Obyčejné diferenciální rovnice v úlohách mechaniky a fyziky materiálů. Ústav matematiky, FSI VUT v Brně

Transkript

1 Obyčejné diferenciální rovnice v úlohách mechaniky a fyziky materiálů Jiří Šremr Ústav matematiky, FSI VUT v Brně

2 Periodická řešení diferenciálních rovnic Duffingova typu

3 u 00 = f(t; u); u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) 9 1 ; 2 libovolně uspořádané f(t; x) sgn x p(t)jxj q(t) p 2 V (!) + 9 řešení u dané úlohy a t 0 2 [0;!] minf 1 (t 0 ); 2 (t 0 )g u(t 0 ) maxf 1 (t 0 ); 2 (t 0 )g

4 u 00 = f(t; u); u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) 9 1 ; 2 libovolně uspořádané f(t; x) sgn x p(t)jxj q(t) p 2 V (!) + 9 řešení u dané úlohy a t 0 2 [0;!] minf 1 (t 0 ); 2 (t 0 )g u(t 0 ) maxf 1 (t 0 ); 2 (t 0 )g u 00 = p(t)u + q(t; u)u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (1) p : [0;!]! R... integrovatelná q : [0;!] R! R... Carathéodoryho

5 THE DUFFING EQUATION 5 in the mechanical system when the nonlinear term is positive. Martienssen observed this behaviour experimentally and reported the existence of the jump-down phenomenon as frequency was increased and the jump-up phenomenon as frequency was y 00 + y 0 + y + y 3 decreased. He also modelled the system and showed that between the jump-up and = sin!t jump-down frequencies, three steady-state conditions could occur. 1.3 A brief biography of Georg Duffing In 1994, F.P.J. Rimrott published a brief biography in Technische Mechanik [16] and G. Duffing, Erzwungen Schwingungen part of this is translated this chapter. The bei photograph veränderlicher of Georg Duffing is taken from Eigenfrequenz und ihre this article and is shown in Figure 1.1. Georg Wilhelm Christian Caspar Duffing was born on 11 April 1861 in Waldshut technisch Bedeutung, Vieweg Heft 41/42, Vieweg, Braunschweig, in Baden, Germany. He was the oldest of six children of the merchant Christian Figure 1.1 George Duffing. Reprinted from [16], Copyright 1977, with permission from Technische Mechanik.

6 to the present day (a) Since the 1960s, many journal papers have been published y 00 related + y 0 to the Duffing + y + y 3 equation. A survey has been carried out via SCOPUS to track the journal papers that = sin!t used the word Duffing in the title, abstract or keywords. The number of such papers published per year is shown in Figure 1.4. It can be seen that until the 1970s, only a few papers appeared per year, concerned mainly with finding an approximation for the displacement of the oscillator. Then, this number dramatically increased, which was because people started to recognise the Duffing equation as a model for different systems. Also, digital computers started to be used to solve analytically nonlinear G. Duffing, Erzwungen Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technisch Bedeutung, Vieweg Heft 41/42, Vieweg, Braunschweig, (a) (b) (b) Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords per year; a) for the period ; b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010). Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords per year; a) for the period ; b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010).

7 to the present day (a) Since the 1960s, many journal papers have been published y 00 related + y 0 to the Duffing + y + y 3 equation. A survey has been carried out via SCOPUS to track the journal papers that = sin!t used the word Duffing in the title, abstract or keywords. The number of such papers published per year is shown in Figure 1.4. It can be seen that until the 1970s, only a few papers appeared per year, concerned mainly with finding an approximation for the displacement of the oscillator. Then, this number dramatically increased, which was because people started to recognise the Duffing equation as a model for different systems. Also, digital computers started to be used to solve analytically nonlinear G. Duffing, Erzwungen Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technisch Bedeutung, Vieweg Heft 41/42, Vieweg, Braunschweig, (a) (b) (b) Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords per year; a) for the period ; b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010). y 00 + y + y 3 = 0 Equilibria:. y 1 := 0 Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords per year; a) for the period ; b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010).

