YZTI - poznámky ke složitosti
|
|
- Patrik Říha
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 YZTI - poznámky ke složitosti LS 2018 Abstrakt Poznámky k přednášce YZTI zabývající se složitostí algoritmických problémů a teorií NP-úplnosti. Složitost algoritmu a problému Zabýváme se už pouze rekurzivními problémy. Budeme se snažit určit, které problémy jsou a které nejsou řešitelné s použitím rozumného množství výpočetních zdrojů (v našem případě času, ale část úvah z textu lze aplikovat i na pamět ). Pro instanci x, algoritmus A (tj. Turingův stroj A, pokud v textu budeme používat pojem algoritmus, budeme se spoléhat na Church-Turingovu tezi), definujeme složitost t A (x) algoritmu A pro instanci x jako počet elementárních kroků, které A provede při výpočtu (u TS to je počet aplikací přechodové funkce). Složitost algoritmu A je funkce Time A : N N zobrazující velikost vstupu na počet kroků, které algoritmus provede pro vstupy dané velikosti. Rozlišujeme složitost v nejhorším případě. Time A (n) = max{t A (x) x = n}. složitost v průměrném případě. Time A (n) = avg{t A (x) x = n}. složitost v nejlepším případě. Time A (n) = min{t A (x) x = n}. Poznámky k předchozí definici Zajímá nás rychlost růstu počtu kroku v závislosti na velikosti instance, nikoliv počet kroků pro konkrétní instanci. Pro různé instance x 1, x 2, x 1 = x 2 můžeme mít t A (x 1 ) t A (x 2 ) (například quicksort). K vyjádření hlavního trendu růstu složitosti často používáme asymtotické notace. Ve zbytku textu se budeme zabývat složitostí v nejhorším případě. Složitost algoritmického problému odvozujeme jistým způsobem od složitosti algoritmů. omezení seshora (upper bound): složitost nejlepšího (známého) algoritmu pro daný problém. omezení zespoda (lower bound): každý algoritmus pro daný problém (i ten, který ještě neznáme) musí mít alespoň takovou složitost. Příklad: O(n log n) pro třídění porovnáváním, většína algoritmů musí přečíst celý vstup, tedy mají omezení zespoda O(n). Nalézt omezení seshora je (relativně) snadné. Oproti tomu nalézt omezení zespoda je typicky velmi obtížné. 1
2 Třídy P a NP Třída složitosti je množina problémů, které jsou určeny výpočetním modelem (pro nás TS) a omezením složitosti. Definice 1. Necht T : N N je funkce. Jazyk L patří do DTIME(T(n)) pokud existuje algoritmus se složitostí O(T(n)), který rozhoduje jazyk L. Věta 1 (Existence časové hierarchie). Pro každou funkci f : N N, která je časově zkonstruovatelná (existuje algoritmus, který pro vstup n spočítá f(n) nejhůře v čase O(f(n))), existuje problém, který je řešitelný v čase O(f(n)) ale není řešitelný v čase o(f(n)/ log n). Tedy platí přirozená myšlenka: když zvětšuji čas, který mám pro počítání k dispozici, umím spočítat víc a víc problémů. Z předchozí věty vidíme, že pro g(n) o(f(n)/ log n) platí, že DT IME(g(n)) DT IME(f(n)). Předchozí věta má také hezký (i když technický) důkaz, který ale z časových důvodů vynecháme. Definice 2 (Třída P). P = c 1 DTIME(nc ) Poznámky D v DTIME znamená deterministic. Třídou P zachycujeme prakticky řešitelné problémy. Nemůžeme se vyhnout námitce, že algoritmus se složitostí n 100 není efektivní, a některé problémy z P tak nejsou prakticky řešitelné. Nicméně, dosavadní zkušenost je taková, že pro většinu problémů, pro které se najde algoritmus s polynomickou složitostí, je nakonec nalezen i algoritmus se složitostí, která je polynomem s nízkým exponentem. Polynom jsme vybrali, protože (1) je to nejrychleji rostoucí funkce, která neroste moc rychle (2) polynomy jsou uzavřeny na násobení (a sčítání) a tedy skládáním algoritmů s