ax b x 0 konfigurační a výstupní proměnné vstupní proměnné omezující podmínky c T x max. optimalizační kritérium a přece se netočí není to kombinatorický problém 6
7 Tvary lineárního programování c T x max. c T x max. Ax b x 0 c T x max. Ax = b x 0 Ax = b x 0 kanonický tvar standardní tvar obecný tvar formulace základních úloh metody řešení praxe 7
8 Ekvivalence zvláštní případ standardní tvar ukážeme zvláštní případ obecný tvar ukážeme kanonický tvar 8
9 Ekvivalence obecný x j 0 původní rovnice obecný kanonický x j = x j+ - x j - x j + 0 x j - 0 standardní nová rovnice nové proměnné nechť a (i) je i-tý řádek matice A a (i) x b i a (i) x = b i -a (i) x -b i původní rovnice nové rovnice a (i) x + s i = b i a (i) x s i = b i a (i) x b i a (i) x b i s i 0 s i 0 9
10 Jak vypadá prostor řešení? Příklad x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 max. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 1 + x 5 = 2 x 3 + x 6 = 3 3x 2 + x 3 + x 7 = 6 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 m=4 rovnic pro n=7 proměnných n-m=3 proměnné volné nějaký útvar v E 3 10
11 Prostor řešení x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 1 + x 5 = 2 x 3 + x 6 = 3 3x 2 + x 3 + x 7 = 6 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 x 4, x 5, x 6, x 7 0 x 1 + x 2 + x 3 4 x 1 2 x 3 3 3x 2 + x 3 6 x 1 0 x 2 0 x
12 0,1,3 0,0,3 x 3 1,0,3 Geometrický názor 2,0,2 x 2 0,0,0 x 1 2,0,0 0,2,0 2,2,0 dva průsečíky splynuly v jeden 12
13 Prostor řešení Konvexní těleso y 1, y 2,... y k řešení 1 y y k y k je řešení, pokud k =1 13
14 Optimalizační kritérium x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 1 + x 5 = 2 x 3 + x 6 = 3 3x 2 + x 3 + x 7 = 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 max x 1 + 3x 2 + 2x 3 15 x 1 + 3x 2 + 2x 3 15 = z max geometrická reprezentace? 14
15 0,1,3 0,0,3 1,0,3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 15 = z x 3 2,0,2 0,0,0 2,0,0 x 1 x 2 0,2,0 2,2,0 z = 15 15
16 0,1,3 0,0,3 1,0,3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 15 = z x 3 2,0,2 0,0,0 x 1 2,0,0 x 2 0,2,0 2,2,0 z = 13 16
17 0,1,3 0,0,3 1,0,3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 15 = z x 3 2,0,2 0,0,0 2,0,0 x 1 x 2 0,2,0 2,2,0 z = 9 17
18 0,1,3 0,0,3 1,0,3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 15 = z x 3 2,0,2 0,0,0 x 1 2,0,0 x 2 0,2,0 2,2,0 z = 6 18
19 Počet řešení Prostor řešení je konvexní těleso Dotyk svazku (nad-)rovin s prostorem řešení je bod (vrchol) úsečka (hrana) (nad-)rovina (stěna) Pokud nežádáme všechna řešení, stačí se zabývat jen vrcholy Nejsou žádná lokální minima Stačí aplikovat lokální prohledávání (například pouze nejlepší ) na množinu vrcholů Ale kde najdeme vrcholy? 19
20 0,1,3 6 0,0,3 9 8 x 3 1,0,3 9 2,0,2 0,0,0 x 1 2,0, x 2 0,2,0 2,2,
21 Báze a bázová řešení a (1) a (2) a (3) a (4) a (5) a (6) a (7) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 1 + x 5 = 2 x 3 + x 6 = 3 3x 2 + x 3 + x 7 = 6 nechť a (i) je i-tý sloupec matice A Nejméně n-m sloupců lineárně závislých Volbou m lineárně nezávislých sloupců volíme bázi Všechny proměnné, které neodpovídají sloupcům báze, položíme rovny nule a řešíme zbylou soustavu Dostaneme bázové řešení 21
22 Báze a bázová řešení a (1) a (2) a (3) a (4) a (5) a (6) a (7) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 1 + x 5 = 2 x 3 + x 6 = 3 3x 2 + x 3 + x 7 = 6 B = (a (4) a (5) a (6) a (7) ) x 1 =x 2 =x 3 =0 ( ) B = (a (1) a (2) a (3) a (6) ) x 4 =x 5 =x 7 =0 ( ) B = (a (1) a (2) a (4) a (6) ) x 3 =x 5 =x 7 =0 ( ) dvojitý bod (více než 3 nuly) B = (a (2) a (5) a (6) a (7) ) x 1 =x 3 =x 4 =0 ( ) tato báze neodpovídá žádnému řešení 22
23 Přechod mezi bázemi Každému vrcholu odpovídá nějaká báze Máme bázi B = (a (B1), a (B2),..., a (Bm) ) a odpovídající bázové řešení x Vybereme si sloupec a (j), který v bázi není a chceme jej tam mít Který sloupec vypadne? 23