8 to the present day (a) Since the 1960s, many journal papers have been published y 00 related + y 0 to the Duffing + y + y 3 equation. A survey has been carried out via SCOPUS to track the journal papers that = sin!t used the word Duffing in the title, abstract or keywords. The number of such papers published per year is shown in Figure 1.4. It can be seen that until the 1970s, only a few papers appeared per year, concerned mainly with finding an approximation for the displacement of the oscillator. Then, this number dramatically increased, which was because people started to recognise the Duffing equation as a model for different systems. Also, digital computers started to be used to solve analytically nonlinear G. Duffing, Erzwungen Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technisch Bedeutung, Vieweg Heft 41/42, Vieweg, Braunschweig, (a) (b) (b) Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords per year; a) for the period ; b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010). y 00 + y + y 3 = 0 Equilibria:. y 1 := 0 q Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords. per year; < a) 0 for the ) period y ; 2;3 := b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010).

9 to the present day (a) Since the 1960s, many journal papers have been published y 00 related + y 0 to the Duffing + y + y 3 equation. A survey has been carried out via SCOPUS to track the journal papers that = sin!t used the word Duffing in the title, abstract or keywords. The number of such papers published per year is shown in Figure 1.4. It can be seen that until the 1970s, only a few papers appeared per year, concerned mainly with finding an approximation for the displacement of the oscillator. Then, this number dramatically increased, which was because people started to recognise the Duffing equation as a model for different systems. Also, digital computers started to be used to solve analytically nonlinear G. Duffing, Erzwungen Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technisch Bedeutung, Vieweg Heft 41/42, Vieweg, Braunschweig, (a) (b) (b) Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords per year; a) for the period ; b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010). y 00 + y + y 3 = 0 Equilibria:. y 1 := 0 q Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords. per year; < a) 0 for the ) period y ; 2;3 := b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010). % > 0; < 0 y 1 stab., y 2;3 nestab.

10 to the present day (a) Since the 1960s, many journal papers have been published y 00 related + y 0 to the Duffing + y + y 3 equation. A survey has been carried out via SCOPUS to track the journal papers that = sin!t used the word Duffing in the title, abstract or keywords. The number of such papers published per year is shown in Figure 1.4. It can be seen that until the 1970s, only a few papers appeared per year, concerned mainly with finding an approximation for the displacement of the oscillator. Then, this number dramatically increased, which was because people started to recognise the Duffing equation as a model for different systems. Also, digital computers started to be used to solve analytically nonlinear G. Duffing, Erzwungen Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technisch Bedeutung, Vieweg Heft 41/42, Vieweg, Braunschweig, (a) (b) (b) Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords per year; a) for the period ; b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010). y 00 + y + y 3 = 0 Equilibria:. y 1 := 0 q Figure 1.4 Number of publications referring to the word Duffing in the title, abstract or keywords. per year; < a) 0 for the ) period y ; 2;3 := b) for the period (Source: Elsevier Scopus TM, accessed 9 August 2008 and updated 30 March 2010). % > 0; < 0 y 1 stab., y 2;3 nestab. & < 0; > 0 y1 nestab., y 2;3 stab.

11 y 00 + y + y 3 = 0; > 0; < 0 ' 00 + sin ' = 0 g`

12 y 00 + y + y 3 = 0; > 0; < 0 sin ' ' 1 3! '3 ' 00 + g` ' g 6` '3 = 0 y y

13 y 00 + y + y 3 = 0; > 0; < 0 Matematické kyvadlo Aproximativní systém y y

14 y 00 + y + y 3 = 0; < 0; > 0 těleso o hmotnosti m dvě lineární pružiny s charakteristikou k a délkou ` v nedeformovaném stavu l d 0 y l d