polynomickou složitostí dostaneme opět polynom. (3) třída P je stejná vzhledem k různým definicím algoritmu (výpočetním modelům). Problém nalezení minimální kostry grafu, problém nalezení nejkratší cesty mezi dvěma uzly v grafu a problém testování prvočíselnosti všechny patří do třídy P (u optimalizačních problémů uvažujeme jim příbuzné rozhodovací verze, viz pojem redukce v předchozí přednášce). Definice 3 (Třída NP). Jazyk L patří do třídy NP, pokud existují polynom p a algoritmus V (verifikátor) s polynomickou časovou složitostí takové, že pro každé x {0, 1} x L právě když u {0, 1} p( x ) takový, že M(x, u) = 1. Řetězec u je certifikát (nebo důkaz) toho, že x L. Do třídy NP patří problémy, které mají jednoduše verifikovatelnou správnost řešení. Například uvažme problém nalezení minimální kostry grafu. Vstupem je graf G a číslo k, odpověd je ANO, pokud G obsahuje kostru s cenou nejvýše k. Pokud taková kostra existuje, můžeme ji použít jako certifikát u (a ověřit tak správnost odpovědi ANO). Verifikátor v tomto případě ověří, že u je skutečně kostra a že její cena je nejvýše k (pokud tomu tak je, tak přijímá, jinak zamítá). Pokud je správná odpověd pro G a k NE, žádný certifikát, pro který by verifikátor přijímal neexistuje (protože neexistuje kostra s cenou menší než k). NP je zkratkou anglického nondeterministic polynomial. Ukážeme si alternativní definici třídy NP, díky které získala svoje jméno. Definice 4. Nedeterministický Turingův stroj (NTS) je dán sedmicí (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q +, q ), kde vše mimo δ je shodné s deterministickým TS. Funkce δ : Q Γ 2 Q Γ {L,P} ovšem místo jedné trojice tvořené stavem, znakem páskové abecedy a směrem posunutí hlavy nyní vrací množinu takových trojic. 2
3 Výpočet determinitického TS si lze představit jako seznam konfigurací, kterými TS při výpočtu prochází. Seznam je to proto, že z každé konfigurace je možné přejít pouze do jedné další konfigurace (to je dáno tvarem přechodové funkce deterministického TS). Oproti tomu NTS může přejít do některé z množiny možných konfigurací. Množinu všech možných výpočetních větví si u NTS můžeme představit uspořádanou do stromu, kde jednotlivé uzly jsou konfigurace NTS a hrany značí přechody mezi konfiguracemi. Bez ztráty na obecnosti můžeme předpokládat, že NTS má na výběr vždy maximálně ze dvou konfigurací (toto tvrzení lze dokázat, nicméně důkaz vynecháme, čtenář si ho snadno sestaví), a tedy že strom konfigurací je binární. NTS přijímá řetěz w, pokud se v alespoň jedné výpočetní větvi dostane do přijímací konfigurace (do jakých konfigurací se dostane v ostatních větvích nás nezajímá). NTS má složitost nejhůře T(n), pokud každá výpočetní větev zastaví (tj. NTS bud přijme, nebo zamítne) po nejvíce T(n) krocích (n zde značí délku řetězce na vstupu). Definice 5. Pro funkci T : N N a jazyk L řekneme, že L NTIME(T(n)), pokud existuje NTS M se složitostí O(T(n)) takový, že x L právě když M přijímá x. Věta 2. NP = c N NTIME(nc ) Důkaz. Hlavní idea: sérii voleb které NTS při výběru, do jaké z možných konfigurací NTS přejde při provádění přijímací větve výpočtu, budeme brát jako certifikát. Necht L je rozhodován NTS N v čase p(n), kde p je polynom. Pro každé x L existuje přijímací větev výpočtu stroje N, tj. existuje sekvence voleb, které N provede, aby zůstal na této větvi. Tuto sekvenci lze reprezentovat jako sekvenci bitů, díky úmluvě o tom, že strom konfigurací je binární. Označme tuto sekvenci u. Verifikátor V sestavíme tak, že V simuluje činnosti N a díky u ví, do které z konfigurací má přejít dále (a držet se