24 Přechod mezi bázemi B = (a (B1), a (B2),..., a (Bm) ), odpovídající bázové řešení x Sloupec a (j) musí být lineární kombinací sloupců báze (s nějakými koeficienty t ij ) a (j) = m i=1 t ij a (Bi) protože x je řešení a protože proměnné, které neodpovídají sloupcům báze, jsou nulové. > 0 m i=1 m i=1 x i a (Bi) = b rovnice pohybu z původního vrcholu do nového (x i t ij ) a (Bi) + a (j) = b 24
25 Přechod mezi bázemi B = (a (1) a (3) a (6) a (7) ) ( ) a (1) a (2) a (3) a (4) a (5) a (6) a (7) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 1 + x 5 = 2 x 3 +x 6 = 3 3x 2 + x 3 +x 7 = 6 chci a (5) do báze a (5) = a (1) - a (3) + a (6) + a (7) t 15 =1 t 25 = 1 t 35 =1 t 45 =1 Jestliže (vhodně uspořádané) sloupce báze tvoří jednotkovou matici, můžeme koeficienty t ij číst přímo budeme v tomto tvaru matici udržovat Gaussovou eliminací 25
26 Přechod mezi bázemi B = (a (1) a (3) a (6) a (7) ) ( ) a (1) a (2) a (3) a (4) a (5) a (6) a (7) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 1 + x 5 = 2 x 3 +x 6 = 3 3x 2 + x 3 +x 7 = 6 a (5) = a (1) - a (3) + a (6) + a (7) t 15 =1 t 25 = 1 t 35 =1 t 45 =1 (2 1. ) a (1) +(2+1. ) a (3) + (1 1. ) a (6) + (4 1. ) a (7) + a (5) = b s rostoucím se tento člen vynuluje nejdříve max=1 a(6) opouští bázi ( ) 26
27 6 0,1,3,0,2,0, ,0,3,1,2,0,3 x 3 1,0,3,0,1,0,3 9 =1 2,0,2,0,0,1,4 = ,0,0,4,2,3,6 x 1 2,0,0,2,0,3,6 x 2 0,2,0,2,2,3,0 2,2,0,0,0,3,
28 Který sloupec? B = (a (B1), a (B2),..., a (Bm) ), odpovídající bázové z= a (j) = m i=1 m i=1 x i c Bi t ij a (Bi) cena řešení x (proměnné, které nepřísluší sloupci báze, jsou nulové) proměnné ve sloupcích, příslušejících bázi, redukovány o t ij z = j max (c j m i=1 t ij c Bi ) změna ceny při zavedení sloupce j do báze Zavést sloupec, pro který je z nejlepší nebo aspoň kladné. Neexistuje-li, konec (globální optimum) 28
29 Tabulky simplexové metody hodnota optimalizačního kritéria c řádek A b myšlený sloupec pro proměnnou z 29
30 Řešení příkladu simplexovou metodou 1 na j-té pozici dostaneme m i=1 t ij c Bi Gaussovou eliminací přivedeme 0 ve sloupcích báze jednotková podmatice báze (nemusíme hledat) 30
31 Co dál? 2 do báze max z báze c j t ij c i z z a (1) 2 a (5) a (2) 2 a (7) a (3) 3 a (6) Nejrychlejší vzestup dostaneme pro a (2) a a (3) Klasická simplexová metoda rozhoduje jen podle t ij c i, není tedy metodou pouze nejlepší Dostaneme a (2) do báze 31
32 a (2) v bázi 3 báze a (2) a (4) a (5) a (6), bázové řešení: / / / / vybereme a (3) do báze, bázi opouští a (6), bázové řešení výběr a (1) do báze vede k
33 a (3) v bázi 4 báze a (2) a (3) a (4) a (5), bázové řešení: / / 1 3 / Toto by mělo být optimum, avšak kladný koeficient 1. členu 0. řádku nás navádí k přivedení a (1) do báze 33
34 a (1) v bázi 5 báze a (1) a (2) a (3) a (5), bázové řešení: / / / 1 3 / Tato báze odpovídá stejnému bodu jako předchozí (je dvojitý). V 0. řádku není žádný kladný koeficient, víme, že jsme v optimu 34
35 Simplexová metoda - složitost možných bází je m n existují instance, na kterých simplexová metoda tyto báze skutečně prohledá existují polynomiální metody řešení 35
36 Celočíselné lineární programování A, b, c celočíselné x celočíselné x {0, 1}: 0/1 lineární programování (zvl. případ) Problém batohu je zvláštním případem 0/1 lineárního programování Problém batohu je NP-těžký Problém celočíselného lineárního programování je NP-těžký Řešení celočíselné úlohy má vždy horší optimalizační kritérium než řešení relaxované úlohy v oboru reálných čísel 36
37 Příklad Moret & Shapiro x výroba světlého piva, hl y výroba tmavého piva, hl 21x + 31y max. 2x + 3y 25 4x + y 32 2x + 9y 54 x 0, y 0 Pivovar vaří světlé a tmavé pivo. Na 1hl světlého piva je potřebí 2 jednotky sladu, 4 jednotky chmele a 2 jednotky kvasnic. Na 1hl tmavého piva jsou potřebí 3 jednotky sladu, 1 jednotka chmele a 9 jednotek kvasnic. Zisk z prodeje světlého a tmavého piva je v poměru 21:31. Je k dispozici 25 jednotek sladu, 32 jednotek chmele a 54 jednotek kvasnic. Jaký má být výrobní program pro maximální zisk? 37