15 y 00 + y + y 3 = 0; < 0; > 0! y k m y 1 ` p = 0 (` d) 2 + y 2

16 y 00 + y + y 3 = 0; < 0; > 0 ` y p 1 (` d) 2 +y 2 d y ` d ` 2(` d) 3 y 3 y 00 2kd m(` d) y + k` m(` d) 3 y3 = 0 y y

17 y 00 + y + y 3 = 0; > 0; < 0 Původní oscilátor Aproximativní systém y y

18 G. Duffing, Erzwungen Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technisch Bedeutung, Vieweg Heft 41/42, Vieweg, Braunschweig, y 00 + y 0 + y + #y 2 + y 3 = sin!t

19 G. Duffing, Erzwungen Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technisch Bedeutung, Vieweg Heft 41/42, Vieweg, Braunschweig, y 00 + y 0 + y + #y 2 + y 3 = sin!t y 00 + a sin y = f(t) y 00 + y 0 + y + y 3 = f(t)

20 G. Duffing, Erzwungen Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technisch Bedeutung, Vieweg Heft 41/42, Vieweg, Braunschweig, y 00 + y 0 + y + #y 2 + y 3 = sin!t y 00 + a sin y = f(t) y 00 + y 0 + y + y 3 = f(t) y 00 + (t)y + f(t; y) = 0 f(t;x) lim = 1 x!+1 x nestřídá znaménko

21 u 00 = p(t)u + q(t; u)u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (1)

22 u 00 = p(t)u + q(t; u)u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (1) 9 q(t; x) q 0 (t; x) pro s. v. t 2 [0;!] a všechna x 0; q 0 : [0;!] [0; +1[! R je Carathéodoryho funkce; q 0 (t; ) : [0; +1[! R je neklesající pro s. v. t 2 [0;!]; >= (H 1 ) lim x!+1 Z! 0 q 0 (s; x)ds = +1 >;

23 u 00 = p(t)u + q(t; u)u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (1) 9 q(t; x) q 0 (t; x) pro s. v. t 2 [0;!] a všechna x 0; q 0 : [0;!] [0; +1[! R je Carathéodoryho funkce; q 0 (t; ) : [0; +1[! R je neklesající pro s. v. t 2 [0;!]; lim x!+1 Z! 0 q 0 (s; x)ds = +1 9 Pro každé d > c > 0 existuje h cd 2 L([0;!]) taková, že>= h cd (t) 0 pro s. v. t 2 [0;!]; h cd 6 0; >; q(t; x) h cd (t) pro s. v. t 2 [0;!] a všechna x 2 [c; d] >= >; (H 1 ) (H 2 )

24 u 00 = p(t)u + q(t; u)u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (1) 9 q(t; x) q 0 (t; x) pro s. v. t 2 [0;!] a všechna x 0; q 0 : [0;!] [0; +1[! R je Carathéodoryho funkce; q 0 (t; ) : [0; +1[! R je neklesající pro s. v. t 2 [0;!]; lim x!+1 Z! 0 q 0 (s; x)ds = +1 9 Pro každé d > c > 0 existuje h cd 2 L([0;!]) taková, že>= h cd (t) 0 pro s. v. t 2 [0;!]; h cd 6 0; >; q(t; x) h cd (t) pro s. v. t 2 [0;!] a všechna x 2 [c; d] >= >; (H 1 ) (H 2 ) 9 Pro každé d > c > 0 a e > 0; existuje h cde 2 L([0;!]) taková, že >= h cde (t) 0 pro s. v. t 2 [0;!]; h cde 6 0; >; (H 3) q(t; x + e) q(t; x) h cde (t) pro s. v. t 2 [0;!] a všechna x 2 [c; d]

25 u 00 = p(t)u + h(t)juj sgn u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (2) Věta. Nechť > 1. Pak:

26 u 00 = p(t)u + h(t)juj sgn u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (2) Věta. Nechť > 1. Pak: (a) p 2 V (!) [ V 0 (!), h 0 s.v. na [0;!], h 6 0 ) (2) má pouze triviální řešení

27 u 00 = p(t)u + h(t)juj sgn u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (2) Věta. Nechť > 1. Pak: (a) p 2 V (!) [ V 0 (!), h 0 s.v. na [0;!], h 6 0 ) (2) má pouze triviální řešení (b) p 2 V + (!), h 0 s.v. na [0;!], h 6 0 ) (2) má přesně tři řešení (> 0, < 0, 0)

28 u 00 = p(t)u + h(t)juj sgn u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (2) Věta. Nechť > 1. Pak: (a) p 2 V (!) [ V 0 (!), h 0 s.v. na [0;!], h 6 0 ) (2) má pouze triviální řešení (b) p 2 V + (!), h 0 s.v. na [0;!], h 6 0 ) (2) má přesně tři řešení (> 0, < 0, 0) (c) p 2 1 (!), h > 0 s.v. na [0;!] ) (2) má přesně tři řešení (> 0, < 0, 0)

29 u 00 = p(t)u + h(t)juj sgn u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (2) Věta. Nechť > 1. Pak: (a) p 2 V (!) [ V 0 (!), h 0 s.v. na [0;!], h 6 0 ) (2) má pouze triviální řešení (b) p 2 V + (!), h 0 s.v. na [0;!], h 6 0 ) (2) má přesně tři řešení (> 0, < 0, 0) (c) p 2 1 (!), h > 0 s.v. na [0;!] ) (2) má přesně tři řešení (> 0, < 0, 0) (d) p 2 2 (!), h > 0 s.v. na [0;!] ) (2) má přesně tři řešení nestřídající znaménko (> 0, < 0, 0)

30 u 00 = p(t)u + h(t)juj sgn u; u(0) = u(!); u 0 (0) = u 0 (!) (2) Věta. Nechť > 1. Pak: (a) p 2 V (!) [ V 0 (!), h 0 s.v. na [0;!], h 6 0 ) (2) má pouze triviální řešení (b) p 2 V + (!), h 0 s.v. na [0;!], h 6 0 ) (2) má přesně tři řešení (> 0, < 0, 0) (c) p 2 1 (!), h > 0 s.v. na [0;!] ) (2) má přesně tři řešení (> 0, < 0, 0) (d) p 2 2 (!), h > 0 s.v. na [0;!] ) (2) má přesně tři řešení nestřídající znaménko (> 0, < 0, 0) Otevřený problém. Existence řešení střídajících znaménko.

31 u 00 = p(t)u h(t)juj sgn u; > 1

32 u 00 = p(t)u h(t)juj sgn u; > 1 u 00 = p(t)u h(t)juj sgn u; 2 ]0; 1[

33 u 00 = p(t)u h(t)juj sgn u; > 1 u 00 = p(t)u h(t)juj sgn u; 2 ]0; 1[ u 00 = p(t)u + h(t)juj sgn u + g(t)juj sgn u 0 < < < 1 0 < < 1 < 1 < <

34 u 00 = p(t)u h(t)juj sgn u; > 1 u 00 = p(t)u h(t)juj sgn u; 2 ]0; 1[ u 00 = p(t)u + h(t)juj sgn u + g(t)juj sgn u 0 < < < 1 0 < < 1 < 1 < < u 00 = p(t)u + h(t)juj sgn u + q(t)

35 Modelování pohybu dislokací v krystalech

36 při tuhnutí taveniny se nedostanou jednotlivé atomy do svých ideálních rovnovážných poloh v krystalu =) poruchy krystalové mřížky (bodové, čárové, plošné, objemové) dislokace = čárová porucha mřížky porušení pravidelného uspořádání krystalu je v blízkém okolí určité čáry dislokační čára ~n, Burgersův vektor ~ b