tak přijímací větve v N). Zřejmě V přijímá dvojici (x, u) právě když existuje přijímací větev v N (pro výpočet se vstupem x). Protože přijímací větev má délku maximálně p(n), je délka u také omezena p(n) a V pracuje v polynomickém čase. Necht L je verifikován verifikátorem V se složitostí p(n). Sestavíme NTS N, který rozhoduje L. N pro vstup x nejdříve nedeterministicky vygeneruje řetěz w {0, 1} p( x ) (začne s w = ɛ, při přechodu z konfigurace na jinou konfiguraci přidá k w symbol 1 nebo symbol 0 v závislosti na tom, do které ze dvou možných konfigurací přejde; na konci každé z výpočetních větví tak dostaneme unikátní w a přitom pokryjeme všechny možné řetězce délky p( x ).) Poté N simuluje V pro vstup (x, w). Pak v N existuje přijímací větev právě když existuje řetěz u o délce maximálně p( x ) takový, že V přijímá (x, u). Každá výpočetní větev stroje N má polynomickou délku, protože délka w je polynomická a V také pracuje v polynomickém čase. NP-úplné problémy Víme, že P NP, protože problémy z P jsou verifikovatelné i bez použití certifikátu, stačí prostě v polynomickém čase spočítat správný výsledek. Oproti tomu nevíme, jestli NP P. Většina informatiků věří (nebo alespoň tiše předpokládá), že to neplatí (a tedy třídy P a NP jsou různé). Rovnost P a NP by mohla mít dalekosáhlé důsledky (například v kryptografii). Teorie NP-úplnosti vznikla při zkoumání vztahu mezi P a NP. Definice 6. Jazyk L je redukovatelný Karpovou redukcí na jazyk L, značeno L K L, pokud existuje funkce f : {0, 1} {0, 1} spočetná v polynomickém čase taková, že pro každé x {0, 1} platí: x L právě když f(x) L. Poznámky Karpova redukce se také nazývá polynomická redukce (problémy jsou redukovatelné v polynomickém čase). Je to speciální případ Turingovy redukce z minulé přednášky. 3
4 Funkce f je spočetná v polynomické čase, pokud existuje TS pracující v polynomickém čase, který pro vstup x zastaví a na pásce zůstane f(x). Karpova redukce nemusí být surjektivní (bývá také označována jako many-to-one redukce). Věta 3. Pokud L K L a L K L, pak L K L Důkaz. Označme jako f 1 funkci realizující redukci L K L a jako f 2 funkci realizující redukci L K L, pak funkce f = f 2 f 1 (tedy funkce f taková, že f(x) = f 2 (f 1 (x))) realizuje redukci L K L. Přímo z definice Karpovy redukce totiž plyne, že x L právě když f 1 (x) L právě když f 2 (f 1 (x)) L. Funkce f je spočetná v polynomickém čase, protože f 1 i f 2 jsou spočetné v polynomickém čase. Definice 7. Jazyk L je NP-težký, pokud pro každý jazyk L NP platí, že L K L. Jazyk L je NP-úplný, pokud je NP-těžký a patří do NP. Věta 4. Pokud je L NP-težký a L P, pak P = NP. Důkaz. Stačí si uvědomit, že pokud je L NP-težký a L P, pak lze sestavit polynomický algoritmus řešící libovolný problém z NP. Necht L NP, algoritmus jej řešící provede pro vstup x následující: 1. NP-težkost jazyka L zajišt uje L K L. Algoritmus tedy spočítá f(x), kde f je funkce realizující Karpovu redukci. 2. Protože L P, existuje polynomický algoritmus řešící L. Tento algoritmus spustíme pro f(x) a vrátíme obdržený výsledek. Z definice Karpovy redukce plyne, že algoritmus vrací korektní výsledek. Navíc určitě pracuje v polynomickém čase, protože f je spočetná v polynomickém čase a algoritmus z bodu 2 také pracuje v polynomickém čase. NP-úplné problémy jsou ty nejtěžší problémy z třídy NP v následujícím smyslu: pokud dokážeme vyřešit v polynomickém čase libovolný NP-úplný problém, tak dokážeme vyřešit v polynomickém čase libovolný problém z NP, a platilo by tedy P = NP. (Ve skutečnosti bychom pak uměli vyřešit v polynomickém čase i některé