38 Příklad hl 2x+3y=25 4x+y=32 21x+31y = z (7,1 3,6) 2x+9y= hl 38
39 Příklad, pokračování Moret & Shapiro x výroba světlého piva, sudů y výroba tmavého piva, sudů 21x + 31y max. 2x + 3y 25 4x + y 32 2x + 9y 54 Pivo se prodává ve 100l sudech. x 0, y 0 x, y celé 39
40 2x+3y=25 4x+y= ,7 2x+9y=
41 Metoda sečných nadrovin ,7 přídavná omezení, volená tak, aby některé neceločíselné vrcholy byly vyloučeny
42 Metoda větví a hranic (7,25 3) 245,25 y 3 máme lepší původní úloha y 4 (6,5 4) 260,5 (7,1 3,6) 260,7; x 7 x 8 x 6 x 7 (4 6) nemá není třeba zkoumat, 250 řešení budou horší než 245,25 prohledávat prostor úloh tak, aby prořezávání eliminovalo co nejvíce větví 42
43 Duální úloha otoč co můžeš c T x max. b T y min. Ax b A T y c x 0 y 0 Věty: x,y řešení c T x b T y x,y optimální řešení c T x = b T y 43
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
Více4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceObecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Více4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Vícef ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,
4. okruh z bloku KM1 - řídicí technika Zpracoval: Ondřej Nývlt (o.nyvlt@post.cz) Zadání: Lineární programování (LP), simplexová metoda, dualita v LP. Nelineární programování. Vázaný extrém. Karush-Kuhn-Tuckerova
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Více1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
VíceCvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
Více12. Globální metody MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Více12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Více4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Více1 Duální simplexová metoda
1 Duální simplexová metoda Autor: Markéta Popelová Datum: 8.5.2011 Předmět: Základy spojité optimalizace Zadání Mějme matici A R m n a primární úlohu lineárního programování v normálním tvaru (P) a k ní
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Víceskladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test
VíceSlovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy
1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
VíceZáklady spojité optimalizace
Základy spojité optimalizace 2. ledna 2013 Obsah 1 Přehled 2 1.1 Obecná úloha........................... 2 1.2 Dělení úloh............................ 2 1.3 Volný extrémem......................... 3 1.4
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceKonvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,
VíceOPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Více6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VíceVýběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
Více7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceKvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost
VíceProblém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
VícePrincip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceÚvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY)
Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl (volně dle M.T. Heathe) 10. přednáška 11MAMY úterý 22. března 2016 verze: 2016-04-01 16:10 Obsah Optimalizační problém 1 Definice 1
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
VíceOptimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém
Obsah přednášky Mgr. Květuše Sýkorová Optimalizace Lineární programování Distribuční úlohy Okružní problém KI Př UJEP Ústí nad Labem Nederivační metody Metody 1D optimalizace Derivační metody Optimalizace
Více7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceNumerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceObecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VícePřiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Více