37 při tuhnutí taveniny se nedostanou jednotlivé atomy do svých ideálních rovnovážných poloh v krystalu =) poruchy krystalové mřížky (bodové, čárové, plošné, objemové) dislokace = čárová porucha mřížky porušení pravidelného uspořádání krystalu je v blízkém okolí určité čáry dislokační čára ~n, Burgersův vektor ~ b

38 při tuhnutí taveniny se nedostanou jednotlivé atomy do svých ideálních rovnovážných poloh v krystalu =) poruchy krystalové mřížky (bodové, čárové, plošné, objemové) dislokace = čárová porucha mřížky porušení pravidelného uspořádání krystalu je v blízkém okolí určité čáry dislokační čára ~n, Burgersův vektor ~ b typy dislokací: hranová ~ b? ~n šroubová ~ b k ~n smíšená

39 nejčastější a základní mechanismus plastické deformace je pohyb dislokací ve skluzových rovinách skluz dislokací

40 mřížky vlivem působení vnějšího zatížení oddálí nebo přiblíží (parametr mřížky se zvětší nebo zmenší), aniž by nejčastější a základní mechanismus plastické deformace je pohyb dislokací ve došlorovinách k jejich přesunu do jiného uzlového bodu. Po skluzových skluz dislokací odlehčení se atomy vrátí do své původní rovnovážné elastická deformace polohy. 14

41 mřížky vlivem působení vnějšího zatížení oddálí nebo přiblíží (parametr mřížky se zvětší nebo zmenší), aniž by nejčastější a základní mechanismus plastické deformace je pohyb dislokací ve došlorovinách k jejich přesunu do jiného uzlového bodu. Po skluzových skluz dislokací odlehčení se atomy vrátí do své původní rovnovážné elastická deformace polohy. 14 skluz dislokací je většinou v: v rovině dané dislokační čárou a Burgersovým vectorem v rovině nejhustěji obsazené atomy (tj. s nejmenšími Millerovými indexy) v rovině, ve které je maximální smykové napětí

42 pohyb šroubové dislokace

43 pohyb šroubové dislokace 2 - Mechanické vlastnosti I Pohyb šroubové dislokace Skluzová rovina 21

44

45 Modelování pohybu šroubových dislokací

46 entalpie sytému Z +1 p H = V (y(x)) 1 + (y 0 (x)) 2 V (y 0 ) b y(x) y 0 dx 1 } L(y;y 0 )

47 entalpie sytému Z +1 p H = V (y(x)) 1 + (y 0 (x)) 2 V (y 0 ) b y(x) y 0 dx 1 } L(y;y 0 ) hledá se aktivovaný tvar dislokace jako extremála y : R! R funkcionálu H při okrajových podmínkách lim x! 1 y(x) = y 0; lim x!+1 y(x) = y 0

48 entalpie sytému Z +1 p H = V (y(x)) 1 + (y 0 (x)) 2 V (y 0 ) b y(x) y 0 dx 1 } L(y;y 0 ) hledá se aktivovaný tvar dislokace jako extremála y : R! R funkcionálu H při okrajových podmínkách lim x! 1 y(x) = y 0; lim x!+1 y(x) = y = 0

49 entalpie sytému Z +1 p H = V (y(x)) 1 + (y 0 (x)) 2 V (y 0 ) b y(x) y 0 dx 1 } L(y;y 0 ) hledá se aktivovaný tvar dislokace jako extremála y : R! R funkcionálu H při okrajových podmínkách lim x! 1 y(x) = y 0; lim x!+1 y(x) = y = 0 y 00 V (y) p1 + (y 0 ) = V 0 p (y) b 1 + (y 0 ) 2 ; lim 2 x! 1 y(x) = y 0

50 y 00 V (y) p1 + (y 0 ) = V 0 p (y) b 1 + (y 0 ) 2 2

51 y 00 V (y) p1 + (y 0 ) = V 0 p (y) b 1 + (y 0 ) 2 2