problémy mimo NP, ale na vysvětlení nemáme čas.) Příklady NP-úplných problémů Připomeňme, že SAT je problém definovaný následovně: vstupem je formule výrokové logiky v konjunktivní normální formě, odpovědí je ANO, pokud je tato formule splnitelná (tedy existuje ohodnocení výrokových proměnných ve formuli obsažených takové, že formule je pravdivá), jinak je odpověd NE. Lze vidět, že SAT NP. Jako certifikát můžeme vzít právě ohodnocení výrokových proměnných, verifikátor poté pouze spočítá pravdivost formule při tomto ohodnocení a podle výsledku se rozhodne (přijímá, právě když je formule pravdivá). Věta 5 (Cookova věta). SAT je NP-úplný. Důkaz. Už víme, že SAT patří do NP, stačí tedy ukázat, že je NP-težký. Tento důkaz je mimo rozsah tohoto textu, doporučuji ovšem čtenáři si jej alespoň přečíst (lze ho najít v každé učebnici zabývající se NP-úplností). Díky tvrzení o tranzitivitě Karpovy redukce můžeme existenci dalších NP-úplných problémů dokazovat následovně 1. Ukážeme, že problém patří do NP. 2. Najdeme Karpovu redukci z nějaké již známého NP-težkého problému na náš problém. 4
5 3SAT je speciální případ SAT problému, ve kterém požadujeme, aby každá klausule obsahovala právě 3 literály. Z následující věty plyne, že 3SAT je NP-úplný. Věta 6. SAT K 3SAT Důkaz. Necht ϕ = F 1 F 2 F k je formule v CNF (tj. instance SAT problému). Ukážeme, jak libovolnou klausuli F i převedeme na formuli ϕ i = C i 1 C i 2... takovou, že: (a) C i j jsou klausule s právě třemi literály; (b) ϕ i je pravdivá, právě když F i je pravdivá. Pak zjevně ϕ je pravdivá, právě když ϕ 1 ϕ 2 ϕ k je pravdivá. Označme klausuli, kterou budeme transformovat, pomocí F i. Pak jsou tři možnosti: 1. F i má právě tři literály. V tomto případě vezmeme ϕ i = F i 2. F i má méně než tři literály. Pak stačí jeden z literálů obsažených v F i zdvojit (nebo ztrojit), získáme tak klausuli se třemi literály a použijeme předchozí bod. 3. F i má více než 3 literály. Přepokládejme tedy, že Pak F i = (l 1 l 2 l n ) (1) ϕ i = (l 1 l 2 z 1 ) ( z 1 l 2 z 2 ) ( z 2 l 3 z 3 ) ( z n 2 l n 1 l n ), (2) kde z 1, z 2... z n 2 jsou výrokové proměnné, které se nevyskytují ve ϕ. V případech 1. a 2. zjevně platí, že F i je pravdivá, právě když ϕ i je pravdivá. Rozebereme případ 3. Pokud je F i pravdivá, pak exituje literál l j, který splní jednu klausuli ve formuli (2), zbylé klausule pak jde splnit pomocí vhodného ohodnocení proměnných z 1,..., z n 2 (čtenář snadno ověří jako cvičení). Pokud je naopak pravdivá (2), pak alespoň jeden literál l j musí být pravdivý, protože (2) nelze splnit pouze pomocí vhodného ohodnocení proměných z 1, z 2,... z n 2. To plyne z toho, že sousední klausule v (2) obsahují vždy proměnnou (klausule vlevo) a její negaci (klausule vpravo). Právě popsaný převod klausule na konjunkci klausulí lze jistě provést v polynomickém čase (závislém na počtu literálů v klausuli) a tedy transformaci ϕ na ϕ 1 ϕ 2 ϕ k lze provést v polynomickém čase. Definice 8. Necht G = (V, E) je neorientovaný graf. Vrcholové pokrytí grafu G je množina jeho vrcholů C V taková, že pro každou z hran {i, j} E platí, že {i, j} C. (Tedy každá z hran grafu má alepoň jeden svůj vrchol v pokrytí, říkáme potom, že tento vrchol danou hranu pokrývá.) Problém VERTEX-COVER je dá následovně: vstupem je dvojice (G, k), kde G je neorientovaný graf a k je přirozené číslo. Odpověd je ANO, pokud exituje vrcholové pokrytí grafu G s k nebo méně uzly. V opačném případě je odpověd NE. VERTEX-COVER jistě patří do NP, za certifikát může brát libovolné vrcholové pokrytí s nějvýše k uzly. Verifikátor pro daný graf a množinu vrcholů pouze zkontroluje, zda-li je množina vrcholů skutečně pokrytím a zda obsahuje nejvýše k prvků. To lze provést v polynomickém čase. Věta 7. 3SAT K VERTEX-COVER Důkaz. Necht ϕ = C 1 C n je formule v 3CNF (tj. je to instance 3SAT) obsahující proměnné x 1, x 2,..., x m. Sestavíme graf G a určíme číslo k. G sestavíme tak, že pro každou proměnnou sestavíme podgraf, pro každou klausuli sestavíme podgraf a pak tyto podgrafy vhodně spojíme. Každý uzel v grafu označíme některým literálem vyskytujícím se ve ϕ. Pro proměnnou x i vytvoříme graf (typu A): x 1 x 1 Pro klausuli (l 1 l 2 l 3 ) vytvoříme graf (typu B): 5
6 l 3 l 1 l 2 Každý vrchol z grafu typu A spojíme se všemi vrcholy z grafů typu B, které jsou popsány stejným literálem. Hodnotu k nastavíme rovnu m + 2n. Konstrukci grafu lze provést v polynomickém čase. Zbývá dokázat její správnost. Předpokládejme, že ϕ je splnitelná, tj. že existují ohodnocení proměnných takové, že je pravdivá. Na základě tohoto ohodnocení sestavíme množinu vrcholů C sestaveného grafu takovou, že bude pokrytím a bude obsahovat k uzlů. 1. Z grafů typu A vložíme do C vrcholy, které odpovídají pravdivým literálům. 2. V grafech typu B vždy alespoň jeden vrchol odpovídá pravdivému literálu, který jsme vybrali v kroku 1 (protože ϕ je pravdivá). Do pokrytí vložíme zbývající dva vrcholy. Množina C nyní obsahuje právě k prvků. Je to i pokrytí, protože 1. zajistí, že hrany v grafech typu A a hrany vedoucí z pravdivých literálů v grafech typu A do vrcholů v grafech typu B jsou pokryty; 2. pak zajistí, že hrany v grafech typu B a zbývající hrany mezi grafy typu A a grafy typu B jsou pokryty. Předpokládejme nyní, že v grafu G existuje vrcholové pokrytí C, které neobsahuje více než k vrcholů. Ze struktury grafu plyne, pokrytí musí obsahovat alespon jeden vrchol z každého grafu typu A (aby byla pokryta hrana v takovém grafu) a alespoň dva vrcholy z každého grafu typu B (aby byly pokryty všechny tři hrany v takovém grafu). Odtud vidíme, že C musí obsahovat právě k vrcholů. Sestavíme ohodnocení proměnných, které splní formuli ϕ. Z každého grafu typu A patří do pokrytí jeden uzel. Podíváme se literál tohoto uzlu a ohodnotíme jemu příslušnou proměnnou tak, aby literál byl splněn (je-li literál pozitivní, ohodnotíme proměnnou na pravdu, je-li negativní, ohodnotíme proměnnou na nepravdu). Zbývá ukázat, že každá z klausulí formule ϕ obsahuje alespoň jeden pravdivý literál. To plyne z následující úvahy: Z každého grafu typu B vedou do grafů typu A tři hrany. Dvě z těchto hran jsou pokryty vrcholy z grafu typu B, zbývající hrana musí být pokryta vrcholem z grafu typu A. Tento vrchol však odpovídá splněnému literálu a klausule, podle které jsme daný graf typu B zkonstruovali, tento literál obsahuje. 6
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není
VíceVztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31
Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 1/31 IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 2/31 Časová složitost algoritmu počet kroků výpočtu
Více3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceDalší NP-úplné problémy
Další NP-úplné problémy Známe SAT, CNF, 3CNF, k-klika... a ještě následující easy NP-úplný problém: Existence Certifikátu (CERT ) Instance: M, x, t, kde M je DTS, x je řetězec, t číslo zakódované jako
Více4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA 4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy Karpova redukce
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceDefinice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování.
9.5 Třída NP Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. Příklad. Uvažujme problém IND a následující
VíceNP-úplnost problému SAT
Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceSložitost 1.1 Opera ní a pam ová složitost 1.2 Opera ní složitost v pr rném, nejhorším a nejlepším p ípad 1.3 Asymptotická složitost
1 Složitost 1.1 Operační a paměťová složitost Nezávislé určení na konkrétní implementaci Několik typů operací = sčítání T+, logické T L, přiřazení T A(assign), porovnání T C(compare), výpočet adresy pole
VíceNP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceTřída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
VíceSložitost Filip Hlásek
Složitost Filip Hlásek Abstrakt. Příspěvek popisuje dva základní koncepty teoretické informatiky, Turingovy stroje a složitost. Kromě definic důležitých pojmů uvádí také několik souvisejících tvrzení,
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
VíceALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY
Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceUniverzální Turingův stroj a Nedeterministický Turingův stroj
27 Kapitola 4 Univerzální Turingův stroj a Nedeterministický Turingův stroj 4.1 Nedeterministický TS Obdobně jako u konečných automatů zavedeme nedeterminismus. Definice 14. Nedeterministický Turingův
VíceOd Turingových strojů k P=NP
Složitost Od Turingových strojů k P=NP Zbyněk Konečný Zimnění 2011 12. 16.2.2011 Kondr (Než vám klesnou víčka 2011) Složitost 12. 16.2.2011 1 / 24 O čem to dnes bude? 1 Co to je složitost 2 Výpočetní modely
VíceProblémy třídy Pa N P, převody problémů
Problémy třídy Pa N P, převody problémů Cvičení 1. Rozhodněte o příslušnosti následujících problémů do tříd Pa N P(N PCověříme později): a)jedanýgrafsouvislý? danýproblémjeztřídy P,řešíhonapř.algoritmyDFS,BFS.
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceNP-úplnost. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 23. května / 32
NP-úplnost M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 23. května 2007 1/ 32 Rozhodovací problémy Definice Rozhodovací problém je takový, kde je množina možných výstupů dvouprvková
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceKMI/ALM3 Mgr. Petr Osička, Ph.D. ZS ANO je slovo 1 a kódováním NE je slovo 0, pak je problém popsán pomocí dvojice L, R takové, že:
Algoritmická matematika 3 KMI/ALM3 Mgr. Petr Osička, Ph.D. ZS 2014 Algoritmický problém Přednáška 1 Definice 1. Abeceda Σ je konečná neprázdná množina. Prvkům Σ říkáme symboly. Slovo (řetězec) nad abecedou
VíceKonstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceVztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS
Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé
Více3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice
3.10. Rezoluční metoda ve výrokové logice [070405-1102 ] 27 3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice Rezoluční metoda rozhoduje, zda daná množina klausulí je splnitelná nebo je nesplnitelná. Tím je také
VíceSložitost. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Složitost Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika 2 Opakování z minulé přednášky Co říká Churchova teze? Jak lze kódovat Turingův stroj? Co je to Univerzální
VíceAUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace
AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2015/2016 1 / 15 Algebraické teorie Základní algebraické teorie
VíceVýpočetní složitost algoritmů
Výpočetní složitost algoritmů Slajdy pro výuku na KS Ondřej Čepek Sylabus 1. Definice časové a prostorové složitosti algoritmů. Příklady na konkrétních algoritmech. Prostředky pro popis výpočetní složitosti
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceTuringovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Turingovy stroje Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Jaké znáte algebraické struktury s jednou operací? Co je to okruh,
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VícePQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceVýroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
VíceTGH12 - Problém za milion dolarů
TGH12 - Problém za milion dolarů Jan Březina Technical University of Liberec 7. května 2013 Složitost problému Co je to problém? Složitost problému Co je to problém? K daným vstupním datům (velkému binárnímu
VíceUkážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní graf má stromovou šířku nejvýše k, a je-li tomu tak, také vrátí příslušný stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu,
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška jedenáctá Miroslav Kolařík Zpracováno dle P. Martinek: Základy teoretické informatiky, http://phoenix.inf.upol.cz/esf/ucebni/zti.pdf Obsah 1 Složitost algoritmu 2 Třídy složitostí
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceTřída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
VíceKapitola 6. LL gramatiky. 6.1 Definice LL(k) gramatik. Definice 6.3. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo.
Kapitola 6 LL gramatiky 6.1 Definice LL(k) gramatik Definice 6.1. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo. Definujme funkci FIRST G k : (N Σ) + P({w Σ w k}) předpisem FIRST G k (α) = {w Σ (α w
VíceKMI/VCS1 Vyčíslitelnost a složitost
KMI/VCS1 Vyčíslitelnost a složitost Paměťová složitost, Savitchova věta, třída PSPACE, PSPACE-úplné problémy, a jako bonus: Bremermannova mez Jan Konečný 3. prosince 2013 Jan Konečný KMI/VCS1 Vyčíslitelnost
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceStromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
VíceDefinice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).
7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceLogika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceH {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
Vícedoplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je
28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci
Více11 VYPOČITATELNOST A VÝPOČTOVÁ SLOŽITOST
11 VYPOČITATELNOST A VÝPOČTOVÁ SLOŽITOST Na první přednášce jsme si neformálně zavedli pojmy problém a algoritmus pro jeho řešení, které jsme na počítači vykonávali pomocí programů. Jako příklad uveďme
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceInterpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012
Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VíceKreslení grafů na plochy Tomáš Novotný
Kreslení grafů na plochy Tomáš Novotný Úvod Abstrakt. V první části příspěvku si vysvětlíme základní pojmy týkající se ploch. Dále si ukážeme a procvičíme možné způsoby jejich zobrazování do roviny, abychom
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceDijkstrův algoritmus
Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované
Více5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška desátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle R. Bělohlávek, V. Vychodil: Diskrétní matematika 2, http://phoenix.inf.upol.cz/esf/ucebni/dm2.pdf P. Martinek: Základy teoretické informatiky,
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií
VíceVrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
VíceLogika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2015/2016 1 / 16 Tablo metoda v PL Důsledky úplnosti Vlastnosti
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceModely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT
PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceRezoluce ve výrokové logice
Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
Více10. Složitost a výkon
Jiří Vokřínek, 2016 B6B36ZAL - Přednáška 10 1 Základy algoritmizace 10. Složitost a výkon doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Jiří
VíceRegulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:
IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceAlgoritmická matematika 3 Mgr. Petr Osička, Ph.D. ZS Základní pojmy
Algoritmická matematika 3 KMI/ALM3 Mgr. Petr Osička, Ph.D. ZS 2014 1 Pojmy problém a algoritmus Základní pojmy V této kapitole zavedeme dva základní pojmy potřebné pro kurz, problém a algoritmus. Slovo
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceOperační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.
Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2018/2019 1 / 15 Rezoluční metoda v PL Rezoluční důkaz Obecné
VíceROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094
10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)
VíceLingebraické kapitolky - Počítání s maticemi
Lingebraické kapitolky - Počítání s maticemi Jaroslav Horáček KAM MFF UK 20 Rozehřívačka: Definice sčítání dvou matic a násobení matice skalárem, transpozice Řešení: (A + B ij A ij + B ij (αa ij α(a ij
Více